slide ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH

1 Chương 2 ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH • I. ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH EULER • II. ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH HAMILTON • III. BÀI TOÁN ĐƯỜNG NGẮN NHẤT 2 I. ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH EULER • 1. nh ngh a.Đị ĩ Đường đi Euler trong G là đường đi đơn chứa mọi cạnh của G. • Chu trình đơn chứa tất cả các cạnh của đồ thị G được gọi là chu trình Euler. • a b a b • e • c d e • c d Có chu trình Euler Có đường đi Euler 3 I ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH EULER 2. Điều kiện cần và đủ để tồn tại chu trình Euler. • Định lý 1. • Một đa đồ thị liên thông có chu trình Euler ⇔ mọi đỉnh đều có bậc chẵn. • Điều kiện cần. G có CT Euler ∀đỉnh có bậc chẵn. • Thật vậy, CT Euler bắt đầu tại a và tiếp tục là {a,b}. Cạnh {a,b} góp 1 vào deg(a). • Mỗi lần khi CT đi qua một đỉnh, nó cộng 2 đơn vị cho bậc của đỉnh đó. Cuối cùng chu trình kết thúc ở đỉnh a nó cộng thêm 1 vào deg(a). • Vậy mọi đỉnh đều có bậc chẵn. 4 I ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH EULER • Điều kiện đủ. G -liên thông và mọi đỉnh có bậc chẵn ⇒ Tồn tại chu trình Euler. • Thật vậy, xây dựng CT đơn bắt đầu từ x 0 =a tùy ý. Chọn tùy ý cạnh {x 0 , x 1 } liên thuộc a, tiếp tục xây dựng đ/đi đơn {x 0 , x 1 }, {x 1 , x 2 }, , {x n-1 , x n } càng dài càng tốt. • đường đi sẽ kết thúc vì đồ thị có hữu hạn đỉnh. • Nó bắt đầu tại a với cạnh {a,x} và kết thúc tại a với cạnh {y,a} vì mỗi đỉnh có bậc chẵn. • Chu trình nhận được có thể chứa tất cả các cạnh hoặc có thể không. 5 I ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH EULER • Ví dụ • a b • f c d c d • G e e H • Tất cả các cạnh được sử dụng ⇒ nhận được chu trình Euler. • Ngược lại, gọi H là đồ thị con nhận được từ G bằng cách xóa các cạnh đã dùng và các đỉnh không liên thuộc với các cạnh còn lại. H có thể là không liên thông 6 I ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH EULER • Vì G là liên thông ⇒∃ w∈H và w ∈ CT đã bị xóa. • Mỗi đỉnh của H có bậc chẵn. Bắt đầu từ w ta xây dựng đường đi đơn trong H như đã làm đối với G. Đường này phải kết thúc tại w. • Tạo một CT trong G bằng cách ghép CT trong H và CT ban đầu trong G. • Tiếp tục cho tới khi tất cả các cạnh được sử dụng. Nhận được CT Euler. • Vậy nếu các đỉnh của một đa đồ thị liên thông có bậc chẵn thi đồ thị có CT Euler. đpcm 7 I ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH EULER • Định lý 2. G liên thông có đường đi Euler nhưng không có CT Euler ⇔ G có đúng 2 đỉnh bậc lẻ . • Điều kiện cần. G có đường đi Euler từ a tới b, nhưng không có CT Euler. • Cạnh đầu tiên của đ/đi góp 1 vào deg(a). Mỗi lần đ/đi qua đỉnh a nó thêm 2 đơn vị cho deg(a). Do vậy, a có bậc lẻ. • Cạnh cuối cùng góp 1 cho deg(b) và mỗi lần đi qua b nó cũng thêm 2 cho deg(b). Vậy b có bậc lẻ • Các đỉnh trung gian đều có bậc chẵn, do mỗi lần đường đi đến rồi lại rời nó nên thêm 2 đơn vị cho bậc của các đỉnh này. 8 I ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH EULER • Điều kiện đủ • G có đúng hai đỉnh bậc lẻ, chẳng hạn a và b. Nối a với b. • Xét đồ thị G*= G + {(a,b)}. ⇒ tất cả các đỉnh của G* đều có bậc chẵn. • Theo định lý 1, G* có CT Euler. • Xóa cạnh mới vẽ thêm vào ta sẽ nhận được đường đi Euler trong G. 9 I ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH EULER Ví dụ. Đồ thị nào có đường đi Euler? a b a g f e a b f g c d c b c d e d G1 G2 G3 . 10 II ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRINH HAMILTON • ĐỊNH NGHĨA. Đường đi x 0 , x 1 , ,x n-1 ,x n trong đồ thị G=(V,E), V={x 0 , x 1 , ,x n-1 ,x n }, là đường đi Hamilton nếu x i ≠x j với 0 ≤ i <j ≤ n. Chu trinh x 0 ,x 1 , ,x n-1 , x n ,x 0 (n>1) trong đồ thị G=(V,E) được gọi là chu trinh Hamilton nếu x 0 , x 1 , ,x n-1 ,x n là đường đi Hamilton. a b a b a b g e c d c d c e f d G1 có chu trình H, G2 không có chu trình, nhưng có đường đi H, G3 không có đường đi và chu trình H [...]... một cạnh • Xác định đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh? 12 III BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT • 1.Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất • Đường đi ngắn nhất giữa 2 đỉnh của một đồ thị có thể tìm được bằng kiểm tra trực tiếp Dùng được khi có ít cạnh • Có một số thuật toán khác: • Thuật toán do E Dijkstra (Hà-lan), 1959 • Ví dụ minh hoạ thuật toán Dijkstra: Tìm đường đi ngắn nhất giữa 2 đỉnh a và z? 13 Bước 0 b∞...II.ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH HAMINTON • Định lý Gỉa sử G là một đơn đồ thị liên thông với n đỉnh trong đó n≥3, khi đó G có CTHamilton nếu bậc của mỗi đỉnh ít nhất bằng n/2 (đi u kiện đủ) • Chứng minh (Xem trong giáo trình) • n= 5 n=6 11 III BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT • Đồ thị có trọng số • Mỗi cạnh được gán một số (nguyên hoặc thực)... w(u,v) < L(v) then L(v) := L(u) +w(u,v) • } {L(z) =độ dài đường đi ngắn nhất từ a tới z} 21 III BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT • Định lý 1 Thuật toán Dijkstra tìm được đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh trong đồ thị đơn vô hướng liên thông có trọng số • Định lý 2 Thuật toán Dijkstra dùng O(n2) phép toán (cộng và so sánh) để tìm độ dài của đường đi ngắn nhất giữa hai đỉnh trong đồ thị đơn vô hướng liên thông... trong • Cuối bước k-1 ta có Sk- 1và các đỉnh v∉Sk-1 đã được gán: nhãn (v) = độ dài ĐĐNN từ a tới v và ĐĐ này có các đỉnh trong thuộc Sk-1 18 III BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT • Bước k: Gọi u ∉ Sk-1 có nhãn nhỏ nhất • Sk =Sk-1+{u} • Sửa nhãn của ∀v ∉ Sk với Lk(v) = độ dài của ĐĐNN từ a tới v và có các đỉnh trong ∈ Sk • Quá trình lặp kết thúc khi đỉnh z ∈S 19 III BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT • Chú ý: ĐĐ từ a... 8(a,c,b) 2 8 6 2 10 c 2(a) z 13(a,c,b,d,e) 3 e 10(a,c,b,d) Đường đi ngắn nhất từ a đến z là a,c,b,d,e,z với độ dài 13 17 III BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT • THUẬT TOÁN DIJKSTRA (Thuật toán gán nhãn) • S ={ các đỉnh đã gán nhãn} • Bước 0: S0 = ∅: Gán nhãn: L0(a)=0 và L0(v)= ∞, ∀v≠ a Các nhãn = độ dài của ĐĐNN từ đỉnh a tới các đỉnh này, đường đi này chỉ chứa đỉnh a • Bước 1: a -đỉnh có nhãn nhỏ nhất , . 1 Chương 2 ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH • I. ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH EULER • II. ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH HAMILTON • III. BÀI TOÁN ĐƯỜNG NGẮN NHẤT 2 I. ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH EULER • 1. nh ngh a.Đị ĩ Đường đi Euler. thêm vào ta sẽ nhận được đường đi Euler trong G. 9 I ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH EULER Ví dụ. Đồ thị nào có đường đi Euler? a b a g f e a b f g c d c b c d e d G1 G2 G3 . 10 II ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU. Euler 3 I ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH EULER 2. Đi u kiện cần và đủ để tồn tại chu trình Euler. • Định lý 1. • Một đa đồ thị liên thông có chu trình Euler ⇔ mọi đỉnh đều có bậc chẵn. • Đi u kiện