BÀI TẬP BỔ SUNG TOÁN 11

Bài tâp làm thêm dành cho các bạn học sinh có nhu cầu tự học và nâng cao trình độ học vấn môn Toán 11. ngoài ra nếu các bạn không thể tự học thì tài liệu trên xme như là tài liệu học tập tại nhà và các vần đề trong tài liệu theo một số giáo viên xem như là những phần có thể có trong các đề thi đại học Toán.

Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu VẤN ĐỀ 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 1: Giải pương trình sau:   cos x sin x   cos x  1 a)  sin x     b) cos x    cos x    sin x   1  sin x  4 4     c) cot x  2 sin x   cos x d) sin 2 x  sin x   cos x 0 cos x e) sin xcot x  tan x   cos x Bài 2: Giải phương trình sau:   a) sin 2 x  2  sin x cos x       b) cos   x   cos 2 x  cos  x    2  2  c) sin x  cos x 1  cot x  sin x sin x d) sin x  cos x   e) 48      21  cos x   sin  x    12 4   24   1  cot x cot x   cos x sin x Bài 3: Giải phương trình sau: a) sin x  cos x  cos 4 x     tan  x  tan  x  4  4  b) sin x  cos x  sin x cos x  cos 2 x c) sin x  cos x  d)  5 cos x   sin x  cos x  sin x cos x  0  sin x Bài 4: Giải phương trình sau: a) sin x1  cos x   cos x  12 cos x  1 d) sin x cos x  sin x  sin x  cos x b) sin x  cos x sin x  sin x  e) cot x  cot x  1  cot x sin x sin x c)  sin x  cot x cos x  cot x Bài 5: Giải phương trình sau: _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu a) cos 2 x  sin x   sin 2 x d) sin x sin x  sin x  cos x b) cos x  sin x  cos x sin x  sin x  e) sin x cos x  cos x  sin x  c) sin xtan x    3cos x  sin x cos x  f) sin x  cos x  5 sin x cos x cos x Bài 6: Giải phương trình sau: a) sin x  sin x cos x  cos x  3 2 c) tan x sin x  sin x  3cos x  sin x cos x    b) sin x  cos x   sin x cos x  cos 2 x  d) 2 cos  x    cos x  sin x  4 4  Bài 7: Giải phương trình sau: a) sin x  sin x  sin x  cos x  cos x  cos x b) sin x  cos x  sin x  sin x cos x  c) tan x cot 2 x cot x  tan x  cot 2 x  cot x d) 1  cos x 2  1  cos x 2  tan x sin x  1  sin x   tan x 41  sin x  Bài 8: Giải phương trình sau: a) sin x  1  cos x  sin x cos x x 3x x 3x b) cos cos x cos  sin sin x sin  2 2 c) sin x  cos8 x  2sin10 x  cos10 x   cos x d) cos 6x 8x   cos 5 Bài 9: giải phương trình sau: a) sin x   cot x   sin  x   sin x  cos x 2  b) 8sin x  cos x   3 sin x  3 cos x  11 sin x  11 c) sin x2 cos x  1   cos x  cos x  cos x d) cos x  sin x  cos x   sin x  cos x Bài 10: Giải phương trình sau: a) sin x  sin x  sin x  sin x  cos x  cos x  cos x  cos x b) tan x  tan x  31  sin x   x   cos    cos x  2 d) sin x  sin x  cos x  cos x  cos x   c) tan x  sin x  cos x   e)  sin x  cos x  cos x  sin x  cos x _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu f) sin x  sin x  1   cot x sin x sin x  3x  x  g) sin  x    cos    cos 4  2 4 h) sin x  cos x  sin x  cos x   VẤN ĐỀ 2: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP Bài Cho số gồm chín chữ số gồm năm chữ số bốn chữ số lại 2, 3, 4, 5.Có cách xếp nếu: a) Năm chữ số xếp kề b) Năm chữ số xếp tùy ý Bài 2: Từ chữ số 0, 1, 3, 5, Lập số chữ số chia hết chọ Bài 3: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số chữ số khác đó: a) Số tạo thành chẵn b) Một ba chữ số phải có mặt chữ số c) Nhất thiết phải có mặt chữ số d) Phải có mặt hai chữ số Bài 4: Từ số 1,2,3,4,5,6,7 lập số có chữ số nhỏ 276 ? Bài 5: Tính tổng số có chữ số phân biệt thành lập từ số sau: 3,4,5,6,7 Bài 6: Với số 0,1,2,3,4,5 lập số có chữ số chữ số xuất ba lần, chữ số khác có mặt lần Bài 7: Cho tập A   2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Từ A lập số có sáu chữ số khác 1, số có chứa chữ số Trong có bao số khơng chia hết cho Bài 8: Có tem thư bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư, bì thư dán tem thư chọn Mỗi bì thư dán tem Hỏi có cách làm ? Bài 9: Một lớp có 20 học sinh có cán lớp Hỏi có cách chọn người dự Hội nghị mà có cán lớp ? Bài 10: Có nhà Toán học nam, nhà Toán học nữ nhà Vật lý Muốn lập đồn cơng tác có người gồm nam lẫn nữ có nhà Tốn học, nhà Vật lý Hỏi có cách chọn ? Bài 11: Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên d1 lấy 15 điểm, d2 lấy điểm Hỏi có tam giác tạo thành ba điểm từ điểm lấy ? Bài 12: Đội tuyển HSG có học sinh khối 12, học sinh khối 11 học sinh khối 10 Chọn em dự trại hè cho khối có em Hỏi có cách chọn ? Bài 13: Có n cầu trắng n cầu đen, đánh dấu từ 1, 2, 3, ,n Có cách xếp cầu thành dãy cho cầu màu không nằm cạnh _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu Bài 14: Giả sử có vận động viên tham gia chạy thi Nếu khơng kể trường hợp có hai vận động viên đích lúc có kết xảy vị trí thứ nhất, thứ nhì thứ ba ? Bài 15: Có số tự nhiên có chữ số mà chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt khơng q lần ? Bài 16: Cho hai đường thẳng song aong d1 d2 Trên d1 lấy 10 điểm phân biệt, d2 lấy n điểm phân biệt n  1 Biết có 2800 tam giác có đỉnh điểm lấy Tìm n Bài 17: Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm n điểm Hỏi: a) Có đoạn thẳng mà hai đầu mút chúng thuộc P b) Có vect tơ khác mà điểm đầu điểm cuối thuộc P Bài 18: Một đoàn tàu nhỏ có ba toa khách đỗ sân ga Có ba hành khách bước lên tàu Hỏi: a) Có khả ba hành khách bước lên ba toa khác b) Có khả hai hành khách bước lên toa hành khách thứ ba lên toa khác Bài 19: Có cách chian vật khác thành k nhóm mà nhóm thứ có n1 vật, nhóm thứ hai có n2 vật, nhóm thứ k có nk vật hai nhóm khơng chứa vật chung ? Bài 20: Từ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số tự nhiên có chữ số đôi khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn Bài 21: Cho đa giác A1A2 A2n nội tiếp đường trịn tâm O Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1,A2, ,A2n gấp 20 lần với hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1,A2, ,A2n Tìm n Bài 22: Trong mặt phẳng cho n điểm, khơng có điểm thẳng hàng tất tất đường thẳng nối hai điểm bất kỳ, hai đường thẳng song song, trùng vng góc Qua điểm vẽ đường thẳng vng góc với đường thẳng xác định n  điểm lại Số giao điểm đường thẳng vng góc giao Bài 23: Rút gọn biểu thức sau: A P4 P7  P8 P9   PP P P   P10   D C  2C  C Pn 1  A n Pn  k C 15 15 17  P5 P4 P3 P2      A A   A5 A5 A5  C P3  2P2 B 15 A A A4 n E A A P  P2 P2 n 5 n 3 C  C8  C15 28 65 F P3 A Bài 24: Rút gọn biểu thức: k 1 k  k! n a) A n   n b) A n   kk! k 1 _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu c) A  n! P  n 1 n  3!A n n  2! d) B  C1  n C2 Cn n   n nn C1 Cn n Bài 25: Chứng minh: a) n 1   Pn Pn 1 Pn  b) A n   A n 1  k A n  k nk nk n d) C k  C n  k n n c) Pk A 1A 3 A 5  nk!A 5 n n n n Bài 26: Chứng minh: a) n2 1   n! n  1! n  ! b) C rn  C rn11  C rn12   C rr 1 ; n, r  N,0  r  n   1 c) C k  3C k 1  3C k   C k 3  C k 3 ; n, k  N,3  k  n n n n n n d) C n  C n 1  C n    C n  k  C n 1 1 n n n n nk i) C k  C k 1  C k 1 ;0  k  n n n n 1 j) Pn 5  15A k 1.Pn  4 k n Bài 27: a) Chứng minh: n! n 1 ; n  Z, n  b) Chứng minh: C n  k C n  k  C n  ; với n, k  Z  k  n 2n 2n 2n Bài 28: 1) Tìm n nguyên dương, biết: a)  n!n  1! 33 2) Tìm n  N, n  ,biết: b) A 44 15 n  n  2! n  1!  n  1!  n n  1!  n  n  1!4!  12n  3n  !2! n2   k k k Bài 29: Tìm k cho số C , C 1 , C  theo thứ tự lập thành cấp số cộng Bài 30: Giải phương trình sau: a) 2A  50  A x 2x   b) A  3A  Px 1 x x  c) A  5A  2x  15 d) Px A  72  A  2Px x x x x  Bài 31: Giải phương trình sau: a) P2 x  P3 x  d) C3 1  C 1  x x 2 A x 2 g) C3  20C 2n n b) A  C  14C x 1 x x x e) c) C1  C  C3  x x x 1   1 C x C x 1 6C x  h) A  2C  3A n n n x f) A  C n   14x n n i) x!x  1!  x  1! Bài 32: Giải bất phương trình sau: a) 2C 1  3A  30 x x b) C x 1 x  A x 1 14P3 c) A 2x  A  C3  10 x x x d) Pn  15  Pn Pn  Pn 1 Bài 33: Giải hệ phương trình sau: _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu y y 2A x  5C x  90  a)  y y 5A x  2C x  80  5C y   3C y 1  b)  y x y 1 x C x  C x  A x : P  C y  x  126  y c)  y x 1 Px 1  720  VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT Bài 1: Giải phương trình sau: x 3 x 8 3.243 x 8  x     33 33    x 1 x 1.54 x 3  5.10 x  17  4 x 1 3x x   x 1  x 1.4 x 1     33 94 27    x7  16 x 1 x  17  4 x 1 x 1 x 6 11  x  78 10 x 1 x 1 83 x  2 0,125  253 x  x 1 12 2 x 1 3   13        25   x  2 x 3 x 1 4 x  x 1 1 x  3 x 5 x  x 5 x  7  x2  x 1 x4 14 x  17 16 9 x 1 x 1 5   15        25     3   x   x 3 x 1 2 x 1 2x 16 16 x  x 11 5   3 x 19 1  x x2  0,25 x 4 Bài 2: Giải phương trình sau: 1  2x 2  3x  3x 1 5.3 x  3.2 x  7.2 x  4.3 x x x  x 1  x   x 1  x 1  x  x 1  x  x 1  9477 2.3 x 1  6.3 x 1  x  9 2 x 5  x   x 1   x 1 1 10 3.4 x  x   6.4 x   x 1 5 x  x 1  x   x  x 1  x 3 11 x  x 1  x   x 3  x   750 12  x  x x  x 3 2 x x  x4  32 x 1 x    x 1 Bài 3: Giải phương trình sau: 2  x  x  sin x cot x 2 sin x    x  x2 3    cos x     2 x    2 x x   32 x  x  x  9.2 x  _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu     x  x  3.3 x  x   12 1 2x x x x      23 x  6.2 x  3 x 1  2 3 x   4x 6 x 5  42 x 3 x 7 1 Bài 4: Giải phương trình sau: x 1   27   18  x 1 1 x 1  2    x x 2 x  3     x  5 x 1   2   x 3 1  99    9 x 3     x   x  2 x 1 x x  x  x  1 x 2  32  x  x 1  x 1  x  1   3 x 4      x 4 x 4 x 4 x x  x   x   37  x2  x 1 9 x  x2  2x   x  1x 1  x  1 10 x  x2  x x 1   x  3 Bài 5: Giải bất phương trình sau: 1   2 1   2 x 15 x 13 x 17 x 11 x 1   2 3 x 1   2 49.2  16.7 x  x 1 x 2 x x x 2x 1    3 x 1 9 1   2 5 x  2 x  x 1 5 x x2 10  1 x 1   2 x 1  x 3 x 1  x   x   x 1 11 3 x   3x  1 12 x2 2 x x 1 x 1 1  15  x   2  x 3 x    16 x  x   2.7 x 1  118 x 1  x  x 1  x 1 17 x   x 3  x   x 1  x  18   x 1  14 x 1  x  4 x2 2  x 1 x 1  x  52  x 1 x 1 3 19  13 1 x 1    x2   2   x 2 3 x2 2 x1   11  2  x2 2 x1  2 20 x  x 1  x   x  x 1  x  21 4x  2x  2 x 1 Bài 6: Giải phương trình sau: _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu 1 1x 1x    3   12 3 3 x 5 x   12.2 x 1 2 32 x 5  36.3 x 1   9sin x  9cos x x 5 8  4cot x  sin x 3  41 sin x  9.4 2 cos 6 x 5 Bài 7: Giải bất phương trình sau: x 1 x  x x  x  x.2 x 1  2.3 x x  x  3.9 2  x x  3.2 x  x 2 x  x  12 x 1 x  x x       x x  49.3 x  x  x 1 6  21 x  x  21 x   2 x    2 x  1  x   2x   3x  x   x  3x x  3x  x   x 3x x2 2 x  x  x  11      2.5 x x  52 x   3  10 x  8e x 1  x x e x 1   Bài 8: Giải phương trình sau: 3  27 x  271 x  16 x  x      x  x.3 x  31 x  x x  x  5.32 x 1  7.3 x 1   6.3 x  x 1  x x 1  x  3.5 x 1 x  2.5 x 1  x    Bài 9: Giải bất phương trình sau: 2.3 x 4 x 9 32 x  8.3 x  x  3.2 x  x x4 9  9.9 x  x 3 4 x  x.2 x x x4  41 0 x  x 3 x 0 4 1  2  3.2 x  x 2 x  x  12   x  3x2   x  x   2 x 1  x  Bài 10: Giải phương trình sau: log x  log x log x  1  log 3 x  1  log x  log x  log x  log 20 x log log x   log log x  log x  x  13  log x log x  1  log x     log  x  log x log x  x  log x log x  x  1  log x  x  10 log x  1  log x  1  Bài 11: Giải phương trình sau:    x  x 1 log x  x    log x  x  3 log log x  log x  1  log x    log x  3 x 3log3  x 2log3 x  12log3 x  x 1 x  3x      5 2 _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu log x log x  x    log x     log 5 x  5  x2  2.3  log x  1  log 27   x 3 50 log3   .5    x log3 15  x  log x  4 x  12 x    log x 3 6 x  23 x  21  10 x  x log 8 x  1  log 24  x  2  x x  x x  2 x     2   x2 Bài 12: Giải phương trình sau: 1 2 sin x  cos x 1     10  x  x 2 x 9 4 43 x  x 3 cos x sin x  lg   53 x  27 x  5 x   9.5 x  64 5   52 sin x  cos x 1  x2 4  3x x 9 x 43 x  4x  23 x  2  2 x 1  2 x    x   64    6 x  x 1   3x 2   x  x  5.32 x 1  7.3 x 1   6.3 x  x 1   8.3 x 2 4 x  x 9 4 x x 3  2 x 4 x 5 Bài 13: Giải phương trình sau: log 3 x 1  26    x log x  3  log x    log log x   log x   log     log 3 x   log x  log x  log 3 x    log x  log x  log x  log x log x log x log x  x    log x 1  log x  3 1 2902 log 3 x  1  log81 x  3  log 243 4x   503 log x  1   log    x  log8 4  x        log x  x   log x  x   log x  x   log x  x  x3 10 log log x  log   log x x      11 log x  x  log x  x   log 20 x  x  12 log x  1  log  log x    log 25  x  2 _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu 13 log 2 log 1  log 1  log x   14 2cos x 1  1  cos x  log 3 cos x  1 2 Bài 14: Giải bất phương trình sau: 1  log x 2000  2 1  0 log 2 x  1 log x  x  2 log 4 x  144   log   log 2 x   1 x  x  112 x  8x  3 0 log x   2012  2003  log x   2012  2003  log x  x log 1  log x  log x       log x  log x  log 3 x  3  x log log    x  log  log   log x  x   log 10 log x x2    x   log  x 1 11 x ln   x  x 1 x  1  x    log x  3 2 x2  4x  x 1 1  x 1  x ln   x    x 1 x 1 x2  1 x VẤN ĐỀ 4: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Chương I: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Bài 1: Trong mpOxy cho điểm A 1;2  đường trịn C  có tâm I 1;2  , bán kính R  đường trịn C' : x  y  2x   Tìm điểm M  C, N  C' cho MN  IA Bài 2: Cho tam giác ABC cố định có trực tâm H Vẽ hình thoi BCDE, kẻ DD'  AB, EE'  AC Gọi DD'EE'  M Tìm tập hợp điểm M hình thoi BCDE thay đổi Bài 3: Cho hai điểm B 2;4  , C 4;6  Điểm A nằm đường tròn tâm I 0;3 , bán kính R  2 Tìm 10 _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu trực tâm H tam giác ABC biết H nằm đường thẳng d  : x  y   Bài 4: Trong mpOxy cho đường thẳng d  : x  2y   , D  : x  2y   hai điểm A  3;2  , B 5;0  Tìm M  d  , N  D  cho MA  NB ngắn Bài 5: Trong mpOxy cho điểm A 3;2  Tìm trục Ox đường thẳng d  : x  y  hai điểm B, C cho chu vi  ABC nhỏ Bài 6: Cho  ABC nội tiếp đường tròn O; R  Gọi H trực tâm  ABC Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC, HCA, HAB có bán kính bán kính đường trịn O; R  Bài 7: Cho tứ giác lồi ABCD, điểm A'  AD, C'  BC Tìm điểm B'  CD, D'  AB cho tứ giác A'B'C'D' hình bình hành Bài 8: Trong mpOxy, cho đường thẳng d  : x  y  , đường tròn C  : x  y  2x  2y   Tìm A  C  , B  d  cho điểm I 3;2  trung điểm AB Bài 9: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Lấy đoạn thẳng AB, BC làm cạnh, dựng tam giác ABE BCF nằm phía so với đường thẳng AB Gọi M, N đoạn thẳng AF, CE Chứng minh tam giác BMN Bài 10: Cho hình vng ABCD điểm M cạnh AB Đường thẳng qua C vng góc với CM, cắt AB E AD tị F, gọi N  CM  AD Chứng minh rằng: a) CM  CN  EF b) 1   2 CM CN AB2 Bài 11: Cho đường tròn O; R  dây cung cố định AB  R , điểm M chạy cung lớn AB cho  MAB có góc nhọn, có H trực tâm AH, BH cắt đường tròn O; R  theo thứ tự A', B' Gọi N  A' B  AB' a) Chứng minh tứ giác AMBN hình bình hành b) Gọi I  HN  A' B' Tìm tập hợp điểm I M di động cung lớn AB Bài 12: Trong mpOxy cho hai đường thẳng d1  : 2x  y   0, d  : x  y   điểm M 5;2  Viết phương trình đường thẳng qua M, cắt d1, d2 hai điểm A, B cho M trung điểm AB Bài 13: Trong mpOxy cho đường tròn C  : x  1  y    Hãy viết phương trình đường trịn C' 2 ảnh C  qua phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỷ số k  phép tịnh tiến vec tơ v  1;2  Bài 14: Trong mpOxy, gọi A, B giao điểm hai đường trịn,(A điểm có hồnh độ dương): C : x  12  y  12  1; C' : x  12  y  Viết phương trình đường thẳng d  qua A cắt C, C' 11 _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu M, N cho M trung điểm AN Bài 15: Trong mpOxy cho đường tròn tâm I  2;3 , bán kính R  Viết phương trình đường trịn ảnh đường trịn qua việc thực liên tiếp phép đối xứng tâm O phép tịnh tiến v 3;2  Bài 16: Cho  ABC với M, N, P trung điểm cạnh BC, CA, AB Gọi H, G, O trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC, I tâm đường tròn ngoại tiếp  MNP a) Chứng minh  MNP ảnh  ABC qua phép vi tự tâm G tỷ số k   Từ suy bốn điểm H, G, O, I thẳng hàng I trung điểm OH b) Chứng minh phép vị tự tâm H, tỷ số k  biến đường tròn ngoại tiếp  ABC thành đường trịn ngoại tiếp  MNP Từ suy ra: tam giác, trung điểm ba cạnh, chân ba đường cao, điểm đoạn nối với trung trực với ba đỉnh điểm nằm đường tròn Bài 17: Cho A1;2   C  : x  y  1  điểm B 3;2   d  : x  2y   Hãy xác định d  điểm C cho trọng tâm  ABC nằm C  Chương II: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG KHÔNG GIAN - QUAN HỆ SONG SONG Bài 1: Cho tứ diện ABCD, O điểm bên  BCD, lấy M  AO a) Tìm giao tuyến mp(MCD) với mp(ABC), mp(ABD) b) Hai điểm J, K nằm BC, BD cho IJ khơng song song với CD Tìm giao tuyến (MJK) (ACD) Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AC, BC Các điểm K, M, N nằm BD, AB, AD cho KD  KB, MA  MB, ND  NA Tìm giao tuyến mặt phẳng sau: (CMN) (BCD); (IJK) (ACD); (IJK) (ABD) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M trung điể SD, G trọng tâm  SAD a) Tìm giao điểm H DM với (SAC) Tính tỷ số HO HS b) Tìm giao điểm K GM với (ABCD) Cm: điểm K, C, D thẳng hàng KC  2KD Bài 4: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F hai điểm cố định nằm hai cạnh AB, AC cho EF không song song với BC Điểm M di động CD a) Tìm điểm N  BD  MEF b) Tìm tập hợp điểm I  EM  FN Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AB Gọi I, J, K ba điểm lần 12 _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu lượt SA, SB, SC a) Tìm giao điểm IK với (SBD) b) Tìm giao điểm mặt phẳng (IJK) với SD SC Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành Gọi M trung điểm SC a) Tìm giao điểm I AM với (SBD) Tính tỷ số IA IM b) Tìm giao điểm F SD (ABM) c) Gọi N điểm tùy ý cạnh AB Tìm giao điểm K MN với (SBD) Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O M, G trung điểm SB trọng tâm  SAD a) Tìm I  GM  ABD Chứng minh ba điểm I, C, D thẳng hàng b) Tìm I  AD  OMG  Tính tỷ số JA JD c) Tìm K  SA  OMG  Tính tỷ số KA KS Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SAB, SBC, SCD lấy điểm M, N, P cho mp(MNP) không song song với mặt phẳng đáy Xác định thiết diện với hình chóp cắt mp(MNP) Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm SB, G trọng tâm tam giác SAD a) Tìm I  GM  ABCD Chứng minh mp(CGM) chứa CD b) Chứng minh mp(CGM) qua trung điểm SA Tìm thiết diện hình chóp với mp(CGM) c) Tìm thiết diện hình chóp với mp(AGM) Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác có hai cặp cạnh đối không song song Gọi M, P trung điểm SA, BC; G trọng tâm  SCD Tìm thiết diện hình chóp cắt mp(MPG) Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD M trung điểm SA, N P trọng tâm tam giác SBC ACD Tìm thiết diện với hình chóp cắt mp(MNP) Bài 12: Cho tứ diện SABC Qua C dựng mp(P) cắt AB, SB B', B1 Qua B dựng mp(Q) cắt AC, SC C', C1; BC'CB'  O , CB1  BC1  O' Giả sử O' O  SA  I a) Chứng minh AO, SO', BC đồng quy b) Chứng minh I, B1, B' I, C1, C' thẳng hàng Bài 13: Cho tứ diện ABCD, lấy điểm M, N, P thuộc đường thẳng AB, AC, AD cho: MA NC PD    G trọng tâm Δ ACD, gọi I  MN  BC, J  MP  BD MB NA PA 13 _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu a) Chứng minh đường thẳng MG, PI, NJ đồng phẳng b) Gọi E, F trung điểm CD, NI, gọi H  MG  BE, K  GF  BCD  Chứng minh bốn điểm H, K, I, J thẳng hàng Bài 14: Cho hai mặt phẳng α   β   a Trong α  lấy A, B không thuộc a S điểm không thuộc α  ; SA, SB cắt β  C, D Giả sử E  AB  a a) Chứng minh S, A, B không thẳng hàng b) Chứng minh C, D, E thẳng hàng Từ suy AB, CD, a đồng quy Bài 15: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB, AC, BD lấy điểm E, F, G a) Tìm EFG   BCD  Tìm S  CD  EFG  suy thiết diện mp(EFG) với tứ diện b) Khi EG không song song với AD tìm R  AD  EFG  Chứng minh F, S, R thẳng hàng c) Khi EF không song song với BC Chứng minh đường thẳng EF, GS, BC đồng quy Bài 16: Cho tứ diện ABCD cạnh a Lấy E đối xứng với B qua C, F đối xứng với B qua D Gọi M trung điểm AB a) Tìm giao điểm I ME với mp(ACD) b) Tìm giao tuyến (MEF) (ACD) Từ suy thiết diện tứ diện với mp(MEF) c) Tính thiết diện tứ diện với mp(MEF) Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có AB//CD Một mp(P) qua AB cắt SC E a) Tìm F  P   SD Suy thiết diện hình chóp với mp(P) b) Tìm tập hợp giao điểm I  AF  BE, J  AE  BF mp(P) quay quanh AB Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang, ABCD có đáy lớn AB Gọi I trung điểm SC Mp(P) quay quanh AI cắt cạnh SB, SD M, N a) Chứng minh MN qua điểm cố định b) IM kéo dài cắt BC P, IN kéo dài cắt CD Q Chứng minh PQ qua điểm cố định c) Tìm tập hợp điểm H  IM  AN (P) quay quanh AI Bài 19: Cho  ABC nằm mp(P) Gọi Bx, Cy hai nửa đường thẳng song song nằm phía mp(P); M, N hai điểm di động Bx, Cy cho CN  2BM a) Chứng minh đường thẳng Mn qua điểm I cố định b) Điểm E  AM cho EM  EA ; F  AN  IE ; Q  BE  CF Cm:AQ//Bx//Cy c) Chứng minh (QMN) chứa đường thẳng cố định Bài 20: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm AB, CD, AC, BD, AD, BC Gọi A', B', C', D' trọng tâm tam giác BCD, ACD, ABD, ABC Chứng minh đoạn thẳng 14 _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu MN, PQ, RS, AA', BB', CC', DD' đồng quy G GA  3GA' Bài 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang với đáy lớn AB Gọi I, J trung điểm AD, BC G trọng tâm  SAB a) Tìm giao tuyến (SAB) (IJG) b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJG) Thiết diện hình ? Tìm điều kiện AB CD để thiết diện hình bình hành Bài 22: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành Gọi I, J trọng tâm tam giác SAB, SAD; M trung điểm CD Xác định thiết diện hình chóp với mp(IJM) Bài 23: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thang với AD  a, BC  b Gọi I, J trọng tâm tam giác SAD, SBC a) Tìm đoạn giao tuyến mp(ADJ) với mp(SBC) đoạn giao tuyến mp(BCI) với mp(SAD) b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến hai mặt phẳng (ADJ) (BCI) giới hạn hai mặt phẳng (SAB) (SCD) Bài 24: Cho hình chóp S.ABC, O điểm nằm bên tam giác ABC Qua O dựng đường thẳng song song với SA, SB, SC cắt mặt phẳng (SBC), (SCA), (SAB) điểm A', B', C' a) Chứng minh OA' OB' OC' có giá trị khơng đổi O di động bên  ABC   SA SB SC b) Xác định vị trí O để tích OA'.OB'.OC' có giá trị lớn Bài 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm SA, mp(P) qua AM song song với BD a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(P) b) Gọi E, F giao điểm (P) với cạnh SB, SD Hãy tìm tỷ số diện tích  SME với  SBC tỷ số diện tích  SMF với  SCD c) Gọi K  ME  BC, J  MF  CD Chứng minh ba điểm K, I, J nằm đường thẳng song song với EF tìm tỷ số EF KJ Bài 26: Cho hình chóp S.ABCD Trên cạnh AB, CD lấy điểm M, N Mp(P) qua MN song song với SB a) Xác định thiết diện hình chóp với mp(P) b) Tìm điều kiện MN để thiết diện hình thang Bài 27: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a  SAB Điểm M di động BC với BM  x; K  SA cho AK  MB 15 _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu a) Chứng minh KM//(SDC) b) Tìm thiết diện hinh chóp với mp(P) qua M song ong với SA, SB Thiết diện hình ? Tính diện tích thiết diện theo a x c) Tìm x để KN//(ABCD) Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành Gọi C' trung điểm SC, M di động cạnh SA Mp(P) di động qua C'M song song với BC a) Chứng minh (P) chứa đường thẳng cố định b) Xác định thiết diện mà (P) cát hình chóp S.ABCD Xác định vị trí điểm M để thiết diện hình bình hành Bài 29: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi M, N trung điểm cạnh AA', AC Dựng thiết diện lăng trụ với mp(MNP) B di động cạnh B'C' Bài 30: Cho hình chóp cụt ABC.A'B'C' Điểm M di động trên cạnh AB, mp α  qua M song song với AA', BC a) Tìm thiết diện α  hinh chóp cụt b) Chứng minh mp α  luôn song song với mặt phẳng cố định Bài 31: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Điểm M  AB cho AB  4AM, điểm N  DD' cho ND  3ND', P  B'C' cho B'C'  4B'P Chứng minh (MNP)//(AB'D') Bài 32: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất mặt bên hình vng cạnh a Các điểm M,   N nằm AD' DB cho AM  DN  x,  x  a a) Chứng minh x biến thiên, đường thẳng MN song song với ,ặt phẳng cố định b) Chứng minh x  a MN//A'C Bài 33: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Trên ba cạnh AB, DD', CB' lấy ba điểm M, N, P không trùng với đỉnh cho AM D' N B' P   AB D' D B' C' a) Chứng minh mp(MNP)//mp(AB'D') b) Xác định thiết diện hình hộp cắt mp(MNP) Bài 34: Cho hình chóp cụt ABCD.A'B'C'D' Gọi I điểm di động AC, mp α  qua I song song với mp(BDD') Xác định thiết diện mp α  với hình chóp I di động AC Bài 35: Cho hình chóp cụt ABCD.A'B'C'D', có đáy ABCD hình bình hành Gọi M  AD'BC' , N  CB'DA' , P  BA'CD' , Q  AB'DC' Chứng minh điểm M, N, P, Q đồng phẳng Bài 36: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCd hình thang đáy lớn AD AD  2BC, M điểm 16 _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu tùy ý cạnh BC, mp α  qua M song sogn với CD SC, mp α  cắt AD, SA, SB N, P, Q a) Chứng minh NQ//(SCD) NP//SD b) Gọi K, H trung điểm SD AD Chứng minh (CHK)//(SAB) CK  KPQ   SCD  c) Gọi G trọng tâm  SCD Tìm I  BG  SAC Tính tỷ số IG IB Bài 37: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N, P trung điểm AB, AD, SC a) Tìm giao tuyến mp(MNP) với mặt phẳng (SDC) (SAC) b) Gọi d  SBD   MNP  Chứng minh d//MN c) Tìm giao điểm SO với mp(MNP) Bài 38: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N, P trung điểm AD, BC, SC a) Tìm thiết diện hình chóp với mp(MNP) b) Gọi Q  SD  MNP , I  MQ  NP Chứng minh SA//(MNP) tứ giác SNB hình bình hành c) Gọi H trung điểm MC, K  MP  NQ Chứng minh K thuộc SH Bài 39: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang có đáy lớn AD Gọi E, F lần lươt trung điểm SA, SD; K  AB CD a) Tìm M  SB  CDE  b) Tìm N  SC  EFM  Tứ giác EFMN hình ? c) Chứng minh đường thẳng AM, DN, SK đồng quy d) Cho biết AD  2BC Tính tỷ số diện tích hai tam giác KMN, KEF Bài 40: Cho hình chóp S.ABCD có AB  CD  E , AD  BC  F , AC  BD  G Gọi mp α  cắc SA, SB, SC A', B', C' a) Tìm D'  SD  α  b) Tìm điều kiện α  để A'B'C'D' có A'B'//C'D' c) Tìm điều kiện mp α  để A'B'C'D' hình bình hành Có mp α  thỏa điều kiện ? Bài 41: Cho hình lập phương cạnh a ABCD.A'B'C'D' Trên AB, CC', C'D', AA' lấy điểm M, N, P, Q cho: AM  CN  C' P  A' Q  x, 0  x  a  a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng b) Tìm x để (MNPQ)//(A'BC') 17 _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu c) Xác định thiết diện hình lâp phương mp(MNPQ) Bài 42: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành tâm O Gọi M trung điểm SC a) Xác định thiết diện hình chóp với mp(ABM) b) Gọi N trung điểm BO, xác định I  SD  AMN  Cm: SI  ID Bài 43: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình thang(AD//BC) Điểm M di động bên hình thang ABCD Qua M dựng đường thẳng Mx//SA; My//SB a) Tìm N  Mx  SBC , P  My  SAD  b) Chứng minh: MN MP không đổi  SA SB Chưng III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN - QUAN HỆ VNG GĨC Bài 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi O giao d9im63 hai đường thẳng chéo mặt bên ABB'A' Điểm M thuộc OB' Mp(MD'C) cắt BC' I DA' J Chứng minh I, J, M thẳng hàng Bài 2: Cho ứ diện ABCD Gọi M, n trung điểm AB, CD; P, Q hai điểm theo thứ tự thuộc hai cạnh AC, BD cho PA QB Chứng minh M, N, P, Q đồng phẳng  PC QD Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi A', B', C', D' điểm chia đoạn thẳng AB, BC, CD, DA theo tỷ số k Với giá trị k A', B', C', D' đồng phẳng Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', điểm M chia đoạn AD theo tỷ số  , điểm N chia đoạn A'C theo tỷ số  Chứng minh: MN//(BC'D) Bài 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Các điểm M, n chia đoạn thẳng AD' DB theo tỷ số k, k  0, k  1 a) Chứng minh: MN//(A'D'BC) b) Khi k   Chứng minh MN//A'C MN đoạn vng góc chung AD' DB Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mp(P) cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự K, L, M, N Chứng minh: SA SC SB SD    SK SM SL SN Bài 7: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M, N, P, Q R, S trung điểm AB, CD, AC, BD, BC, AD a) Chứng minh MN vng góc với RP, RQ b) Chứng minh AB vng góc với CD 18 _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu Bài 8: Cho tứ diện ABCD có AB  CD, AC  BD, AD  BC, mp(BCD) dựng tam giác PQR cho B, C, D trung điểm cạnh RQ, RP, PQ Chứng minh: đường thẳng AP, AQ, AR vng góc với đôi Bài 9: Cho tứ diện ABCD có AB  CD  a, AC  BD  b, AD  BC  c, giả sử a  b  c Gọi α, β, δ góc giau74 AB CD, AC BD, AD BC Chứng minh: b cosβ  a cosα  c cosδ Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng, tâm O SA  ABCD Gọi K hình chiếu B SC Tìm điểm cách năm điểm S, O, A, K, B Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCd hình chữ nhật với AB  a, AD  2a, SA  ABCD , SA  b Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài 12: Mơt tứ diện gọi tứ diện trực tâm chân ba đường cao hạ từ đỉnh trùng với trực tâm mặt đối diện a) Chứng minh mệnh đề sau tương đương: 1 ABCD tứ diện trực tâm 2 AB  CD, AC  BD, AD  BC 3 AB2  CD  AC2  BD  AD2  BC2 b) Chứng minh tứ diện trực tâm bốn đường cao đồng quy điểm(gọi trực tâm tứ diện) Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, tâm O Cạnh bên SA  a SA  ABCD a) Gọi I trung điểm SD Chứng minh AI  SCD  b) Điểm M di động SD Chứng minh hình chiếu O CM thuộc đường tròn cố định Bài 14: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy tam giác cạnh a Đường chéo BC' mặt bên BCC'B' hợp với mặt bên ABB'A' góc 300 AA'  ABC ; M, N trung điểm AC BB' a) Tính độ dài đoạn AA' b) Tính góc MN mp(BA'C') Bài 15: Cho tứ diện ABCD có  BCD đều, gọi BH đường cao  BCD O trung điểm BH AO  BCD  , AO  BH  2a, OH lấy I cho BI  x, 0  x  2a  , mp α  qua I vng góc với OH Dựng tính diện tích thiết diện tứ diện tạo α  Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh a, SO  (ABCD) SO  a , mp(P) qua A vng góc với SC Xác định tính diện tích thiết diện mp(P) với hình chóp Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCd hình vng cạnh a SA vng góc với đáy, SA  a 19 _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu Kẻ AH vng góc với SB a) Chứng minh: SH  SB b) Mp(P) qua A vng góc với SB cắt SC M Tìm thiết diện hình chóp cắt mp(P) tính diện tích thiết diện Bài 18: Trong mp α  cho đường trịn đường kính AB M thuộc đường trịn (M khơng trùng A, B) Trên đường thẳng vng góc với mp α  A lấy điểm S Gọi D, E hình chiếu A lên SB, SM Chứng minh: ADE   SBM  Tìm vị trí M để SOM   SAB Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a SA  (ABCD), SA  2a Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD tạo mp(P) trường hợp sau: a) (P) qua tâm O đáy trung điểm M SD đồng thời vng góc với mp(ABCD) b) (P) qua A trung điểm N CD đồng thời vng góc với mp(SBC) Bài 20: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 600 Mp(P) chứa AB tạo với mặt đáy góc 300 Xác định thiết diện hình chóp cắt mp(P) tính diện tích thiết diện Bài 21: Cho hình chóp S.ABC có cạnh A, gọi O tâm đáy SO  a 3 Gọi I trung điểm BC K hình chiếu O lên SI a) Tính khoảng cách từ O đến SA b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC) Bài 22: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB  a, AC  2a, AA'  2a góc BAC 1200 Gọi M trung điểm cạnh CC' Chứng minh MB vng góc với MA' tính khoảng cách từ A đến mp(A'BM) Bài 23: Cho tam giác ABC cạnh a Trên hai tia Bx, Cy chiều vng góc với mp(ABC) lấy hai điểm M, N cho BM  a, CN  2a Tính khoảng cách từ C đến mp(AMN) Bài 24: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B AC  2a Cạnh bên SA vng góc với mp(ABC), SA  a Gọi O trung điểm AC a) Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) b) Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC) Bài 25: Cho tam giác ABC vuông A, cạnh AB  a, BC  2a Lấy H thuộc AC cho CH  a Trên đường thẳng vng góc với mp(ABC) H lấy điểm S cho góc CSA 900 a) Các mặt của hình chóp S.ABC hình gí ? 20 _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu b) Gọi I, J tung điểm BC, SA Tính độ dài IJ Bài 26: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, mặt bên SAB tam giác cạnh a SAB  ABCD a) Chứng minh tam giác SCD cân b) Tính số đo góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) c) Xác định tính đoạn vng góc chung AB SC Bài 27: Cho mp(P)//mp(Q), (P) cho tam giác ABC có cạnh 3a, điểm M thuộc (Q) cho MA  MB  MC  2a Tính khoảng cách hai mặt phẳng (P) (Q) Bài 28: Cho tứ diện ABCD; gọi M, N trung điểm AB CD Chứng minh: MN đoạn vng góc chung AB CD AC  BD AD  BC Bài 29: Cho hai đường thẳng a b chéo nhau, a  b , nhận AB làm đoạn góc chung Lấy C  a, D  b thỏa CD  2d không đổi a) Chứng minh: AC2  BD , AD  BC góc hai đường thẳng AB CD khơng đổi b) Tìm quỹ tích trung điểm CD Bài 30: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Lấy M  AD', N  BD cho AM  DN  x, 0  x  a  a) Tìm x để đoạn MN có độ dài ngắn b) Khi MN có độ dài ngắn nhất, chứng tỏ MN đường vng góc chung hai đường thẳng AD' DB, chưng minh MM//A'C Bài 31: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi I điểm thuộc cạnh AB đặt AI  x, 0  x  a    a) Chứng minh x   15 a góc DA AC' 600 b) Xác định tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt mp(B'DI) Tìm x để diện tích nhỏ c) Tính khoảng cách từ C đến mp(B'DI) BÀI TẬP CUỐI NĂM Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang có đay lớn AB  2a, AD  CD  a Mặt bên (SAB) tam giác Gọi M thuộc AD cho AM  x, 0  x  a  mp α  qua M song song với cạnh SA, SB, cắt cạnh BC, SC, SD N, P, Q a) Nêu rõ cách xác định thiết diện MNPQ α  hình chóp cho b) Chứng minh thiết diện hình thang cân tính diện tích 21 _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu c) Gọi I  MQ  NP , chứng minh điểm M di động đoạn AD I ln di động đường thẳng cố định Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCd hình vng cạnh a, tất cạnh bên a Gọi điểm M thuộc SD cho SD  3SM, điểm G trọng tâm tam giác BCD a) Chứng minh MG//(SBC) b) Gọi α  mặt phẳng chứa MG song song vơi CD Tìm tính diện tích thiết diện hình chóp với mp α  c) Xác định P  MA, Q  BD cho PQ//SC Tính PQ theo a Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCd hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA  a a) Chứng minh mặt bên hình chóp hình vng b) Tính góc hai đường thẳng AB SC c) Xác định đoạn vng góc chung tính khoảng cach hai đường thẳng SC BD Bài 4: Cho hình vng ABCD cạnh a Trên đường thẳng vng góc với mp(ABCD) A, lấy điểm S cho SA  a a) Chứng minh tam giác SBC SCD tam giác vng b) Tính số đo góc hai mặt phẳng (ABD) (SBC) c) Trên cạnh AB lấy M Mp(P) qua M vng góc với AB cắt CD, SC, SB N, P, Q Tứ giác MNPQ hình ? Đặt AM  x tính diện tích tứ giác MNPQ theo a x Bài 5: Cho tam giác SAD hình vng ABCD cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc Gọi I trung điểm AD, M trung điểm AB F trung điểm SB; K  CM  BI a) Chứng minh mp(CMF)  mp(SBI) b) Tính BK, KF suy  BFK cân c) Dựng tính độ dài đoạn vng góc chung AB SD d) Tính khoảng cách hai đường thẳng CM SA Bài 6: Trong mp(P) cho hình vng ABCD cạnh a Trên cạnh AD lấy điểm M đặt AM  x 0  x  a  Từ A dựng nửa đường thẳng Ax vng góc với (P) Trên Ax lấy điểm S a) Chứng minh SAB  SBC  b) Tính khoảng cách từ M đến mp(SAC) theo x c) Gọi I trung điểm SC H hình chiếu I CM Chứng minh M di động AD S chạy Ax tập hợp điểm H cung tròn cố định Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a tâm O, góc BAD 600, 22 _ Tài liệu sưu tầm-Lương Anh Nhật, học sinh trường THPT Nguyễn Hữu Cầu SA  SB  SC  a 13 Gọi E trung điểm BC a) Chứng minh: SD  ABCD SDE   SBC  b) Tính khoảng cách từ O A đến (SBC) c) Mp(P) qua AD vng góc với (SBC) Xác định thiết diện hình chóp với (P) d) Tính góc mp(P) mp(ABCD) Bài 8: Cho tam giác ABC vuông A AB  c, AC  b Mp(P) qua BC vng góc với mp(ABC); S điểm di động (P) cho S.ABC hình chóp có hai mặt bên (SAB), (SAC) hợp với đáy ABC hai góc có số đo α π  α Gọi H, I, J hình chiếu vng góc S BC, AB AC a) Chứng minh rằng: SH  HI.HJ b) Tìm giá trị lớn SH tìm giá trị α Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa hình lục giác cạnh a SA  ABCD , SA  a Dựng đường vng góc cạnh SC BD Tính độ dài đoạn vng góc chung 23 _ ... chọn ? Bài 11: Cho hai đường thẳng song song d1 d2 Trên d1 lấy 15 điểm, d2 lấy điểm Hỏi có tam giác tạo thành ba điểm từ điểm lấy ? Bài 12: Đội tuyển HSG có học sinh khối 12, học sinh khối 11 học... Bài Cho số gồm chín chữ số gồm năm chữ số bốn chữ số cịn lại 2, 3, 4, 5.Có cách xếp nếu: a) Năm chữ số xếp kề b) Năm chữ số xếp tùy ý Bài 2: Từ chữ số 0, 1, 3, 5, Lập số chữ số chia hết chọ Bài. .. chữ số d) Phải có mặt hai chữ số Bài 4: Từ số 1,2,3,4,5,6,7 lập số có chữ số nhỏ 276 ? Bài 5: Tính tổng số có chữ số phân biệt thành lập từ số sau: 3,4,5,6,7 Bài 6: Với số 0,1,2,3,4,5 lập số