Các dạng thiết diện theo cách xác định mặt phẳng 1.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thẳng hàng 2.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và song song với một đường thẳng cho trước 3.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với hai đường thẳng cho trước. 4.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước. 5.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng và vuông góc một đường thẳng cho trước. 6.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng.
Trang 1Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Các dạng thiệt diện theo cách xác định mặt phăng:
1.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thắng hàng 2.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) chứa một đường thăng và song song với một đường thăng cho trước
3.Thiết diện của hình chóp với mặt phăng (P) qua một điểm và song song với hai đường thăng cho trước
4.Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với một mặt phẳng cho trước
5.Thiết diện của hình chóp với mặt phăng (?) chứa một đường thăng và vuông góc một đường thắng cho trước
6.Thiết diện của hình chóp với mặt phăng (P) qua một điểm và vuông góc với một mặt phẳng Dạng 1: Thiết diện cúa hình chóp với mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thắng hàng Phương pháp: Bước 1: Từ hai điểm chung có sẵn, xác định giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng (P) với một mặt của hình chóp
Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được các điểm chung mới của (?) với các mặt khác Từ đó xác định được giao tuyến với các mặt này
Bước 3: Tiếp tục như trên tới khi các đoạn giao tuyến tạo thành một đa giác phăng khép kín ta được thiết diện
Bươc 4: Dựng thiết diện và kết luận
Trang 2Dạng 2:Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P) ((P) chứa một đường thẳng a song song với một đường thăng ở cho trước (a và chéo nhau))
Phương pháp:
Bước 1: Chỉ ra 2 mp (P) va (Q) lần lượt chứa hai đường thăng song song a và b Bước 2: Tìm một điểm chung Ä⁄ của hai mặt phẳng ( có thể dựng thêm các đường phụ)
Bước 3: Khi đó:(P)=(@) = Mi a(7b
Bước 4: Sử dụng các cách tìm thiết diện đã biết ta tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với
các mặt còn lại của hình chóp
Bước 5: Dựng thiết diện và kết luận
Ví dụ 2:_Cho hình chép S.ABCD, ABCD là hình bình hành, X là trung điểm cua SC, (P)
la mat phang qua AM va song song BD Tim thiét di¢n của hình chóp khi cắt (P) Giải: Ta có: BD (P), BD c(SBD) Goi O la tam cua hinh binh hanh ABCD Gọi I= SOm AM Khi đó (P)=¬(SBD) = x / BD Ix cat SB tai K, cat SD tai N Do đó: (P)¬(SBC) = MK (P)A(SCD) = MN (P) (SAB) = AK (P)a(SAD) = AN \ Vậy thiết diện là tứ giác KMNA c
Dang 3:Thiết diện cúa hình chóp với mặt phẳng (P) qua một điểm và song song với hai đường thắng cho trước:
Phương pháp:
Bước 1: Tìm điêm M e (7) ñ (@)
Bước 2: Chỉ ra mp (P)/7 a( hoặc »)C (Ó) Suy ra giao tuyến (P) và (Ó) là đường thắng qua M va song song a( hoặc b )
Bước 3: Tiếp tục tìm giao tuyến của các mặt khác của hình chóp với (P) bằng các cách đã biết
Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận
Vi du 3: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD 1a hinh thang ( AD song song BC ), Mla diém bat ki thudc AB va (@) 1a mat phang qua M va song song voi AD va SB
Trang 3Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Ta có: M e(z)(4BCD) (Z) song song với 4D nên: (#)S(4BCD)= M7 AD Gọi M= MvSCD (a) song song voi SB nén: (a) A(SAB) = MP 1) SB Tương ty ta c6: (@) (SAD) = Px (/ AD Goi K = Px ASD (a) A(SCD) = KN Vay thiét dién 1a hinh thang MNKP Cc Dang 4:Thiét diện cúa hình chóp với mặt phẳng (P) đi qua một điểm và song song với một mặt phắng cho trước
Phương pháp: -
Bước 1: Tìm điêm chung M của hai mặt phang (P) va mot mat phang nào đó của hình chóp
Bước 2: Chỉ ra (P) ⁄(O)
Tìm z=(P)n(R)_ ®=(Ø)(R)) Khi đó giao tuyến là đường thắng qua M
song song với (hoặc b)
Bước 3: Dựng thiệt diện và kết luận
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.4B8CD, 4BC?D là hình thang, cạnh đáy 4B, CD < 4B (a) là mặt phẳng qua 1 trên cạnh AB và song song với mặt phẳng (S47)
Trang 4Dạng 5: Thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thang cho trước Giả sử cần xác định thiết diện của một hình chóp cắt bởi mặt phăng (7) đi qua một điểm M va vuông góc với đ cho trước
Phương pháp chung:
Bước l1: Tìm hai đường thang a va b
cắt nhau cùng vuông góc với đ ( trong đó ít nhất một đường thăng đi qua điểm 1)
Bước 2: Khi đó (P)/ (a,))
Bước 3: Tìm giao tuyến của (P) với hình chóp bằng các cách đã biết Bước 4: Dựng thiết diện và kết luận
Chú ý: Nếu đã có sẵn 2 đường thắng cắt nhau hoặc chéo nhau mà cùng vuông góc với d thì ta chọn () song song với a (hay cha a) va b song song voi (P) (hay chira b) Roi thực hiện các bước còn lại
Ví dụ 5 : Cho hình chóp S.48CD, 4BCD là hình chữ nhật, $4 vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Goi (a) la mặt phang qua A va vung goc voi SB Xác định thiết diện khi (a) cat hinh chdp (S.ABCD) Giải: Ta có: AD L AB s AD 1 SA => ADILSB Từ 44 kẽ đường thăng vuông góc voi SB tai H Do đó (z)=(HAD) Khi đó: (z)¬(S4B)= AH (z)¬(S4D)= AD (a) (ABCD) = Do (a@)> AD BC Nén (a) (SBC) = Hx 7 BC Goi I = Hx ASC Khi d6 (a) (SBC) = HI
Vay thiết điện cần tìm là hình thang AHID
Dạng 6: Thết diện chứa một : đường thắng a và vuông góc với một mặt phẳng Bước 1: Chọn 7 điểm 4 nằm trên đường thắng z sao cho qua 4 có thê dựng được đường thắng b vuông góc với mp (a ) một cách dễ nhất
= AD 1 (S4B)
Bước 2: Khi đó, mp (a,b) chính là mp (z) cần dựng
Bước 3: Tìm giao tuyến của (z) với hình chóp bằng các cách đã biết
Trang 5Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD Gọi (P) là mặt phăng qua | và vuông góc với mặt (SBC) Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phăng (P) Giải: S _ IJ LAB "` Từ I kẻ đường thắng vuông góc với SB tại K Do đó (P)=(K) Ta có (P)¬(S4B)= K (P)n ne) Ụ (P)¬ 1 Ø BC>(P)n(SBC)= KN J BC (P)n(SCP) = Nĩ Vậy giao tuyến là hình thang KN , , c
Chi ý: Việc tìm thiết diên của mặt phăng (øz) với hình lăng trụ được tien hành tương tự như đối với hình chóp Nhưng chú ý rằng hình lăng trụ có 2 mặt đáy song song nhau, nếu
(z) cắt 1 mat đáy nào thì cuãng cắt mặt day con lai theo giao tuyén song song voi giao
tuyén vừa tìm được - „
Trang 6Những khó khăn cơ bản khi giái toán thiết diện và biên pháp khắc phục
3% Tìm thiết diện của một hình nào đó cắt bởi mặt phẳng, nào đó chẳng hạn tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phăng P: là ta tìm các giao tuyến của mặt phăng (P) với các mặt của hình chóp Các “đoạn giao tuyến” liên tiếp tạo ra khi cắt các mặt của hình chóp bởi mặt phẳng (P) hình thành một đa giác phẳng, ta gọi hình đa giác đó là thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P) với hình chóp
Như vậy, thực chất bài toán tìm thiết diện chính là bài toán tìm các giao điểm của mặt phẳng (7) với các cạnh của hình chóp và tìm các đoạn giao tuyến của mặt phăng (7) với các mặt của hình chóp
Từ đó ta có thể thấy những khó khăn trong khi giải bài toán về thiết diện phần lớn bắt nguồn từ những khó trong việc tìm “giao điểm (của mặt phẳng và các cạnh của hình chóp được cắt bởi mặt phẳng) cũng như xác định các “đoạn giao tuyến”(của mặt phẳng và các mặt của hình được cắt bởi mặt phẳng)
3 Ta sẽ lần lượt chỉ ra những khó khăn đó, nhưng một khó khăn đầu tiên mà ta có thé bắt gặp trong giải toán thiết diện là làm sao có một hình vẽ thuận lợi cho việc giải toán, vì hình học không gian (HHKG) đòi hỏi sự tư duy trừu tượng cao mà thiết diện là một vấn đề tương đối phức tạp của HHKG, do vậy một hình vẽ thích hợp sẽ tăng khả năng tư duy của chúng ta
1 Những khó khăn trong việc vẽ hình không gian và việc tìm lời giải dựa nhiều vào trực giác, thiếu cơ sở từ các định lý hay hệ quá dẫn lời giải sai:
Hình vẽ chưa thê hiện hết giả thiết bài toán, hình vẽ sai gây nên sự bề tắc trong việc tìm lời giải, hay trực giác không chính xác dẫn tới bài giải sai
Một số học sinh chịu ảnh hưởng quá nặng của hình học phăng do vậy khi vẽ hình trong HHKG lại tuân thủ một cách máy móc về độ dài, diện tích, góc điều này sẽ làm cho các
em bị bề tắt khi giải toán HHKG
Ví dụ 0: khi vẽ một hình chóp S.ABCD cé day ABCD là một hình vuông thì các em mặc nhiên vẽ hình chóp có đáy 4BC?D là hình vuông và có đỉnh là
S
Rõ ràng hình vẽ thỏa yêu cầu bài toán nhưng việc vẽ hình như s vậy sẽ gặp nhiều khó khăn trong khi giải bài toán
- _ Thứ nhất: hình vẽ có nhiều đường khuất mà ta có thể
hạn chế được Điều này gây nhiều khó khăn khi giải
những bài toán phức tạp
- _ Thứ hai: cạnh 47D là nét khuất nhưng chưa được thể hiện trên hình vẽ
-_ Thứ ba: giao diện mat bén (SAD) qua nho, điều này
gây, nhiều khó khăn trong việc giải những bài toán mà ta cần kẻ thêm những đường thắng nằm trong mặt phăng đó
- _ Thứ tư: đa giác đáy là hình vuông thì được học sinh thé
hiện hồn là một hình vng như bên hình học phẳng
Nếu để bài yêu cầu thêm là mặt phăng ( S47) vuông
Trang 7Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
góc với mặt phăng đáy thì học sinh khó mà vẽ được hình đúng như ý mình Ngoài ra, việc thể hiện những hình vẽ như vậy còn làm cho học sinh mat nhiều thời gian cho việc vẽ hình
Vi du 1:
Cho hình lập phương 48CD.4'8'C'D' Dựng thiết diện của hình lập phương với một mặt phẳng di qua trung điểm Ä⁄ của cạnh DD', trung điểm W của cạnh D'"C' và đỉnh 4
Học sinh giải bài toán như sau: ,
Do hai mặt bén (BB'A'A) va (CC'D'D) song song với C B’
nhau nên giao tuyến của hai mặt này với mặt phẳng
(4N) cũng phải song song với nhau Do đó
(AMN)O(4A4'8'8) = AB", AB’ 1] MN D' (AMN)S(4A'D'D)= AM
(AMN)O(4'8'C'D')=B'N M
Vậy thiết điện cần tìm chính là hinh AMNB' Phân tích sai lầm:
Học sinh đã biết được giao tuyến của mặt phẳng
(AMN) va mat phing (BB'4'A) là đường thang di D
qua 4 và song song với MN Trực giác cho thấy giao tuyến đó là đường thang AB’ Điều này chưa đúng vì chưa có cơ sở chứng minh 4' //MN Giải Ta có: (4MN)a(44'D'D)= AM Trong mat phang (AA'D'D) dung AM cat A'D'tai P (AMN)A(4'B'C'D')= PN Trong mặt phăng (4'8'C'D') ta nhận thay P,M,B' thắng hàng thật vậy, F Ta có: MD' => 1 PD AA 2 PA 2 Ta lại có DN = 1 A'B’ 1 tir do suy ra PN diqua B’ va = PB' (AMN) A(CC'D'D) = MN (AMN)S(AA'B'B) = AB' D A
Vậy thiết diện cần tìm chính là hình 4N"
Đối với bài toán tìm thiết diện thì hình vẽ là rất quan trọng
Trang 8'Vẽ hình không thể hiện hết giả thiết hoặc vẽ hình sai Do bước đầu tiếp xúc với hình học không gian đòi hỏi trừu tượng và tư duy cao, không thường xuyên luyện tập vẽ
hình
Không nắm vững được những khái niêm do dó không thể hiện hết giả thiết dẫn đến không đủ dữ kiện đề giải quyết bài toán Các khái niệm HS không nắm vững hoặc hiểu nhằm, ví dụ: “ tứ diện đều”, “ hình chóp có đáy là tam giác đều”, “ hình chóp đều”, “hình lăng trụ đều”(hình lăng trụ đứng và có đáy là đa giác đều, các mặt bên là hình chữ nhật )
» Biện pháp khắc phục: giúp học sinh nắm vững những quy tắc vẽ hình trong không gian, rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình trong không gian như: hình chóp( hình chóp tứ giác đêu, hình chóp có đáy là hình vuông, ), hình lăng trụ, hình hộp Giúp học sinh nắm vững khái niệm về các hình trong không gian dé có cách vẽ hình chính xác Các quy tắc cơ bản khi vẽ hình trong không gian:
- Dùng nét ( _ ) để biểu diễn cho những đường nhìn thay - Dung nét ( -) để biểu diễn những đường khuất
- Hai đường thắng song song ( cắt nhau ) được biểu diễn thành hai đường thang song song ( cắt nhau )
- Hình biểu diễn của hình thang là hình thang
- Hình biểu diễn của hình thoi, hình chữ nhật, hình bình hành, hình vuông là hình bình hành
- Một tam giác 4BC có thể xem là hình biểu diễn của một tam giác bắt kì
Chú ý: vẽ hình không gian đúng quy tắc là chưa đủ mà còn phải đảm bảo thật có 8 gi cho việc quan sát trực giác, điều này giúp ta đễ tìm ra lời giải cho bài toán
Khả năng tư duy trừu tượng kém tạo ra những khó khăn về trực giác Khi giải một số bài tập HS thường mắc phải các sai lầm do quan sát trực quan tạo ra
2 Khó khăn trong việc tìm ra một lời giải từ giả thiết „ Học sinh thường rơi vào bê tắc không biệt bắt đâu từ đâu cho một bài toán tìm thiệt diện
Ví dụ 2: Cho hinh chép S.ABCD cé day ABCD là hình vuông, Ss
SA 1 (ABCD) Goi (a) 1a mat phang qua A va vuông góc với S8
Hãy xác định thiết diện của hình chóp với mat phang (a)
Trong bài toán này học sinh thường rơi vào bế tắc, không biệt bắt đâu lời giải từ đâu, do
không thấy được hình biểu diễn của mặt phăng (a) Nguyên nhân:
Do học sinh chưa nắm được phương pháp chung để giải các dạng bài tập tìm thiết diện
iải
Trang 9Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm _ADLSA "ADL AB do đó 4D 1 (SAB) suyra AD 1 SB (1) mat khac AM 1 SB (2) từ (1) và (2) suy ra (ADM) 1 SB vay (ADM) =(a) AD c(a) BC c(SBC) AD ( BC M e(a) (SBC) Mt) BC, Mt 7) AD Mt cat SC tai N (z)¬(S4B)= AM (z)(SDC)= DN Vậy thiết điện cần tìm là tứ giác 4N D > Biên pháp khắc phục:
- Hình thành cho học sinh phương pháp chung nhất đề giải bài toán tìm thiết diện: Tìm giao tuyến giữa | mặt phăng với các mặt của hình chóp hay hình lăng trụ Từ đó suy ra các đoạn giao tuyến Nối các đoạn giao tuyến ta được đa giác phẳng, đó chính là thiết diện cần tìm
Phân loại các dạng bài tập tìm thiệt diện, giúp học sinh biệt được cách giải với từng dạng, bài toán đề cho (phần này được trình bài ở mục 1)
- Như đã nói ở trên nguồn gốc của những khó khăn trong giải toán thiết điện được xuất phát phần lớn ở những khó khăn về tìm “ “giao điểm” cũng như xác định “đoạn giao
tuyến” Mà việc xác định “đoạn giao tuyên” hoặc là ta đã có hoặc nêu không có săn thì xác định đoạn giao tuyên băng cách tìm các giao điêm là phô biên (tuy nhiên còn có
phương pháp khác sẽ nêu ra sau) - „ „
- Như vậy quy cho cùng vân đê tìm “giao điêm” là cốt lõi trong bài toán thiệt diện Vậy làm sao đê tìm được “giao điêm” chăng hạn là giao điêm của hình chóp cắt bởi mặt phăng nào đó Khó khăn bắt đầu từ đây mà nguyên nhân chủ yếu là các em học sinh không nắm vững phương pháp dẫn đến sai lầm Ta có ta CÓ: => Mt =(a)A(SBC) Có thê nêu ra hai phương pháp tìm giao điểm của một đường thắng và một đường thang: Cách 1:
Dé tim giao điểm của đường thang a va mat phang (P) ta di tim giao diém cua đường thắng z và một đường thăng b nam trong mat phang (P)
Mai ) =ao(P)=1
anb=I
Trang 10Dé tim giao điểm của đường thắng a và mặt phăng (P) ta chọn mặt phăng phụ (@) chứa a, sau đó xác định giao tuyến b của hai mặt phăng (P) và (Q) Khi đó giao điểm cần tìm là giao điềm của hai đường thắng a va b
ac(Q)
(P)¬(Ø)=»=>ano(P)=1 anb=I
Chi ý: ở cách 2 khi tìm giao điểm 7 ta cần xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) Việc xác định giao tuyến của hai mặt phăng thường là ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó Nhưng đôi khi việc xác định như vậy lại gặp những khó khăn và từ đó dẫn đến những khó khăn cho bài toán tìm thiết diện
Ta có một cách khác tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:
Ta tìm một điểm chung của hai mặt phăng Nếu hai mặt phẳng đó lần lượt chứa hai đường thắng song song nhau Giao tuyến là đường thắng qua điểm chung và song song với hai đường thắng đó
Một ví dụ mình họa:
Trang 11Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Goi I[=AM ASO
Ma AM C(S4P)
Vay ta suy ra J = AM (SBD)
Trén mp(SBD), goi J = BI ASD
Khi do trén mp(SCD), goi K = JM ASC Vay tir giac ABKJ la thiet dién can tim
Ví dụ 2.2 : Cho tứ diện 4BCD Gọi M và N lần lượt là các điểm nằm trên cdc canh BC va
CD sao cho BM = 2MC và CN = 2ND Gọi P là trung điểm 4D Xác định thiết diện của
hình chóp khi cat boi mp(MNP) Giải: Cc Vi BM = 2MC va CN = 2ND nén MN khong song song voi BD, do d6 BD va MN cat nhau tại E
Trén mp(ABD), PE cit AB tai Q, khi đó: MN,NP,PO,OM lần lượt là các đoạn giao tuyến
khi cắt các mặt của tứ diện bằng mp(MNP)
Vay tir giac MNPO Ia thiét dién cần tìm
3 Những khó khăn do không hiếu kỹ các định lý, hệ quá dẫn đến những kết luận sai
- Sử dụng các định lý, hệ quả một cách chủ quan dựa trên trực giác và những ý nghĩ ở hình học phăng, chang han HS thường cho rang trong không gian có định lý sau: “hai đường thang cùng vuông góc với một đường thắng thì song song với nhau”, “ hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau”, hoặc các định lý, hệ quả mà HS thường hiểu nhằm:
+ Một đường thắng song song với một mặt phẳng thì song song với mọi đường thăng nằm trong mặt phăng đó
+ Hai mặt phăng cắt nhau theo một giao tuyến, đường thắng nào nằm trong một mặt phẳng mà vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia
Trang 12+ Luôn có thể dựng được một mặt phăng đi qua 4 điểm phân biệt
Ví dụ 3:
Cho tứ diện S48C có tam giác 48C đều, SA (ABC) Lay một điểm M bat kỳ
trên cạnh %C G ọi (a) là mặt phăng qua M và vuông góc với 4
học sinh giải như sau:
S4.L(48C)= S4 L AB
(a) AB
Suy ra (a) SA
Trong mat phang (SAC) „
kẽ đường thăng qua M⁄ và song song với 5⁄4 cắt 4C tại @ Gọi 7 là trung điêm 4Ö, khi đó: 48 L C7
Trang 13Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Pe(z)S(S4B) suy ra PN =(z)(S4B) với PN (%4, PN cat SB tai N
MN =(a) (SBC)
Vậy thiết điện cần tim Ia tir giac MNPO >» Nguyén nhan:
- Hinh hoc không gian khá trừu tượng nên việc nắm kỹ các định lý rất khó khăn, và trực giác không mang lại kết quả như hình học phẳng mà đôi khi còn đánh lừa người giải toán khi ho thé hiện sai trên hình vẽ
- HS còn dựa nhiều vào những kiến thưc ở hình học phăng, thản nhiên áp dụng một cách tùy ý bằng cách suy diễn từ hình học phăng sang hình học không gian
> Khắc phục:
- Giúp HS năm vững các định lý trong SGK bằng cách vận dụng vào giải các bài tập Việc vận dụng các định lý, hệ quả vào các bài giải phải hiệu đó là định lý, hệ quả nào thuộc quan hệ song song hay quan hệ vuông góc, phát biểu chính xác hệ quả định lý đó
- Vẽ hình rõ ràng nhằm tận dụng hết giả thiết, điều này rất có lợi để áp dụng các định lý
- Phân dạng các bài tập về thiết diện Mỗi dạng thường vận dụng những định lý, hệ quả nao,
4 Khó khăn do hiểu nhầm các khái niệm, dẫn tới bế tắc hoặc có một lời giải sai Các khái niệm mà học sinh không nắm vững có thé dẫn tới việc thể hiện thiếu đữ kiện của bài toán, hoặc đưa ra những khái niệm sai
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD và các mặt bên hợp với đáy 1 góc ø Hãy xác định thiêt diện tạo nên bởi mặt phăng phân giác của góc nhị diện cạnh 8C với các
mặt bên của hình chóp ¬
Phân tích: trực giác cho HS thây rắng mặt phăng phân giác của góc nhị diện cạnh 8Œ phải chứa hai đường phân giác của góc SBA và SCD
S HS tiến hành giải như sau:
Trong mp (SAB) ta dung duong phan giac BM của góc SBA cit SA tai M
Ta 06: (2) (SAB) = BM
Trong mat phang (SAD) dung duong phân giác góc SCD cat SD tai N
(a) (SCD) =CN
(z)¬(S4D)= MN (z)¬(4BCD)= BC
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác 8CNA
Nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó: do học sinh không hiểu mặt phăng phân giác của góc nhị diện là gì, định nghĩa
góc giữa hai mặt phăng
Trang 14
Giải:
Gọi (P) là mặt phẳng phân giác của góc nhị diện cạnh 8C ,(P)_ đi qua 8C
(a@)A(ABCD) = BC
Dựng trung điểm 7, J của cạnh 8C và 8D Ta có: %7 L 8C ( do tam giác SBC can tai S )
IJ L BC
Do đó Si chinh la góc phăng nhị diện canh BC
Dựng phân giác /K của góc S/7 cắt % tại K
Vậy (P)=(BC,IK)
Ta có: 8C 4D, BC c(P), ADc(S4D) K e(P)A(SAD)
Do đó MN =(P) (SAD)
MN 7 AD, MN /7 BC với MN đi qua K va cắt
SA, SD lan luot tai M va N
MB =(P)(SAB)
NC =(P)A(SCD) B A
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác #CNM -
> Nguyên nhân: không năm các khái niệm,các định nghĩa, dựa vào quan sát trực giác đê hình thành khái niệm trên cơ sở của hình học phăng
Khắc phục:
- Giúp học sinh nắm vững các khái niệm, các định nghĩa chăng hạn: góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thăng và mặt phẳng, hai mặt phẳng song song, đường thắng song song với mặt phẳng
- Hình thành cho học sinh phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng, góc giữa đường thăng và mặt phang, cách chứng minh hai mat phẳng song song,
4 CAC KY NANG CAN REN LUYEN CHO HOC SINH TRONG QuA TRINH
GIAI CAC BAI TOAN THIET DIEN
a) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vẽ hình đúng và chính xác, giúp cho các em năng cao khả năng tư duy tưởng tượng trong hình học không gian chẳng hạn như các ví du sau:
Trang 15Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
- Nếu đáy là hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông: Ss - _ Nếu đáy là hình thang: B c
Hay cho các em biết là thiết điện của một tứ diện không thể là ngũ giác, vì tứ điện chỉ có
bốn mặt, thiết diện của tứ diện cũng không nhất thiết là tứ giác
Ví dụ 1: Chang hạn ở ví dụ 2, 4 mà ta xét sau đây
b) Nâng cao kỹ năng giải bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Thực chất của bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng là tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng, khi đó giao tuyến chính là đường thắng đi qua hai điển chung đó Chú ý giúp học sinh hiểu được định lý : “Nếu một đường thang di qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thi mọi điểm của đường thắng đều nằm trong mặt phẳng đó ”
Trang 16+ Trường hợp: đề đã cho sẵn hai điểm chung của hai mặt phẳng khi đó ta chỉ cần dựng giao tuyến là đường thăng di qua hai điểm do
+ Trường hợp đề chỉ cho một điểm chung của hai mặt phẳng ta có hai cách tìm giao tuyến như sau:
cách 1: dựng thêm một điềm chung khác nữa bằng cách kéo dài các đường thắng cắt nhau thuộc hai mặt phẳng đó
Ví dụ 2: Cho tứ diện 4BCD Gọi M, N, K lần lượt là 3 điểm bat ki trén AB, AD va BC sao cho Ä⁄N không song song với 8D Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phăng (MNK) Giải: Ta có: A (MNK) (ABC) = MK (MNK) (ABD) = MN
Trong mat phang (ABD) dung MN cắt BD tại 7
ta được (MNK)(ABC)= IK, IK cắt DC tại P
(MNK)¬(ADC)= NP
Vậy thiết dién can tim la tir gidc MNPK
c
Cách 2: từ một điểm chung đã có ta sử dụng các định lý về quan hệ song song để tìm quan hệ giữa giao tuyén với đường thăng đã có mà ta có thể dựng được đường giao tuyén d6 Chang han str dung hé qua: “néu hai mat phẳng chứa hai đường thẳng song song cat nhau theo mét giao tuyén thi giao tuyén đó song song với hai đường thắng đó ” Ví dụ 3: Cho hình chóp S.48CD đáy 4BCD là hình bình hành Gọi 7,J lầm lượt là
trọng tâm của tam giác AS4Ö và tam giác AS4/ M⁄ là trung điểm CD Xác định thiết
diện của hình chóp với mặt phẳng (7M )
SJ_ SI _ 2
Trong mặt phẳng (SUN) ta có “~=*>—=“ do đó 1J 2LN
làng s{ ) JL IN 3
Trang 17Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
C(JIM).NL C(ABCPD) Me(JIM)(ABCP)
Suy ra M e(JIM )=(.ABCD)
Mt cat AD,BC lần lượt tại 7 và W ta được: MW e(JIM)(ABCD) TJ = (JIM) (SAD) Trong mặt phăng (S47) dựng J7 cat SA, S lần luot tai U va V UI =(JIM) (SAB), Trong mat phang (SAB) dung U/ cat SBtai X c Ta có XW =(JIM)c(SBC)
MỸ =(JIM)(SCD), vậy thiết điện cần tìm là ngũ giác UYMWX
c) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng có phương pháp giải từng dạng toán trong bài toản thiết điện (trình bày ở mục 1)
4) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân tích và dự đoán được các trường hợp có thể xay ra của yêu cẩu bài toán trong giải bài toán thiết diện
Yí dụ 4: Cho tứ diện ABCD Goi H, K lần lượt là trung điểm các cạnh 4C, 8C Trong tam giác BCD lây điểm Á sao cho hai đường thắng KM và CD cắt nhau Tìm thiết diện của tứ
diện với mat phang (HK) A
Giai
Gọi P= KM CD Ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: Điễm P thuộc đoạn CD
Khi đó ta được:
(HKM)(BCD) = KP
(HKM)¬(4CD) = HP
Trang 18(HKM) (ABC) = KH
Do do, thiét din can tim la AHKP
Trường hợp 2: diém P & ngoai doan CD Khi đó: Goi T= KMQBD (HKM) 0( ABC) = KH (HKM) (BCD) =KI Trong mat phang (ACD) dung HP cat AD tai N Khi do : (HKM) (ACD) = HN (HKM) (ABD) = NI
Vậy thiết diện là tứ giác KHNI
Ví dụ 5: Cho tứ diện S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh bang a SA =a va vuông góc với mặt phăng (ABC) Gọi M là một điểm tùy ý trên cạnh AC, (øZ) là mặt phăng đi qua M và vuông góc với AC Tùy theo vị trí điểm M trên cạnh AC, có nhận xét gì về thiết
diện tạo bởi (z) với tứ diện S.ABC
Giải
Gọi # là trung điểm của AC, ta có 8E L 4C
Trang 19Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm Me(ø)¬(SAC) Vay (@) (SAC) = Mr 7 SA, Mr cat SC tại N ì Do đó (z)(S4C)= MN Ta có 8E L 4C nên tương tự ta cũng có: (a) (ABC) = Mx 1 BE Mx cat BC tai P Do dé (a) (ABC) = MP (a) (SBC) = NP
Vay thiết diện cần tìm 1a tam giac vung MNP vudng tai M- Trường hợp 2: M thuộc đoạn AE ( trừ điểm #)
Trang 20Như vậy, trong trường hợp này ta được thiết diện là hình thang vuông MNOP ( vuông tại Ä⁄ và N)
3) Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm các đoạn giao tuyén thong qua viéc dung thém cdc chỉ tiết ( điểm, đoạn thắng, mặt phẳng ) trong hình vẽ
Yí dụ 6: Cho hình chóp S4BC?D đáy là hình bình hành tâm O Goi M, N, P lần lượt là
trung diém ctia SB, SD va OC
Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) Giải Ta lần lượt tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng (MNP) Với các mặt của hình chóp Ta có MN /BD mà MN C(MNP), BD (ABCD) nN P (MNP) (ABCD)
Nên (MNP) (ABCD) = Pt voi Pt) MN, Pt 7 BD Trong mat phang (ABCD) dung M
Pt (i BD cat AB,BC,CD lần lượt tại T,L,Q0 Vay (MNP) (ABCD) =LQ Trong mặt phăng (S48) nối KM cất S4 tại M ta được: (MNP) (SAB) = Mi (MNP) (SAD) = K: ( (MNP) (SCD) = N (MNP) A(SBC) =L
Vay thiết diện cần tìm là ngũ giác MKNOL
CAC BAI TOAN VE THIET DIEN
Trang 21Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
Dạng 1:Thiết diện cúa hình chóp và mặt phẳng (P) qua 3 điểm không thắng hàng
Bài 1: Cho hình chóp đỉnh S có đáy là hình thang ABCD với AB là day lon Goi M,N theo thứ tự là trung điêm của các cạnh SB và SC Tìm thiệt diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phăng (AMN)
Bài 2 : Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình bình hành Goi M, N,P, lần lượt là trung điêm SA, BC, CD Dựng thiệt diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phăng (MNP)
Bài 3 : Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC, E là điểm
trên cạnh CD với ED = 3 EC F là điêm trên cạnh BD sao cho EF // BC Tìm thiệt diện tạo bởi mat phang (MNE) va tứ diện ABCD
Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh bên và cạnh đáy đều bang a.Gọi M, N,
P là trung điêm AB, AD va SC
a) Dựng thiết diện tạo bởi mặt phăng (MNP) b)_ Tìm diện tích thết diện
c)_ Chứng minh rằng thiết diện chia hình chóp thành hai phần tương đương ( tức là hai phân có thê tích băng nhau)
Dạng 2 : Thiết diện cúa hình chóp và mặt phẳng (P) qua đường thắng a và son:
song với đường thắng b (a va b chéo nhau)
Bai 1 : Cho tứ diện ABCD Trên các cạnh AB, CD cho lần lượt các điểm M, N Gọi (P) qua MN và song song với AD XÁc định thiệt diện của (P) và tứ diện (ABCD)
Bài 2 : Cho hinh chóp S.ABCD, M, N là hai điểm lay trén cac canh AB va CD Goi (P) là mặt phăng qua MN và song song với SA Tim thiét diện của (P) và hình chop
S.ABCD
Bai 3 : Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là các điểm lấy trên BD và AC, (P) là mặt phang qua MN va song song với AD.Tìm thiết diện của tứ điện và mặt phẳng
-Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung đêm của AB và N là một điểm thuộc BC Gọi (P) là mặt phẳng qua MN và song song với SD Xác định thiết diện của hình chop va mat phang (P)
Dang 3: _Thiét diện cúa hình chóp và mặt phẳng (P) đi qua một điểm và song son
với hai đường thẳng cho trước
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác lồi, O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Xác định thiệt diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phăng đi qua O, song song với AB và SC Thiêt diện đó là hình gì?
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phăng đi qua trung điêm M của cạnh AB song song với BD và SA
Trang 22Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD O là giao điểm của AC và BD,M là trung điêm của SA Tìm thiệt diện của mặt phăng (P) vói hình chóp
S.ABCD nêu (P) qua M và đông thời song song với SC va AD
Dạng 4: Thiết diện cúa hình chóp và mặt phẳng (P) song song với một mặt phẳn:
cho trước:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD với đáy là hình thang ABCD có AD song song với BC, AD =2BC Gọi E là trung điểm AD và O là giao điểm của AC và BE I là một điểm di động trên cạnh AC khác với A va C Qua I, ta vé mat phăng (P) song song với (SBE) Tìm thiết điện tạo bởi (P) và hình chóp S.ABCD
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo, 4C =a, BD = b, tam giác SBD đêu Gọi I là điêm di động trên đoạn AC với
AI =x(0< x< a) Lấy (P) là mặt phắng đi qua I va song song voi mat phang (SBD) a) Xác định thiết diện của mặt phang (P) với hình chóp S.ABCD
b) Tìm diện tích S của thiết diện ở câu a) theo a,b,x Tim x đề S lớn nhất Bài 3: Cho tứ diện đều SABC cạnh A Gọi [ là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI Qua M vẽ mặt phăng (P) song song với (SIC) Tìm thiệt diện tạo bởi ((P) và SABC
Dạng 5: Thiết diện cúa hình chóp và mặt phẳng (P) qua điểm M cho trước và vuôn
góc với đường thăng d cho trước
Bài 1: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến A Lấy A, B thuộc A và
lấy Ce(P),De(@) sao cho 4C L 48,BD L 4B và 4B = AC = BD Xác định thiết
diện của tứ diện ABCD khi cắt bới mặt phăng (@) di qua điểm A và vuông góc với CD
Tính diện tích thiết diện khi 4C = 48 = BD =a
_ Bài 2: Cho tứ diện SABC có đáy là tam giác đều và cạnh SA vuong góc với mặt phẳng ABC Gọi (P) là mặt phẳng qua B và vuông góc với SC Tìm thiết điện của tứ diện SABC cắt bởi mặt phẳng (P)
Bai 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A Cạnh SA vuông góc với mặt phăng (ABCD) Gọi M là một điểm trên cạnh AB và (P) là mặt phẳng qua M vuông góc với AB Tìm thiết diện của hình chop S.ABCD và mặt phăng (P)
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành SA vuông góc với mặt (ABCD) Goi O là giao điêm của AC và BD Mặt phăng (P) là mặt phăng qua O và vuông gôc với AD Xác định thiệt diện của hình chóp S.ABCD và mặt phăng (P)
Bài 5: Cho hình chóp S.ABC, trong đó ABC là tam giác vuông tại A, với
AB =a, 4BC = 60° Canh SC =a va vudng géc với (ABC)
a) Tìm thiết diện qua M e %4 và vuông góc SA b) Dat AM =x Tinh diện tích thiết diện
Trang 23Phương Pháp Giảng Dạy Hình Học Nhóm
c) Vẽ đường biểu diễn diện tích Tìm vị trí của M để thiết điện đạt diện tích lớn nhất
Dạng 6: Thiết diện cúa hình chóp và mặt phẳng (P) chứa một đường thắng a vuông góc với mặt phăng (Q)
-Bai 1: Cho hình vuông ABCD cạnh A Trên đường thắng vuông góc với mặt phăng (ABCD) tai A lay điểm S Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phăng (SCD) Hãy xác định mặt phăng (P) Mặt phăng (P) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện gì?
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy (ABCD) ABCD là hình chữ nhật tâm O Gọi (P) là mặt phăng qua SO và vuông góc với mặt phăng (SAD) Hãy tìm thiêt điện của hình chóp S.ABCD và mặt phăng (P)
-Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông Cạnh bên là SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi (P) là mặt phăng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD) Hãy xác định thiết diện của mặt phẳng (P) và hình chóp S.ABCD
-Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phăng (ABCD) Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và CD Gọi (P) là mặt phẳng qua 1, và vuông góc với mặt phăng (SBC) Tìm thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều có các mặt bên tạo với day goc g a) Tìm thiết diện qua AC và vuông góc với mặt phăng (SAD)
b) Tìm tỉ số thể tích /" ÿ hai phần của hình chóp bị chia bởi thiết diện nói trên 2 Một số bài toán khác Bài 1: Cho hình hộp 48CD.4'B'C'D' Hai điểm M và N lần lượt nằm trên hai cạch AD AM CN và CC' sao cho ~— = —— XAc định thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng đi qua MD NC'
MN va song song với mặt phang ( ACB’)
Bai 2: Cho hinh lap phuong ABCD.A'B'C'D' va cac trung diém E,F của các cạnh AB,DD' Hãy xác định các thiệt diện của hình lập phương căt bởi các mặt phăng
(EFB),(EFC') và (AFK) với K là trung điểm của cạnh 8"C'
Bài 3: Cho hình lập phương 48CD.4'8'C'D' Gọi O là tâm của hình lập phương a) Tìm thiết diện qua O và vuông góc với đường chéo 4"C
b)_ Chứng minh rằng thiết diện chia hình lập phương thành hai phần tương đương Bai 4: Cho hinh lap phuong ABCD.A'B'C'D' Goi M và N là tâm của đáy ABCD và mặt bên DCC'D'
a) Tìm thiết diện tạo bởi (4'MN)
Trang 24b) Tìm tỉ số thể tích zi hai phần của hình lập phương bị chia bởi thiết diện nói trên
2
Bài 5: Cho hình lập phương 48CD.4'B'C'D' cạnh a M là điểm di động trên AB a) Tim thiét dién tao boi (A' MC) Thiết diện là hình gì
b) Xác định vị trí của M để thiết diện là hình chữ nhật Có vị trí nào của M để thiết diện là hình vuông không?
e)_ Xác định vị trí của M để thiết điện có diện tích bé nhất và hãy tính giá trị ấy