Phương pháp hàm số trong giải toán

Phương pháp hàm số trong giải toán

MỞ ĐẦU

Định nghĩa hàm số và các khái niệm liên quan đến hàm số đã được trình bày ở chương trình sách giáo khoa lớp 10 Nhưng để hiểu rõ các tính chất và các ứng dụng của hàm số thì cần có kiến thức về giải tích mà cụ thể là đạo hàm của hàm

số Kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm được trình bày ở chương trình sách giáo khoa cuối lớp 11 và đầu lớp 12.

Dùng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta tìm được GTLN, GTNN , xét được khoảng đồng biến , nghich biến của hàm số và xét được tính lồi lõm của đồ thị hàm số.

Từ các ứng dụng đạo hàm của hàm số giúp chúng ta giải được một số bài toán trong phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, xét sự hội

tụ của dãy số và chứng minh bất đẳng thức.

Trong bài viết này chúng ta tìm hiểu một số ứng dụng của phương pháp hàm số vào trong giải toán

I- Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình.

1) Định lí 1: Nếu hàm số f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số

nghiệm của phương trình f(x) = k trên D không nhiều hơn một và f(x) = f(y) ⇔ x = y với mọi x,

y ∈ D

Chứng minh:

a) Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a tức là f(a) = k

Nếu x > a thì f(x) > f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm

Nếu x < a thì f(x) < f(a) = k suy ra phương trình vô nghiệm

b) Nếu x > y thì f(x) > f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm

Nếu x < y thì f(x) < f(y) suy ra phương trình f(x) = f(y) vô nghiệm

2) Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x)

luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một

Chứng minh:

Giả sử phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x = a tức là f(a) = g(a)

Nếu x > a thì f(x) > f(a) = g(a) > g(x) suy ra phương trình vô nghiệm

Nếu x < a thì f(x) < f(a) = g(a) < g(x) suy ra phương trình vô nghiệm

3) Định lí 3: Nếu đồ thị hàm số y = f(x) lồi (lõm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = 0 nếu

có nghiệm thì có tối đa 2 nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình 3x = 4 - x

Giải: Tập xác định D= R Phương trình tương đương với 3x + x - 4 = 0

Xét hàm số f(x ) = 3x + x - 4 Hàm số xác định và liên tục trên R

f’(x) = 3x.ln3 + 1 > 0 ∀ x ∈R Vậy hàm số f(x) đồng biến trên R

Mặt khác phương trình có một nghiệm x =1 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Bài tập 1: Giải phương trình: logx=11−x

Bài tập 2: Giải phương trình: 9x2 −(13−x2).3x2 −9x2 +36 0=

Ví dụ 2: Giải phương trình :

2

2

3

x x

x

Giải: Tập xác định D = R Phương trình đã cho tương đương với

log (x + + +x 3) (x + + =x 3) log (2x +4x+ +5) (2x +4x+5) (*)

Xét hàm số f(t) = log t t3 + Hàm số xác định và liên tục trên khoảng(0;+ ∞)

f’(t) = 1 1

.ln 3

t + > 0 ∀t > 0 Vậy hàm số f(t) đồng biến trên khoảng(0;+ ∞)

Phương trình (*) ⇔ f(x2 +x + 3) = f(2x2 + 4x + 5)

⇔ x2 +x + 3 = 2x2 + 4x + 5 ⇔ x = - 1 v x = - 2

Bài tập 1: Giải hệ phương trình

4

x 2x

y







Bài tập 2: Giải hệ phương trình

1

x 3x

y







Bài tập 3: Giải hệ phương trình 3 10 5







Bài tập 4 : Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

x







Ví dụ 3: Giải phương trình 3x = 2x + 1

Giải: Tập xác định D = R Phương trình đã cho tương đương với 3x - 2x - 1 = 0

Xét hàm số f(x) = 3x -2x - 1, f’(x) = 3xln3 - 2, f’’(x) = 3x (ln3)2 > 0 ∀x ∈ R

Mặt khác phương trình co hai nghiệm x = 0 và x =1 Vậy phương trình có đúng hai nghiệm x = 0

và x = 1

Bài tập 1: Giải phương trình: 2009x + 2010x = 4017x + 2

Bài tập 2: Giải phương trình: 3x = + +1 x log (1 2 )3 + x

Bài tập 3: Giải phương trình: (1 cos+ x) (2 4+ cosx) =3.4cosx

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình

2 2 2

y z z z

z x x x





 = + + −



Giải: Xét hàm số f(t) = t3 + t2 + t - 2 f’(t) = 3t2 + 2t + 1 > 0 ∀t∈ R Vậy hàm số f(t) đồng biến trên R

Giả sử x = max{x,y,z} hay x≥ y và x ≥ z suy ra x = f(y) ≥ f( z) = y và x= f(y) ≥ f(x) = z Từ đó

ta có y ≥ z và y ≥ x Suy ra f(y) ≥ f(z) hay z ≥ x Do đó x ≥ y≥ z≥ x từ đó x = y = z = 1

Bài tập 1: Giải hệ phương trình

x

z







Bài tập 2: Giải hệ phương trình

y y

x x







Bài tập 3: Giải hệ phương trình

x z

z z







Ví dụ 5: Giải bất phương trình x+ −6 7− ≥x 1

Giải: Tập xác định D = [- 6; 7] Xét hàm số f(x) = x+ −6 7−x

Ta có f’(x) = 1 1 0

2 x 6 + 2 7 x >

+ − ∀ x ∈ (- 6; 7)

Vậy hàm số f(x) đồng biến trên đoạn [- 6; 7]

Mặt khác f(3) = 1 Do đó bất phương trình tương đương với f(x) ≥ f(3) ⇔ x ≥ 3

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [3; 7]

Bài tập 1: Giải bất phương trình x3+3x2 +6x+16<2 3+ 4−x

Bài tập 2: Giải bất phương trình 6 8 6

3 x + 2 x <

II - Sử dụng GTLN,GTNN của hàm số để tìm giá trị tham số để phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm.

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b)

1) Định lý 1: Phương trình f(x) = m có nghiệm thuộc đoạn [a;b]⇔ min ( )[ ]; max ( )[ ];

a b f x ≤ ≤m a b f x

2) Định lý 2: Bất phương trình f(x) ≥ m có nghiệm thuộc đoạn [a;b]⇔ max ( )[ ];

a b f x ≥m

3) Định lý 3: Bất phương trình f(x) ≤ m có nghiệm thuộc đoạn [a;b]⇔ min ( )[ ];

a b f x ≤m

4) Định lý 4: Bất phương trình f(x) ≥ m nghiệm đúng với mọi x ∈[a;b]⇔ min ( )[ ];

a b f x ≥m

5) Định lý 5: Bất phương trình f(x) ≤ m nghiệm đúng với mọi x ∈[a;b] ⇔ [ ]ax; ( )

a b

m f x ≤m

Chú ý: Định lý 1,2,3,4,5 dùng để giải các bài toán về phương trình, hệ phương trình, hệ bất

phương trình, bất phương trình chứa tham số

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau 2

4x− +2 3 21 4− x x− =m

a) Có nghiệm

b) Có đúng 1 nghiệm

c) có 2 nghiệm phân biệt

Giải : Tập xác định D= [-7;3], Xét hàm số 2

( ) 4 2 3 21 4

f x = x− + − x x− , ta có

2

3(2 ) '( ) 4

21 4

x

f x

x x

+

= −

− − , f’(x) = 0 ⇔ x= - 6 (Loại) v x = 2

Ta có bảng biến thiên của hàm số f(x)

x -7 2 3

f’(x) + 0

-f(x)

15

-30 10

a) Phương trình có nghiệm khi min ( )[−7;3] f x ≤ ≤m max ( )[−7;3] f x ⇔ - 30 ≤ m ≤ 15

b) Phương trình có đúng 1 nghiệm khi - 30 ≤ m < 10 hoặc m = 15

c) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 10 ≤ m < 15

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình 4(sin4x + cos4x) + (5 - 2m)cos2x + 9 - 3m = 0

a) Có nghiệm

b) Có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn 0;

3

π

Giải : Đặt t = cos2x với - 1 ≤ t ≤ 1 Phương trình trở thành

2

2 5 11

2 3

t t

m t

Xét hàm số f(t) =

2

2 5 11

2 3

t t t

+ + +

Ta có

2

2

4 12 7 '( )

(2 3)

f t

t

=

+ , f’(t) = 0 ⇔ t =

7 2

− (Loại) v t = 1

2 Bảng biến thiên

t -1 1/2 1

f(t)

7/2

a) Phương trình có nghiệm khi min ( )[ 1;1] f t m max ( )[ 1;1] f t

− ≤ ≤ − ⇔ 7/2 ≤ m≤ 8.

b) Khi x ∈ 0;

3

π

  thì 2x ∈

2 0;

3

π

  hay

1

1

2 t

− ≤ ≤ Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn

0;

3

π

  khi phương trình ẩn t có hai nghiệm t thuộc đoạn

1

;1 2

− 

  hay 7/2 < m ≤ 18/5

Bài tập 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực 3 x− +1 m x+ =1 24 x2 −1

Bài tập 2: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực

2

4

x− + x − + + m+ x− =

Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 91 + − 1 x2 −(m+2)31 + − 1 x2 +2m+ =1 0

Bài tập 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm x2 +4x−m − −x2 4x− + + =3 m 2 0

Bài tập 5: Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:

4 2x + 2x + 2 6 4 − +x 2 6 − =x m

Bài tập 6: Tìm m để phương trình 3 1−x2 −2 x3 +2x2 + =1 m có nghiệm duy nhất thuộc đoạn

1

;1

2

− 

 .

Bài tập 7: Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn ;

4 4

π π

sin x + cos x + cos 4x = m.

4

x

x

+

nghiệm thực

4 6+ −x x −3x=m x+ +2 2 3−x

Bài tập 10:Tìm m để phương trình sau có nghiệm

m +x − −x − = −x + +x − −x

Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình: x3 3mx 2 13

x

−

− + − < nghiệm đúng ∀x ≥ 1

x

Ta có ( )

4 2 2

−

 

Suy ra f x( ) đồng biến trên khoảng (1; + ∞)

1

2

3

x

≥

Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình x(4−x)+m( x2 −4x+ +5 2) 0≤ nghiệm đúng với mọi giá trị x ∈ 2; 2 + 3

Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình (4 +x) (6 −x) ≤x2 − 2x m+ nghiệm đúng ∀ ∈ −x [ 4, 6]

Bài tập 3: Tìm m để bất phương trình 3 + +x 6 − −x 18 3 + x x− 2 ≤m2 − +m 1 nghiệm đúng [ 3, 6]

x

∀ ∈ −

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình: x x + x+ 12 =m( 5 − +x 4 −x) có nghiệm.

Giải: Chú ý: Nếu tính f x′( ) rồi xét dấu thì thao tác rất phức tạp, dễ nhầm lẫn

x

′

+

−

′

Suy ra: g x( ) > 0 và tăng; h x( ) > 0 và giảm hay h x( )1 >0 và tăng

( )

g x

f x

h x

= tăng Suy ra f x( ) =m có nghiệm

[ ] ( )

[ ] ( ) [ ( ) ( )] ( )

Bài tập 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx+ ≤1 x− +3 2m

Bài tập 2: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 3 2 ( )3

Ví dụ 5: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

 + + + =









Giải: Đặt u x 1;v y 1

3 3

x

và u x 1 x 1 2 x. 1 2 ; v y 1 2 y. 1 2

Khi đó hệ trở thành 3 3 ( )

8

+ =



⇔ u v, là nghiệm của phương trình bậc haif t( ) =t2 − + = 5t 8 m

Hệ có nghiệm ⇔ f t( ) =m có 2 nghiệm t t1 , 2 thỏa mãn t1 ≥ 2; t2 ≥ 2

Lập Bảng biến thiên của hàm số f t( ) với t ≥ 2

( )

( )

22

+∞

Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm 7 2 m 22

4 m

Bài tập 1: Chứng minh rằng ∀ m > 0 hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất

ln(1 ) ln(1 )

x y

y x m

− =



 − = + − +



Bài tập 2: Tìm m để hệ: 4





có nghiệm ( x; y ) thỏa mãn điều kiện x ≥ 9.

III - Sử dụng tính đơn điệu, GTLN, GTNN của hàm số để chứng minh bất đẳng thức 1) Định lý 1: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a) < f(x) < f(b) với mọi x ∈

(a;b)

2) Định lý 2: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a) > f(x) > f(b) với mọi x ∈

(a;b)

3) Định lý 3: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (a;b) thì f(a) ≤ f(x) ≤ f(b) với mọi x ∈ [a;b]

4) Định lý 4: Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) thì f(a) ≥ f(x) ≥ f(b) với mọi x ∈ [a;b]

Chú ý: Định lí 1,2,3,4 dùng để chứng minh bất đẳng thức bằng cách xét hàm số.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng

2 2

sin cosx x

x

< với 0;

2

x  π 

∈  ÷

Giải: Xét hàm số f(x) = sin

cos

x x

x − , với 0;

2

x  π 

∈  ÷

1 cos 2 cos cos (1 cos )

2 cos cos 2 cos cos

f x

2

x  π

∈  ÷

Do đó hàm số f(x) đồng biến trên khoảng 0;

2

π

  Từ đó f(x) > f(0) ⇔

2 2

sin cos

x x

x > đpcm

Bài tập 1: Chứng minh rằng

a)

2

1- cos

2!

x

x

< , với x ≠ 0

b)

3

sin

3!

x

x− < x, với x > 0

c)

cos 1

2! 4!

x x

x< − + , với x ≠ 0

d)

sin

3! 5!

x x

x< −x + , với x > 0

e) ex≥ 1 + x , ∀ x∈ R

f) ln x x

e

< , với x > 0 và x ≠ e

g) 2ln 1

1 2

x

x

x <

− , với x > 0 và x ≠ e.

x

π

Bài tập 2: Chứng minh rằng

a) sinx+tanx>2x, với 0

2

x π

< <

b) 1tan 2sin

2 x+ 3 x> x, với 0

2

x π

< < c) (2 cos ) 3sinx + x > x, với x > 0

d) sin x 2 x

π

≥ , với 0;

2

x  π

∈    e) πx(1−x) sin< x≤4 (1x −x), với x∈ (0;1)

Bài tập 3: Chứng minh rằng:

a) e x < +1 xe x, với x > 0

b) e x − − <1 x x e2 x, với x > 0

c) 2 1

x

x

x e <e − , với x > 0.

d) e x < +(1 x)1 +x , với x > 0

Bài tập 4: Chứng minh rằng

ln 1 1 x ln x

x

+ + < + , với x > 0

b) ln 1( )

1

x x

x

+ <

+ , với x > 0.

c) ( )2 2

1−x ≥ xln x, với x > 0

d) ln 1 cos( ) ln 2 2

4

x x

+ < − với x∈(0;π)

Bài tập 5: Chứng minh rằng:

a) sin tan x( ) ≥ x, với 0;

4

x  π

∈    b) tan sin x( ) ≥ x, với 0;

3

x  π

∈   

Ví dụ 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2 2

2

12

12x 6mx m 4 0

m

− + − + = Tìm m để

A x= +x đạt GTNN, GTLN

Giải :

m

Bài tập 1:Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2

2

1 0

x ax

a

+ + = Tìm m để 4 4

P= x +x đạt GTNN

Bài tập 2: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 −(a+1)x a+ 2 =0 Tìm GTNN của

1 1

P

x x

Ví dụ 3: Tìm GTNN của

( ; ) 3 x y 8 x y

f x y

=  + ÷−  + ÷

Giải:

Bài tập 1: Tìm GTNN, GTLN của

2 2

sin 2 sin 3 sin 3sin 4

P

=

m

m

m

m

m

Bài tập 2: Tìm GTLN, GTNN của sin 2 1 cos 2

2 x 2 x

P= + +

Bài tập 3: Tìm GTNN, GTLN của

P

= + ÷−  + ÷ + + ÷

Bài tập 4: Tìm GTLN,GTNN của 2

2

Ví dụ 4: Cho x, y ≥ 0 thoả mãn x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2

y xy

P

xy x

=

Giải:

Nếu x = 0 thì từ giả thiết x2 + y2 = 1 ta có y = 1 Suy ra P = 1

Nếu x ≠ 0 thì đặt y = tx, t ≥ 0 Từ giả thiết ta có x2 + y2 = 1 ⇔ x2 + t2x2 = 1 ⇔ 2

2

1 1

x

t

= + .

Ta có P =

Xét hàm số f(t) =

2 2

t t

t t

+ − + + , f ’(t) =

2

12 4 (3 2 1)

t t

t t

+ + + , f ’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t =

1 3

− (Loại) Bảng biến thiên

t 0 + ∞

f(t)

1

-1

Từ bảng biến thiên ta có Min(P) = - 1 đạt được khi t = 0 ⇔ x = 1; y = 0

Max(P) = 1 đạt được khi x = 0; y = 1

Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thay đổi và thỏa mãn hệ thức x2 + y2 = 1 Tìm GTNN, GTLN của

2

2

2( 6 )

x x

P

y y

+

=

Bài tập 2: Cho hai số thực dương x, y thay đổi và thỏa mãn điều kiện xy ≤ y - 1 Tìm GTNN của biểu thức

P

Ví dụ 5: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 + xy + y2 = 1 Tìm GTLN,GTNN của A = x2 - xy + y2 Giải:

Bài tập 1: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 - xy + y2 = 1 Tìm GTLN,GTNN của A = x4 + y4 -

x2y2

Ví dụ 6: Cho hai số thực x,y thỏa mãn x2 - xy + y2 = xy(x + y) Tìm GTLN của 3 3

A

x y

Giải:

Bài tập 1: Cho x,y dương thỏa mãn x + y = 1 Tìm GTNN của 2 2 2 2

Bài tập 2: Cho các số thực không âm x,y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm GTLN, GTNN của

biểu thức ( 2 ) ( 2 )

4x 3 4 3x 25x

P= + y y + + y

Bài tập 3: Cho các số thực x, y thay đổi thỏa mãn ( )3

4x 2

x+y + y≥ Tìm GTNN của biểu thức ( 4 4 2 2) ( 2 2)

A= x + y +x y − x + y +

Ví dụ 7: Cho hai số x,y ∈(0;1) thảo mãn x + y = 1 Tìm GTNN của biểu thức ( ; )f x y = x y + y x

Giải:

Ví dụ 8: Cho , , 0

1

a b c

a b c

≥



 + + =

 Chứng minh rằng:

7 2

27

Giải:

Đồ thị y= f u( ) (= − 1 2a u a) + (1 −a) với 0 ( )2 (1 )2

a

b c

≤ = ≤ = là một đoạn thẳng với 2

giá trị đầu mút ( )0 (1 ) (1 ) 2 1 7

f =a − ≤a  + −  = <

Do đồ thịy= f u( ) là một đoạn thẳng với 0;1(1 )2

4

27

nên ( ) 7

27

f u ≤ Đẳng thức xảy ra ⇔ = = =a b c 13

Bài tập 1: Cho , , 0

3

a b c

a b c

≥



 + + =

 Chứng minh rằng:

Bài tập 2: Chứng minh rằng: 2(a b c+ + −) (ab bc ca+ + ) ≤ ∀ 4, a b c, , ∈[ ]0, 2

Ví dụ 9: Cho x,y,z > 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x y xyz

x yz y xz z xy

Giải :

Áp dụng trình tự các bước sau

+) ( )2

4

x y

xy≤ + , dấu bằng xảy ra khi x = y.

+) Nếu cho A, B > 0, m ≥ n > 0 và A < 2B thì A 2n A 2m

+) Nếu cho m ≥ n > 0, A mn thi A n. A m.

+)

2 2

(2)

2

( )(1 )(1 ) ( ) 1 ( )

2

1

4

x yz y xz x y x z x y y z

x y

x y x y

z

x y

+

+

+)

(3)

2 2

( 1)

2

4

z

+) 2 2 (1 2 ),

1 ( 1)

z z P

−

+ + đặt t = z,0< <t 1 Xét hàm số

2

( ) (2 3) ?

( ) (2 3) ?

f t f

MaxP Maxf t f

Bài tập 1: Cho a,b,c>0 và 2 2 2

1

a +b +c = Chứng minh

3 3 2

b c +c a + a b ≥

Ta đã biết tiếp tuyến của hàm số y=f(x) tại mọi điểm bất kì trên khoảng lồi luôn nằm phía trên

đồ thị và tiếp tuyến tại mọi điểm trên khoảng lõm luôn nằm phía dưới đồ thị nên ta có nhận xét sau

Nhận xét:Nếu y=ax+b là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f x ( ) tại điểm A x y ( ; ) 0 0

( A không phải là điểm uốn) , khi đó tồn tại một khoảng I chứa điểm x0 sao cho

f x ≥ ax b + ∀ ∈ x I hoặc f x ( ) ≤ ax b + ∀ ∈ x I

Ví dụ 10: Cho a b c , , > 0vàa b c + + = 6 Cmr : a4 + b4+ c4 ≥ 2( a3+ + b3 c3)

Giải: Bđt cần chứng minh ⇔ ( a4 − 2 a3) ( + b4 − 2 b3) ( + c4 − 2 c3) ≥ 0

⇔ + + ≥ với f x ( ) = x4− 2 x3

Ta thấy đẳng thức xảy ra khia b c = = = 2

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 2là: y=8x-16

Ta có: f x ( ) (8 -16) − x = x4− 2 x3− 8 x + = − 16 ( x 2) (2 x2− 2 x + ≥ ∀ 4) 0 x

Bài tập 1: Cho a,b,c>0 Cmr: 2 ( ) 2 2 ( ) 2 2 ( ) 2 6

5

Bài tập 2: Cho a,b,c>0 Cmr :

5

Bài tập 3: Cho a b c , , > 0 Cmr: 1 1 1