Các dạng Bất phương trình vô tỉ và cách giải - TOANMATH.com cac dang pt vo ti tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, l...
Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CÁC DẠNG BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ VÀ CÁCH GIẢI A PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG * Hai bất phƣơng trình đƣợc gọi tƣơng đƣơng chúng có tập nghiệm * Một số phép biến đổi tƣơng đƣơng: +) Cộng (trừ) hai vế bất phương trình với biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình +) Nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức ( ln dương âm) mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình +) Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai bậc lẻ hai vế bất phương trình +) Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai bậc chẵn hai vế hai vế bất phương trình dương +) Nghịch đảo hai vế bất phương trình hai vế dương ta phải đổi chiều I Kỹ thuật lũy thừa hai vế Phép lũy thừa hai vế: a) k 1 b) 2k *) f ( x) 2k 1 g ( x) f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) k g ( x) f ( x) g ( x) B AB A B B A *) B A B A A B2 *) A B 0 A B ( Đối với trường hợp lại với dấu , , < bạn tự suy luận ) Lƣu ý: Đặc biệt ý tới điều kiện Bài tốn Nếu điều kiện đơn giản kết hợp vào bất phương trình, cịn điều kiện phức tạp nên để riêng Ví dụ: Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 1: Giải BPT sau: a) x x c) 3x x b) x x x ; ; d) 3x x x Giải: a) x 2 x x 2x x x x 4 x x x 2 x 1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: 3; b) x x x x x x x 2 x x x 3 Vậy tập nghiệm bất phương trình là: ; Hai Bài tập lại bạn tự giải Bài 2: Giải BPT: Giải: x x 2x (1) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com * 1 x 1 x (1) x x x x x x 2x x 2 x x 3x x x x 2 x 4 x 2 x x 2 2 x x 2 x 1 x * Vậy tập nghiệm: [-4;0] Bài tập tƣơng tự : Giải BPT: 5x x x (TS (A)_ 2005) Đáp số: Tập nghiệm T=[2;10) II Kỹ thuật chia điều kiện Kỹ thuật: Nếu Bài toán có điều kiện n trường hợp điều kiện: xD mà D D1 D2 Dn ta chia Bài tốn theo +) Trường hợp 1: x D1 , giải bất phương trình ta tìm tập nghiệm T1 +) Trường hợp 2: x D2 , giải bất phương trình tìm tập nghiệm T2 ………………………………… +) Trường hợp n: x Dn , giải bất phương trình tìm tập nghiệm Tn Tập nghiệm bất phương trình T T1 T2 Tn Yêu cầu: Cần phải xác định giao, hợp tập R thành thạo Ví dụ: Bài 1: Giải BPT: (1) 3x x 2 x Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải: * Điều kiện: x x * Với x (i) ta có (1) 2 x 3x x x 2 3x x 2 x 2 x x 7 x x Kết hợp (i) (ii) ta có tập nghiệm * Với 1 x (ii) 4 T1 ; 3 (1) ln Tập nghiệm trường hợp T2 = [-1 ;0) Vậy tập nghiệm (1) 4 T T1 T2 ; 1;0 3 Bài tập : Giải BPT : x 3x x 4x x 5x Đáp số : x4 x = III Kỹ thuật khai 1) Đƣa biểu thức thức : * * * A( A 0) A2 A A( A 0) A2 y A E E x 2n y ( E , x 0) x A2n A * n 1 A2n1 A 2) Lƣu ý : Biến đổi biểu thức thức thành đẳng thức 3) Ví dụ : Giải BPT : (1) x x 1 x x 1 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải : (1) x 1 x 1 1 x 1 x 1 1 x x 1 1 * Với x 1 1 x 1 1 x 1 1 3 (2) x 1 1 x 1 x thỏa mãn bpt (2) Vậy trường hợp tập ngiệm T1=[2 ;+ ) x 1 x x * Với x x 1 11 x 1 3 2 2 bpt (2) trở thành : (luôn đúng) Vậy tập nghiệm (1) trường hợp T2=[1 ;2) KL : Tập nghiệm (1) T= T1 T2 1; * Chú ý : Bài ta giải phương pháp bình phương hai vế IV Kỹ thuật phân tích thành nhân tử đƣa bất phƣơng trình tích Bất phƣơng trình tích : Trên điều kiện bpt ta có : * f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) * f ( x) f ( x) f ( x) g ( x) g ( x) f ( x) g ( x) Các trường hợp lại, bạn tự suy luận Lƣu ý : Đây kỹ thuật giải địi hỏi có tư cao, kỹ phân tích thành nhân tử thành thạo, cần phải nhìn nhân tử chung nhanh Ví dụ : Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải BPT : x 3x x 3x (1) Giải : Điều kiện : (1) x 1(*) x 3x x x x x x x x x x 3x 1 x x x x x 3x x 1 x (do x 3x x 1 x x 1 x2 x2 x 1 x ) (vô nghiệm) Vậy BPT cho vô nghiệm V Kỹ thuật nhân chia liên hợp : Biểu thức nhân chia liên hợp: * * A B A B A B A B ( A B) A B ( A B) A B Lƣu ý: +) Nên nhẩm với số nghiệm nguyên đơn giản +) Chú ý tới biểu thức nhân chia liên hợp Ví dụ: Giải BPT : (1) x 15 3x x Giải: * Ta có (1) x 15 x 3x x 15 x x 15 x 3x x 15 x 3x (2) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Từ (2) ta có 3x x * Mặt khác: (1) x 15 3x x x2 1 x 15 x 1 x 1 3 x 15 * Lại có : Vì x x 1 x 15 Vậy (3) x2 1 3( x 1) x2 (3) x 3 x 1 x 15 x nên x 1 x2 x 1 x 15 x 1 x2 3 x x KL : BPT (1) có tập nghiệm T= 1; * Chú ý : Trong Bài tốn này, việc thêm bớt, nhóm số hạng với để xuất nhân tử chung xuất phát từ việc nhẩm x=1 hai vể BPT Thường dùng cách giải tương tự cho Bài toán : x a cx d x b Bài tập tương tự : Giải BPT : 3x x 3x 14 x (Dựa vào ĐH_B_2010) VI Một số Bài tập tự luyện : Giải BPT sau : 1, 3, 5, 7, 9, x4 x4 x4 x4 x3 x 2x x 2x (4 x 1) x x x x 16 x3 x3 4x x x3 x2 2, 3x 4, 6, 8, 10, 3x x 3x x x x 3x x 3x x 3x (ĐH_D_2002 ) 2x x 8x 15 x x 15 x 18x 18 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2x 3 13, 1 x x x x x 2x 12, 4x 12 2 x 101 x 21 11, 2x 14, x x xx x 1 2 x 1 x B PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I Một số yêu cầu : - Dạng học sinh cần nhớ cách đặt ẩn Từ mở rộng cho Bài toán tương tự - Chú ý tới điều kiện ẩn II Một số dạng toán Bài toán làm mẫu Đặt ẩn phụ đƣa bpt đơn giản : Bài :Giải BPT : x x 1 2 3 x 1 x (1) Giải : x (*) * Điều kiện : x * Đặt t x 1 (t 0) x BPT (1) trở thành : t 1 2t t t Vậy 2t 2t 3t 0(t 0) t x 1 x 1 x Bài : Giải BPT : 5 x (2) x 4 2x x Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải : * Điều kiện : x>0 * Đặt t x t2 x x t (theo 1 2x 2t 4x 2x * BPT (2) trở thành : * Khi bất đẳng thức Cơsi) t 5t 2t t 2 kết hợp với t ta t 2 x x 2 x 2 x 2 0 x 0 x KL : * Chú ý : Bài tốn mở rộng cho dạng : Đặt ẩn phụ đƣa bất phƣơng trình lƣợng giác : Giải BPT : (1) 1 x x5 Giải : * Điều kiện : x 0;1 * Đặt x cos t với Do sin t sin t t 0; 2 BPT (1) trở thành : sin t cos t nên sin t cos t sin t cos t với * Do BPT cho có nghiệm x 0;1 Bài tập tự luyện: Giải BPT: a f ( x) f 1 ( x) b f ( x) f 2 ( x) c t 0; 2 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1) x 3x x 3x 1 1 x2 x 1 1 x2 3) 2) x x 49 x x 42 181 14 x 4) x x 3x 2 x 5x 16 5) xx 4 x x x 22 6) x x 7) x x x x 8) x x x x x 10) x3 35 x x 35 x 30 1 x2 12) x 1 x 3 1 x 3 11) x x x 15) 3x 1 1 x 1 x2 17) x x x 18 168x 1 x x x 9) x x x 3x 13) x 3 14) x x x 16) x x 18) x 2 x 2x 2x 2x 2x 12 x x 16 C PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ * Nhớ cách xét tính đơn điệu hàm số, lập bảng biến thiên… * Nhớ bất đẳng thức * Thường áp dụng cho Bài toán đặc thù, phức tạp khơng có thuật tốn cụ thể hay có kì thi đại học năm gần I Kỹ thuật sử dụng BĐT để đánh giá hai vế: 1) Bất đẳng thức thông dụng: * Bất đẳng thức Côsi: Với a1 0, a2 0, , an ta có a1 a a n n a1a a n n Dấu “=” xảy a1 a2 an * Bất đẳng thức Bunhiacopski : Với a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn ta ln có : a1b1 a2b2 an bn 2 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Dấu « = » xảy a a1 a n b1 b2 bn 2) Ví dụ : Bài : Giải BPT : x x (1) Giải : 1 x * Điều kiện : 1 x (*) 1 x * Khi ( 1) x x x x 1 x2 1 x2 1 x4 0 16 x4 16 x 1 16x Điều với x thỏa mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm BPT x 1;1 Bài : Giải BPT : x x 1 x2 x 1 1 (2) (ĐH_A_2010) Giải: * Điều kiện: x0 (*) * Ta có: 2x x 1 x x 12 2x x 1 Vậy (2) x x 2x x 1 2x x 1 x x (3) x2 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Mặt khác: Theo BĐT bunhiacopski ta có: x2 x 1 1 11 x 2 x 1 x x (4) 1 x 2 x 3 x x x x 1 x x * Dấu xảy KL: III Kỹ thuật sử dụng tích vơ hƣớng hai vectơ Định nghĩa: u.v u v cos(u, v) a) Biểu thức tọa độ tích vơ hướng: +) Trong hệ tọa độ Oxy, u ( x; y), v ( x' ; y' ) u.v x.x' y y' +) Trong hệ tọa độ Oxyz, u ( x; y; z), v ( x' ; y' ; z' ) u.v x.x' y y' z.z' b) u.v u v Dấu xảy u, v phương c) u v u v Dấu xảy u, v hướng 2) Ví dụ: Ta quay lại Bài thi ĐH_A_2010: x x Giải BPT : 1 x2 x 1 1 (1) (ĐH_A_2010) Giải: * Điều kiện: * Do x 2( x x 1) = (2 x x >1 nên bất phương trình (1) tương đương với x x 2( x x 1) 2( x x (1 x) x (2) Trong mặt phẳng tọa độ lấy a (1 x; x) , b (1;1) Khi đó: a.b x x ; a b x x Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy (2) trở thành a b a.b Điều xảy a, b hướng tức tồn k>0 cho 1 x k 3 a kb x x k Nhận xét: Ta xây dựng lớp Bài toán tương tự cách lấy vectơ thích hợp IV Kỹ thuật sử dụng khảo sát hàm số để đánh giá Thuật toán: Để giải bất phương trình f ( x) g ( x); f ( x) g ( x); f ( x) g ( x); f ( x) g ( x) ta khảo sát vào tính chất hàm số y = f(x) y = g(x), đưa bảng biến thiên từ bảng biến thiên đưa kết luận Lƣu ý: Nếu m tham số y = h(m) đường thẳng song song trùng với trục hoành Ví dụ: Bài 1: Tìm a để BPT sau có nghiệm: x 3x a x x 1 (1) Giải: * Điều kiện: (1) x Khi đó: x x x 3x a (1’) * Đặt f ( x) x 3x 1 x x 1 Ta có: f ' ( x) x x 1 x x x 3x 0x x x 1 Do f(x) hàm đồng biến 1; Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com * Bảng biến thiên: x f(x) Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy bpt (1) có nghiệm a Bài 2: Tìm m để BPT x 2mx x x (1) nghiệm với x Giải: x x Ta có (1) 2mx x x x 2m x x ( x 0) (1’) * Đặt t 2x x Do x0 x nên theo BĐT Cơsi ta có t 2 x 2 (Có thể sử dụng bảng biến thiên để tìm điều kiện t) Khi (1’) trở thành : m (1) nghiệm với * Xét hàm số g (t ) t t 2 t t (t 2 ) x0 (2) nghiệm với t 2 có g ' (t ) g ' (t ) t t (2) t t 3 t Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com * Ta có bảng biến thiên : t 2 g’(t) + g(t) 2 2 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy (2) nghiệm với t 2 m 2 V Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu hàm số miền xác định Thuật toán : Giả sử hàm số y = f(x) đơn điệu D, u(x) v(x) có miền giá trị tập D Khi ta có : f (u( x)) f (v( x)) u( x) v( x) f (u( x)) f (v( x)) u( x) v( x) u ( x) v( x) (Tương tự cho dấu , , ) Ví dụ : Giải BPT : x 3 x x 3 x x (1) Giải : x 1 x (*) * Điều kiện : 1 x * Khi 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x x Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com * Xét hàm số Có x 1 x 1 x 1 f (t ) t t 2t với f ' (t ) 3t 2t 0t * Mặt khác : (2) t0 nên 1 x 1 x 1 x (2) : f (t ) hàm đồng biến 0; f ( x 1) f ( x ) x x x 1 1 x x kết hợp với điều kiện (*) ta : 1 x KL : VI Kỹ thuật sử dụng tính đối xứng hai nghiệm Tìm m để BPT sau có nghiệm : x x 2m x1 x 24 x1 x m m (1) Giải : * Điều kiện : x 1 (*) * Nhận xét : Nếu x0 nghiệm (1) (1- x0 ) nghiệm (1) Do phương trình có nghiệm Thay x0 x0 x0 x0 vào (1) ta 1 1 1 2m m m m m 2 2 2 * Với m=0 (1) trở thành : x x 24 x1 x x 1 x x 1 x x x 1 x Bài : Giải BPT : 0 (thỏa mãn (*)) Vậy bất phương trình (1) có nghiệm m=0 VII Một số Bài tập tự luyện : Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1, x 12 x x 3, x x x 50 3x 12 2, x x x x 11 100 x 40 x 40 1 4, x x x 3x x 5, x x x x 7, x9 x 6, x x x 10 x 50 8, 3 x x x 40 34 x 10 x x Bài : Tìm m để BPT sau vô nghiệm : m x x x x x (ĐH_B_2004) Bài 3: Tìm a để BPT sau có nghiệm : 4x 2x x 2x 2a Bài : Tìm giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm : x x 24 x x m Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x m x 24 x Bài 6: Tìm m để BPT sau nghiệm với x 0;1: m x x2 x 1 x ... 1: x D1 , giải bất phương trình ta tìm tập nghiệm T1 +) Trường hợp 2: x D2 , giải bất phương trình tìm tập nghiệm T2 ………………………………… +) Trường hợp n: x Dn , giải bất phương trình tìm tập... yêu cầu : - Dạng học sinh cần nhớ cách đặt ẩn Từ mở rộng cho Bài tốn tương tự - Chú ý tới điều kiện ẩn II Một số dạng toán Bài toán làm mẫu Đặt ẩn phụ đƣa bpt đơn giản : Bài :Giải BPT : x x 1... 1; * Chú ý : Bài ta giải phương pháp bình phương hai vế IV Kỹ thuật phân tích thành nhân tử đƣa bất phƣơng trình tích Bất phƣơng trình tích : Trên điều kiện bpt ta có : * f ( x)