Các dạng Bất phương trình vô tỉ và cách giải - TOANMATH.com cac dang pt vo ti

Các dạng Bất phương trình vô tỉ và cách giải - TOANMATH.com cac dang pt vo ti tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, l...

Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com CÁC DẠNG BẤT PHƢƠNG TRÌNH VƠ TỈ VÀ CÁCH GIẢI A PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG * Hai bất phƣơng trình đƣợc gọi tƣơng đƣơng chúng có tập nghiệm * Một số phép biến đổi tƣơng đƣơng: +) Cộng (trừ) hai vế bất phương trình với biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình +) Nhân (chia) hai vế bất phương trình với biểu thức ( ln dương âm) mà không làm thay đổi điều kiện bất phương trình +) Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai bậc lẻ hai vế bất phương trình +) Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai bậc chẵn hai vế hai vế bất phương trình dương +) Nghịch đảo hai vế bất phương trình hai vế dương ta phải đổi chiều I Kỹ thuật lũy thừa hai vế Phép lũy thừa hai vế: a) k 1 b) 2k *) f ( x)  2k 1 g ( x)  f ( x)  g ( x)  g ( x)  f ( x)  k g ( x)    f ( x)  g ( x) B  AB A  B B   A  *) B   A  B  A  A  B2  *) A  B 0 A B ( Đối với trường hợp lại với dấu , , < bạn tự suy luận ) Lƣu ý: Đặc biệt ý tới điều kiện Bài tốn Nếu điều kiện đơn giản kết hợp vào bất phương trình, cịn điều kiện phức tạp nên để riêng Ví dụ: Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Bài 1: Giải BPT sau: a) x   x  c) 3x   x  b) x  x   x  ; ; d) 3x  x   x  Giải: a)  x  2 x     x   2x   x    x   x   4 x  x    x   2 x  1   Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: 3; b) x  x    x  x   x   x   x  2  x  x   x  3 Vậy tập nghiệm bất phương trình là:  ;    Hai Bài tập lại bạn tự giải Bài 2: Giải BPT: Giải: x    x   2x (1) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com * 1  x  1  x  (1)  x    x   x   x    x    x   2x       x   2 x   x  3x      x      x   x       2 x      4  x  2 x    x     2  2 x  x   2 x  1    x   * Vậy tập nghiệm: [-4;0] Bài tập tƣơng tự : Giải BPT: 5x   x   x  (TS (A)_ 2005) Đáp số: Tập nghiệm T=[2;10) II Kỹ thuật chia điều kiện Kỹ thuật: Nếu Bài toán có điều kiện n trường hợp điều kiện: xD mà D  D1  D2   Dn ta chia Bài tốn theo +) Trường hợp 1: x  D1 , giải bất phương trình ta tìm tập nghiệm T1 +) Trường hợp 2: x  D2 , giải bất phương trình tìm tập nghiệm T2 ………………………………… +) Trường hợp n: x  Dn , giải bất phương trình tìm tập nghiệm Tn Tập nghiệm bất phương trình T  T1  T2   Tn Yêu cầu: Cần phải xác định giao, hợp tập R thành thạo Ví dụ: Bài 1: Giải BPT: (1)  3x  x   2 x Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải: * Điều kiện: x      x  * Với  x  (i) ta có (1)  2 x    3x  x   x    2  3x  x   2 x  2 x   x 7 x  x  Kết hợp (i) (ii) ta có tập nghiệm * Với 1  x  (ii)  4 T1   ;   3 (1) ln Tập nghiệm trường hợp T2 = [-1 ;0) Vậy tập nghiệm (1)  4 T  T1  T2   ;    1;0  3 Bài tập : Giải BPT : x  3x   x  4x   x  5x  Đáp số : x4 x = III Kỹ thuật khai 1) Đƣa biểu thức thức : * * *  A( A  0) A2  A    A( A  0) A2 y A  E E x 2n y ( E , x  0) x A2n  A * n 1 A2n1  A 2) Lƣu ý : Biến đổi biểu thức thức thành đẳng thức 3) Ví dụ : Giải BPT : (1) x  x 1  x  x 1  Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải : (1)  x 1 x 1 1  x 1 x 1 1  x    x 1 1   * Với x 1 1     x 1 1    x 1 1  3 (2) x 1 1   x 1   x  thỏa mãn bpt (2) Vậy trường hợp tập ngiệm T1=[2 ;+ ) x  1 x  x   * Với x      x 1 11 x 1  3 2 2 bpt (2) trở thành : (luôn đúng) Vậy tập nghiệm (1) trường hợp T2=[1 ;2) KL : Tập nghiệm (1) T= T1  T2  1; * Chú ý : Bài ta giải phương pháp bình phương hai vế IV Kỹ thuật phân tích thành nhân tử đƣa bất phƣơng trình tích Bất phƣơng trình tích : Trên điều kiện bpt ta có : *  f ( x)    g ( x)  f ( x) g ( x)     f ( x)    g ( x)  *    f ( x)   f ( x)  f ( x) g ( x)     g ( x)    f ( x)   g ( x)  Các trường hợp lại, bạn tự suy luận Lƣu ý : Đây kỹ thuật giải địi hỏi có tư cao, kỹ phân tích thành nhân tử thành thạo, cần phải nhìn nhân tử chung nhanh Ví dụ : Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải BPT :   x  3x  x   3x   (1) Giải : Điều kiện : (1) x  1(*) x   3x x   x   x x   x  x       x   x  x   3x  1    x  x   x   x x   3x    x 1  x  (do x   3x    x 1  x  x 1  x2  x2  x 1  x  ) (vô nghiệm) Vậy BPT cho vô nghiệm V Kỹ thuật nhân chia liên hợp : Biểu thức nhân chia liên hợp: * * A B  A B  A B A B ( A  B) A B ( A  B) A B Lƣu ý: +) Nên nhẩm với số nghiệm nguyên đơn giản +) Chú ý tới biểu thức nhân chia liên hợp Ví dụ: Giải BPT : (1) x  15  3x   x  Giải: * Ta có (1)  x  15  x   3x   x  15  x  x  15  x   3x   x  15  x   3x  (2) Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Từ (2) ta có 3x    x  * Mặt khác: (1)  x  15   3x   x   x2 1  x  15   x 1  x  1 3  x  15  * Lại có : Vì  x x 1 x  15  Vậy (3)  x2 1  3( x  1)  x2      (3)  x   3 x 1 x  15   x    nên x 1 x2   x 1 x  15   x 1 x2   3   x    x  KL : BPT (1) có tập nghiệm T= 1; * Chú ý : Trong Bài tốn này, việc thêm bớt, nhóm số hạng với để xuất nhân tử chung xuất phát từ việc nhẩm x=1 hai vể BPT Thường dùng cách giải tương tự cho Bài toán : x  a  cx  d  x  b Bài tập tương tự : Giải BPT : 3x    x  3x  14 x   (Dựa vào ĐH_B_2010) VI Một số Bài tập tự luyện : Giải BPT sau : 1, 3, 5, 7, 9, x4 x4  x4 x4  x3 x  2x   x  2x   (4 x  1) x   x  x  x  16 x3  x3    4x  x x3 x2 2, 3x  4, 6, 8, 10,  3x    x 3x   x    x x   3x x  3x   x  3x   (ĐH_D_2002 ) 2x  x  8x  15  x  x  15  x  18x  18 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 2x 3  13, 1 x  x  x x x  2x  12, 4x  12  2 x  101   x  21 11,  2x 14, x  x   xx  x  1  2  x  1 x B PHƢƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I Một số yêu cầu : - Dạng học sinh cần nhớ cách đặt ẩn Từ mở rộng cho Bài toán tương tự - Chú ý tới điều kiện ẩn II Một số dạng toán Bài toán làm mẫu Đặt ẩn phụ đƣa bpt đơn giản : Bài :Giải BPT : x x 1 2 3 x 1 x (1) Giải : x  (*) * Điều kiện :  x  * Đặt t   x 1 (t  0) x BPT (1) trở thành :   t  1 2t  t     t  Vậy   2t   2t  3t   0(t  0) t x 1     x  1 x  Bài : Giải BPT : 5 x   (2)    x  4 2x x Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Giải : * Điều kiện : x>0 * Đặt t  x   t2  x  x  t  (theo 1   2x   2t  4x 2x * BPT (2) trở thành : * Khi bất đẳng thức Cơsi) t  5t  2t     t   2 kết hợp với t  ta t   2  x x    2 x 2   x 2 0  x   0  x    KL : * Chú ý : Bài tốn mở rộng cho dạng :    Đặt ẩn phụ đƣa bất phƣơng trình lƣợng giác : Giải BPT : (1) 1  x   x5  Giải : * Điều kiện : x  0;1 * Đặt x  cos t với Do sin t  sin t   t  0;   2 BPT (1) trở thành : sin t  cos t  nên sin t  cos t  sin t  cos t  với * Do BPT cho có nghiệm x  0;1 Bài tập tự luyện: Giải BPT:  a f ( x)  f 1 ( x)  b f ( x)  f 2 ( x)  c    t  0;   2 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1) x  3x   x  3x    1 1 x2  x 1 1 x2 3) 2) x   x   49 x  x  42  181  14 x  4) x   x   3x  2 x  5x   16 5) xx  4  x  x  x  22  6)   x   x 7) x  x   x  x   8) x   x  x  x x 10) x3 35  x x  35  x  30 1 x2 12)   x  1  x 3  1  x 3    11)   x  x x  15) 3x 1  1 x 1 x2 17)    x  x  x  18  168x 1 x  x    x 9) x  x x   3x  13) x 3 14) x   x  x  16)  x   x   18) x   2  x   2x  2x   2x  2x 12 x  x  16 C PHƢƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ * Nhớ cách xét tính đơn điệu hàm số, lập bảng biến thiên… * Nhớ bất đẳng thức * Thường áp dụng cho Bài toán đặc thù, phức tạp khơng có thuật tốn cụ thể hay có kì thi đại học năm gần I Kỹ thuật sử dụng BĐT để đánh giá hai vế: 1) Bất đẳng thức thông dụng: * Bất đẳng thức Côsi: Với a1  0, a2  0, , an  ta có a1  a  a n n  a1a a n n Dấu “=” xảy a1  a2   an * Bất đẳng thức Bunhiacopski : Với a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bn ta ln có : a1b1  a2b2   an bn 2  a12  a22   an2 b12  b22   bn2  Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Dấu « = » xảy a a1 a    n b1 b2 bn 2) Ví dụ : Bài : Giải BPT :  x   x   (1) Giải : 1  x  * Điều kiện :   1  x  (*) 1  x  * Khi ( 1)   x   x   x   x     1 x2  1 x2 1  x4 0 16 x4 16   x  1  16x  Điều với x thỏa mãn điều kiện (*) Vậy nghiệm BPT x   1;1 Bài : Giải BPT : x x   1 x2  x 1 1 (2) (ĐH_A_2010) Giải: * Điều kiện: x0 (*) * Ta có: 2x  x  1  x  x  12     2x  x  1  Vậy (2)  x  x   2x  x  1  2x  x  1   x  x (3) x2 Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Mặt khác: Theo BĐT bunhiacopski ta có:   x2  x 1  1  11  x 2     x   1 x  x  (4) 1  x 2  x 3  x  x    x  x    1  x  x * Dấu xảy  KL: III Kỹ thuật sử dụng tích vơ hƣớng hai vectơ Định nghĩa: u.v  u v cos(u, v) a) Biểu thức tọa độ tích vơ hướng: +) Trong hệ tọa độ Oxy, u  ( x; y), v  ( x' ; y' ) u.v  x.x' y y' +) Trong hệ tọa độ Oxyz, u  ( x; y; z), v  ( x' ; y' ; z' ) u.v  x.x' y y' z.z' b) u.v  u v Dấu xảy u, v phương c) u  v  u  v Dấu xảy u, v hướng 2) Ví dụ: Ta quay lại Bài thi ĐH_A_2010: x x Giải BPT :   1 x2  x 1 1 (1) (ĐH_A_2010) Giải: * Điều kiện: * Do x  2( x  x  1) = (2 x  x  >1 nên bất phương trình (1) tương đương với x  x   2( x  x  1)  2( x  x   (1  x)  x  (2) Trong mặt phẳng tọa độ lấy a  (1  x; x) , b  (1;1) Khi đó:   a.b   x  x ; a b  x  x  Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Vậy (2) trở thành a b  a.b Điều xảy a, b hướng tức tồn k>0 cho 1  x  k 3 a  kb   x  x k Nhận xét: Ta xây dựng lớp Bài toán tương tự cách lấy vectơ thích hợp IV Kỹ thuật sử dụng khảo sát hàm số để đánh giá Thuật toán: Để giải bất phương trình f ( x)  g ( x); f ( x)  g ( x); f ( x)  g ( x); f ( x)  g ( x) ta khảo sát vào tính chất hàm số y = f(x) y = g(x), đưa bảng biến thiên từ bảng biến thiên đưa kết luận Lƣu ý: Nếu m tham số y = h(m) đường thẳng song song trùng với trục hoành Ví dụ: Bài 1: Tìm a để BPT sau có nghiệm: x  3x   a x  x  1 (1) Giải: * Điều kiện: (1)   x  Khi đó:   x  x  x  3x   a (1’) * Đặt f ( x)  x  3x  1 x  x  1 Ta có:  f ' ( x)  x  x     1  x  x   x  3x      0x   x x 1  Do f(x) hàm đồng biến 1;  Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com * Bảng biến thiên: x   f(x) Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy bpt (1) có nghiệm a  Bài 2: Tìm m để BPT x  2mx   x  x (1) nghiệm với x  Giải: x x Ta có (1)  2mx  x   x  x  2m  x   x  ( x  0) (1’) * Đặt t  2x  x Do x0 x nên theo BĐT Cơsi ta có t  2 x  2 (Có thể sử dụng bảng biến thiên để tìm điều kiện t) Khi (1’) trở thành : m (1) nghiệm với * Xét hàm số g (t )  t t  2   t  t (t  2 ) x0 (2) nghiệm với t  2 có g ' (t )   g ' (t )   t    t  (2) t  t 3 t Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com * Ta có bảng biến thiên : t  2 g’(t) +  g(t) 2 2 Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy (2) nghiệm với t  2 m   2 V Kỹ thuật sử dụng tính đơn điệu hàm số miền xác định Thuật toán : Giả sử hàm số y = f(x) đơn điệu D, u(x) v(x) có miền giá trị tập D Khi ta có : f (u( x))  f (v( x))  u( x)  v( x) f (u( x))  f (v( x))  u( x)  v( x) u ( x)  v( x) (Tương tự cho dấu , ,  ) Ví dụ : Giải BPT : x  3 x   x  3  x  x  (1) Giải : x    1  x  (*) * Điều kiện :  1  x  * Khi 1  x  1 x   x  1  x   1  x   x  1  x    x Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  * Xét hàm số Có    x 1   x 1  x 1  f (t )  t  t  2t với f ' (t )  3t  2t   0t  * Mặt khác : (2) t0 nên  1 x    1 x   1 x (2) : f (t ) hàm đồng biến 0;  f ( x  1)  f (  x )  x    x  x 1  1 x  x  kết hợp với điều kiện (*) ta : 1  x  KL : VI Kỹ thuật sử dụng tính đối xứng hai nghiệm Tìm m để BPT sau có nghiệm :  x   x  2m x1  x   24 x1  x   m  m (1) Giải : * Điều kiện :  x 1 (*) * Nhận xét : Nếu x0 nghiệm (1) (1- x0 ) nghiệm (1) Do phương trình có nghiệm Thay x0  x0   x0  x0  vào (1) ta  1 1 1   2m   m  m  m   m  2 2 2 * Với m=0 (1) trở thành :  x   x  24 x1  x     x  1 x   x  1 x  x   x  1 x Bài : Giải BPT : 0 (thỏa mãn (*)) Vậy bất phương trình (1) có nghiệm m=0 VII Một số Bài tập tự luyện :  Tìm tài liệu Tốn ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 1,  x   12    x   x 3,  x x   x   50  3x  12 2, x    x  x  x  11  100 x  40 x  40 1 4, x  x  x   3x  x  5, x x    x  x  7, x9 x 6, x  x   x  10 x  50  8, 3  x x    x  40  34 x  10 x  x   Bài : Tìm m để BPT sau vô nghiệm : m  x   x    x   x   x (ĐH_B_2004) Bài 3: Tìm a để BPT sau có nghiệm : 4x  2x   x  2x   2a Bài : Tìm giá trị m để bất phương trình sau có nghiệm : x  x  24  x   x  m Bài 5: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x   m x   24 x  Bài 6: Tìm m để BPT sau nghiệm với x  0;1: m x  x2  x  1 x ... 1: x  D1 , giải bất phương trình ta tìm tập nghiệm T1 +) Trường hợp 2: x  D2 , giải bất phương trình tìm tập nghiệm T2 ………………………………… +) Trường hợp n: x  Dn , giải bất phương trình tìm tập... yêu cầu : - Dạng học sinh cần nhớ cách đặt ẩn Từ mở rộng cho Bài tốn tương tự - Chú ý tới điều kiện ẩn II Một số dạng toán Bài toán làm mẫu Đặt ẩn phụ đƣa bpt đơn giản : Bài :Giải BPT : x x 1...  1; * Chú ý : Bài ta giải phương pháp bình phương hai vế IV Kỹ thuật phân tích thành nhân tử đƣa bất phƣơng trình tích Bất phƣơng trình tích : Trên điều kiện bpt ta có : *  f ( x)  