Bài tập sức bền vật liệu - 3 pps

Trục trung tâm của mặt cắt ngang : Là trục mà mô men tĩnh của diện tích mặt cắt ngang đối với nó bằng 0.. Hệ trục quán tính chính của diện tích mặt cắt ngang: là hệ trục mà mô men quán t

Chương 5 DẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG

5.1 Tóm tắt lý thuyết

5.1.1 Các định nghĩa

Xét mặt cắt ngang có diện tích A Tại điểm M(x,y) thuộc mặt cắt ngang lấy vi phân diện tích Da

1 Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục Ox:

S x = ∫

( A)

Mô men tĩnh của mặt cắt ngang A đối với trục Ox:

S y = ∫

( A)

Đơn vị của mô men tĩnh là [chiều dài3], giá trị của nó có thể là dương, bằng 0, hoặc âm

2 Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục Ox

I x = ∫

( A)

Mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với trục Ox

I y = ∫

( A)

x2

dương

Đơn vị của mô men quán tính là [chiều dài4], giá trị của nó luôn luôn

3 Mô men quán tính độc cực (mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với một điểm )

I p = ∫

( A)

ρ 2

dA =

Đơn vị của mô men quán tính độc cực là [chiều dài4 ], giá trị của nó luôn luôn dương

4 Mô men quán tính ly tâm (mô men quán tính của mặt cắt ngang A đối với một hệ trục )

I xy = ∫

( A)

A A

là dương, bằng 0, hoặc âm

5.1.2 Các khái niệm

1 Trục trung tâm của mặt cắt ngang : Là trục mà mô men tĩnh của diện tích mặt cắt ngang đối với nó bằng 0

2 Trọng tâm: là giao điểm của hai trục trung tâm

3 Hệ trục quán tính chính của diện tích mặt cắt ngang: là hệ trục mà mô men quán tính ly tâm của diện tích mặt cắt ngang đối với nó bằng 0

4 Hệ trục quán tính chính trung tâm của diện tích mặt cắt ngang: là hệ trục quán tính chính, có gốc tọa độ trùng với trọng tâm mặt cắt ngang

5.1.3 Công thức xác định toạ độ trọng tâm của mặt cắt ngang

Để xác định toạ độ trọng tâm của một hình phẳng, trước tiên phải chọn hệ trục ban đầu Oxy, biểu diễn kích thước và toạ độ trọng tâm C(xC, yC) trong hệ trục này Ta có:

S

x = C y

A ; y C = S x

Nếu mặt cắt ngang A ghép từ nhiều hình đơn giản A i với tọa độ trọng tâm

mỗi hình đơn giản là C i ( x Ci ,y Ci ) trong hệ toạ độ ban đầu, thì:

x = S y

n

∑ x Ci A i

= i=1 ; y = S x

n

∑ y Ci A i

∑ A i

i=1

∑ A i

i=1

Chú ý:

- Chọn hệ trục toạ độ ban đầu hợp lý: Nếu hình có trục đối xứng thì chọn trục đối xứng làm một trục của hệ trục tọa độ ban đầu, trục còn lại đi qua trọng tâm của càng nhiều hình đơn giản càng tốt

- Nếu hình bị khoét thì diện tích bị khoét mang giá trị âm

5.1.4 Công thức chuyển trục song song

Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc trưng

hình học mặt cắt ngang là S x , S y , I x , I y , I xy Hệ trục mới O'uv có O'u//Ox, O'v//Oy và:

u x

x

b

Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục O'uv là:

S u = S x + a.A

S v = S y +

b.A

I = I + 2aS + a2

I = I + 2bS + b2

A

I uv = I xy + aS y + bS x + abA

Trường hợp đặc biệt, hệ trục Oxy là hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang A (O đi qua trọng tâm) thì công thức (5.8) có dạng đơn giản hơn:

S u = a.A

S v = b.A

I = I + a2 A

I = I + b2 A

I uv = I xy +

abA

(5.11)

Chú ý: Dấu của khoảng cách a, b giữa hai trục mang dấu dương như trên hình vẽ ( u phía dưới x và v bên trái y)

5.1.5 Công thức xoay trục

Mặt cắt ngang ngang A trong hệ trục ban đầu Oxy có các đặc trưng

hình học mặt cắt ngang là S x , S y , I x , I y , I xy Hệ trục mới Ouv xoay một góc

α so với hệ trục Oxy như hình vẽ ( α theo chiều ngược chiều kim đồng hồ) Quan hệ giữa hệ trục tọa độ mới và cũ là:

u = xcosα +ysinα ; v = − xsinα

+ycosα

(5.12)

h h

v

y dA

u

v

u

Các đặc trưng hình học mặt cắt ngang A trong hệ trục Ouv là:

S u = −S y sin α + S x cosα

S v = S y cosα + S x sin α

I + I I − I

I = u x y + x y cos2α -I

I + I I − I

I = v x y − x y cos2α +I

I − I

I = x y

sin 2α + I cos2α

sin 2α

uv

5.1.6 Công thức tính mô men quán tính một số mặt cắt ngang đơn giản

a Hình chữ nhật

I x =bh

3

12 ; I y =

hb3

b Hình tròn

I = π R = π D = 0,1D4

; I = I = π R = π D = 0, 05D4

(5.15)

p

c Hình tam giác

bh3

I x =

12

(5.16)

x

b

y

x

x

x

5.2 Bài tập tự giải

5.2.1 Xác định toạ độ trọng tâm của các mặt cắt ngang sau đây

y

x 4

a 5.2.2 Xác định các mô men quán tính

trọng tâm tiết diện):

I x , I x của các tiết diện sau (C là

C

C

b

1

y

b a

C

C

C

5.2.3 Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết diện

5.2.4 Tính các mô men quán tính chính trung tâm của các tiết diện (đơn

vị đo trên hình vẽ bằng mm)

20

5.2.5 Xác định các mô men quán tính chính trung tâm của các mặt cắt ngang ghép từ các thép góc đều cạnh Cho a=1cm

a

a

100x100x8

160x160x10 5.2.6 Biết các mô men quán tính Ix=365cm4, Iy=117cm4 và Iu=281,6cm4 của thép góc không đều cạnh L125×80×12mm Tìm các trục chính và các mô men quán tính chính của mặt cắt ngang

u

0

60

x

5.2.7 Tìm vị trí các trục quán tính chính trung tâm và tính các mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện ghép như hình vẽ

100x100x10

N o 27

5.2.8 Xác định khoảng cách a để các mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện ghép bằng nhau