Bài tập sức bền vật liệu - 4 pps

- Ứng suất: tại một điểm trên một mặt cắt - Trạng thái ứng suất: tại một điểm - Định nghĩa trạng thái ứng suất tại một điểm: là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất trên tất cả các m

BμI TËP CH¦¥NG 4- TR¹NG TH¸I øng suÊt - CÁC THUYẾT BỀN 4.1 Tóm tắt lý thuyết

1 Khái niệm về trạng thái ứng suất tại một điểm

- Nội lực: phân bố trên mặt cắt thuộc vật thể chịu lực

- Ứng lực: Hợp lực của nội lực trên mặt cắt ngang

- Ứng suất: tại một điểm trên một mặt cắt

- Trạng thái ứng suất: tại một điểm

- Định nghĩa trạng thái ứng suất tại một điểm: là tập hợp tất cả những thành phần ứng suất trên tất cả các mặt đi qua điểm đó

- Nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm: tách phân tố lập phương vô cùng bé chứa điểm đang xét, biểu diễn các thành phần ứng suất trên tất cả các mặt vuông góc với ba trục toạ độ x, y, z Trên mỗi mặt ứng suất toàn phần có phương, chiều bất kỳ được phân tích thành ba thành phần: 1 thành phần ứng suất pháp vuông góc với mặt cắt và 2 thành phần ứng suất tiếp nằm trong mặt cắt

Ký hiệu ứng suất: chỉ số 1 – phương pháp tuyến; chỉ số 2 – phương của ứng suất

y

σy

τyz

τzy

τyx τxy

σx

τzx

z

z

x

τ xz Chín thành phần ứng suất tác dụng trên 3 cặp mặt vuông góc với ba trục tạo thành một ten-xơ hạng hai gọi là ten-xơ ứng suất

⎡σ x τ xy τ xz ⎤

Tσ = ⎢τ yx

⎢τ zx

σ y

τ zy

τ yz ⎥

σ z ⎥

(4.1)

Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh rằng: trạng thái ứng suất tại một điểm hoàn toàn xác định nếu biết được ten-xơ ứng suất Tσ tại điểm đó

2 Mặt chính, phương chính, ứng suất chính

a) Mặt chính: Là mặt không có tác dụng của ứng suất tiếp

α

xy

b) Phương chính: là phương pháp tuyến của mặt chính

c) Ứng suất chính: là ứng suất pháp tác dụng trên mặt chính

d) Qui ước gọi tên các ứng suất chính:

Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh rằng: tại 1 điểm luôn tồn tại ba mặt chính vuông góc với nhau với ba ứng suất chính tương ứng ký hiệu là σ1 , σ 2 , σ3 Theo qui ước: σ1 ≥ σ 2 ≥ σ 3

3 Định luật đối ứng của ứng suất tiếp: Ứng suất tiếp trên hai mặt bất kỳ

vuông góc với nhau tại một điểm có giá trị bằng nhau, có chiều cùng hướng vào cạnh chung hoặc cùng đi ra khỏi cạnh chung

4 Trạng thái ứng suất phẳng

• Các thành phần ứng suất trên mặt cắt song song với trục z (z là phương chính) và có pháp tuyến u hợp với trục x một góc α

Qui ước dấu (như hình vẽ dưới đây):

- Ứng suất pháp dương khi có chiều đi ra khỏi phân tố

- Ứng suất tiếp có chiều dương khi đi vòng quanh phân tố theo chiều kim đồng hồ

- Góc α dương khi quay từ trục x đến trục u theo chiều ngược chiều kim đồng hồ

τyx u

σu

uv

τyx

τxy

x

σ x + σ y σ x − σ y

σy

sin 2

2

σ x − σ y

cos2α -τ xy α

2

2

τuv = sin2α +τ xy cos α

• Ứng suất pháp cực trị là các ứng suất chính

1,2 0

(

2

⎨

2

max, min 1,2(3)

2 ⎟ xy

• Các phương chính: Hai phương chính vuông góc với nhau

tg 2α = −

2τ xy

=> α = ⎧ α0 trong đó α = arctg ⎜ −1 ⎛ 2τ xy ⎞ ⎟ (4.5)

σ x − σ y

⎩α0 + 90 0 2 ⎜⎝ σ x − σ y ⎟⎠

• Ứng suất tiếp cực trị: mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt chính góc 450

τ = ± ⎛ σ x − σ y ⎞

• Bất biến của trạng thái ứng suất phẳng: tổng các ứng suất pháp trên hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau tại một điểm có giá trị không đổi

σ x + σ y = σ u + σ v = const (4.7) Chú ý: Ngoài các công thức giải tích đã kể trên, người ta còn dùng đồ thị

để biểu diễn trạng thái ứng suất (vòng tròn Mohr ứng suất)

5 Quan hệ ứng suất - biến dạng -Định luật Hooke

a Quan hệ ứng suất pháp – biến dạng dài

1

ε x = ⎡σ x − μ σ y + σ z ⎤

E

ε = 1 ⎡

⎣σ − μ (σ + σ )⎤

y

1

ε z = ⎡σ z − μ σ x + σ y ⎤

E

b Quan hệ ứng suất tiếp – biến dạng góc

τ

γxy = xy

G ; γ = τ

xz xz

G

τ

; γyz = yz

với E, μ, G là mô đun đàn hồi kéo (nén), hệ số Poisson, mô đun đàn hồi trượt, liên hệ với nhau bởi công thức:

c Quan hệ ứng suất pháp – biến dạng thể tích

θ = ε + ε + ε (1 − 2 μ )

6 Các điều kiện bền theo các thuyết bền

+ Thuyết bền 1 (thuyết bền ứng suất pháp lớn nhất)

≤ [σ ] (4.12)

σ 3

k

σ1 ≤ [σ ]

k

k

k

n

+ Thuyết bền 2 (thuyết bền biến dạng dài lớn nhất)

σ t 2 = σ1 − μ (σ 2 + σ 3 ) ≤ [σ ]

+ Thuyết bền 3 (thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất)

σ t 3 = σ1 − σ 3 ≤ [σ ]

+ Thuyết bền 4 (thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng)

(4.13) (4.14)

σt 4= σ 2 1 + σ 2 2 + σ 2 − 3 σ σ 1 2−σ σ1 3−σ σ2 3 ≤ [σ ]k (4.15) + Thuyết bền 5 (Thuyết bền Mohr)

[σ ]

σ t 5 = σ1 −

Phạm vi sử dụng các thuyết bền: Hiện chỉ sử dụng các thuyết bền 3, 4, 5

- Thuyết bền 5 chỉ thích hợp với vật liệu giòn

- Thuyết bền 3, 4 chỉ thích hợp với vật liệu dẻo

4.2 Bài tập tự giải

4.2.1 Ứng suất toàn phần trên mặt cắt m-n đi qua một điểm của vật thể ở trạng thái ứng suất phẳng p=3kN/cm2 có phương tạo thành một góc α = 600 với mặt cắt Trên mặt vuông góc với mặt này chỉ có ứng suất tiếp Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt hợp với mặt m-n góc 450 Tính ứng suất pháp cực trị

τ

m

0

60 p

0

45 n

4.2.2 Trên hai mặt tạo với nhau góc 600 đi qua một điểm ở trạng thái ứng suất phẳng có các thành phần ứng suất như trên hình vẽ Hãy tính ứng suất chính tại điểm đó, ứng suất pháp và biến dạng tương đối theo phương u

u

60

4.2.6 Trên các mặt cắt đi qua một điểm của vật thể ở trạng thái ứng suất phẳng có

m

4.2.3 Một phõn tố hỡnh hộp xiờn tỏch ra từ một vật thể chịu lực ở trạnh thỏi ứng suất phẳng cú cỏc thành phần ứng suất tỏc động trờn cỏc mặt như hỡnh vẽ Tỡm cỏc ứng suất chớnh và phương chớnh của trạng thỏi ứng suất tại điểm này

4.2.4 Tại một điểm thuộc trạng thái ứng suất phẳng người ta đo được các biến dạng dài tương đối theo các phương m, n, và u Tính các giá trị ứng suất chính và các phương chính tại điểm này

Biết vật liệu có E=2ì10 4 kN/cm 2 ; μ=0,3 ; εm =2,81ì10 -4 ; ε =-2.81 n ì10 -4 ;

εu =1,625ì10 -4

n

60 60

4.2.5 Trờn cỏc mặt cắt đi qua một điểm của vật thể ở trạng thỏi ứng suất phẳng

cú cỏc thành phần ứng suất như trờn hỡnh vẽ Xỏc định cỏc ứng suất chớnh

và cỏc phương chớnh tại điểm này

5kN/cm2

2kN/cm 2

C

6kN/cm 2

A

các thành phần ứng suất như hình vẽ

1.Xác định các ứng suất chính và các phương chính tại điểm này

2.Tính biến dạng dài tương đối theo các phương chính

Biết E=2x10 4 kN/cm 2 ; μ=0,3 α=60 0

8kN/cm 2

A 6kN/cm 2 2kN/cm 2

B

4.2.7 Tại một điểm thuộc trạng thái ứng suất phẳng người ta đo được các biến dạng dài tương đối theo các phương u, v, và t Tính các giá trị ứng suất chính và các phương chính tại điểm này

Biết vật liệu có E=2x10 4 kN/cm 2 ; μ=0,25 ; εu =2x10 -4 ; εv =2x10 -4 ; εt =10 -4 ;

v

u

t 4.2.8 Một thanh thép BC có mặt cắt hình vuông được ngàm chặt tại hai đầu và chịu áp lực trên các mặt bên trên một đoạn có chiều dài b như hình vẽ

1 Xác định phản lực ngàm theo phương trục thanh

2 Xác định chuyển vị của tiết diện 1-1 theo phương trục thanh

Biết L=1 m ; E=10 4 kN/cm 2 ; μ=0,3; p=10 kN/cm 2 ; diện tích tiết diện thanh là aì a=4ì 4 cm 2

1

B C p p

1 0,5L

4.2.9 Một tấm hình chữ nhật bề dày δ đặt sát giữa hai vách thẳng đứng song song không biến dạng như hình vẽ Tấm chịu lực kéo F và lực nén Q Cho

hệ số Poisson μ ; chiều dài a, b Hãy xác định áp lực nén của tấm vào vách (bỏ qua lực ma sát)

4.2.10 Một thanh thép mặt cắt ngang hình vuông gồm hai đoạn, đoạn AB có cạnh là 4cm, đoạn BC có cạnh là 2cm Thanh ngàm hai đầu và chịu áp lực

p phân bố đều như trên hình vẽ Xác định giá trị cho phép của [p] sao cho ứng suất pháp dọc trục lớn nhất của thanh không vượt quá 10kN/cm2 Biếtμ=0,3; E=2×104 kN/cm2

p

p p

p

2cm

4.2.11 Một khối trụ tròn A được nhét khít vào một lỗ khoét của một vật cứng

tuyệt đối B và chịu lực nén P=50 kN Xác định áp lực nén vào vách lỗ khoét, các biến dạng Δh và ΔV của khối đồng Biết d=4cm; μ=0,31; E=1,1×104 kN/cm2

P

B

A

d

4.2.12 Một khối thép hình lập phương cạnh a=5cm đặt khít trong rãnh của một

khối thép lớn (coi như tuyệt đối cứng) Khối thép chịu áp lực p= 120 MN/m2

Xác định áp lực nén vào vách rãnh và độ biến dạng thể tích tuyệt đối Kiểm tra độ bền của khối thép theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại và thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng biết [σ]=140 MN/m2 μ=0.3; Bỏ qua lực

ma sát giữa các mặt tiếp xúc của hai khối E=2×104

kN/cm2

p

x z