B I TậP CHƯƠNG 4- TRạNG TH áI ứng suất - CC THUYT BN 4.1. Túm tt lý thuy t 1. Khỏi nim v trng thỏi ng sut ti mt i m - Ni lc: phõn b trờn mt ct thuc vt th chu l c. - ng lc: Hp lc ca ni lc trờn mt ct ngang. - ng sut: ti mt im trờn mt mt c t - Trng thỏi ng sut: ti mt i m - nh ngha trng thỏi ng sut ti mt im: l tp hp tt c nhng thnh phn ng sut trờn tt c cỏc mt i qua im ú. - Nghiờn cu trng thỏi ng sut ti mt im: tỏch phõn t lp phng vụ cựng bộ cha im ang xột, biu din cỏc thnh phn ng sut trờn tt c cỏc mt vuụng gúc vi ba trc to x, y, z. Trờn mi mt ng sut ton phn cú phng, chiu bt k c phõn tớch thnh ba thnh phn: 1 thnh phn ng su t phỏp vuụng gúc vi mt ct v 2 thnh phn ng sut tip nm trong mt c t. Ký hiu ng sut: ch s 1 phng phỏp tuyn; ch s 2 phng ca ng su t y y yz zy yx xy x z x z z x xz Chớn thnh phn ng sut tỏc dng trờn 3 cp mt vuụng gúc vi ba trc t o thnh mt ten-x hng hai gi l ten-x ng su t x xy xz T = yx zx y zy yz z (4.1) Lý thuyt n hi ó chng minh rng: trng thỏi ng sut ti mt i m hon ton xỏc nh nu bit c ten-x ng sut T ti im ú. 2. Mt chớnh, phng chớnh, ng sut chớnh a) Mt chớnh: L mt khụng cú tỏc dng ca ng sut ti p. τ α xy b) Phương chính: là phương pháp tuyến của mặt chính. c) Ứng suất chính: là ứng suất pháp tác dụng trên mặt chính. d) Qui ước gọi tên các ứng suất chính: Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh rằng: tại 1 điểm luôn tồn tại ba mặt chính vuông góc với nhau với ba ứng suất chính tương ứng ký hiệu là σ 1 , σ 2 , σ 3 . Theo qui ước: σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 3. Định luật đối ứng của ứng suất tiếp: Ứng suất tiếp trên hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau tại một điểm có giá trị bằng nhau, có chiều cùng hướng vào cạnh chung hoặc cùng đi ra khỏi cạnh chung. τ xy = τ yx ; τ xz = τ zx ; τ yz = τ zy (4.2) 4. Trạng thái ứng suất phẳng • Các thành phần ứng suất trên mặt cắt song song với trục z (z là phương chính) và có pháp tuyến u hợp với trục x một góc α Qui ước dấu (như hình vẽ dưới đây): - Ứng suất pháp dương khi có chiều đi ra khỏi phân tố - Ứng suất tiếp có chiều dương khi đi vòng quanh phân tố theo chiều kim đồng hồ - Góc α dương khi quay từ trục x đến trục u theo chiều ngược chiều kim đồng hồ y σ y τ yx u σ u σ σ x x τ uv τ yx τ xy x σ x + σ y σ x − σ y σ y sin 2 σ u = + 2 σ x − σ y cos2 α - τ xy α 2 2 τ uv = sin2 α + τ xy cos α 2 (4.3) • Ứng suất pháp cực trị là các ứng suất chính 1,2 0 ( 2 ⎨ 2 σ = σ σ + σ = x y ± ⎛ σ x − σ y ⎞ + τ 2 (4.4) max, min 1,2(3) 2 ⎜ 2 ⎟ xy ⎝ ⎠ • Các phương chính: Hai phương chính vuông góc với nhau tg 2 α = − 2 τ xy => α = ⎧ α 0 trong đó α 1 ⎛ = arctg ⎜ − 2 τ xy ⎞ ⎟ (4.5) σ x − σ y ⎩ α 0 + 90 0 2 ⎜ σ x − σ y ⎟ ⎝ ⎠ • Ứng suất tiếp cực trị: mặt có ứng suất tiếp cực trị hợp với mặt chính góc 45 0 τ = ± ⎛ σ x − σ y ⎞ + τ 2 (4.6) max,min ⎜ 2 ⎟ xy ⎝ ⎠ • Bất biến của trạng thái ứng suất phẳng: tổng các ứng suất pháp trên hai mặt bất kỳ vuông góc với nhau tại một điểm có giá trị không đổi σ x + σ y = σ u + σ v = const (4.7) Chú ý: Ngoài các công thức giải tích đã kể trên, người ta còn dùng đồ th ị để biểu diễn trạng thái ứng suất (vòng tròn Mohr ứng su ấ t). 5. Quan hệ ứng suất - biến dạng -Định luật Hooke a. Quan hệ ứng suất pháp – biến dạng dài 1 ( ) ε x = ⎡ σ x − μ σ y + σ z ⎤ E ⎣ ⎦ ε = 1 ⎡ ⎣ σ − μ ( σ + σ ) ⎤ ⎦ (4.8) y E y x z 1 ( ) ε z = ⎡ σ z − μ σ x + σ y ⎤ E ⎣ ⎦ b. Quan hệ ứng suất tiếp – biến dạng góc τ γ = xy xy G ; γ = τ xz xz G τ ; γ = yz yz G (4.9) với E, μ, G là mô đun đàn hồi kéo (nén), hệ số Poisson, mô đun đàn hồi trượt, liên hệ với nhau bởi công th ứ c: G = E 2 ( 1 + μ ) (4.10) c. Quan hệ ứng suất pháp – biến dạng thể tích θ = ε + ε + ε ( 1 − 2 μ ) = σ + σ + σ ) (4.11) x y z E x y z 6. Các điều kiện bền theo các thuyết b ề n + Thuyết bền 1 (thuyết bền ứng suất pháp lớn nh ấ t) ≤ [ σ ] (4.12) σ 3 k σ 1 ≤ [ σ ] k k k k n + Thuyết bền 2 (thuyết bền biến dạng dài lớn nh ấ t) σ t 2 = σ 1 − μ ( σ 2 + σ 3 ) ≤ [ σ ] + Thuyết bền 3 (thuyết bền ứng suất tiếp lớn nh ấ t) σ t 3 = σ 1 − σ 3 ≤ [ σ ] + Thuyết bền 4 (thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng) (4.13) (4.14) σ = σ 2 + σ 2 + σ 2 − σ σ − σ σ − σ σ ≤ [ σ ] (4.15) t 4 1 2 3 1 2 1 3 2 3 k + Thuyết bền 5 (Thuyết bền Mohr) [ σ ] σ t 5 = σ 1 − [ ] σ 3 ≤ [ σ ] (4.16) σ n Phạm vi sử dụng các thuyết bền: Hiện chỉ sử dụng các thuyết bền 3, 4, 5 - Thuyết bền 5 chỉ thích hợp với vật liệu giòn - Thuyết bền 3, 4 chỉ thích hợp với vật liệu d ẻ o. 4.2. Bài tập tự giải 4.2.1. Ứng suất toàn phần trên mặt cắt m-n đi qua một điểm của vật thể ở tr ạ ng thái ứng suất phẳng p=3kN/cm 2 có phương tạo thành một góc α = 60 0 v ớ i mặt cắt. Trên mặt vuông góc với mặt này chỉ có ứng suất tiếp. Tính ứ ng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt hợp với mặt m-n góc 45 0 . Tính ứ ng suất pháp cực tr ị . τ m 0 60 p 0 45 n 4.2.2. Trên hai mặt tạo với nhau góc 60 0 đi qua một điểm ở trạng thái ứng su ấ t phẳng có các thành phần ứng suất như trên hình vẽ. Hãy tính ứng su ấ t chính tại điểm đó, ứng suất pháp và biến dạng tương đối theo phương u. u 0 6 kN/cm 2 60 5 kN/cm 2 3 kN/cm 2 4.2.6. Trên các m ặ t cắt đi qua một điểm của vật thể ở trạng thái ứng suất phẳng có m 4.2.3. Mt phõn t hỡnh hp xiờn tỏch ra t mt vt th chu lc trnh thỏi ng sut phng cú cỏc thnh phn ng sut tỏc ng trờn cỏc mt nh hỡnh v . Tỡm cỏc ng sut chớnh v phng chớnh ca trng thỏi ng sut ti i m ny. 6 kN/c m 2 60 0 2 kN/cm 2 4.2.4. Tại một điểm thuộc trạng thái ứng suất phẳng ngời ta đo đ ợc các biến dạng dà i tơng đối theo các phơng m, n, và u .Tính các giá trị ứng suất chính và các phơng chính tại điểm này . Biết vật li ệu có E=2 ì 10 4 kN/cm 2 ; =0,3 ; =2,81 ì 10 -4 ; = - 2.81 ì 10 -4 ; m n u =1,625 ì 10 -4 . n 45 45 n m 0 0 0 0 60 60 4.2.5. Trờn cỏc mt ct i qua mt im ca vt th trng thỏi ng sut ph ng cú cỏc thnh phn ng sut nh trờn hỡnh v. Xỏc nh cỏc ng sut chớnh v cỏc phng chớnh ti im ny. 5kN/cm 2 2kN / cm 2 C 6kN / cm 2 A 2p các thành phần ứng s u ấ t nh hình vẽ . 1.Xác định các ứng suất chính và các phơng chính tại điểm này 2.Tính biến dạng dài tơng đối theo các phơng c h ính. Biết E=2x10 4 kN/cm 2 ; =0,3 . =60 0 . 8k N/ cm 2 A 6kN/cm 2 2kN/cm 2 B 4.2.7. Tại một điểm thuộc trạng thái ứng suất phẳng ngời ta đo đ ợc các biến dạng dài tơng đối theo các phơng u, v, và t .Tính các giá trị ứng s u ất chính và các phơng chính tại điểm này . Biết vật liệu có E=2x10 4 kN/cm 2 ; =0,25 ; u =2x10 -4 ; v =2x10 -4 ; t =10 -4 ; =30 0 . v u t 4.2.8. Một thanh thép BC có mặt cắt hình vuông đ ợc ngàm chặt tại hai đầu và chịu áp lực trên các m ặ t bên trên một đoạn có chiều dài b nh hình v ẽ . 1. Xác định phản lực ngàm theo phơng trục thanh . 2. Xác định chuyển vị của tiết diện 1-1 theo phơng trục thanh . Biết L=1 m ; E=10 4 kN/cm 2 ; =0,3; p=10 kN/cm 2 ; diện tí ch tiết di ện thanh là a ì a= 4 ì 4 cm 2 . 2p 2p 1 B C p p 1 0,5 L L 2L L 2p h a 4.2.9. Một tấm hình chữ nhật bề dày δ đặt sát giữa hai vách thẳng đứng song song không biến dạng như hình vẽ. Tấm chịu lực kéo F và lực nén Q. Cho hệ số Poisson μ ; chiều dài a, b. Hãy xác định áp lực nén của tấm vào vách (bỏ qua lực ma sát) F F Q Q F F δ b 4.2.10. Một thanh thép mặt cắt ngang hình vuông gồm hai đoạn, đoạn AB có cạnh là 4cm, đoạn BC có cạnh là 2cm. Thanh ngàm hai đầu và chịu áp l ự c p phân bố đều như trên hình vẽ. Xác định giá trị cho phép của [p] sao cho ứng suất pháp dọc trục lớn nhất của thanh không vượt quá 10kN/cm 2 . Biết μ =0,3; E=2 × 10 4 kN/cm 2 p p p B p p C D p p p 4cm L L 2cm 4.2.11. Một khối trụ tròn A được nhét khít vào một lỗ khoét của một vật c ứ ng tuyệt đối B và chịu lực nén P=50 kN. Xác định áp lực nén vào vách lỗ khoét, các biến dạng Δh và ΔV của khối đồng. Biết d=4cm; μ=0,31; E=1,1 × 10 4 kN/cm 2 . P B A d 4.2.12. Một khối thép hình lập phương cạnh a=5cm đặt khít trong rãnh của một khối thép lớn (coi như tuyệt đối cứng). Khối thép chịu áp lực p= 120 MN/m 2 . Xác định áp lực nén vào vách rãnh và độ biến dạng thể tích tuyệt đối. Ki ể m tra độ bền của khối thép theo thuyết bền ứng suất tiếp cực đại và thuy ế t bền thế năng biến đổi hình dáng biết [σ]=140 MN/m 2 . μ =0.3; Bỏ qua l ự c ma sát giữa các mặt tiếp xúc của hai khối. E=2 × 10 4 kN/cm 2 y a p x z . thuyết bền 3, 4, 5 - Thuyết bền 5 chỉ thích hợp với vật liệu giòn - Thuyết bền 3, 4 chỉ thích hợp với vật liệu d ẻ o. 4. 2. Bài tập tự giải 4. 2.1. Ứng suất toàn phần trên mặt cắt m-n đi qua. tại điểm này . Biết vật li ệu có E=2 ì 10 4 kN/cm 2 ; =0,3 ; =2,81 ì 10 -4 ; = - 2.81 ì 10 -4 ; m n u =1,625 ì 10 -4 . n 45 45 n m 0 0 0 0 60 60 4. 2.5. Trờn cỏc mt ct. và các phơng chính tại điểm này . Biết vật liệu có E=2x10 4 kN/cm 2 ; =0,25 ; u =2x10 -4 ; v =2x10 -4 ; t =10 -4 ; =30 0 . v u t 4. 2.8. Một thanh thép BC có mặt cắt hình