Bài tập sức bền vật liệu - 1 pot

Chịu lực đơn giản Trong trường hợp tổng quát, trên mặt cắt ngang của một thanh chịu tác dụng của ngoại lực có sáu thành phần ứng lực: - Lực dọc: Nz - Lực cắt : Qx, Qy - Mô men uốn: Mx, M

Chương 8 Thanh chịu lực phức tạp

Q

Chương 8 Thanh chịu lực phức tạp

8.1 Các khái niệm chung

8.1.1 Chịu lực đơn giản

Trong trường hợp tổng quát, trên mặt cắt ngang của một thanh chịu tác dụng của ngoại lực có sáu thành phần ứng lực:

- Lực dọc: Nz

- Lực cắt : Qx, Qy

- Mô men uốn: Mx, My

- Mô men xoắn: Mz

Hình 8.1Trong những chương trước ta đã nghiên cứu các trường hợp chịu lực đơn giản (cơ bản) khi trên mặt cắt ngang chỉ tồn tại 1 (thanh chịu kéo-nén đúng tâm, thanh chịu xoắn thuần túy, thanh chịu cắt, chịu uốn thuần túy phẳng) hoặc 2 (thanh chịu uốn ngang phẳng) trong 6 thành phần ứng lực kể trên

8.1.2 Chịu lực phức tạp

Thực tế ta thường gặp những trường hợp chịu lực phức tạp – là tổ hợp những trường hợp chịu lực đơn giản

- Uốn xiên: uống ngang phẳng đồng thời trong hai mặt phẳng

- Uốn và kéo (nén) đồng thời

- Uốn và xoắn đồng thời

- Chịu lực tổng quát

a Phư ơ ng pháp tính

• Để giải quyết các bài toán chịu lực phức tạp ta sử dụng nguyên lý độc

lập tác dụng - Nếu trên một thanh chịu tác dụng của một hệ ngoại lực

thì ứng suất biến dạng hay chuyền vị trong thanh là tổng thì ứng suất biến dạng hay chuyền vị do từng thành phần ngoại lực gây ra riêng rẽ.

• Điều kiện để sử dụng được nguyên lý độc lập tác dụng:

M

+ Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi (quan hệ ứng suất - biến dạng

là bậc nhất

+ Biến dạng và chuyển vị của thanh là bé

• Trong các bài toán chịu lực phức tạp ta bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt

b Qui ướ c chiều dươ ng các thành phần ứng lực:

- Mz>0: nhìn vào mặt cắt thấy quay z y

thuận chiều kim đồng hồ

- Mặt phẳng tải trọng: là mặt phẳng chứa tải trọng và trục thanh

8.2.2 Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Gọi α - góc giữa hướng của trục x và đường tải trọng (α<900 và α>0 khi chiều quay từ trụ x đén đường tải trọng thuận chiều kim đồng hồ - hình 8.4)

Trong đó: - (x, y) là toạ độ điểm tính ứng suất trên mặt cắt ngang

- Mx, My – các thành phần ứng lực tại mặt cắt ngang đang xét

- Ix, Iy – các mô men quán tính chính trung tâm của tiết diện

Trong (8.1) phải chú ý dấu của toạ độ x, y theo chiều các trục quán tính

chính trung tâm của mặt cắt ngang và dấu của Mx, My theo qui ước =>

Công thức kỹ thuật:

σ = ± M x M y

I x I y

8.2.3 Đường trung hoà và biểu đồ ứng suất

Nếu ứng suất tại mỗi điểm biểu diễn bằng một vec tơ thì phương trình (8.2) biểu diễn mặt phẳng quĩ tích những đầu mút của vec tơ ứng suất - gọi là

mặt ứng suất Giao tuyến của mặt ứng suất với mặt cắt ngang là đường trung hoà – quĩ tích những điểm có ứng suất pháp bằng không, phương trình có dạng:

§uêng t¶i träng §uêng trung hoà

a Tìm trọng tâm C của mặt cắt ngang, xác định hệ trục quán tính chính trung tâm

c Dựng đường trung hoà với hệ số góc theo (8.5)

d Kéo dài đường trung hoà, từ điểm K xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu kéo, và điểm N xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu nén, kẻ hai đường thẳng song song với đường trung hoà Kẻ đường vuông góc với đường trung hoà là đường chuẩn

8.2.4 Ứng suất pháp cực trị và điều kiện bền

Sau khi dựng đường trung hoà, ta xác định được toạ độ điểm xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu kéo và vùng chịu nén, từ đó xác định ứng suất pháp cực trị theo:

là toạ độ điểm xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu kéo

là toạ độ điểm xa đường trung hoà nhất thuộc vùng chịu nén

- Với mặt cắt ngang hình chữ nhật, chữ I, mặt cắt có 2 trục đối xứng nội tiếp được trong hình chữ nhật, thì các điểm có ứng suất pháp cực trị chỉ ở các điểm góc nên:

vậy σ z max = σ z min = =

Chẳng hạn với vật liệu dẻo, mặt cắt

ngang chữ nhật điều kiện bền có

M x

Wx Wy

Từ điều kiện bền (8.11) ta rút ra ba bài toán cơ bản:

• Bài toán kiểm tra bền: Biết tải trọng, kích thước mặt cắt ngang và

vật liệu, kiểm tra xem điều kiện bền (8.11) có thỏa mãn hay không?

• Bài toán xác định kích thước mặt cắt ngang: vì có hai ẩn Wx, Wy

nên ta giải theo phương pháp đúng dần Điều kiện bền (8.11) có thể viếtdưới dạng:

• Bài toán xác định tải trọng cho phép: tùy thuộc bài toán cụ thể, tải

trọng cho phép suy ra từ điều kiện bền

8.2.5 Chuyển vị của dầm chịu uốn xiên

Ví dụ: Ống khói chịu nén đúng tâm do trọng lượng bản thân Q, vừa chịu uốn do tải trọng q (hình 8.8b) Cột điện chịu sức căng F của dây cáp điện có

8.3.2 Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Ứng suất pháp tại điểm B(x, y) trên mặt cắt ngang có các thành phần ứng lực Nz, Mx, My tính theo công thức:

Trường hợp riêng của bài toán

uốn và kéo (nén) đồng thời là bài

toán kéo (nén) lệch tâm

Ví dụ: Trường hợp chịu lực của trục

giá cần cẩu

Hình 8.9

lệch tâm khi hợp lực N của ngoại lực có phương

song song với trục thanh nhưng không trùng với N

- Mô men uốn Mx=N.yK, và My=N.xK

Tương tự như (8.14) ta có công thức tính ứng suất pháp:

8.3.4 Đường trung hoà và lõi mặt cắt ngang

Từ phương trình (8.14), phương trình đường trung hoà trong trường hợp uốn và kéo (nén) đồng thời có dạng:

Với bài tóan kéo (nén) lệch tâm, phương trình đường trung hoà có dạng:

Tính chất đường trung hoà:

- Đường trung hòa không đi qua góc phần tư chứa điểm đặt lực (a ngược dấu xK, b ngược dấu yK) Điểm đặt lực nằm trên trục nào thì đường trung hoà song song với trục còn lại

- Vị trí đường trung hoà chỉ phụ thuộc vào toạ độ điểm đặt lực K và

hình dạng kích thước của mặt cắt ngang ( r 2 , r 2 ) mà không phụ thuộcvào giá trị lực lệch tâm

- Khi điểm đặt của tải trọng di chuyển trên đường thẳng không đi qua gốc toạ độ thì đường trung hoà tương ứng sẽ quay quanh một điểm cố định nào đó

- Khi điểm đặt của tải trọng di chuyển trên đường thẳng đi qua gốc toạ

độ thì đường trung hoà tương ứng sẽ dịch chuyển song song với chính

nó Nếu điểm đặt lực di chuyển gần vào trọng tâm thì đường trung hoà

ra xa trọng tâm và ngược lại

Khái niệm về lõi mặt cắt ngang

- Thường gặp những vật liệu chịu nén tốt, chịu kéo kém (gạch, đá, bê tông,

…) => Khi tính toán, thiết kế các cấu kiện chịu uốn và nén đồng thời hay chịu nén lệch tâm ta phải tìm vị trí điểm đặt lực lệch tâm sao cho trên mặt cắt ngang chỉ chịu ứng suất nén Muốn vật đường trung phải nằm ngoài mặt cắt ngang hoặc cùng lắm là tiếp xúc với chu vi mặt cắt ngang

- Lõi mặt cắt ngang là miền diện tích bao quanh trọng tâm mặt cắt ngang sao cho khi điểm đặt lực lệch tâm nằm bên trong hoặc trên chu vi miền này thì ứng suất pháp trên mặt cắt ngang chỉ mang một dấu (hoặc kéo, hoặc nén)

- Các bước xác định lõi mặt cắt ngang

• Xác định hệ trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang

x K y K

• Tính các mô men quán tính chính trung tâm Ix, Iy; các bán kínhquán tính rx, ry

• Lần lượt vẽ các đường trung hoà tiếp xúc với chu vi mặt cắt ngang

Vị trí đường trung hoà thứ i được xác định bởi các toạ độ ai, bitương ứng Từ đó xác định toạ độ điểm đặt lực lệch tâm:

• Nối các điểm đặt lực Ki để nhận được lõi mặt cắt ngang

Chú ý khi mặt cắt ngang là một đa giác lõm (chữ I, chữ T, chữ U, ), chọn đường trung hoà tiếp xúc với mặt cắt ngang nhưng không được cắt qua mặt cắt ngang

8.4 Thanh chịu uốn và xoắn đồng thời

8.4.1 Định nghĩa

Một thanh được gọi là chịu uốn và xoắn khi đồng thời khi trên các mặt cắt ngang của nó có các thành phần nội lực là mô men uốn Mx, My và cả mô men xoắn Mz

Thanh chịu uốn và xoắn đồng thời khi tải trọng tác dụng vào thanh là các lực tập trung hay lực phân bố có phương vuông góc với trục thanh nhưng không cắt trục thanh (hình 8.11a), hoặc các trục truyền động (hình 8.11b), …

W 4

Hình 8.12Mặt phẳng V của nó cũng là mặt phẳng quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang Như vậy thanh chịu uốn thuần tuý đồng thời với xoắn Đường trung

hoà u vuông góc với mặt phẳng tải trọng V.

A, B là những điểm cách xa đường trung hoà nhất ứng suất pháp tại những điểm này bằng:

Trạng thái ứng suất tại A và B là trạng thái ứng suất phẳng

Điều kiện bền của các phân tố này là:

- Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (Thuyết bền thứ 3)

và σ k ,σ n là các ứng suất nguy hiểm khi kéo và nén

8.4.3 Uốn và xoắn đồng thời thanh mặt cắt ngang chữ nhật

Giả sử trên mặt cắt ngang chữ nhật các thành phần nội lực có chiều như hình vẽ 8.13 Ứng suất pháp có trị số lơn nhất tại các góc, ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm giữa cạnh dài, và điểm có ứng suất tiếp tương đối lớn là tại điểm giữa cạnh ngắn

W W

- Đối với phân tố ở điểm B (TTƯS phẳng)

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (Thuyết bền 3)

+ 3⎜ z ⎟ xoan

+ 3⎜ z ⎟ xoan

(8.29)Theo thuyết bền Mohr

+ 4⎜ z ⎟ xoan

(8.30)

- Đối với phân tố ở điểm C (TTƯS phẳng)

Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất (Thuyết bền 3)

8.5.2 Thanh tròn chịu lực tổng quát

- Thanh tròn chỉ chịu uốn đơn =>

Chọn hệ trục Ouvz làm hệ trục toạ độ với

voz là mặt phẳng tải trọng => mô men uốn:

Kiểm tra bền tương tự như uốn cộng xoắn đồng thời thanh mặt cắt ngang

8.5.3 Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật chịu lực tổng quát

y x

Ta nhận thấy nếu Nz>0 (chịu kéo) => A là điểm có trị tuyệt đối ứng suất pháp lớn nhất, nếu Nz<0 => thì D là điểm có trị tuyệt đối ứng suất pháp lớn nhất Như vậy 3 điểm nguy hiểm nhất là A,B và C (Nz>0)

Trạng thái ứng suất tại A là trạng thái ứng suất đơn và trị số ứng suất pháp tại đây:

Bài 1: Xác định giá trị σ max ,σ min , vị trí đường trung hoà, vẽ biểu đồ ứng suất

pháp tại mặt cắt ngang nguy hiểm của dầm chịu có liên kết, kích thước, và chịu tải trọng như hình vẽ

, chịu tải trọng phân bố đều q=1,5 kN/m theo phương thẳng đứng Mặt cắt ngang của dầm hình chữ nhậtkích thước h=12cm; b=6cm Vẽ biểu đồ mô men uốn của dầm sau đó kiểm tra bền cho dầm Biết ứng suất cho phép của vật liệu dầm

[ σ ] = 1, 2kN / cm2

a a a

Bài 3: Dầm có tiết diện tròn rỗng chịu tải trọng như trên hình vẽ.

1 Vẽ biểu đồ mômen uốn Mx và My

2 Xác định đường kính D theo điều kiện bền của dầm

phỏp tại mặt cắt ngang nguy hiểm của dầm chịu cú liờn kết, kớch thước, và chịu tải trọng như hỡnh vẽ

trung tâm của tiết diện.

2 Xác định lõi của tiết diện

Bài 6: Xỏc định kớch thước mặt cắt ngang của cỏc dầm cú kớch thước và chịu tải

trọng như hỡnh vẽ Biết h/b=4; ứng suất cho phộp của vật liệu dầm

Bài 8: Xỏc định tải trọng cho phộp tỏc dụng lờn cỏc dầm cú kớch thước và chịu

tải trọng như hỡnh vẽ Biết [ σ ] = 16kN / cm2

2 Tìm e max để trên tiết diện chân cột không o

phát sinh ứng suất kéo

Biết H = 2,5 m; d =20 cm; F = 25 kN ;

trọng lượng riêng vật liệu cột γ =18kN/m 3

Bài 10: Cho một cột chịu lực như hình vẽ Tính ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ

nhất trên tiết diện nguy hiểm của cột trong trường hợp:

Bài 11: Một thanh thộp cú bề rộng a, bề dày ∆ bị kộo đỳng tõm bởi lực dọc trục

P đặt ở hai đầu thanh (hỡnh a) Hỏi nếu khoột một rónh sõu a/4 (hỡnh b) thỡ ứng suất phỏp lớn nhất trong thanh tăng bao nhiờu lần? Nếu khoột đối xứng thỡ ứng suất phỏp lớn nhất thay đổi ra sao?

ngang nguy hiểm của cột

2 Vẽ biểu đồ ứng suất pháp tại

mặt cắt ngang nguy hiểm của

2 2

F 1

Bài 14: Cột chịu nén lệch tâm như hình vẽ

1 Xác định ví trí đường trung

hoà ở mặt cắt ngang nguy hiểm

2 Kiểm tra điều kiện bền cho