Vì các điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường trung hoà có trị số ứng suất như nhau nên ta chỉ cần biểu diễn sự biến thiên của ứng suất theo chiều cao mặt cắt ngang.. Biể
Trang 1Chương 7 Tóm tắt lý thuyết và đề bài tập tự giải
Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng
z
Chương 7 Thanh chịu uốn phẳng
A Tóm tắt lý thuyết
1 Định nghĩa
trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.
cắt ngang của nó chỉ có cặp ứng lực là mômen uốn Mx, lực cắt Qy ( hoặc My và Qx ) nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.
với trục thanh
2 Ứng suất trên mặt cắt ngang
2.1 Ứng suất pháp
Ix
Trong đó
trung tâm Ox
Ghi chú: Mx > 0 khi làm căng thớ dưới và Mx < 0 khi làm căng thớ trên.
Do (7.1) phải chú ý đến dấu của mô men uốn và tung độ điểm tính ứng suất nên ta thường dùng công thức kỹ thuật.
Dấu (+) khi điểm tính ứng suất thuộc vùng chịu kéo và dấu (-) khi điểm tính ứng suất thuộc vùng chịu nén
2.2 Đường trung hoà
không bị dãn) trong quá trình biến dạng do chịu uốn.
Trang 2τ σ
yC y
τ
qua trọng tâm mặt cắt ngang)
phần chịu nén
2.3 Biểu đồ ứng suất pháp - Ứng suất pháp cực trị
Từ công thứ tính ứng suất pháp (7.1), nhận thấy rằng các điểm càng xa đường trung hoà thì có trị tuyệt đối của ứng suất càng lớn Vì các điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường trung hoà có trị số ứng suất như nhau nên ta chỉ cần biểu diễn sự biến thiên của ứng suất theo chiều cao mặt cắt ngang Biểu đồ ứng suất pháp đi qua gốc toạ độ như trên hình vẽ, đánh dấu (+) đẻ chỉ ứng suất kéo, và dấu (-) chỉ ứng suất nén.
• Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang có 1 trục đối xứng (hình 7.1)
s
min
Mx
x §TH
max
τ1
2
y
Hình 7.1 Biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang chữ T
• Biểu đồ ứng suất pháp trên mặt cắt ngang có hai trục đối xứng (hình 7.2)
sẽ có giá trị ứng suất pháp kéo lớn nhất, kí hiệu là σzmax ; còn điểm N xa đường
Trang 3σ
σ
x
τ
3
pháp nén lớn nhất kí hiệu là σz min .
Ta có:
σzmax =
k
max
; σz min = −
n
n
= Ix
Thì σzmax = k
x
; σz min = − n
x
(7.5)
cắt ngang có trục x là trục đối xứng thì W k = W n
=
W
và gọi là mômen chống uốn của mặt cắt ngang.
y
min
Mx
x §TH
Hình 7.2 Biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang chữ nhật
- Mặt cắt ngang hình chữ nhật (b x h; trục x song song với cạnh đáy b)
bh2
Wx =
- Mặt cắt ngang hình tròn (đường kính D; trục x đi qua trọng tâm O)
(7.7)
x
32
- Mặt cắt ngang hình vành khăn (đường kính trong d, đường kính ngoài D)
πD3
πd3
−
Trang 4x
Trang 5W
W
n
n
2.4 Ứng suất tiếp
Với mặt cắt ngang dạng hình chữ nhật hẹp b << h Ứng suất tiếp tuân theo giả thiết Zuravxki:
Q Sc
τyz = y x
Trong đó:
- Qy là lực cắt theo phương y tại mặt cắt
ngang.
với trục x.
- bc chiều rộng của mặt cắt ngang tại điểm tính
ứng suất
y
x §TH
c b=b
- A C
là phần diện tích bị cắt (là phần diện tích giới hạn bởi chiều rộng mặt cắt ngang tại điểm tính ứng suất và mép ngoài của mặt cắt ngang)
- S c là mô men tĩnh của phần diện tích bị cắt A C đối với trục x
Biểu đồ ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang chữ T, và mặt cắt ngang chữ nhật thể hiện trên hình vẽ 7.1 và 7.2
3 Điều kiện bền
3.1 Thanh chịu uốn thuần tuý.
Với vật liệu dòn - ứng suất cho phép khi kéo và nén khác nhau nên
x
x
Với vật liệu dẻo - ứng suất cho phép khi kéo và nén như nhau nên
max { σ max ,σ min } ≤ [ σ ]
3.2 Thanh chịu uốn ngang phẳng
Trên mặt cắt có 3 loại điểm ở ba trạng thái ứng suất khác nhau
(7.11)
a Điều kiện bền của những điểm ở trạng thái ứng suất đơn (các điểm ở mép trên
và dưới của mặt cắt ngang )
Trang 6W
y x
n
n
+ Với vật liệu dẻo:
- Mặt cắt cần kiểm tra: mặt cắt ngang có mô men uốn lớn nhất về trị tuyệt đối
max { σ max ,σ min } ≤
[ σ ]
(7.12)
+ Với vật liệu dòn: nếu tiết diện có trục x là trục đối xứng thì mặt cắt ngang
cả mặt cắt ngang có mô men dương lớn nhất
σ = Mx ≤ [ σ ] = σok
x
≤ [ σ ] = σon
x
b Điều kiện bền của những điểm ở trạng thái ứng suất trượt thuần tuý.
Mặt cắt cần kiểm tra là mặt cắt ngang có trị tuyệt đối của Qy lớn nhất Điểm kiểm tra là các điểm nằm trên đường trung hoà
τmax = Q Scx
Trong đó [τ] được lấy tuỳ theo thuyết bền.
c Điều kiện bền của những điểm ở trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt
Mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt ngang có Mx và Qy cùng khá lớn Điểm kiểm tra là những điểm mà tại đó có sự thay đổi đột ngột về kích thước mặt cắt ngang (điểm tiếp xúc giữa lòng và đế của mặt cắt ngang chữ I)
+
Chú ý:
tắc ta đều phải kiểm tra cho cả ba loại trạng thái ứng suất đã nêu trên Tuy nhiên kết quả thống kê cho thấy điều kiện bền cho trạng thái ứng suất đơn là quan trọng nhất.
Trang 73.3 Ba bài toán cơ bản
a Bài toán kiểm tra điều kiện bền
Trang 8Cho biết: Sơ đồ kết cấu, kích thước hình học thanh, tải trọng và ứng suất cho phép Yêu cầu: Kiểm tra điều kiện bền cho thanh
Mx
σmax =
W x ≤ [ σ ]
b Bài toán chọn kích thước mặt cắt ngang
Cho biết: Sơ đồ kết cấu, dạng hình học của thanh, tải trọng và ứng suất cho phép Yêu cầu: Chọn kích thước nhỏ nhất của thanh
σmax =
W x ≤ [ σ ] => W x
≤
Mx
c Bài toán tìm tải trọng cho phép tác dụng lên kết cấu
Cho biết: Sơ đồ kết cấu, kích thước hình học của thanh, ứng suất cho phép của vật liệu, vị trí và phương chiều của tải trọng
Yêu cầu: Tìm giá trị cho phép lớn nhất của tải trọng có thể tác dụng vào kết cấu theo điều kiện bền
σ = Mx ≤ [ σ ] =>
M
≤ W [ σ ]
x
4 Biến dạng của dầm chịu uốn
a Độ cong của đường đàn hồi
1
với ρ - bán kính cong của đường đàn hồi
Mx - mô men uốn nội lực tại mặt cắt ngang đang xét
EIx - độ cứng của dầm chịu uốn
b Phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi
y''
= − Mx
EIx
c Phương pháp tích phân trực tiếp xác định đường đàn hồi
(7.15)
Từ phương trình vi phân gần đúng (7.15) lấy tích phân lần thứ nhất ta được góc xoay
Trang 9Tích phân lần thứ hai ta được biểu thức tính độ võng
Trang 10y=0 y=0
ϕ 0 ϕ 0
y=0
ϕ 0 ϕ 0 ϕ 0
Mgt =0 Mgt =0
⎥
gt
x
y(z) =∫ ⎡⎢∫− Mx dz + C ⎤.dz +
D
(7.17)
trong đó C và D là hai hằng số tích phân, được xác định nhờ vào điều kiện biên chuyển vị
- Nhược điểm: cồng kềnh về mặt toán học khi dầm gồm nhiều đoạn, do phải giải
hệ phương trình để xác định các hằng số tích phân (2n phương trình 2n ẩn số khi dầm gồm n đoạn)
d Phương pháp tải trọng giả tạo để xác định đường đàn hồi
- Nếu ở phương trình vi phân gần đúng ( 12-6 ) ta đặt
thì quan hệ giữa
EIx
y(z) , ϕ(z) , qgt (z) giống như quan hệ giữa mômen uốn, lực cắt và cường độ của tải trọng phân bố trong biểu thức liên hệ vi phân giữa chúng Chúng ta sẽ tận dụng kỹ năng tìm lực cắt và mômen uốn khi biết tải trọng phân bố để áp dụng vào bài toán tìm góc xoay và độ võng
- Tưởng tượng chọn một dầm không có thực - gọi là dầm giả tạo và đặt tải trọng phân bố q (z) = − Mx
gt
EI
vào nó thì lực cắt và mômen uốn ở dầm giả tạo do qgt (z) gây ra tại mặt cắt ngang nào đó chính là góc xoay và độ võng ở dầm thực ban đầu tại mặt cắt ngang
đó do tải trọng thực gây ra Quy tắc để chọn dầm giả tạo như sau:
Dầm giả tạo phải có chiều dài bằng chiều dài của dầm thực.
Liên kết phải sao cho điều kịên biên về nội lực tại các liên kết trên dầm giả tạo phải phù hợp với điều kiện biên về chuyển vị trên dầm thực tại các vị trí đó.
Bảng chọn dầm giả tạo lập sẵn
Trang 11Các b ư ớ c t hự c h i ệ n:
- Vẽ biểu đồ mô men uốn trên dầm thực Chia tung độ biểu đồ cho độ cứng EI để
có trị số của tải trọng giả tạo
- Nếu Mx>0 thì qgt<0 (chiều hướng xuống); Mx<0 thì qgt>0 (chiều hướng lên)
- Thay thế liên kết trên dầm thực bằng các liên kết trên dầm giả tạo theo mẫu
- Tính Qgt và Mgt trên dầm giả tạo tại những mặt cắt ngang cần xác định độ võng
và góc xoay trên dầm thực
Phương pháp tải trọng giả tạo chỉ có ưu thế khi biểu đồ mô men uốn trên dầm thực
là các diện tích dễ xác định trọng tâm và dễ tính diện tích
e Phương pháp thông số ban đầu để xác định đường đàn hồi
- Xét dầm chịu uốn ngang phẳng gồm n đoạn, đánh số thứ tự 1,2,…,i, i+1, ,n từ
trái sang phải Độ cứng mỗi đoạn là E1I1, E2I2,…, EnIn Xét hai đoạn kề nhau thứ i và i+1
có liên kết dạng đặc biệt sao cho độ võng và góc xoay tại đây có bước nhảy Δya , Δ ϕa , tại mặt cắt ngang giữa hai đoạn có lực tập trung và mô men tập trung, đồng thời lực phân bố cũng có bước nhảy
qi
F0
q0
Fa
qi+1
y0
y
Δya
y (a)
i
y (a)
i+1
ϕ (a)
i
Hình 7.3
ϕ (a)
i+1
- Gọi độ cứng qui ước trên cả chiều dài dầm là EI - là bội số chung nhỏ nhất của tất cả các độ cứng trên mỗi đoạn trên chiều dài dầm Đặt
K1 =
E I , K2 =
E I , , Ki =
E I , Ki +1 =
1 1 2 2 i i i +1 i+1
- Bằng các phép biến đổi toán học (khai triển Taylor hàm độ võng tại z=a), sử dụng quan hệ vi phân giữa các thành phần ứng lực và tải phân bố, ta nhận được công thức truy hồi của hàm độ võng (hàm độ võng trên đoạn thứ i+1 được xác định khi biết hàm độ võng trên đoạn thứ i)
Trang 12[ ]
⎢ ⎥
l
1
5
yi+1 ( z) = yi ( z) + Δya + Δϕa ( z − a)
−
Ki +1M i+1 (a) − Ki M i (a) −
EI
2!
[ Ki+1qi+1 (a) − Ki qi (a) ] ( z − a)4−
EI
− 1 ⎡K q'
3!
(a) − K q' (a)⎤ ( z − a)
−
Khi độ cứng của dầm EI=const trên cả chiều dài thì
yi +1 ( z) = yi ( z) + Δya + Δϕa ( z − a) −
Ki = Ki+1 = 1, do vậy
1 ⎡
a)5
⎤ + −
(7.19)
với ΔM a = M a ;ΔQa = Qa ; Δqa = qi+1 (a) − qi (a)
;
Δq' = q' (a) − q' (a) ;…
- Từ ((7.19), ta thấy rằng, chỉ cần xác định được độ võng đoạn thứ nhất thì bằng công thức truy hồi có thể xác định được độ võng trên tất cả các đoạn còn lại
⎤
y ( z) =
EI ⎢ 0 2! 0 3! 0 4! 0 5! ⎥
Các thông số y , ϕ , M , Q ,
' , gọi là các thông số ban đầu và được xác định từ điều kiện biên
0 0 0 0 0 0
Chú ý: - Chiều dương của mô men tập trung, lực tập trung, tải trọng phân bố như
hình vẽ 7.3
- Nếu liên kết giữa hai đoạn thứ i và i+1 là khớp treo thì Δya = 0
- Nếu hai đoạn thứ i và i+1 là liền nhau thì
5 Điều kiện cứng của dầm chịu uốn
Δya = Δ ϕa = 0
Điều kiện cứng của dầm chịu uốn có nhiều dạng, dạng thường sử dụng hơn cả là:
ymax
l ≤
⎡ y ⎤
⎣ l ⎦
(7.21)
trong đó: l là chiều dài nhịp dầm có độ võng lớn nhất ymax
⎡ y ⎤
⎢ ⎥ là độ võng tương đối cho phép của dầm - lấy theo quy phạm của nhà nước
Trang 13l l
⎣ ⎦
chẳng hạn, với dầm phụ: ⎡ f ⎤ = 1 ÷ 1 ; với dầm chính: ⎡ f ⎤ = 1 ÷ 1
6 Bài toán siêu tĩnh:
Cần phải sử dung điều kiện chuyển vị để xác định phản lực tại liên kết thừa
Trang 14M
B Các bài tập tự giải
7.1 Cho dầm có kích thước mặt cắt ngang và chịu tải trọng như hình vẽ Tính giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại điểm C thuộc mặt cắt ngang 1-1 của dầm Biết q=10kN/m; a=1m; F=qa; M0=qa2, các kích thước theo cm
1
0
1
(a)
1
(b)
C
C 1
(c)
6 12 6 7.2 Cho dầm có kích thước mặt cắt ngang và chịu tải trọng như hình vẽ Vẽ biểu đồ các thành phần ứng lực của dầm Vẽ biểu đồ ứng suất pháp và ứng suất tiếp tại mặt cắt ngang 1-1 của dầm Cho a=1m; q=10kN/m; M=qa2/2; F=qa; d=4cm; δ = 1cm
1
4d
2 δ
12 δ
Trang 15q
7.3 Cho dầm có liên kết và chịu lực như hình vẽ.
1.Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm.
2.Xác định kích thước mặt cắt ngang theo điều kiện bền ứng suất pháp.
a) Biết a=1m ; q=10kN/m ; vật liệu có [σ]=1,2 kN/cm2 .
M=qa2 q
b
b) Biết a=2m ; q=15kN/m ; vật liệu có [σ]=16 kN/cm2 .
F=qa
q
C
c) Biết a=1,5m ; q=5kN/m ; vật liệu có [σ]=1,2 kN/cm2 .
F=qa
7.4 Cho dầm có liên kết và chịu lực như hình vẽ.
1.Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm.
2.Xác định tải trọng cho phép theo điều kiện bền ứng suất pháp.
a Biết a=0.5m; d=8cm; D=10cm; [σ]=16 kN/cm2 .
M=qa2
B
d
Trang 16b Biết a=1m; mặt cắt ngang chữ U số 27 và ứng suất cho phép [σ]=16 kN/cm2 Với tải trọng cho phép tìm được hăy kiểm tra điều kiện bền cho trạng thái ứng suất trượt thuần túy và trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt.
F=qa
F=2qa
7.5 Cho dầm có liên kết và chịu lực như hình vẽ.
1.Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm.
2.Kiểm tra điều kiện bền cho dầm.
d B
b
7.6 Cho dầm có liên kết và chịu lực như hình vẽ.
1.Vẽ các biểu đồ ứng lực cho dầm.
2.Kiểm tra điều kiện bền cho dầm.
q
M
a
a a
7.7 Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, viết phương trình độ võng và góc xoay trên chiều dài dầm Xác định độ võng tại B và góc xoay tại C, biết EI=const
Trang 17M
C L/2
B, C
L
7.8 Dùng phương pháp tích phân trực tiếp, viết phương trình độ võng và góc xoay
trên chiều dài dầm Xác định độ võng và góc xoay tại C, biết EI=const
7.9 Dùng phương pháp tải trọng giả tạo xác định độ võng tại B và góc xoay tại C,
biết EI=const
F
F M=Fa
C
(c)
(d)
7.10 Dùng phương pháp thông số ban đầu xác định độ võng tại B và góc xoay tại
C, biếtEI=const
Trang 18F=qa q
M=qa C
B
Bài tập tham khảo