luận văn căn và đế của module

3 Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Cấu trúc module xuất hiện trong hầu hết các lí thuyết toán học hiện đại, nó có khả năng thống nhất một cách bản chất các cấu trúc vành, ideal, nhóm Abel và không gian véc tơ. Tính linh hoạt và phổ quát của module đ mang lại những ứng dụng to lớn. Thông qua lí thuyết module, chúng ta sẽ có dịp soi sáng, củng cố lí thuyết về không gian véc tơ và nhiều lí thuyết toán học khác. Trong lí thuyết module, chúng ta đ biết đến module con tối đại và module con đơn, từ đó chúng ta xây dựng đợc khái niệm căn và đế của module. Đây là hai công cụ quan trọng rất có hiệu lực trong việc nghiên cứu, tìm hiểu lí thuyết module. Căn và đế của module cùng với những tính chất của nó đ trở thành những kiến thức cơ sở đóng vai trò to lớn trong việc nghiên cứu về đồng cấu vành và một số module nh: Module hữu hạn sinh, module nội xạ, module xạ ảnh, Từ đó chúng ta có khả năng tìm hiểu sâu hơn một số đặc trng của vành và module. Là sinh viên ngành S phạm Toán, trên cơ sở đ đợc trang bị những kiến thức nền tảng về module và với mong muốn đợc học hỏi, trau dồi thêm vốn kiến thức về toán học nói chung và lí thuyết module nói riêng. Chính vì vậy tôi đ lựa chọn đề tài: Căn và đế của module cho khoá luận tốt nghiệp của mình. Trong đề tài này tôi dự kiến hệ thống những kiến thức cơ bản nhất về module làm cơ sở lí luận để tìm hiểu căn và đế và từng bớc đi sâu nghiên cứu nó. Thêm vào đó tôi còn trình bày hệ thống bài tập áp dụng nhằm hiểu sâu hơn phần lí thuyết. 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống hoá một cách khoa học các khái niệm về module, căn và đế của module kèm theo các ví dụ minh hoạ, nghiên cứu tính chất cơ bản của căn và đế, đi sâu nghiên cứu căn và đế của một số lớp vành, module. Ngoài ra, khoá luận còn đa ra hệ thống các bài tập nhằm vận dụng và củng cố lí thuyết. 3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu Đối tợng chính mà khoá luận nghiên cứu là căn và đế của module, trong 4 đó tập trung vào các tính chất của nó. Bên cạnh đó, khoá luận còn trình bày hệ thống các khái niệm bổ trợ có thể coi nh kiến thức chuẩn bị phục vụ cho việc nghiên cứu các đối tợng chính và hệ thống bài tập áp dụng nhằm củng cố lí thuyết. 4. Phơng pháp nghiên cứu + Phơng pháp nghiên cứu lí luận: Trớc hết là đọc các tài liệu liên quan đến đại số hiện đại, module để tìm hiểu cơ sở lí luận làm tiền đề nghiên cứu đối tợng chính. Sau đó là đọc, nghiên cứu và hiểu về định nghĩa, tính chất của căn và đế module qua các tài liệu liên quan. + Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng hợp và hệ thống hoá kiến thức về vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học, đa vào các ví dụ minh hoạ chi tiết. 5. ý nghĩa khoa học và thực tiễn Khoá luận có thể là tài liệu tham khảo cho những sinh viên chuyên ngành Toán có mong muốn tìm hiểu sâu hơn về cấu trúc của module mà cụ thể là về căn và đế của module. 6. Bố cục của khoá luận Ngoài các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của khoá luận gồm ba chơng. Chơng 1: Kiến thức chuẩn bị Chơng này trình bày một cách có hệ thống những kiến thức cơ bản nhất về lí thuyết module. Cụ thể là: Đại cơng về module: Trong đó bao gồm các nội dung nh tìm hiểu về module, module con, module thơng, đồng cấu module, tích trực tiếp và tổng trực tiếp các module, một số module thờng gặp. Sau đó là trình bày những vấn đề cơ bản của một số cặp module đặc biệt có tính chất đối ngẫu với nhau nh: Module con cốt yếu, đối cốt yếu; module xạ ảnh, nội xạ; module sinh, đối sinh; module Noether, Artin. Chơng 2: Căn và đế của module Đây là chơng chứa đựng nội dung chính của khoá luận. Trong đó tìm hiểu định nghĩa và các tính chất của căn và đế module. Từng bớc đi sâu nghiên cứu căn và đế trên cơ sở nghiên cứu căn của module xạ ảnh, module hữu hạn sinh, đế của module hữu hạn đối sinh, căn của vành 5 Chơng 3: Bài tập áp dụng Chơng này trình bày hệ thống bài tập cùng lời giải nhằm áp dụng và củng cố lại phần lí thuyết đ trình bày ở hai chơng trớc đó. Ngoài ra là một số bài tập đề nghị dành cho ngời đọc muốn tìm hiểu thêm về module, căn và đế của module. Trong toàn bộ khoá luận, khái niệm vành luôn đợc giả thiết là vành giao hoán có đơn vị 1 0 . 6 Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị Chơng này trình bày những khái niệm về module, module con, module thơng, đồng cấu module, tích trực tiếp và tổng trực tiếp các module, một số loại module thờng gặp nh module đơn, module tối đại, module tự do, và một số lớp module quan trọng có tính chất đối ngẫu: Module con cốt yếu, đối cốt yếu; module xạ ảnh, nội xạ; module sinh, đối sinh; module Noether, Artin. Đây là những kiến thức mở đầu giúp chúng ta tiếp cận và tìm hiểu về căn và đế của module. 1.1. Đại cơng về module Trong phần này ta tìm hiểu những kiến thức chung nhất về module, đồng cấu module, tích trực tiếp và tổng trực tiếp các module, một số loại module thờng gặp. 1.1.1. Module, module con, module thơng Định nghĩa 1. Cho R là một vành. M là một nhóm cộng Abel. Trang bị cho M phép nhân ngoài với các phần tử của R: R ì M M (r, x) rx thoả mn các điều kiện : (i) (a + b)x = ax + bx (ii) a(x + y) = ax + ay (iii) (ab)x = a(bx) (iv) 1.x = x Với mọi a, b R; x,y M. Khi đó M đợc gọi là R- module hay module trên vành R. Ví dụ: (i) Mỗi ideal của vành R là một R- module. (ii) Mỗi vành cũng là một module trên chính nó. (iii) K là một trờng, các K- module chính là các không gian vectơ trên chính nó. (iv) Mỗi nhóm Abel cộng M đợc coi là một - module với phép nhân ngoài đợc xác định nh sau: Với mỗi x M và n thì nx = x + x + + x (tổng gồm n phần tử x) với n + ; 0x = 0 M ; nx = (-n)(-x) nếu n . Các ví dụ trên chứng tỏ rằng khái niệm module là một khái niệm tổng quát của 7 các khái niệm: Vành, ideal, không gian vectơ và nhóm Abel. Định nghĩa 2. Mỗi tập con không rỗng N của một R- module M đợc gọi là một R- module con của M nếu bản thân N cũng là một R- module với hai phép cộng và nhân trong M thu hẹp vào N. Khi đó M đợc gọi là module mở rộng của N. Ví dụ: (i) Với M là R- module. {0} và M là hai R- module con tầm thờng của M. (ii) Mọi nhóm con của một nhóm Abel M là Z - module con của M. (iii) M là R- module. Khi đó với x M; Tập hợp Rx ={rx | r R} là một R- module con của M (module con xyclic sinh bởi x). (iv) R là vành. Vành đa thức R[x, y] là một R- module. Khi đó R[x] là một R- module con của R[x, y]. Mệnh đề 1. Mỗi tập con N của R- module M là một R- module con của M khi và chỉ khi 0 M N và ax by N + với mọi , ; , . x y N a b R Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên. Điều kiện đủ: Vì 1. ( 1). x y x y N = + với mọi , x y N nên N là một nhóm con của nhóm cộng M. Mặt khác do 0 .0 R M ax ax N = + với mọi x N và a R nên N đóng kín với phép nhân ngoài. Bốn tiên đề của module thoả mn cho N vì N là con của R- module M. Vì vậy N là một R- module con của M. Định nghĩa 3. Cho M là R- module và N là một module con của M. Khi đó N là một nhóm con của nhóm Abel (M, +) nên ta có nhóm thơng: M N = { | x x N x M = + } cùng hai phép toán: +) Phép cộng: 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) x N x N x x N + + + = + + +) Phép nhân vô hớng: R M N M N ì ( , ) r x N rx N + + Với 1 2 , , ; . r R x x x M Khi đó M N cũng là một R- module và gọi là module thơng của module M theo module N. Ví dụ: (i) R là vành, I là một ideal của R. Khi đó R I là R- module và: 8 R I = { x = x + I, x R } (ii) n * ; n n = là module. Định nghĩa 4. Cho M là một R- module. Cái triệt của M đợc kí hiệu là Ann(M), là tập tất cả các phần tử a R sao cho ax = 0, x M . Ví dụ: Với I là một ideal của vành R. Khi đó cái triệt của R- module R I là Ann( R I ) = I. 1.1.2. Đồng cấu module Định nghĩa 5. Cho M, N là các R - module. Một ánh xạ : f M N đợc gọi là một đồng cấu R - module hay ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mn hai điều kiện: (i) ( ) ( ) ( ) f x y f x f y + = + (ii) ( ) ( ) f ax af x = Với mọi , ; . x y M a R Nhận xét: (i) f là đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì tơng ứng đồng cấu là: Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. (ii) Nếu } { ( ) 0 N f M = thì f đợc gọi là đồng cấu không và kí hiệu là 0. (iii) 1 { | ( ) 0} (0): Kerf x M f x f = = = Hạt nhân hay hạch của . f Im ( ) { | : ( )} f f M y N x M y f x = = = đợc gọi là ảnh của . f Nếu M N = thì f là tự đồng cấu của . M Nếu f là đẳng cấu, khi đó M và N là R - module đẳng cấu viết là . M N Ví dụ: (i) Cho N là R - module con của module . M ánh xạ N M : Phép nhúng chính tắc là một đẳng cấu. x x (ii) M N là một đồng cấu 0. 0 x (iii) Cho N là R - module con của module . M Xét ánh xạ : p M M N _ x x 9 p là một toàn cấu chiếu chính tắc và Im ; . p M N Ker p N = = Mệnh đề 2. ánh xạ : f M N là một đồng cấu các R - module khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ); , ; , . f ax by af x bf y a b R x y M + = + Chứng minh. ( ) f là đồng cấu. Ta chứng minh ( ) ( ) ( ) f ax by af x bf y + = + Vì f là đồng cấu nên , , , a b R x y M ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). f ax by f ax f by af x bf y + = + = + ( ) Ngợc lại nếu ( ) ( ) ( ); , ; , f ax by af x bf y a b R x y M + = + thì ( ) (1. 1. ) 1. ( ) 1. ( ) ( ) ( ) f x y f x y f x f y f x f y + = + = + = + ( ) ( 0 ) ( ) 0 ( ) ( ). f ax f ax y af x f y af x = + = + = Vậy f là một đồng cấu. Mệnh đề 3. Nếu các ánh xạ : f M M và : g M M là hai đồng cấu các R - module thì ánh xạ tích : gf M M cũng là một đồng cấu module. Chứng minh. Ta có ( ) [ ( )] [ ( ) ( )] gf ax by g f ax by g af x bf y + = + = + [ ( )] [ ( )] ag f x bg f y = + ( ) ( ) , ; , agf x bgf y a b R x y M = + Do đó gf là một đồng cấu module. Nhận xét: Cho : f M N là R - đồng cấu module. Khi đó ta có: (i) f là đồng cấu 0 khi và chỉ khi . Ker f M = (ii) f là toàn cấu khi và chỉ khi Im . f N = (iii) ( ) ( ) ; (0 ) (0 ) M N f x f x x M f f = = . (iv) Nếu U là module con của M; V là module con của N thì 1 ( ) f V là module con của M. Đặc biệt Kerf là module con của M, ( ) f U là module con của N. Định nghĩa 6. Cho M và N là các R - module. Kí hiệu ( , ) R Hom M N là tập gồm tất cả các R - đồng cấu từ M vào N. Với , ( , ) R f g Hom M N và , a b R ta có: ( )( ) ( ) ( ) . af bg x af x bg x x M + = + Khi đó: ( )( ) [ ]( ) [ ]( ) af bg cx dy c af bg x d af bg y + + = + + + , ; , . x y M c d R Do đó ( , ). R af bg Hom M N + 10 Tập ( , ) R Hom M N với các phép toán xác định nh trên trở thành một R - module và gọi là module các đồng cấu từ M đến N. Định lí 1 (Định lí đồng cấu module). Cho : f M N là một đồng cấu các R - module và : p M M Kerf là một toàn cấu chính tắc. Khi đó tồn tại duy nhất một đơn cấu _ : f M Kerf N _ ( ) x f x Sao cho biểu đồ sau giao hoán: Tức là _ . f p f = Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh f là ánh xạ. Thật vậy, có _ x M Kerf nên _ . x x Kerf x M = + Giả sử x x khi đó . x x = Suy ra x x Kerf hay ( ) 0 f x x = . Do đó ( ) ( ) 0 f x f x = (vì f là đồng cấu) hay ( ) ( '). f x f x = Vậy từ ' x x = ta có ( ') ( ). f x f x = Do đó f là ánh xạ. Ta có f là một đồng cấu vì: ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) f ax by f ax by f ax by af x bf y + = + = + = + = ( ) ( ); , , , . a f x b f y x y M a b R + Mặt khác x Ker f nên ( ) 0 ( ) . f x f x x M = = Vậy . f p f = Hệ quả 1. Cho : f M N là một đồng cấu các R- module. Khi đó ta có Im . M Kerf f Và nếu f là toàn cấu thì . M Kerf N Chứng minh. Thật vậy với : f M Kerf N ( ) ( ) x f x f x = là đơn cấu thì Im . M Kerf f Mặt khác Im Im f f = nên Im . M Kerf f Nếu f là toàn cấu thì Im . f N = Do đó . M Kerf N Hệ quả 2. Cho P là module con của N; N là module con của M. Khi đó ta có: ( ) ( ). M N M P N P M K erf f M N f p 11 Chứng minh. Xét đồng cấu : f M P M N x P x N + + Với mọi . x M Dễ thấy f là toàn cấu nên . Im f M N = Ta có: | ( ) 0 . { } { | ( ) 0, } { | | } x f x Kerf x P f x x M x P x N x M N P = = = + = = + = Vậy . { | | } Kerf x P x M x N N P = + = Do đó áp dụng Hệ quả 1 ta có: ( ) ( ) M P N P M N Hệ quả 3. Nếu M và N là hai module con của cùng một module thì ta có: . ( ) ( ) M N N M M N + Chứng minh. Xét đồng cấu : ( ) f M M N N + ( ) x f x x x N = = + Ta sẽ chỉ ra f là toàn cấu. Thật vậy với mỗi ( ) z z N M N N = + + ta có z x y = + với , . x M y N Do đó z z N x y N x N = + = + + = + vì y N suy ra ( ) . f x z = Vậy với mỗi ( ) z M N N + luôn tồn tại x M để ( ) f x z = nên f là một toàn cấu. Từ đó suy ra . Im ( ) f M N N = + Mà { | ( ) 0} { | } Kerf x M f x x x M x N = = = = M N = Do đó áp dụng Hệ quả 1 có . ( ) ( ) M M N M N N + 1.1.3. Tích trực tiếp, tổng trực tiếp các module Định nghĩa 7. Cho I là một tập khác rỗng. Giả sử ( ) I M là một họ các R- module chỉ số hóa bởi I. Khi đó ta xây dựng hai khái niệm: (i) Tích trực tiếp: Kí hiệu M = I M là tích Descartes của ( ) I M . Ta xây dựng phép cộng trong M và phép nhân ngoài các phần tử của R với phần tử của M: a) ( ) ( ) ( ) I I I x y x y + = + b) ( ) ( ) I I a x ax = Với mọi ,( ) ; ( ) . I I a R x M y M Với hai phép toán này M là một R- module. R- module M xây dựng nh trên đợc gọi là tích trực tiếp của họ các R- module 12 ( ) I M . Ta có I M = { ( ) | I x x M }. Nếu M N I = thì ta kí hiệu I M bởi . I N (ii) Tổng trực tiếp: Trong M = I M ta lấy tập con I M bao gồm tất cả các phần tử của M với các thành phần bằng 0 hầu hết chỉ trừ mội số hữu hạn thành phần có thể khác 0. Tức {( ) | ; 0 I I M x x M x = = trừ một số hữu hạn } . Khi đó I M cũng là R- module và là module con của I M . I M đợc gọi là tổng trực tiếp của họ các R- module ( ) I M . Nếu M = N I thì ta kí hiệu I M bởi ( ) . I N Nhận xét: (i) Nếu họ các R- module ( ) I M chỉ gồm một số hữu hạn các module thì ta có: I M = I M (ii) Nếu coi vành R là R- module thì tích trực tiếp của nR- module R kí hiệu là . n R Định nghĩa 8 (Tổng trực tiếp trong). Cho { } I N là một họ tùy ý các module con của R- module M. Khi đó nếu [ ] I N N ={0} I thì I N đợc gọi là tổng trực tiếp trong của họ các module con đ cho. Kí hiệu là N I ; N I ={ | ; 0 I x x M x = hầu hết trừ một số hữu hạn}. Một module con N của M đợc gọi là hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại một module con F của M để M = N F. Ví dụ: R là vành. Khi đó vành đa thức R[x, y] là một R- module nhận R[x] và yR[x, y] làm các R- module con của nó và ta có R[x, y] = R[x] yR[x, y]; R[x] và yR[x, y] là các hạng tử trực tiếp của R[x, y]. Nhận xét: N là tổng trực tiếp trong của họ { } I N khi và khi mỗi phần tử x của có thể biểu diễn một cách duy nhất dới dạng sau: [...]... hơn về căn v đế trên cơ sở tìm hiểu về căn của module xạ ảnh, căn của module hữu hạn sinh, đế của module hữu hạn đối sinh, căn của v nh 2.1 Căn v đế của module Ta sẽ tìm hiểu định nghĩa căn v đế của module v một v i tính chất ban đầu để có thể lấy đợc ví dụ về căn v đế Định nghĩa 1 Cho R- module M 1) Ta gọi giao của tất cả các module con tối đại của M l căn Jacobson (hay đơn giản l căn) của module. .. họ tuỳ ý các module con của một R- module Khi đó ta có các kết quả sau: (i) N v N l các R- module con của M I I (ii) Nếu họ {N }I lồng nhau thì N cũng l một module con của M I Định nghĩa 12 Giả sử S l một tập con của một R- module M Khi đó giao của tất cả các module con chứa S của M cũng l một module con của M v đợc gọi l module con của M sinh bởi S Kí hiệu: l module con của M bé nhất... Artin Do đối ngẫu với module Noether nên module Artin cũng có những tính chất đối ngẫu với Mệnh đề 17, 18 Mệnh đề 20 (i) Nếu module M l tổng hữu hạn của những R- module con Artin thì M cũng l R- module Artin (ii) Nếu v nh R l Artin v M l R- module hữu hạn sinh thì M l Artin 36 Chơng 2 căn và đế của module Chơng n y trình b y khái niệm về căn v đế của module, những tính chất cơ bản của nó, từng bớc nghiên... Rad(M) Nếu M không có module con tối đại thì ta quy ớc Rad(M) = M 2) Ta gọi tổng của tất cả các module con đơn của M l đế của module M v kí hiệu bởi Soc(M) Nếu M không có module con đơn thì ta quy ớc Soc(M) = 0 Nh vậy: Rad(M) = A , A chạy khắp tập các module con tối đại của M A M Soc(M) = E , E chạy khắp tập các module con đơn của M E M Để tìm hiểu các tính chất của căn v đế ta cần đến bổ đề v mệnh đề... gọi N l module con của M sao cho: D N M; N M Do đó N Mặt khác vì D l phần tử tối đại của nên N = D Vậy D l module con tối đại của M Ta có điều phải chứng minh Hệ quả 4 Mỗi module hữu hạn sinh M 0 đều chứa module con tối đại Mệnh đề 8 Cho R- module M, N v K l các module con của M Khi đó module con S sinh bởi N v K l module N + K = {x + y | x N; y K} Chứng minh Ta có N + K l module con của M N... i1 1 A không l module con cốt yếu của F 20 (iii) Mỗi module hữu hạn sinh trong - module l đối cốt yếu trong module Thật vậy, gọi A l module con của sinh bởi tập hữu hạn {q1, q2 , , qn} E l một module con của sao cho: A + E = Khi đó {q1 , q2 , , qn } E l một hệ sinh của - module v bản thân E l một hệ sinh của Do đó E = Vậy A 0 Mệnh đề 12 1) Nếu trong M có d y những module con: A... Cho M l R- module M đợc gọi l module đơn nếu M l module khác 0 v chỉ có hai module con l 0 v chính nó Ví dụ: (i) K l một trờng, mọi K- không gian vectơ chiều 1 l K- module đơn (ii) Với l một module trên chính nó, khi đó không phải l - module đơn vì: 0 2 , với 2 l module con thực sự của Nhận xét: Module đơn luôn sinh bởi một phần tử (module đơn sinh) Thật vậy, giả sử M l module l R- module đơn... A C từ R- module A đến R- module C đợc gọi l cốt yếu nếu Im l module con cốt yếu trong C Đơn cấu : A Q gọi l bao nội xạ của A nếu Q l module nội xạ v l đơn cấu cốt yếu Khi đó ta cũng gọi Q l bao nội xạ của A v kí hiệu Q = I ( A) Ví dụ: Đơn cấu chính tắc i : trên v nh l bao nội xạ vì - module l nội xạ v l - module con cốt yếu trong - module 1.4 Module sinh, đối sinh 1.4.1 Module sinh... R- module đơn nên M 0 Do đó tồn tại x M \ {0} Xét Rx có x Rx vì x = 1 x Rx với 1 R Do đó 0 Rx M Mặt khác vì M l module đơn nên Rx = M Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 10 Cho N l một module con của R- module M Khi đó R- module N l cực đại nếu v chỉ nếu module thơng M N l đơn Chứng minh N l module cực đại của M nếu v chỉ nếu N M v không có module con P của M sao cho N P M , tức l module. .. cấu mở rộng của f thì (ei ) = f (ei ), i I v ( ei xi ) = (ei ) xi = f (ei ) xi = ( ei xi ) Do đó = Vậy ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Mọi R- module M đều đẳng cấu với thơng của một R- module tự do 1.2 Module con cốt yếu, đối cốt yếu 1.2.1 Module con cốt yếu Định nghĩa 16 Module con A của module M đợc gọi l module con cốt yếu (hay lớn) trong M nếu mỗi module con khác không B của M ta luôn . niệm về module, căn và đế của module kèm theo các ví dụ minh hoạ, nghiên cứu tính chất cơ bản của căn và đế, đi sâu nghiên cứu căn và đế của một số lớp vành, module. Ngoài ra, khoá luận còn. module Đây là chơng chứa đựng nội dung chính của khoá luận. Trong đó tìm hiểu định nghĩa và các tính chất của căn và đế module. Từng bớc đi sâu nghiên cứu căn và đế trên cơ sở nghiên cứu căn. về module, module con, module thơng, đồng cấu module, tích trực tiếp và tổng trực tiếp các module, một số loại module thờng gặp nh module đơn, module tối đại, module tự do, và một số lớp module