: B IM β→ thì βà i ∈ Hom B MR( , ),
1.5. Module Noether, Artin 1 Module Noether
1.5.1. Module Noether
Ta sẽ tìm hiểu mệnh đề d−ới đây tr−ớc khi đ−a ra định nghĩa module Noether.
Mệnh đề 16. Cho M là một R- modulẹ Khi đó các khẳng định sau là t−ơng đ−ơng:
(i) Mọi tập hợp không rỗng những module con M đều có một phần tử cực đạị
(ii) Mọi day tăng những module con của M : M1⊂M2 ⊂ ⊂… Mn ⊂…
đều dừng tức là tồn tạimđể Mk =Mm ∀ ≥k m.
(iii) Mọi module con của M đều là hữu hạn sinh.
Chứng minh. (i)⇒(ii). Lấy tùy ý một d2y tăng các R- module con của M. M1⊂M2 ⊂ ⊂… Mn ⊂…
Gọi F là tập các phần tử của d2y nàỵ Theo (i) trong F có phần tử cực đạị Giả sử
m
M với m tùy ý. Khi đó ta có Mk =Mm ∀ ≥k m. Suy ra mọi d2y tăng đều dừng. (ii)⇒(iii). Ta chứng minh bằng phản chứng.
Giả sử tồn tại một module N của M không hữu hạn sinh. Khi đó trong N tồn tại một d2y vô hạn các phần tử x x1, ,2 …, ,xn … sao cho nếu đặt
1m m m i i M Rx = =∑ thì 1 1 j j
M ⊂M + ∀ ≥j (Mj ≠Mj+1) khi đó ta có một d2y tăng vô hạn mà không dừng
1 2 n
M ⊂M ⊂ ⊂… M ⊂… các module của M mâu thuẫn với (ii). Vậy M phải hữu hạn sinh.
(iii)⇒(i). Giả sử S là tập khác rỗng các module của M . Vì S ≠ ∅ nên chọn đ−ợc một module con M1∈S. Khi đó nếu M1không phải là phần tử cực đại trong S thì tồn tại M2⊃M1, M1≠M2. Cứ nh− vậy nếu trong S không có phần
dừng các module con của M . Khi đó với
1 i
i
N M
≥
=∪ là một module con của M
nên N hữu hạn sinh. Gọi { ,x1 …,xn} là một hệ sinh của N. Vì d2y các module nhận đ−ợc là một d2y tăng nên tồn tại k để x1,…,xm∈Mk. Khi đó
1 . . m i k i N Rx M =
=∑ ⊆ Do đó Mk =N suy ra d2y trên bị dừng bắt đầu tại vị trí thứ
k(mâu thuẫn). Vậy S phải có phần tử cực đạị Từ đó ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 23. Một R- module M đ−ợc gọi là module Noether nếu nó thỏa m2n một trong các điều kiện (i), (ii), (iii) ở trên.
Vành R đ−ợc gọi là vành Noether nếu nó là một R- module Noether.
Ví dụ:
(i) Mọi vành chính đều là vành Noether.
(ii) Một không gian vectơ hữu hạn chiều là một module Noether.
Mệnh đề 17. Nếu moduleM là tổng hữu hạn của những R- module con Noether thì M cũng là R- module Noether. Chứng minh. Giả sử 1 ; n i i i M A A =
=∑ là R- module Noether. Ta sẽ chứng minh M
là R- module Noether bằng quy nạp theo n.
Với n = 1: M = A1 là R- module Noether suy ra mệnh đề đúng. Giả sử mệnh đề đúng với n - 1. Khi đó module con:
1n n i i N A = =∑ là module
Noether. Theo Hệ quả 3 ta có: M An =(N + An) An ≅N (N ∩ An). Nếu N
module Noether thì N (N ∩ An) cũng là Noether. Thật vậy, xét phép chiếu chính tắc p: N →N N( ∩ An). Vì N là module Noether nên mọi d2y tăng các module con của N đều dừng. Và khi đó mối d2y các module con trong N (N ∩ An) đều là ảnh của d2y các module con qua phép chiếu chính tắc. Do đó nó phải dừng. Vậy N (N ∩ An) cũng là module Noether. Do đó M An là module Noether nên
M cũng là Noether.
Noether.
Chứng minh. Với mỗi a∈M xét ánh xạ: ϕa:R→M . r ֏ar
a
ϕ là một đồng cấu R- modulẹ Khi đó R Kerϕa ≅ Imϕa =aR. Do đó nếu vành
R là Noether thì aR cũng là Noether. Giả sử { ,a a1 2,…,an} là hệ sinh của M,
1n n i i M a R = =∑ . Theo Mệnh đề 17 thì M là Noether. 1.5.2. Module Artin
Đối ngẫu với khái niệm module Noether là khái niệm module Artin. Tr−ớc hết ta đi tìm hiểu mệnh đề sau để đi đến định nghĩa module Artin.
Mệnh đề 19. Cho M là một R- modulẹ Khi đó ta có các điều kiện sau t−ơng đ−ơng:
(i) Mỗi tập khác rỗng các module con của M đều có phần tử cực tiểu;
(ii) Mỗi day giảm các module con của M :M1 ⊃M2 ⊃ ⊃… Mn ⊃… đều
dừng nghĩa là Mk = Mk+1∀k đủ lớn.
Chứng minh. (i)⇒(ii).Giả sử M1⊃M2 ⊃ ⊃… Mn ⊃…là một d2y các module con của M . Theo (i) ta có tập {M ii | ≥1} có một phần tử cực tiểu, giả sử là Mt. Khi đó Mk =Mt ∀ ≥k t. Vậy có (i).
(ii)⇒(i). Giả sử S ≠ ∅ là tập các module con của M. Vì S ≠ ∅ nên chọn đ−ợc một module M1∈S. Khi đó nếu M1 không phải là module cực tiểu trong S thì tồn tại tồn tại M2 ⊂M1 (M2 ≠ M1).
Nh− vậy tiếp tục lập luận này nếu S không có phần tử cực tiểu thì sẽ tồn tại một d2y giảm: M1⊃M2 ⊃ ⊃… Mn ⊃… không dừng các module con của M. Mâu thuẫn với (ii). Do đó S có phần tử cực tiểụ
Vậy ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 24. Cho M là một R- modulẹ Khi đó M đ−ợc gọi là một R- module
Artin nếu nó thỏa m2n một trong hai điều kiện của mệnh đề trên. Vành R đ−ợc
gọi là vành Artin nếu nó là một R- module Artin.
(ii) Một không gian vectơ có chiều hữu hạn là một module Artin.
Do đối ngẫu với module Noether nên module Artin cũng có những tính chất đối ngẫu với Mệnh đề 17, 18.
Mệnh đề 20. (i) Nếu moduleM là tổng hữu hạn của những R- module con Artin thì M cũng là R- module Artin.