Một số định nghĩa và tính chất

Một phần của tài liệu luận văn căn và đế của module (Trang 48 - 51)

: B IM β→ thì βà i ∈ Hom B MR( , ),

i I∈ ⊕ ( M Rad M( ) ) Ta có:

2.4.1. Một số định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 2. Với vành RR- module trên chính nó thì Rad(R) đ−ợc gọi là căn

Jacobson (hay đơn giản là căn) của vành R.

Định lí 9. Với A là một ideal của vành R. Các mệnh đề sau t−ơng đ−ơng:

(a) ARad(R).

(b) Với mỗi 0

;

rA rRR.

(c) Với mỗi rA; 1 - r khả nghịch.

(b)⇒(c). Ta có rR + (1 - r)R = R. Mà theo giả thiết 0

rRR nên (1 - r)R = R. Do đó tồn tại sR sao cho: (1 - r)R = 1 (1)

Suy ra 1 - r khả nghịch bên phảị Từ (1) có s - rs = 1 hay s = 1 - (-rs) mà − ∈rs A do

rA. Theo chứng minh trên ta có 1 - (-rs) khả nghịch bên phải, suy ra ∃ ∈t R:

st = [1 - (-rs)]t = 1 (2)

Suy ra 1 = t + rst = t +r hay 1 - r = t. Từ (2) ta có s(1 - r) = st = 1. Vậy 1 - r khả nghịch bên tráị (3)

Từ (1) và (3) ta có 1 - r khả nghịch.

(c)⇒(a). Ta chứng minh với mỗi 0

;

rA rRR.

Giả sử ideal UR thoả m2n đẳng thức rR + U = R. (*)

Khi đó 1 = rs + a với aU. Theo giả thiết có a = 1 - rs khả nghịch. Vậy U = R. Do đó từ (*) suy ra 0

rRR. Theo Hệ quả 1, rRad(R). Do đó ARad(R).

Định nghĩa 3. 1) Một ideal A của vành R đ−ợc gọi là một nil- ideal nếu mỗi phần tử của A đều là phần tử lũy linh.

2) Một ideal A của vành R đ−ợc gọi là một ideal luỹ linh nếu tồn tại một số tự nhiên n sao cho n 0

A = .

Mệnh đề 2. 1) Mỗi ideal luỹ linh đều là một nil - ideal. 2) Tổng của hai ideal luỹ linh là một ideal luỹ linh.

Chứng minh. 1) Hiển nhiên.

2) Giả sử AB là hai ideal luỹ linh. Theo định nghĩa tồn tại các số tự nhiên m, n sao cho: m 0; n 0

A = B = khi đó (A+B)m n+ =0.

Thật vậy, tích (a1+b a1)( 2+b2)…(am n+ +bm n+ ) với aiA b; iB; 1≤ ≤ +i m n, sau khi khai triển ta đ−ợc một tổng các tích dạng c c1 2…cm n+ trong đó ciai hoặc

i

b . Vì tích c c1 2…cm n+ có m + n nhân tử nên bao giờ nó cũng chứa ít nhất m nhân tử thuộc A hoặc ít nhất n nhân tử thuộc B. Giả sử một tích có k nhân tử ai với

km và có dạng …ai1... ...ai2 aik… (m + n - k nhân tử nhân tử còn lại mà không viết rõ là nhân tử thuộc B). Khi đó có thể viết:

1 2 ( )( ) ( ) k i i i a a a … … … nghĩa là tích này có k nhóm đặt trong dấu ngoặc đứng liền nhau mà mỗi tích trong dấu

nên tích của k nhóm này bằng 0.

Vậy mọi tích dạng c c1 2…cm n+ đều bằng 0 và do đó (A+B)m n+ =0. Vậy A + B là ideal luỹ linh.

Định lí 10. Mọi nil - ideal của vành R đều chứa trong Rad(R).

Chứng minh. Giả sử A là một nil - ideal của RaA. Khi đó tồn tại một số tự nhiên n sao cho n 0

a = hay 1 = 1 - 1

(1 )(1 )

n n

a = −a + + +aa − ; Nghĩa là 1- a

phần tử khả nghịch. Theo Định lí 9 ta có aRad(R). Do đó ARad(R).

Định nghĩa 4. Giả sử A là một tập con của vành R, X là một tập con của module

M. Tập hợp r XR( ) : {= ∈r R xr| = ∀ ∈0, x X}; ( ( ) : {lR X = ∈r R rx| = ∀ ∈0; x X}) đ−ợc gọi là linh hóa tử phải (trái)của tập X trong R.

Tập hợp lM( ) : {A = ∈x M xa| = ∀ ∈0, a A};(rM( ) : {A = ∈x M ax| = ∀ ∈0, a A}) đ−ợc gọi là linh hóa tử trái (phải) của A trong M.

Mệnh đề 3. Nếu R là vành thỏa man các điều kiện tối đại đối với các linh hóa tử và có nil- ideal khác không thì R có ideal lũy linh khác không.

Chứng minh. Giả sử Rnil- ideal A≠0. Xét tập hợp: Γ ={ ( ) | 0r aR ≠ ∈a A}. Vì

R thỏa m2n điều kiện tối đại đối với các linh hóa tử nên Γcó phần tử tối đạị Gọi phần tử tối đại đó là r cR( ). Với mỗi sR thì hoặc sc = 0 hoặc sc≠0.

Nếu sc ≠0 thì vì scA nên tồn tại một số tự nhiên n sao cho:

1

( )n 0;( )n 0

sc = sc − ≠ . Khi đó: 1

( ) (( )n )

R R

r cr sc − . Theo giả thiết về tính tối đại của ( ) R r c ta có: 1 ( ) (( )n ) R R r c =r sc − . Vì 1 (( )n ) R

scr sc − nên csc = 0. Do đó với mọi

sR ta đều có csc = 0. Vậy RcR là ideal lũy linh khác không của R. Do đó R có ideal lũy linh khác không.

Mệnh đề 4. Nếu R là vành Noether thì mọi nil - ideal đều là ideal luỹ linh.

Chứng minh. Giả sử A là một nil - ideal của vành R. Nếu A = 0 thì A là ideal luỹ linh. Giả sử A≠0. Theo Mệnh đề 3, R có ideal khác không. Vì R là vành Noether nên tập các ideal luỹ linh của vành R có phần tử tối đại, chẳng hạn là B.

Để chứng minh A là ideal luỹ linh ta sẽ chứng minh rằng AB. Giả sử trái lại

của vành R B. Theo Mệnh đề 3, R Bcó ideal luỹ linh khác không. Thật vậy, nếu CR B/ là một ideal luỹ linh và 1

( )C

C= p− , trong đó p R: →R B là phép chiếu chính tắc thì BC và tồn tại một số tự nhiên k sao cho Ck =0 do đó

k

CB. Vì B là ideal luỹ linh nên C là một ideal luỹ linh. Vì B là phần tử tối đại trong tập các ideal luỹ linh của R BC nên B = C.

Vậy 1

( ) ( ) 0

C= p pC = p B = suy ra mâu thuẫn. Do đó AB và vì B là ideal luỹ linh nên A cũng là ideal luỹ linh. Ta có điều phải chứng minh.

Định lí 11. Nếu R là vành Artin thì Rad(R) là ideal luỹ linh.

Chứng minh. Đặt J: = Rad(R). Vì R là vành Artin nên coi J là ideal và d2y sau

phải dừng: 2 n JJ ⊃ ⊃… J ⊃…Chẳng hạn n n i J =J + ∀ ∈i N. Giả sử n 0 J ≠ . Xét tập: Γ={AR A| ≠0 và AJ = A}. Ta có Γ ≠0 vì n J ∈Γ. Vì R là vành Artin nên trong Γ có phần tử tối tiểụ Chẳng hạn đó là B. Do B ≠0 nên tồn tại b B;

0 n bJ ≠ . Khi đó n bJbRBn n 1 n bJ =bJ + =bJ Jsuy ra n bJ ∈Γ. Vì B là phần tử tối tiểu trong Γ nên n

bJ = B. Do đó B có dạng b = bu với n

u∈ ⊂J J hay b(1 - u) = 0. Nh−ng u∈ =J Rad R( ) nên 1 - u khả nghịch. Do đó b = 0, mâu thuẫn vì

0

b≠ . Vậy n 0

J = .

Hệ quả 5. Giả sử R là vành Artin. Khi đó:

1) Rad(R) là ideal luỹ linh lớn nhất của vành R; 2) Rad(R) trùng với tập các phần tử luỹ linh.

Chứng minh. 1) Theo Định lí 11 ta có Rad(R) là ideal luỹ linh. Lại theo Định lí 9 ta có Rad(R) là ideal luỹ linh lớn nhất của vành R.

2) Vì R là vành Artin nên Rad(R) là ideal luỹ linh. Do đó mọi phần tử của Rad(R) đều là luỹ linh.

Ng−ợc lại giả sử aR là phần tử luỹ linh. Khi đó tồn tại số tự nhiên n sao cho 0

n

a = do đó ( )n 0

aR = . Theo (1) suy ra aRRad R( ). Vậy aRad R( ) hay ( )

Rad R trùng với tập các phần tử luỹ linh.

Một phần của tài liệu luận văn căn và đế của module (Trang 48 - 51)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(70 trang)