: B IM β→ thì βà i ∈ Hom B MR( , ),
1.4.2. Module đối sinh
Định nghĩa 22. R- module C đ−ợc gọi là đối sinh nếu với mọi module M ta có
0 J Ker ϕ ϕ ∈ = ∩ với J =Hom M CR( , ). Nhận xét:
Mỗi module C là đối sinh và D là module sao cho Ker C D( , )=0 thì D cũng là module đối sinh.
Đặc tr−ng sau của module đối sinh hoàn toàn đối ngẫu với nội dung của Định lí 9.
Định lí 11. Các điều sau là t−ơng đ−ơng: (a) Module C là đối sinh.
(b) Module I
C là đối sinh với một tập Ị
(c) Module I
C là đối sinh với một tập I nào đó.
(d) Mỗi module M có thể là ảnh đơn cấu vào I
C với tập I nào đó.
Chứng minh. Sử dụng Mệnh đề 15 và tiến hành chứng minh đối ngẫu với chứng minh Định lí 9.
Định lí 12. Module C là đối sinh khi và chỉ khi với mỗi module nội xạ Q tồn tại
một tích trực tiếp I
C chứa hạng tử trực tiếp đẳng cấu với Q.
Chứng minh. Chứng minh đối ngẫu với Định lí 10.
Để lấy đ−ợc ví dụ về module đối sinh ta sẽ đi tìm hiểu tính chất của module đối sinh:
Định lí 13. R- module C là module đối sinh khi và chỉ khi nó chứa bao nội xạ nào đó của mỗi module đơn.
Chứng minh. Giả sử C là module đối sinh và E là module đơn. I E( ) là bao nội xạ chứa E vì 0=∩Kerϕ. Với ϕ: ( )I E →C nên tồn tại đồng cấu ϕ sao cho
E không chứa trong Kerϕ. Khi đó vì E là module đơn nên E∩Kerϕ=0. Mặt khác E là module con cốt yếu trong I E( ) nên Kerϕ = 0 hay ϕ là đơn cấụ Do đó ảnh Imϕ≅I E( ) suy ra Imϕ là bao nội xạ của E, Imϕ⊂C.
Ng−ợc lại, giả sử module C chứa bao nội xạ nào đó của mỗi module đơn. Với
0
M ≠ là module tùy ý. Để chứng minh C là module đối sinh tức 0=∩Kerϕ
( , )
R
Hom M C
ϕ
∀ ∈ . Ta sẽ chứng minh với mỗi 0≠ ∈m M đều tồn tại một đồng cấu ϕ: M →C sao cho m∉Kerϕ. Thật vậy, mR là module hữu hạn sinh và do đó mR chứa module con tối đại A (theo Hệ quả 1). Do đó module th−ơng
E=mR A là module đơn. Giả sử f E: →I E( ) là bao nội xạ của E chứa trong
C. Gọi p mR: →mR A là phép chiếu tự nhiên. Khi đó do tính nội xạ của I E( )
nên tồn tại đồng cấu f′:M →I E( ) sao cho biểu đồ sau giao hoán:
Do f là đơn cấu nên f m′( )= fp m( )=(m+ A)≠0. Suy ra đồng cấu f′ cảm sinh đồng cấu ϕ: M →C
x֏ f x′( )
Bởi vì ϕ( )m ≠0 nên m∉Kerϕ. Ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ:
ℤ- module ℚ ℤ là module nội xạ đối sinh.
Thật vậy, vì ℚ ℤ là nhóm chia đ−ợc nên nó là module nội xạ. Giả sử m=mR là một R- module xyclic. Khi đó xét ánh xạ: ρ: R→mR
r֏mr
Ta có ρ là toàn cấu nên mR≅ R Kerρ. Nói riêng nếu E là một ℤ- module đơn thì E là xyclic, do đó ta có E≅ℤ ℤn với n≠0 nào đó.
0 mR M (IE) f′ fp j
Khi đó ta có ánh xạ: ℤ ℤn →ℚ ℤ
x n x n
+ ℤ ֏ +ℤ
là một đơn cấụ
Do đó ℚ ℤ chứa module con đẳng cấu với E và do đó ℚ ℤ chứa cả bao nội xạ của E. Vậy ℚ ℤ là đối sinh.