skkn cách tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên thcs cẩm long cẩm thủy

Trong quá trình dạy học, bản thân nhận thấy cách tìm số chữ số 0tận cùng trong một tích các số tự nhiên từ trước tới nay vẫn còn chưakhoa học, kết quả bài toán sau khi tìm được đôi khi c

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài:

Trong cuộc sống việc vận dụng các yếu tố có liên quan đến toánhọc là một vấn đề không thể thiếu, không thể không đề cập tới Vậy cóthể khẳng định rằng: “ Toán học có một tầm quan trọng rất lớn và chiếmmột vị trí hết sức đặc biệt trong đời sống thực tế của con người ”

Chính vì thế mà trong chương trình giáo dục phổ thông, Toán họcluôn luôn được chú trọng và được dành một thời lượng rất lớn chochương trình dạy - học môn toán ở trong các nhà trường

Với vai trò là những người giáo viên, người làm công tác giáo dụcthì việc thấm nhuần và thực hiện tốt phương châm giáo dục của Đảng làhết sức cần thiết “ Đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài ” Nên việc nêulên những định hướng và giải pháp phù hợp với yêu cầu giáo dục ở phổthông nói chung và ở Tiểu học nói riêng, nhằm giúp học sinh hình thành,

rèn luyện những kĩ năng cần thiết và phát triển năng lực tư duy toán học

là một công việc thường xuyên, cập nhật và luôn phải được coi trọngkhông thể xem nhẹ được

Hiện nay trong các cấp học phổ thông nói chung và cấp Tiểu họcnói riêng, việc dạy - học môn toán đã có nhiều tiến bộ, đã có nhiều đổimới theo hướng tích cực hơn Hoạt động giảng dạy của giáo viên hayhoạt động học tập của học sinh đều được chú trọng và đạt hiệu quả khátốt Việc áp dụng phương pháp dạy học mới nhằm phát huy tối ưu tínhtích cực, sáng tạo của học sinh, dạy - học lấy học sinh làm nhân vật trungtâm đã được nhiều đồng chí giáo viên khai thác, áp dụng hết sức thànhcông

Song bên cạnh đó cũng còn không ít tồn tại, thiếu sót, việc dạy học thụ động, đối phó vẫn còn xảy ra Việc chú trọng tìm ra cách dạy –cách học hợp lý nhằm để phát triển đúng năng lực tư duy học toán chohọc sinh và điều đặc biệt hơn việc xác định rõ vai trò thiết yếu, tầm quantrọng đặc biệt của mỗi dạng toán lại chưa được giáo viên chú trọng, ngay

-ở chương trình chính khóa cũng như việc phát hiện và bồi dưỡng họcsinh khá, giỏi.

Mặt khác, ngoài yếu tố giáo viên và học sinh thì chúng ta cũngkhông thể không đề cập tới vấn đề về sách giáo khoa và các tư liệu thamkhảo Vẫn biết rằng, theo sự phát triển chung trong nền giáo dục của đấtnước thì hệ thống cấu trúc chương trình cũng được điều chỉnh một cáchkhá hợp lí Nhiều tư liệu tham khảo dành cho môn toán cũng được chỉnhsửa, tái bản, đầu tư có chiều sâu và hết sức có hiệu quả Nhiều tài liệu đãđáp ứng được các yêu cầu thiết yếu cho quá trình nghiên cứu và học tậpcủa các độc giả, đặc biệt là cho giáo viên, học sinh và các bậc phụhuynh Tuy vậy, ngoài tính ưu việt của sách giáo khoa và sách tham khảothì vẫn còn không ít những vấn đề về toán học mà tư liệu tham khảochưa đáp ứng được, thậm chí còn thiếu hụt trong quá trình dạy - học

Trong quá trình dạy học, bản thân nhận thấy cách tìm số chữ số 0tận cùng trong một tích các số tự nhiên từ trước tới nay vẫn còn chưakhoa học, kết quả bài toán sau khi tìm được đôi khi còn bị nhầm lẫn, sai

kết quả Chính từ những cơ sở lí luận và thực tiễn ở trên mà bản thân tôi

đã chọn việc nghiên cứu về tìm ra "Cách tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên".

2 Mục đích nghiên cứu:

Qua quá trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi nhiều năm trong nhàtrường tiểu học, bản thân thấy việc học sinh tìm ra chữ số tận cùng và sốlượng chữ số giống nhau tận cùng trong một tích các số tự nhiên còn gặpnhiều khó khăn Vì vậy mục đích nghiên cứu về vấn đề này là bản thânmuốn tìm ra cách thức và phương pháp giúp học sinh khá giỏi nắm vững

4 Đối tượng, nội dung nghiên cứu:

Nghiên cứu "Cách tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tựnhiên"

5 Phương pháp nghiên cứu:

7 Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu:

Do thời gian và năng lực có hạn nên bản thân chỉ nghiên cứu vềcách tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên trong thờigian từ tháng 8 năm 2012 đến hết tháng 3 năm 2013

Kế hoạch cụ thể:

- Từ 15/08/2012 đến 05/09/2012 tìm nội dung nghiên cứu

- Từ 06/09/2012 đến 30/09/2012 điều tra thực trạng giáo viên vàhọc sinh

- Từ 01/10/2012 đến 15/11/2012 nghiên cứu tìm ra phương pháp,hướng dẫn học sinh thực hành theo phương pháp mới Đánh giá và sosánh kết quả trước và sau khi thực hiện phương pháp mới

- Từ 16/11/2012 đến 15/03/2013 hoàn thành sáng kiến kinhnghiệm

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

Trong toán học, dạng toán tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tíchcác số tự nhiện là một dạng toán điển hình, khó không chỉ riêng với họcsinh tiểu học mà còn với một bộ phận không nhỏ giáo viên Cách tìm rachính xác kết quả của bài toán ở dạng này đôi khi vẫn còn bị nhầm lẫn,sai kết quả Do đó, việc cần thiết cho chúng ta là phải tìm ra cách giảiquyết cho dạng toán này có kết quả chính xác nhất, duy nhất.

II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Qua quá trình dạy học và được phân công nhiệm vụ tham gia bồidưỡng học sinh khá giỏi để nâng cao chất lượng mũi nhọn cho học sinh,bản thân tôi nhận thấy:

1 Về học sinh:

Với đặc điểm tâm sinh lý của học sinh Tiểu học thì tính tư duy trừutượng chưa cao, mới chỉ ở trong giai đoạn hình thành và phát triển Dovậy việc tiếp nhận tri thức của các em trong quá trình học tập chủ yếu

vẫn đang thiên về tính cụ thể Do đó, khi thực hành giải các dạng toánnói chung và dạng bài toán có liên quan đến tìm số chữ số 0 tận cùngtrong một tích các số tự nhiên nói riêng Các em vẫn chưa tư duy để tìm

ra cách giải mà vẫn còn dựa vào sự hướng dẫn của giáo viên

2 Về giáo viên:

Hiện nay đội ngũ giáo viên các nhà trường nói chung cũng nhưtrường Tiểu học Cẩm Long 1 nói riêng đều đạt chuẩn và trên chuẩn; trẻ,khỏe, năng nổ, nhiệt tình và năng lực tư duy khá tốt Song do tuổi đờicòn trẻ, tuổi nghề còn non vì thế mà kinh nghiệm dạy học còn ít, vốn tíchlũy kiến thức và hệ thống chương trình môn học của từng khối lớp chưasâu, dẫn đến việc cố gắng dạy - học cho học sinh trên lớp đúng, đủ, chínhxác và đạt chuẩn đã là hết sức khó khăn, chứ nói gì đến công tác pháthiện và bồi dưỡng học sinh năng khiếu đạt hiệu quả cao

Bên cạnh đó có nhiều giáo viên chưa nắm vững cách tìm số chữ số

0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên với lý do: Nhầm lẫn khi chỉ xét

số các thừa số 5 hoặc số các thừa số 2 trong 1 tích để đưa ra kết quả sốchữ số 0 tận cùng trong tích mà không xét đến số cặp thừa số (2 x 5)trong tích đó Vì vậy kết quả của bài toán không chính xác Để tìm được

đều là chữ số 0 (trường hợp này sai với kết quả thực của tích ) Vì sốthừa số 5 nhiều hơn số thừa số 2 sau khi phân tích.

Như vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn và số thừa số là 5 ( có 4thừa số là 2 và 5 thừa số là 5 ) Vậy tích trên có 4 chữ số tận cùng giốngnhau và đều bằng 0

Bài này số lượng các thừa số là 5( bằng 5 ) nhiều hơn số thừa số là

2 (bằng 4 ) nên có 4 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0.

2 sau khi phân tích là 4.

Vậy kết quả đúng phải là

Như vậy căn cứ vào số thừa số là số chẵn ( là 2 ) và số thừa số là 5( có 4 thừa số là số chẵn ( là 2 ) và 3 thừa số là 5 ) Vậy tích trên có 3 chữ

số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0

Bài này số lượng các thừa số là 5( bằng 3 ) ít hơn số thừa số là 2 (bằng 4 ) nên có 3 chữ số tận cùng giống nhau và đều là chữ số 0.

3 Về tài liệu tham khảo:

Tài liệu tham khảo là một tư liệu cơ bản không thể thiếu trong quátrình dạy học của người giáo viên, đặc biệt là các đồng chí giáo viêntham gia làm công tác nâng cao chất lượng mũi nhọn trong các nhàtrường Về cơ bản, các tư liệu có tính ưu việt hết sức cao Song bên cạnh

đó, trong nhiều tài liệu còn có một số hạn chế nhất định và chưa đáp ứnghết được lòng đam mê khám phá toán học của nhiều giáo viên và họcsinh Nhiều dạng toán ở tài liệu tham khảo đưa ra hướng giải quyết chưa

có tính thuyết phục cao, vì kiến thức mỗi người có hạn, lĩnh vực toán họcthì rất rộng lớn

Dạng toán : Tìm số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự

nhiên cũng không phải là trường hợp ngoại lệ, trong cách trình bày còn

có rất nhiều hạn chế, cách viết còn phiến diện, chung chung, không cụthể Các bài tập đưa ra phương pháp giải chưa gãy gọn, mới xét đếntrường hợp số thừa số là 5 ít hơn số thừa số là 2 có trong tích để tìm sốchữ số tận cùng bằng 0, chứ chưa chú trọng hết tất cả các trường hợp

có thể xảy ra trong dạng toán này liên quan đến kết quả của tích

(Chẳng hạn : Nhiều bài tập cụ thể ở dạng toán này thì không chỉ căn

cứ vào số thừa số 5 trong tích để xét số chữ số 0 tận cùng là được như tài liệu đề cập, mà phải xét đến số thừa số là 2 tham gia trong tích khi trường hợp số thừa số chẵn là 2 ít hơn số thừa số là 5 )

Để kiểm chứng tính thuyết phục và triết lí đưa ra của sáng kiến,trước khi triển khai thực nghiệm, bản thân tôi đã tổ chức khảo sát chấtlượng học sinh khá giỏi ở khối 4 + 5 của nhà trường

* KẾT QUẢ KIỂM TRA HỌC SINH ĐẦU NĂM :

G HSKHÁGIỎI

8

53,4

5

33,3

Từ những thực trạng và nguyên nhân cơ bản đó đã làm cho nhiềugiáo viên lúng túng trong cách dạy, nhiều học sinh lúng túng trong cáchgiải Với trách nhiệm là người trực tiếp làm công tác bồi dưỡng học sinhnăng khiếu, tôi phải suy nghĩ, tìm tòi, chắt lọc và lựa chọn phương phápdạy học phù hợp, với mục đích khắc phục những hạn chế trong quá trìnhdạy – học của giáo viên và học sinh; nhằm hoàn thiện về dạng toán nàymột cách cụ thể và chi tiết hơn

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:

Qua quá trình nghiên cứu, tìm tòi và trao đổi với một số đồngnghiệp để tìm ra cách giải tốt dạng bài toán mà sáng kiến kinh nghiệm đãđưa ra, bản thân tôi đã lựa chọn và đưa ra hướng giải quyết các tồn tạicủa dạng bài toán trên bằng những biện pháp cụ thể như sau :

1 Cung cấp cho học sinh một số kiến thức có liên quan đến dạng toán.

- Tích một số chẵn với một số có tận cùng là 5 thì kết quả của tích

có tận cùng là chữ số 0

- Tích các thừa số trong đó có ít nhất một thừa số có tận cùng bằng

0 thì tích đó có tận cùng là chữ số 0

- Một số tự nhiên có tận cùng bằng 5 thì số đó chia hết cho 5

- Một số tự nhiên có tận cùng bằng 0 thì số đó chia hết cho 2 và 5

- Một số chẵn có thể phân tích thành tích của một hay nhiều thừa số

2 với thừa số khác

- Trong một tích có chứa thừa số 2 và có chứa thừa số 5, thì cứ mộtcặp thừa số ( 2 x 5 ) cho ta một chữ số 0 tận cùng.

2 Xác định rõ từng dạng bài cụ thể trong dạng toán tìm số chữ

số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiên.

Đối với dạng toán này chúng ta cần xác định được từng dạng bàinhư sau:

a Dạng bài thứ nhất: Tích chứa các thừa số đều là số lẻ trong đó

có chứa thừa số là 5 hoặc không có chứa thừa số 5

Ví dụ : Tích: 1 x 3 x 5 x 7 x 11 x 15 x 19 x 21 x 99

hoặc 3 x 7 x 9 x 11 x 13 x 17 x 33 x 39 x 41 x 49

b Dạng bài thứ hai: Tích có chứa các thừa số chẵn và các thừa số

lẻ nhưng không chứa thừa số là 5 hoặc khi phân tích các thừa số kháctrong tích cũng không có thừa số là 5

Ví dụ: 2 x 4 x 7 x 12 x 13 x 17 x 22 x 23 x 24 x 26 x 27 x 29

c Dạng bài thứ ba: Tích có các thừa số chẵn và các thừa số là lẻ,

trong đó có chứa thừa số 5 ( hoặc khi khai triển có chứa thừa số là 5 )

Ví dụ: Tích: 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47.hoặc ( 4 x 6 x 8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 )

hoặc 1 x 4 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47

hoặc 2000 x 2001 x 2002 x … x 2008 x 2009

3 Xây dựng kỹ năng giải toán trong từng dạng bài cụ thể.

a Dạng bài thứ nhất: Tích chứa các thừa số đều là số lẻ trong đó

có chứa thừa số là 5 hoặc không có chứa thừa số 5

Đối với dạng bài này không có chữ số 0 tận cùng Vì vậy cầnhướng dẫn học sinh quan sát kỹ, nhận xét đúng về dạng bài toán đã cho

để xác định cho đúng kết quả

Ví dụ 1: Cho tích các thừa số:

3 x 5 x 13 x 15 x 17 x 29.

Hỏi tích trên có chữ số tận cùng là chữ số 0 hay không?

Giải

Tích trên không có chữ số 0 tận cùng vì tích đó chỉ toàn số lẻ

Ví dụ 2: Tích của dãy số lẻ tự nhiên liên tiếp từ 11 đến 2001 có mấy chữ số 0 tận cùng ?

Giải

Tích của dãy số trên không có chữ số 0 tận cùng vì tích của các số

lẻ sẽ không cho ta số chẵn tận cùng bằng 0

b Dạng bài thứ hai: Tích có chứa các thừa số chẵn và các thừa số

lẻ nhưng không chứa thừa số là 5 hoặc khi phân tích các thừa số kháctrong tích cũng không có thừa số là 5

Dạng này cũng không có chữ số 0 tận cùng Vì vậy cần hướng dẫnhọc sinh như dạng thứ nhất

Ví dụ: Tích sau có tận cùng là chữ số 0 được không?

2 x 4 x 9 x 13 x 14 x 17 x 33

Tích trên không có chữ số 0 tận cùng vì tích đó không có chứa thừa

số là 5 kể cả khi phân tích các thừa số trong tích

c Dạng bài thứ ba: Tích có các thừa số chẵn và các thừa số là lẻ,

trong đó có chứa thừa số 5 ( hoặc khi khai triển có chứa thừa số là 5 )

Đối với dạng bài này chúng ta cần xét ba trường hợp:

* Trường hợp 1: Số các thừa số 2 và các thừa số 5 trong một tích

sau khi phân tích mà bằng nhau thì số chữ số 0 tận cùng bằng chính sốlượng của các thừa số 2 hoặc thừa số 5 trong tích đó

Ví dụ 1: Cho tích:

A = 1 x 16 x 3 x 5 x 10 x 15 x 25 x 37 x 39 x 41 x 43 x 47

Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ sốnào?

Chúng ta phân tích như sau:

- Trong tích A có bao nhiêu thừa số chẵn? ( 2 thừa số là 16 và 10 )

- Trong tích A có bao nhiêu thừa số có tận cùng bằng 5 ? ( 3 thừa

số là 5; 15; 25 )

- Tìm cách phân tích các thừa số chẵn thành tích các thừa số chẵnkhác 0 nhỏ nhất ( bằng 2 ) và các thừa số khác; phân tích các thừa số cótận cùng bằng 5 thành tích các thừa số 5 và các thừa số lẻ khác

- Đếm các thừa số là 2 hoặc các thừa số là 5 để tìm số chữ số tậncùng giống nhau và là chữ số nào

Ví dụ 2: Cho tích

B = ( 4 x 6 x 8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 )

Hỏi tích trên có bao nhiêu chữ số tận cùng giống nhau và là chữ sốnào ?

Chúng ta phân tích như sau:

- Trong tích B có bao nhiêu thừa số chẵn ? ( 4 thừa số là 4; 6; 8 và

- Đếm các thừa số là 2 hoặc các thừa số là 5 để tìm số chữ số tậncùng giống nhau và là chữ số nào

Giải :

Ta thấy tích B có thể viết :

B = ( 4 x 6 x 8 x 12 ) x ( 5 x 15 x 25 x 35 x 45 x 55 x 65 )

B = ( 2 x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 2 ) x ( 5 x 3 x 5 x 5 x 5 x 7 x 5 x

9 x 5 x

11 x 5 x 13 x 5 )

Như vậy căn cứ vào số thừa số là 2 hoặc số thừa số là 5 ( có 8 thừa

số là 2 và 8 thừa số là 5 ) Vậy tích trên có 8 chữ số tận cùng giống nhau

và đều là chữ số 0

* Trường hợp 2: Nếu số thừa số là 2 ít hơn số thừa số 5 tham gia

trong tích (sau khi phân tích) thì số chữ số 0 tận cùng của tích chính bằng

* Trường hợp 3: Nếu số thừa số 5 tham gia trong tích ít hơn số

thừa số 2 (sau khi phân tích) thì số chữ số 0 tận cùng của tích chính bằng

số thừa số 5 tham gia trong tích

Ví dụ: Cho tích P = 2000 x 2001 x 2002 x … x 2008 x 2009

Hỏi P có bao nhiêu chữ số 0 tận cùng bên phải ?

Giải

Ta thấy tích P có thể viết :

** Nhận xét: Qua quá trình phân tích 3 trường hợp của dạng bài

"Tích có chứa các thừa số chẵn và các thừa số là lẻ, trong đó có chứathừa số 5 ( hoặc khi khai triển có chứa thừa số là 5 )" ta nhận thấy rằngnếu chỉ căn cứ vào số thừa số 2 hoặc số thừa số 5 tham gia trong tích(sau khi phân tích) thì rất dễ bị nhầm lẫn và dẫn đến kết quả sai lệch như

đã phân tích ở phần thực trạng Chính vì thế bản thân tôi đã nghiên cứu

và đưa ra cách tìm Số chữ số 0 tận cùng trong một tích các số tự nhiênmột cách chính xác, tránh sự nhầm lẫn đó là phải xét đến số lượng cáccặp thừa số 2 x 5 tham gia trong tích ( sau khi phân tích).

Cụ thể cách giải cho dạng toán này như sau:

Bước 1: Viết các thừa chẵn và các thừa số có tận cùng bằng 5 về một phía, các thừa số lẻ còn lại về một phía.