bÊt ph ¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt ph ¬ng tr×nh bËc hai «n tËp ch ¬ng IV PhÇn 1: Ph ¬ng tr×nh bËc hai mét Èn PhÇn 2: HÖ ph ¬ng tr×nh bËc hai hai Èn PhÇn 3: BÊt ph ¬ng tr×nh vµ hÖ bÊt ph ¬ng tr×nh bËc hai mét Èn PhÇn 4: Ph ¬ng tr×nh vµ bÊt ph ¬ng tr×nh qui vÒ bËc hai Định lí về dấu của tam thức bậc hai Cho tam thức : f(x) = ax + bx + c (a 0) và = b 2 - 4ac. Định lí. Nếu < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, với mọi số thực x. Nếu = 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi x - /. Nếu > 0 thì f(x) có hai nghiệm x và x và giả sử x < x. Thế thì f(x) cùng dấu với a với mọi x ngoài đoạn [ x ; x ] (tức là x < x hay x > x ) và f(x) trái dấu với a khi x ở trong khoảng hai nghiệm ( tức là x < x < x ). VÝ dô ¸p dông: Gi¶i c¸c bÊt ph ¬ng tr×nh sau: a)3x 2 + 7x - 6 < 0 b) -x 2 + 6x + 16 ≥ 0 c) 9x 2 + 6x +19 > 0 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax + bx + c (a 0), R. af( ) < 0 * f(x) có hai nghiệm phân biệt x , x (x < x ) 1) Định lí. * x < < x . Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai 2) Hệ quả 1. Ph ơng trình bậc hai f(x) = ax + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm phân biệt x , x (x < x) 3) Hệ quả 2. Cho tam thức f(x) = ax + bx + c (a 0). Và hai số , ( < ). Ph ơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm, một nghiệm (, ), nghiệm kia nằm ngoài đoạn [, ] f().f() < 0 (1) af( ) < 0. số : *) Ví dụ áp dụng Cho tam thức bậc hai f(x) = ( m 2 +1)x 2 - ( m 4 + m 2 + 1 )x + m 4 - m 2 - 1 Chứng minh ph ơng trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt m. Bài giải Ta có f(1) = m 2 + 1 - m 4 - m 2 + 1 + m 4 - m 2 - 1 = - ( m 2 + 1) Do đó a.f(1) = - ( m 2 + 1) 2 < 0 m. Theo định lí đảo về dấu tam thức bậc hai ph ơng trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt m. So s¸nh mét sè α víi c¸c nghiÖm cña tam thøc bËc hai TÝnh af(α) f(x) cã 2 nghiÖm x 1 < α < x 2 = 0 α lµ nghiÖm cña f(x) - TÝnh ∆ (∆’) + f(x) v« nghiÖm - + TÝnh ( S/2 - α ) = 0 f(x) cã ngkÐp x 0 = -b/2a vµ so s¸nh x 0 víi α f(x) cã 2 nghiÖm α < x 1 < x 2 - f(x) cã 2 nghiÖm x 1 <x 2 < α + Bµi 8 Trang 129 So s¸nh sè -3 víi c¸c nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh: (m 2 +1)x 2 - 2(m+ 2)x -2 = 0 Bµi gi¶i: Ta cã: f(-3) = 9(m 2 + 1) + 6(m+2) -2 = 9m 2 + 6m +19 > 0 ∀ m. af(-3) = (m 2 + 1)( 9m 2 + 6m +19) > 0 ∀ m ∆’ = (m+2) 2 + 2(m 2 +1) = 3m 2 + 4m + 6 > 0 ∀ m. m+2 m 2 +1 +3 = 3m 2 +m+5 m 2 +1 > 0 ∀ m. Do ®ã ph ¬ng tr×nh lu«n cã hai nghiÖm ph©n biÖt x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) vµ -3 < x 1 < x 2 - (-3) = S 2 Bài 9 Trang 129 Cho ph ơng trình: (m+1)x 2 + 2(m-2)x + 2m -12 =0 Xác định m để : a) Ph ơng trình có hai nghiệm trái dấu b) Ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1 c) Ph ơng trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1) còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1] Bài giải: a)Ph ơng trình có hai nghiệm trái dấu ac < 0 (m+1)(2m-12) < 0 -1 < m < 6 Bài 9 Trang 129 Cho ph ơng trình: (m+1)x 2 + 2(m-2)x + 2m -12 =0 Xác định m để : b) Ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1 Bài giải: b) Ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1 (1 < x 1 < x 2 ) af(1) > 0 > 0 (m+1)(5m - 15) > 0 -m 2 +6m+16 > 0 1- 2m m+1 > 0 m < -1 m > 3 -2 < m < 8 -1 < m < 1/2 Hệ bất ph ơng trình trên vô nghiệm , suy ra không có giá trị nào của m thoả mãn yêu cầu bài toán S 2 - 1 > 0 [...]...Bài 9 Trang 129 Cho phơng trình: (m+1)x2 + 2( m -2) x + 2m - 12 =0 Xác định m để : c) phơng trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1) còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1] Bài giải: phơng trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1) a0 còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1] f(-1)f(1) < 0 m+10 (m-7)(5m-15) < 0 . x 2 - f(x) cã 2 nghiÖm x 1 <x 2 < α + Bµi 8 Trang 129 So s¸nh sè -3 víi c¸c nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh: (m 2 +1)x 2 - 2( m+ 2) x -2 = 0 Bµi gi¶i: Ta cã: f(-3) = 9(m 2 + 1) + 6(m +2) -2. + 6(m +2) -2 = 9m 2 + 6m +19 > 0 ∀ m. af(-3) = (m 2 + 1)( 9m 2 + 6m +19) > 0 ∀ m ∆’ = (m +2) 2 + 2( m 2 +1) = 3m 2 + 4m + 6 > 0 ∀ m. m +2 m 2 +1 +3 = 3m 2 +m+5 m 2 +1 > 0 ∀ m. Do. ph©n biÖt x 1 , x 2 ( x 1 < x 2 ) vµ -3 < x 1 < x 2 - (-3) = S 2 Bài 9 Trang 129 Cho ph ơng trình: (m+1)x 2 + 2( m -2) x + 2m - 12 =0 Xác định m để : a) Ph ơng trình có hai nghiệm