Bài tập tối ưu hóa & quy hoạch tuyến tính

Chương 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính.Bao gồm phần mở đầu nhập môn và phương pháp hình học+bài tập,phương pháp đơn hình va đơn hình mở rộng và bài tập.Các ví dụ cụ thể,dễ hiểu

1 TỐI ƯU HÓA VÀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Thời lượng: 30 tiết GV: Lê Văn Minh 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] NGUYỄN THÀNH CẢ,Tối ưu hóa quy hoạch tuyến tính. NXB Lao Động 2010 2 2 Tính cần thiết của môn học Tối ưu hóa và Quy hoạch tuyến tính Tối ưu hóa nói chung và Quy hoạch tuyến tính nói riêng là mộtphầnkiếnthức không thể thiếu cho tất cả những ngườilàmviệc trong lĩnh vực ứng dụng của khoa họcvàkỹ thuật. Đặcbiệtvới sinh viên tin học, nó là kiếnthứccănbảncủanhiều ứng dụng, thể hiệnthế mạnh và ưuviệtcủa các phát triển tin họcvàothựctế. 3 NỘI DUNG Chương 1. Bài toán quy hoạch tuyến tính Chương 2. Bài toán đối ngẫu Chương 3. Bài toán vận tải 4 3 CHƯƠNG 1 BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 5 MỤC TIÊU CHƯƠNG 1. Biết được các khái niệmvề bài toán QHTT 2. Hiểu đượcPPhìnhhọcgiải bài toán QHTT(hai biến) 3. Hiểu đượcPPđơnhình 6 4 NỘI DUNG CHƯƠNG 1.1 Bài toán dẫn đến bài toán QHTT 1.2 Bài toán QHTT tổng quát 1.3 Phương pháp hình học 1.4 Các dạng đặc biệt của bài toán QHTT 1.5 Phương pháp đơn hình 1.6 Phương pháp đơn hình mở rộng 7 1.1 Bài toán dẫn đến bài toán QHTT  Bài toán sản xuất tối ưu: Một Công ty sảnxuấtbánhtrungthucầnsảnxuất 3sảnphẩmbánhtừ 3loại nguyên liệu chính khác nhau, với các thông số như sau: 8 5 Bài toán sản xuất tối ưu Giả sử các sp sau khi sảnxuất đượctiêuthụ hết. Hãy lậpkế hoạch sảnxuấttối ưu cho Công ty? Loại nguyên liệu Khối lượng nguyên liệu(g) Loại bánh L1 L2 L3 Đường 10000 1 2 2 Bột 50000 2 3 3 Sữa 30000 2 3 4 Giá bán 1 đv sản phẩm203040 9 Bài toán sản xuất tối ưu Gọi x j ,j = 1,2,3 là sốđơnvị sảnphẩmbánhloại cầnsảnxuất. Ta có điềukiện. Tổng khốilượng nguyên liệu các loại dùng để sản xuất3sảnphẩm: - Đường: -Bột: -Sữa: Tổng doanh thu Công ty thu được khi bán hếtsản phẩm: 10 0, 1,2,3 j xj 123 1. 2. 3. 10000xxx 123 2. 3. 3. 50000xxx 123 2. 3. 4. 30000xx x 123 20 30 40 Z xx x 6 Bài toán sản xuất tối ưu Mô hình toán học của bài toán san xuất tối ưu: Tìm x j ,j = 1,2,3 , sao cho: 11 123 123 123 12 3 20 30 40 max 2 3 10000 2 3 3 50000 2 3 4 30000 0, 1, 2,3 j Zxx x xxx xx x xx x xj      Bài toán sản xuất tối ưu tổng quát Trong đó: gọi là hệ số công nghệ 12 ij a 7 Mô hình toán học của bài toán QHTT (1.1.1) là một dạng bài toán quy hoạch tuyến tính. 13 1 1 max ,( 1, ) (1.1.1) 0, ( 1, )        n jj j n ij j i j j Zcx ax b i m xjn Tìm ,( 1, ) saocho j xj n Một số bài toán khác  Bài toán xác định khẩu phần ăn tối ưu  Bài toán pha trộn  Bài toán bổ nhiệm …. 14 8 1.2 Bài toán QHTT  Bài toán QHTT tổng quát (1.2) 15 Bài toán QHTT  Phương án. Một vector n chiềuthỏahệ ràng buộc (1.2) đượcgọilàmộtPAchấpnhận đượchayPA.Tập hợptấtcả các PA của bài toán QHTT gọilàtập phương án hay miền ràng buộc. 16 * n x  9 1.2 Bài toán QHTT  Phương án cơ bản MộtPAthỏamãnvớidấu đẳng thứcítnhất n ràng buộc đượcgọilàphương án cơ bản.MộtPACB thoảnmãnđúng n ràng buộcvớidấu đẳng thựcgọi là PACB không suy biến.  Phương án tối ưu Mộtphương án thỏa luôn hàm mục tiêu của(1.2) gọilàPAtối ưu. 17 1.2 Bài toán QHTT Ví dụ 1.2.1: Xét bài toán QHTT 18 12 3 12 23 123 22max 2 1 3 (1.2.1) , , 0 Zxx x xx xx xxx     10 1.2 Bài toán QHTT -Tậpphương án của (1.2.1) là: -Phương án: là 2 phương án cơ bảncủa bài toán (1.2.1). -Phương án: x 0 =(7,3,0) là PATƯ và Z max =11 Thậtvậy: 19 22 2 2 {(1 2 , ,3 ) / 0 3}xx x x     01 (1,0,3), (7,3,0)xx 12 3 2 2 2 22 2 2 2(1 2 ) 2(3 ) 811,0 3 Z xx x x x x xx           Tính chất của bài toán QHTT  Nếu bài toán max(min) có phương án và hàm mụctiêubị chặntrên(dưới) thì có phương án tối ưu.  Nếu bài toán QHTT có nhiềuhơnmộtPATƯ thì có vô số PATƯ. Nếu x 0 và x 1 là 2 PATƯ thì bao lồicủanólà: cũng là PATƯ của bài toán này. 20 01 (1 ) , [0,1]xx x    [...]... Nếu bài toán mở rộng có phương án tối ưu, nhưng thành phần biến giả trong phương án tối ưu khác 0 thì bài toán gốc không có lời giải 54 1.4.4 Biến đổi về dạng chuẩn  Nếu bài toán mở rộng có phương án tối ưu và tất cả các thành biến giả trong phương án tối ưu đều bằng 0 thì bài toán gốc có phương án tối ưu Khi đó phương án tối ưu của bài toán gốc là phương án tối ưu của bài toán mở rộng bỏ đi thành phần... là bài toán tương đương với bài toán gốc, i.e.,  Nếu bài toán phụ không có phương án tối ưu thì bài toán gốc cũng không có phương án tối ưu 23 47 1.4.2 Biến đổi về dạng chính tắc  Nếu bài toán phụ có phương án tối ưu thì bài toán gốc cũng có phương án tối ưu và phương án tối ưu của bài toán gốc là phương án tối ưu của bài toán phụ bỏ đi thành phần biến phụ và đổi các giá trị của biến mới về biến cũ... phát: m Z   ci bi 0 i 1 60 Thuật toán đơn hình Bước 2: Xây dựng tiêu chuẩn tối ưu m Gọi   Z  c   a c  c , j  1, n j j j i 1 ij i j là hệ số ước lượng của biến xj  Nếu △j≥0, j thì PACB hiện hành tối ưu  Nếu k: k< 0 thì PACB hiện hành chưa tối ưu Chú ý: Đối với các biến cơ sở thì △j=0 30 61 Tiêu chuẩn tối ưu Xét PA x’ bất kỳ của bài toán (1.5.1) Ta có Suy ra: xi  bi  n nm   am k... án là một tập lồi đa diện thì phương án tối ưu của bài toán đạt được ít nhất tại một điểm trong miền 4 Trường hợp hàm mục tiêu không bị chặn trong miền ràng buộc thì bài toán không có phương án tối ưu (Hình 2a và Hình 2b) 36 Phương pháp hình học 5 Nếu miền ràng buộc không có đỉnh thì bài toán không có phương án hoặc có phương án nhưng không có phương án tối ưu là đỉnh (Hình 2c) Z=Z0 Z=Z0 O O O Hình 2a... aim+k>0 thì bài toán giải tiếp  Chọn biến không cơ sở có: max |  m k | / m  k  0 vào làm cơ sở  b    aim  k  0   Chọn biến cơ sở có: 0  min  i  aim  k    ra khỏi cơ sở (Quy tắc chọn này có tên quy tắc Dantzig) 64 Thuật toán đơn hình Bước 4: Thực hiện lại bước 2 Chú ý: - Tỷ số λ0 gọi là tỷ số đơn hình (cột m+k) - Trong mỗi bước lặp thì có một biến từ ngoài cơ sở vào làm cơ sở và một... ABCDE Tịnh tiến  theo hướng vector pháp tuyến n, ta thấy điểm tới hạn của  và tập PA là cạnh BC 26 1.3 Phương pháp hình học Vậy bài toán có vô số PATƯ là những điểm nằm trện đoạn CD Giá trị mục tiêu tối ưu: Z max  Z D  12 13 27 1.3 Phương pháp hình học Ví dụ 1.3.2: Giải bài toán QHTT sau Z  3 x1  5 x2  max 2 x1  x2  8 (1) 3 (2) x2  4 (3) x1 (1.3.1) x1  0 (4), x2  0 (5) 28 1.3 Phương pháp hình... hình  Nội dung thuật toán: Xuất phát từ một PACB x0 , ta tìm cách đánh giá xem x0 có phải là PATƯ của bài toán chưa Nếu chưa thì ta phải tìm cách xây dựng một PACB mới x1 tốt hơn và đánh giá x1 có tối ưu chưa Quá trình này cứ tiếp tục cho đến khi tìm được PATƯ hoặc phát hiện ra bài toán không có PATƯ Quá trình chuyển từ PACB này sang PACB tốt hơn được gọi là một bước lặp 58 Thuật toán đơn hình Do yêu... trên cho Ví dụ 1.3.1 Do tập PA là đa giác lồi giới nội OABCD, nên các đỉnh O(0,0), A(0,4), B(2, 4), C(3, 2) và D(3, 0) là các PACB của bài toán Thay Các PA này vào hàm mục tiêu ta thấy BT đạt giá trị tối ưu tại đỉnh B(2, 4) Vậy PATƯ của bt là: x*=(2, 4) và Zmax=26 19 39 1.4 Các dạng đặc biệt của bài toán QHTT  1.4.1 Bài toán QHTT dạng chính tắc  1.4.2 Biến đổi về dạng chính tắc  1.4.3 Bài toán QHTT... cmk xmk m nm   nm     ci  bi   am  k xm  k    cm  k xm  k i 1 k 1   k 1 m  nm  m      ci bi      aim k ci  cm k  xm k  i 1   k 1  i 1  62 Tiêu chuẩn tối ưu Đặt m  j  Z j  c j   aij ci  c j ; j  1, n i 1 n m j 1 i 1 Khi đó: Z ( x)  Z 0    j xj , (Z 0 =  cibi ) Do đó nếu j  0, j thì Z(x’) ≤ Z0 Và vì x’ tùy ý nên x0 là PATƯ của bài toán... hình học Cho △ di chuyển theo hướng vector pháp tuyến n 15 31 1.3 Phương pháp hình học Ta thấy △ có vị trí tới hạn với (Ω) là đỉnh B(2, 4) và (Ω) nằm về một phía của △ - Vậy bài toán có phương án tối ưu là: x*  (2, 4) và Z max  26 32 1.3 Phương pháp hình học Ví dụ 1.3.3: Giải bài toán QHTT sau: Z  2 x1  3x2  max(min)  2 x1  3x2  6 (1) 2 x1  x2  10 (2) (1.3.2)  2 x1  x2  6 (3) x2  3 (4)