Bài tập tối ưu hóa & quy hoạch tuyến tính

Chương 1: Bài toán quy hoạch tuyến tính.Bao gồm phần mở đầu nhập môn và phương pháp hình học+bài tập,phương pháp đơn hình va đơn hình mở rộng và bài tập.Các ví dụ cụ thể,dễ hiểu

Thời lượng: 30 tiết GV: Lê Văn Minh

1

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] NGUYỄN THÀNH CẢ, Tối ưu hóa quy

hoạch tuyến tính NXB Lao Động 2010

Tối ưu hóa nói chung và Quy hoạch tuyến tính nói

riêng là một phần kiến thức không thể thiếu cho tất

cả những người làm việc trong lĩnh vực ứng dụng

của khoa học và kỹ thuật Đặc biệt với sinh viên tin

học, nó là kiến thức căn bản của nhiều ứng dụng,

thể hiện thế mạnh và ưu việt của các phát triển tin

học vào thực tế

NỘI DUNG

Chương 1 Bài toán quy hoạch tuyến tính

Chương 2 Bài toán đối ngẫu

Chương 3 Bài toán vận tải

4

BÀI TOÁN QUY HOẠCH

TUYẾN TÍNH

MỤC TIÊU CHƯƠNG

1. Biết được các khái niệm về bài toán QHTT

2. Hiểu được PP hình học giải bài toán QHTT(hai

biến)

3. Hiểu được PP đơn hình

6

1.1 Bài toán dẫn đến bài toán QHTT

1.2 Bài toán QHTT tổng quát

1.3 Phương pháp hình học

1.4 Các dạng đặc biệt của bài toán QHTT

1.5 Phương pháp đơn hình

1.6 Phương pháp đơn hình mở rộng

1.1 Bài toán dẫn đến bài toán QHTT

Bài toán sản xuất tối ưu:

Một Công ty sản xuất bánh trung thu cần sản xuất

3 sản phẩm bánh từ 3 loại nguyên liệu chính khác

nhau, với các thông số như sau:

8

Giả sử các sp sau khi sản xuất được tiêu thụ hết.

Hãy lập kế hoạch sản xuất tối ưu cho Công ty?

nguyên liệu nguyên liệu(g) L1 L2 L3

Bài toán sản xuất tối ưu

Gọi xj ,j = 1,2,3 là số đơn vị sản phẩm bánh loại

cần sản xuất Ta có điều kiện

Tổng khối lượng nguyên liệu các loại dùng để sản

Mô hình toán học của bài toán san xuất tối ưu:

Bài toán sản xuất tối ưu tổng quát

Trong đó: gọi là hệ số công nghệ

12

a

(1.1.1) là một dạng bài toán quy hoạch tuyến tính.

1 1

Bài toán xác định khẩu phần ăn tối ưu

Bài toán pha trộn

Bài toán bổ nhiệm …

14

Bài toán QHTT tổng quát

(1.2)

Bài toán QHTT

Phương án

Một vector n chiều thỏa hệ ràng buộc (1.2)

được gọi là một PA chấp nhận được hay PA Tập

hợp tất cả các PA của bài toán QHTT gọi là tập

phương án hay miền ràng buộc.

16

* n

x  

Phương án cơ bản

Một PA thỏa mãn với dấu đẳng thức ít nhất n ràng

buộc được gọi là phương án cơ bản Một PACB

thoản mãn đúng n ràng buộc với dấu đẳng thực gọi

là PACB không suy biến.

Phương án tối ưu

Một phương án thỏa luôn hàm mục tiêu của (1.2)

gọi là PA tối ưu

- Tập phương án của (1.2.1) là:

- Phương án:

là 2 phương án cơ bản của bài toán (1.2.1)

- Phương án: x0=(7,3,0) là PATƯ và Zmax=11

Tính chất của bài toán QHTT

 Nếu bài toán max(min) có phương án và hàm

mục tiêu bị chặn trên (dưới) thì có phương án

tối ưu

 Nếu bài toán QHTT có nhiều hơn một PATƯ thì

có vô số PATƯ

Nếu x0và x1là 2 PATƯ thì bao lồi của nó là:

cũng là PATƯ của bài toán này

20

0 (1 ) ,1 [0,1]

xx   x 

Xét bài toàn QHTT 2 biến:

1 1 2 2 2

Bước 1: Vẽ tập phương án của bài toán

- Vẽ các Rb ứng với dấu “=“ lên mptđ Ox1x2

- Lựa chọn các nửa mp thỏa mãn Rb với dấu

bất đẳng thức

- Tìm miền giao của các nửa mp này ta sẽ được

tập phương án của bài toán (Ω)

22

Bước 2:Vẽ đường mức △(đường hàm mục tiêu)

- Vẽ đường đại diện cho đường hàm mục tiêu

- Xác định vector pháp tuyến n của △ có chiều

làm cho hàm mục tiêu Z tốt hơn

1.3 Phương pháp hình học

Bước 3: Xác định lời giải bài toán

Cho △ tịnh tiến theo vector pháp tuyến n:

- Nếu △ luôn tiếp xúc với tập PA (Ω) thì bài

toán không có lời giải

- Nếu △ có điểm tới hạn với (Ω) và (Ω) nằm về

một phía của △ thì bài toán có PATƯ là điểm tới

hạn này

24

Ví dụ 1.3.1 Giải bài toán QHTT sau

Ta có tập PA của bt là đa giác ABCDE.

Tịnh tiến  theo hướng vector pháp tuyến n, ta thấy điểm tới

Ví dụ 1.3.2: Giải bài toán QHTT sau

1.3 Phương pháp hình học

 Vẽ tập PA của bài toán

 Vẽ đường mức : Chọn (0,0)∈() thay vào Z được

Z 0 =0

28

4 2

1 2

Tập PA của bt

1.3 Phương pháp hình học

Cho △ di chuyển theo hướng vector pháp tuyến n

30

Ta thấy △ có vị trí tới hạn với (Ω) là đỉnh B(2, 4)

- Bài toán Z(min) không có lời giải

- Bài toán Z(max) có PATƯ:(7/2, 3), Zmax=16

Tập PA

1.3 Phương pháp hình học

Chú ý:

1. Tập PA của bài toán QHTT có thể là tập rỗng,

chỉ có một điểm, là đa giác lồi giới nội hoặc

không giới nội

2. Nếu tập PA của bài toán là một đa giác lồi giới

nội thì mỗi đỉnh của đa giác lồi là PACB của bài

toán Do hệ ràng buộc của bài toán QHTT là

34

3 Từ đó, nếu tập phương án là một tập lồi đa diện

thì phương án tối ưu của bài toán đạt được ít

nhất tại một điểm trong miền

4 Trường hợp hàm mục tiêu không bị chặn trong

miền ràng buộc thì bài toán không có phương án

tối ưu (Hình 2a và Hình 2b)

Phương pháp hình học

5 Nếu miền ràng buộc không có đỉnh thì bài toán

không có phương án hoặc có phương án nhưng

không có phương án tối ưu là đỉnh (Hình 2c)

6 Nếu miền Rb của bài toán là đa giác lồi giới nội

thì bước 2 và bước 3 của PP hình học có thể thay

thế bằng cách đánh giá sau:

- Vì miền Rb là đa giác lồi bị chặn nên mỗi đỉnh

của đa giác là PACB của bài toán Như vậy ta chỉ

cần tìm tọa các đỉnh của miền RB và thay các PA

này vào hàm mục tiêu

- So sánh các giá trị mục tiêu ứng với các PA đó,

PATƯ của bài toán sẽ là PA làm cho giá trị hàm

mục tiêu max hoặc min tương ứng

1.3 Phương pháp hình học

Áp dụng chú ý trên cho Ví dụ 1.3.1

Do tập PA là đa giác lồi giới nội OABCD, nên các

đỉnh O(0,0), A(0,4), B(2, 4), C(3, 2) và D(3, 0) là các

PACB của bài toán Thay Các PA này vào hàm mục

tiêu ta thấy BT đạt giá trị tối ưu tại đỉnh B(2, 4)

38

1.4.1 Bài toán QHTT dạng chính tắc

1.4.2 Biến đổi về dạng chính tắc

1.4.3 Bài toán QHTT dạng chuẩn

1.4.4 Biến đổi về dạng chuẩn

1.4.5 Bài toán QHTT tương đương

n

ij j i j

j

Ma trận điều kiện – Vector điều kiện

Ma trận A =(aij), (i=1, ,m; j=1, ,n) là ma trận hệ số

của hệ Rbc được gọi là ma trận điều kiện của bài

toán QHTT (1.4.1) Cột j của ma trận A, kí hiệu: Aj

là cột hệ số của biến xj được gọi là vector điều kiện

Điều kiện cần và đủ để phương án x*=(x1, ,xn) là

phương án cơ bản của bài toán QHTT (1.4.1) là hệ

vector điều kiện {Aj/ x*

j>0} độc lập tuyến tính

Ví dụ 1.4.1b:Trong ví dụ (1.4.1a) ở trên thì PA

là một PACB, vì hệ vector

độc lập tuyếntính

Chú ý: Bài toán nhận được từ bài toán gốc bằng

cách thêm vào biến phụ được gọi là bài toán phụ

1 Hệ số của biến phụ ở hàm mục tiêu bằng 0

2 Bài toán phụ là bài toán tương đương với bài

toán gốc, i.e.,

Nếu bài toán phụ không có phương án tối ưu thì

bài toán gốc cũng không có phương án tối ưu

46

Nếu bài toán phụ có phương án tối ưu thì bài

toán gốc cũng có phương án tối ưu và phương án

tối ưu của bài toán gốc là phương án tối ưu của

bài toán phụ bỏ đi thành phần biến phụ và đổi

các giá trị của biến mới về biến cũ theo công

thức đổi biến (nếu có)

1 2 3 4

'

1 2 3 '

1.4.3 Bài toán QHTT dạng chuẩn

Biến cơ sở ứng với ràng buộc chính thứ i là biến có

hệ số bằng 1 ở ràng buộc đó và hệ số bằng 0 ở các

ràng buộc còn lại

Trong (1.4.3) thì các biến xi, (i=1, ,m ) là các biến

cơ sở, các biến xm+1, , xnlà các biến không cơ sở

Ví dụ 1.4.3

Bài toán ở ví dụ (1.4.1a) là bài toán QHTT dạng

50

Một bài toán QHTT dạng chính tắc nhưng chưa

phải dạng chuẩn, thì ta biến đổi về dạng chuẩn

như sau:

 Nếu Rbc có vế phải <0 thì nhân 2 vế Rbc này

với (-1)

 Nếu Rbc không có biến cơ sở: Thì cộng thêm

vào vế trái của Rbc đó một biến không âm để

làm biến cơ sở (biến này gọi là biến giả ).

1.4.4 Biến đổi về dạng chuẩn

Khi thêm vào biến giả thì hệ số của biến giả ở hàm

mục tiêu tương ứng sẽ là (-M) đối với bài toán max

và là (M) đối với bài toán min, trong đó M là số

dương lớn tùy ý

Bài toán dạng chuẩn nhận được từ bài toán gốc

bằng cách thêm vào các biến giả gọi là bài toán mở

rộng.

52

Nhận xét: Bài toán mở rộng không tương

đương với bài toán gốc, i.e., lời giải của bài toán

mở rộng chưa chắc là lời giải của bài toán gốc:

 Nếu bài toán mở rộng không có lời giải thì

bài toán gốc cũng không có lời giải

 Nếu bài toán mở rộng có phương án tối ưu,

nhưng thành phần biến giả trong phương án

tối ưu khác 0 thì bài toán gốc không có lời

giải

1.4.4 Biến đổi về dạng chuẩn

 Nếu bài toán mở rộng có phương án tối ưu và

tất cả các thành biến giả trong phương án tối

ưu đều bằng 0 thì bài toán gốc có phương án

tối ưu Khi đó phương án tối ưu của bài toán

gốc là phương án tối ưu của bài toán mở rộng

bỏ đi thành phần biến giả và biến phụ (nếu

có)

54

Ví dụ 1.4.4: Biến đổi bài toán sau về dạng chuẩn.

1.4.5 Bài toán QHTT tương đương

Giả sử ta có bài toán QHTT:

thì bài toán QHTT tương đương của nó là:

56

1

max (*)

Nội dung thuật toán:

Xuất phát từ một PACB x0 , ta tìm cách đánh giá

xem x0 có phải là PATƯ của bài toán chưa Nếu

chưa thì ta phải tìm cách xây dựng một PACB mới

x1 tốt hơn và đánh giá x1 có tối ưu chưa Quá trình

này cứ tiếp tục cho đến khi tìm được PATƯ hoặc

phát hiện ra bài toán không có PATƯ Quá trình

chuyển từ PACB này sang PACB tốt hơn được gọi

là một bước lặp

Thuật toán đơn hình

Do yêu cầu của thuật toán là xuất phát từ một

PACB nên để đơn giản ta xét bài toán dạng chuẩn:

58

1

max , 1, (1.5.1)

n m

Bước 1: Xây dựng PACB xuất phát

- Cho các biến không cơ sở bằng 0, i.e., cho

xm+1=xm+2=….xn=0 Suy ra: xi=bi,( i=1, ,m)

Vậy: PACB xuất phát là

- Giá trị mục tiêu xuất phát:

m

i i i



 

Thuật toán đơn hình

Bước 2: Xây dựng tiêu chuẩn tối ưu

Gọi

là hệ số ước lượng của biến xj

Nếu △j≥0, j thì PACB hiện hành tối ưu

Nếu k: k< 0 thì PACB hiện hành chưa tối ưu

Chú ý:Đối với các biến cơ sở thì △j=0

Xét PA x bất kỳ của bài toán (1.5.1) Ta có

Bước 3: Xây dựng phương án cơ bản tốt hơn

Trường hợp: △m+k< 0 và có ít nhất một aim+k>0 thì

bài toán giải tiếp

Chọn biến không cơ sở có:

Thuật toán đơn hình

Bước 4: Thực hiện lại bước 2

Chú ý:

- Tỷ số λ0gọi là tỷ số đơn hình (cột m+k)

- Trong mỗi bước lặp thì có một biến từ ngoài cơ

sở vào làm cơ sở và một biến từ trong cơ sở đi ra

khỏi cơ sở và mỗi bước lặp là một phép biến đổi

Gauss – Jordan

64

 Cột ci: cột hệ số hàm mục tiêu của biến cơ sở xi

 Cột bi: cột PA ứng với các biến cơ sở xi

Dòng thứ 1: Ghi các biến xjcủa bài toán.

Dòng thứ 2: Ghi hệ hàm mục tiêu của các biến xj

 Dòng △j: Ghi các hệ số ước lượng của xj.

66

Chẳng hạn:

11 21

1

m m

a a

Thuật toán đơn hình dạng bảng

Ví dụ 1.5.1:Giải bài toán QHTT sau:

Ta thêm vào 3 biến phụ x4, x5, x60 vào 3 Rb chính

2 1 2

4 2 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0

1 1/4 0 0 1/2

1/2 8

0 0 1

26 -1/2 1 0

0 1 2

14 -1/2 0 1

96 -4-4 0 3 0 0

1/2 0 1

4

-Nếu △j≤0, j thì PACB hiện hành tối ưu.

Nếu k: k > 0 thì PACB hiện hành chưa tối ưu

2 Xây dựng PACB mới

Chọn biến vào CS: max{△k/△k>0}

Chọn biến ra giống bài toán Z(max)

2 1 3

1 2 3

2 -1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0

0

0

4 5 6

-1 0 0 0

(3)

2 1 3

2 1/2 1 1/2 0 0 0

3 3/2 -2 -1/2 1 0 0

0 3/2 -2 -3/2 0 1

-3

0 0

2 3 0

-6

-3

0 0

0

1/2 3/2 3/2 2

-7/2

-3

0 0

1 -2 -2

-4

-3

0 0

1/2 -1/2 -3/2

-3/2 0 0

0 -7/2 -4 -3/2 0 0

- -

1.6 Thuật toán đơn hình mở rộng

Là thuật toán đơn hình giải bài toán mở rộng

(bài toán có biến giả)

Chú ý:

- Khi một biến giả được ra khỏi cơ sở thì sẽ

không được phép đưa trở lại, nên khi lập bảng

đơn hình cho bài toán mở rộng ta không cần ghi

vector đk biến giả vào bảng

78

tính △j liên quan đến biến giả.

- Do hệ số hàm mục tiêu biến giả là +M hoặc –

M, (M>0 lớn tùy ý) nên khi so sánh △jta chỉ cần

so sánh hệ số đi theo M

- Khi tính △j dòng 2 ta khong cần trừ hệ số

hàm mục tiêu cj và khi xét tiêu chuẩn tối ưu ta ưu

tiên dòng 2

Thuật toán đơn hình mở rộng

Ví dụ 1.6.1 Giải bài toán QHTT sau:

Ta sử dụng quan hệ bài toán max và min

Bài toán mở rộng của bt tương đương:

trong đó: x5, x6, x7là các biến phụ, x8biến giả

-5 -1 -6

-9 1 7

6 3 -8 0

0 1 -1

0 0

0

0

2 10

-1 3

-5 -1

-9 1

3 0

1 0

Vì j≤j nên PACB ở bảng 3 đã tối ưu PATƯ

của bài toán mở rộng x*=( 0,30,40,0,0,512,0,0,0).

Do thành phần biến giả x8trong PATƯ bằng 0, nên

bài toán tương đương có PATƯ:

x*=( 0, 30, 40, 0) và Z’min= -10Suy ra: PATƯ của bài toán đã cho:

2 3 12 1

x x

x x x