Tối ưu hóa và quy hoạch tuyến tính

bài giảng dành cho sinh viên đại học,đầy đủ kiến thức,có bài tập từng chương và bài tập tông hợp giúp sinh viên dễ dàng cô đọng kiến thức.Mỗi dạng bài đều có ví dụ cụ thể

1 BÀI TOÁN VẬN TẢI 1 Chương 3 NỘI DUNG CHƯƠNG 3.1 Thiết lập bài toán vận tải (btvt) 3.2 Phương án của bài toán vận tải 3.3 Giải bài toán vận tải 3.4 Bài toán vận tải mở 3.5 Bài toán vận tải có hàm mục tiêu max 2 2 3.1 Thiết lập bài toán vận tải (btvt) 3.1.1 Bài toán vậntải Một công ty cầnvận chuyển hàng hóa từ các kho hàng A i ,(i=1, ,m) (gọilàtrạm phát)cótrữ lượng hàng hóa tương ứng là a i đến các cửahàngB j ,(j=1, ,n) (gọilàtrạmthu)với nhu cầutiếpnhận khốilượng hàng hóa tương ứng là b j . Giả sử tổng cung bằng tổng cầu, i.e., 3 11 mn ij ij ab     3.1.1 Bài toán vận tải Cho biếtcước phí vận chuyển1đơnvị hàng hóa từ A i đếnB j là c ij , (i=1, ,m; j=1, ,n). Bài toán lậpkế hoạch vận chuyển hàng hóa sao cho các trạm phát hết hàng, các trạm thu nhận đủ hàng và tổng cước phí vận chuyểnthấpnhấtgọilà bài toán vậntải. 4 3 3.1.2 Mô hình toán học của BTVT Gọi x ij ,(i=1, ,m; j=1, ,n) là sốđơnvị hàng hóa cần vận chuyểntừ A i đếnB j . Điềukiện: x ij 0, i,j Khi đómôhìnhtoánhọccủabtvtlàbtQHTTsau: 5 3.1.2 Mô hình toán học của BTVT . 6 11 1 1 min ,( 1, ) (3.1.1) ,( 1, ) 0,( 1, , 1, )            mn ij ij ij n ij i j m ij j i ij Zcx xai m xbj n ximjn BT (3.1.1) thỏa điềukiện gọilàbtvtđóng. Nếu không thỏa đknàythìgọilà btvt mở. ij ab   4 3.1.3 Dạng bảng của bài toán vậntải Ma trận C=(c ij )∈M mn (R) gọilàmatrậncước phí của btvt. 7 Thu Phát a 1 a 2 … a m b 1 b 2 …b n c 11 c 12 c 1n … c 21 c 22 … c 2n … … … … c m1 c m2 c mn … 3.1.4 Mô hình toán học dạng bảng . b 1 b 2 b n a 1 c 11 c 12 …c 1n a 2 c 21 c 22 …c 2n …………… a m c m1 c m2 …c mn 8 Thu Phát x 11 x 12 x 1n x 21 x 22 x 2n x m1 x m2 x mn 5 3.1.4 Mô hình toán học dạng bảng Trong mô hình dạng bảng thì mỗiôchứamộtbiến nên mỗiôđượcxemnhư mộtbiến. Ma trậnX=(x ij ) ∈M mn (R) gọilàmatrậnhànghóa và cũng là ma trận ẩnsố của btvt. 9 3.2 Phương án của bài toán vận tải 3.2.1 Định nghĩa: Nếu x 0 ij là lượng hàng hóa vận chuyểntừ A i đếnB j thì phương án củabtvtlàma trậnX=(x 0 ij ) ∈M mn (R) thỏa các Rb của (3.1.1). Ví dụ 3.2.1 Xét btvt là mộtPAcủabài toán. P T 20 40 40 30 2 1 3 30 4 5 2 40 2 3 6 10 3000 20 030 0 10 10 0 0300 0030 20 10 10 X       6 3.2.2 Phương án cơ bản (PACB) của btvt i)Ôchọn(ôcơ sở) Trong mộtPAcủabtvtthìôcólượng hàng dương gọilàôchọn.Ô có lượng hàng bằng 0 gọilàôloại hay ô không cơ sở. ii) Chu trình (vòng) Một dãy các ô chọncủamộtPAcủabtvtđược gọilàtạonênmột chu trình nếu chúng tạonên đường gãy khúc khép kín, chổ gãy là góc vuông và là ô chọn, đồng thờimỗicạnh của đường này chỉ chứa2ôchọn. 11 3.2.2 Phương án cơ bản của btvt Một số chu trình thường gặp “” ký hiệu ô chọn. Nhậnxét:Số ôchọn trong một chu trình luôn là số chẵn.     12         7 3.2.2 Phương án cơ bản của btvt iii) PACB MộtPAcủabtvtđượcgọilàPACBnếu các ô chọn củaPAđó không tạonênmột chu trình. PA củaVídụ 3.2.1 là một PACB. 13 P T 20 40 40 30 2 1 3 30 4 5 2 40 2 3 6 30 0 0 20 0 300 10 10     3.2.2 Phương án cơ bảncủabtvt iv) PACB không suy biến Xét btvt có m trạm phát và n trạm thu. - PACB không suy biếnlàPACBcủabtvtcósố ô chọnbằng m+n-1. -PACBcósố ôchọn<m+n-1 thì gọilàPACB suy biến. Để một PACB suy biếntrở thành PACB không suy biếntabổ sung mộtsố “ôchọn không”. 14 8 3.2.2 Phương án cơ bản của btvt Ví dụ 3.2.2 Xét btvt là PACB suy biếnvì số ôchọn4<3+3-1 Để PA trên trở thành ko suy biếntabổ sung một“ô chọn 0” là 1 trong các ô: (1,1), (1,2), (2,3) và (2,4). Ô (3,1) không đượcchọnvìônàytạovới (3,2),(2,2) và (2,1) thành một chu trình. 15 P T 40 40 20 20 5 3 1 50 7 6 8 30 3 2 2 0 0 20 0 40 0 10 30 0 0 0020 40 10 0 0300 X          3.2.3 Tính chất của btvt Xét btvt có m trạm phát và n trạm thu. i) Mọibtvtđềucóphương án tối ưu. ii) Trong một bài toán vậntảithìsố ôchọncủa một PACB không bao giờ vượt quá m+n-1 ô. iii)Vớimột PACB không suy biếnthìmộtôloại bấtkỳ cũng tạovới các ô chọncủaPAđó thành một chu trình duy nhất. 16 9 3.3 Giải bài toán vận tải – PP thế vị Thuật toán đượcxâydựngtrênýtưởng: tiếndần đếntối ưu. Xuất phát từ một PACB không suy biếncủa bài toán, đánh giá tính tối ưucủaPAđó. -Nếutối ưu thì dừng thuật toán. -Ngượclại ta tìm cách xây dựng PACB mới tốthơn, rồi đánh giá tính tối ưucủa nó. 17 3.3 Giải bài toán vận tải – PP thế vị Thuật toán được tiến hành với 3 bước chính: Bước 1. Xây dựng PACB xuất phát Bước 2. Xây dựng tiêu chuẩn tối ưu Bước 3. Xây dựng PACB mới tốt hơn 18 10 3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát Để chắcchắncóđượcmộtPACBtaxâydựng bằng 1 trong 3 PP sau: i) Phương pháp góc Tây-Bắc Ưutiênphânphối hàng hóa (hh) vào ô góc trên bên trái cùa bảng. Bước1:Phân phối hàng hóa tối đa vào ô (1,1). Bươc2:Điềuchỉnh lượng hh ở các trạm phát và trạmthuchứa ô phân phốihàngở Bước1 19 3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát và bỏ đi dòng hoặc cột chứa trạm phát hoặc trạm thu có lượng hàng bằng 0. Bước 3: Phân phối hh tối đa vào ô góc trên bên trái của bảng còn lại. Bước 4: Lặp lại Bước 2. Quá trình này được lặp lại chó đến khi các trạm phát phát hết hàng và các trạn thu nhận đủ hàng ta sẽ được PACB của bài toán. 20 [...]... ĐK cần và đủ để X0 là tồn tại một PA (ui,vj) của (3.2.2) sao cho 28 3.3.2 Tiêu chuẩn tối ưu- PP thế vị ui  v j  cij , i, j 0 ui  v j  cij , xij  0  ij  ui  v j  cij Đặt và gọi là hệ số ước lượng của ô (i, j) Tiêu chuẩn tối ưu: i) Nếu ij≤0, i,j thì PA X0 tối ưu ii) Nếu ikjk:  i j  0 thì X0 chưa tối ưu k k 14 29 3.3.3 Xây dựng PACB mới i) Tìm ô vào cở sở(hệ thống ô chọn) Ô vào là ô có:... tiêu max cần chú ý: i) Khi xây dựng PACB xuất phát ta sử dụng PP hiệu suất cao nhất thay cho PP cước phí thấp nhất, i e, ưu tiên phân phối hàng hóa vào ô có cước phí lớn nhất ii) Tiêu chuẩn tối ưu: - Nếu ij 0, i,j thì PACB hiện hành tối ưu - Nếu i’j’0 thì PACB hiện hành chưa tối ưu Bước 3 34 Tóm tắt thuật toán-PP thế vị Chú ý: + Hệ (**) là hệ pttt suy biến, nên... có ô cấm - Giải btvt mở rộng như btvt bình thường với vài chú ý sau: + Khi x/d PACB xuất phát thì “ô cấm” được phân phối hàng cuối cùng + Nếu btvt mở rộng tối ưu mà lượng hàng hàng trong ô cấm bằng 0 thì btvt gố tối ưu + Nếu btvt mở rông tối ưu nhưng lượng hàng trong ô cấm khác 0 hoặc btvt mở rộng không có lời giải thì btvt gốc không có lời giải 28 ...   là PACB không suy 6  6 30 biến (vì số ô chọn 15 là 5=3+3-1) 26 3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát iii) PP Fogels Ưu tiên phân phối hàng hóa vào ô có cước phí thấp nhất đồng thời nằm trên dòng hoặc cột có độ chênh lệch giữa cước phí thấp nhất và thấp thì lớn nhất 13 27 3.3.2 Tiêu chuẩn tối ưu – PP thế vị Giả sử X0=(x0ij) là PACB không suy biến của btvt (đóng) 3.1.1 BTĐN của (3.1.1): m n Z    ai ui... 3 1 2  2 + 25 0 5 u1=0 3  4 30 5 5 4 3 u2 =1 0 30 0 6 40 3  2 + 3 2 6 u3=4 25 3 15 0 Vì 32=3>0 nên PACB x/p chưa tối ưu Chọn ô (3,2) vào cơ sở Lượng hàng điều chỉnh d=15 Ô ra khỏi cơ sở là ô (3,3) 38 Phương pháp thế vị Bảng 2: P T Vì ij≤0, i,j nên PACB ở bảng 2 đã tối ưu PATƯ  0 10 20    X *   0 0 30   25 15 0     10.1  20.2  30.3  25.3  15.2  245 25 25 50 v1=2 v2=1 v3=2 1... Ô ra CS (2,3) 44 3.4 Bài toán vận tải mở Bảng 2 v1=2 v2=1 v3=2 v3=-2 2 + 1 3 0 2  1  3 0 0 20 0 u1=0 0 10 10 + 4 3  6 - 0  4 3  6 0  10 u2=2 0 10 10 20 30 2 -ij0, i,j nên  0 bảng 2 đã tối ưu 5 5 2 PACB 2  2  0 Vì  25 0 u3=0 0 +15 15 25 Bảng 1 22 45 3.4 Bài toán vận tải mở PATƯ của btvt gốc: 10 10 0    X   0 30 0   15 0 25    * Tổng cước phí vận chuyển: Z min  10.2  10.1... 2 6 0  40 0 PA xuất phát:  25 5 0    X 0   0 20 10   0 0 40    là PACB không suy biến (vì số ô chọn của PA là 5 bằng 3+3-1) 22 11 23 3.3.1 Xây dựng PACB xuất phát ii) PP cước phí thấp nhất Ưu tiên phân phối hh vào ô có cước phí thấp nhất của bảng Bước 1: Phân phối hh tối đa vào ô có cước phí thấp nhất trong bảng (nếu có từ 2 ô có cước phí thấp nhất giống nhau thì chọn ô ở góc T-B) Bước 2:Điều... v3=6 10 9  6 10  9 + 6 u1=0  5 u1=0 15 15 5 5 9 7 5 u2=-1 9  7 u2=-1 10 10 8 5 4 8 5  4 u3=-2  -10 u3=-4 -2 + 10 10 10 Ô vào CS (3,1) Vì ij0, i,j nên PACB Lượng hàng đ/c d=10 ở Bảng 3 đã tối ưu Ô ra CS (3,2) 54 3.5 BTVT có hàm mục tiêu cực đại Vậy PATƯ của bt là:  5 15 0    X *   10 0 0   10 0 10    Zmax  5.10  15.9  10.9  10.8  10.4  395(sp / ngay) 27 55 3.6 BTVT có ô cấm... trạm phát phụ và thu phụ gọi là ô phụ Cước phí trong ô phụ bằng 0 40 3.4 Bài toán vận tải mở - Btvt phụ là btvt đóng nên ta giải nó bằng PP thế vị như 3.3, với chú ý như sau: + Xây dựng PACB xuất phát ưu tiên phân phối các ô chính trước, ô phụ phân phối hàng cuối cùng + PATƯ btvt gốc bằng PATƯ btvt phụ bỏ đi các ô phụ 20 3.4 Bài toán vận tải mở Ví dụ 3.4.1 Xét btvt: P T 25 20 2 40 4 40 2 40 1 3 5 25 . học của BTVT Gọi x ij ,(i=1, ,m; j=1, ,n) là sốđơnvị hàng hóa cần vận chuyểntừ A i đếnB j . Điềukiện: x ij 0, i,j Khi đómôhìnhtoánhọccủabtvtlàbtQHTTsau: 5 3.1.2 Mô hình toán học của BTVT . 6 11 1 1 min . n ximjn BT (3.1.1) thỏa điềukiện gọilàbtvtđóng. Nếu không thỏa đknàythìgọilà btvt mở. ij ab   4 3.1.3 Dạng bảng của bài toán vậntải Ma trận C=(c ij )∈M mn (R) gọilàmatrậncước phí của btvt. 7 Thu Phát a 1 a 2 … a m b 1 b 2 …b n c 11 c 12 c 1n … c 21 c 22 … c 2n … … … … c m1 c m2 c mn … 3.1.4. Xây dựng PACB xuất phát Ví dụ 3.3.1a) Cho btvt Xây dựng PACB xuất phát cho bt trên bằng PP góc T-B. Nhận xét: Phát =Thu = 100, nên btvt đã cho là btvt đóng. P T 25 25 50 30 3 1 2 30 5 4 3 40