T57-Hệ thức Vi-et và ứng dụng

Viết công thức nghiệm của phương trình bậc hai. KIỂM TRA BÀI CŨ Giải phương trình: 2x 2 - 5x + 3 = 0 Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức Vi-et Nếu pt bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm thì ta có thể viết các nghiệm đó dưới dạng: 1 2 -b +Δ -b - Δ x = , x = 2a 2a Hãy tính x 1 + x 2 , x 1 .x 2 ?1 1 2 -b +Δ + (-b)- Δ -2b -b x + = = = 2a 2a x a × 2 2 2 1 2 2 2 2 b -Δ b -(b - 4ac) 4ac = = = = 4a 4a 4a c x x a Giải = 1 2 x + x -b a × 1 2 x x = c a Phrăng-xoa Vi-et (1540-1603) nhà Toán học nổi tiếng người Pháp đã phát hiện ra mối liên hệ giữa các nghiệm và các hệ số của phương trình bậc hai vào đầu thế kỉ XVII, ngày nay nó được phát biểu thành một định lí mang tên ông. F.Viète Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì a) Định lí Vi- et Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức Vi-et Bài 25 (SGK): Đối với mỗi pt sau, kí hiệu x 1 và x 2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (…) b) Áp dụng ∆ = x 1 + x 2 = , x 1 . x 2 = a) 2x 2 - 17x + 1 = 0 (-17) 2 – 4.2.1 = 281 > 0 1 2 17 2 … … … NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) th× a) Định lí Vi- et = 1 2 x + x -b a × 1 2 x x = c a ∆ = x 1 + x 2 = , x 1 . x 2 = c) 8x 2 - x + 1 = 0 (-1) 2 – 4.8.1 = -31 < 0 … … … ∆ = x 1 + x 2 = , x 1 . x 2 = Ph ¬ng tr×nh v« nghiÖm Hoạt Động nhóm Nhóm 1 và nhóm 2 ( Làm ?2 ) Cho ph ơng trình 2x 2 - 5x + 3 = 0 . a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a+b+c b) Chứng tỏ x 1 = 1 là một nghiệm của ph ơng trình. c) Dùng định lý Vi- ét để tìm x 2. . Nhóm 3 và nhóm 4 (Làm ?3) Cho ph ơng trình 3x 2 + 7x + 4 = 0. a) Chỉ rõ các hệ số a, b, c của ph ơng trình v tính a b + c b) Chứng tỏ x 1 = -1 là một nghiệm của ph ơng trình. c) Tìm nghiệm x 2. Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của pt ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thì Tit 57 : H THC VI-ẫT V NG DNG 1. H thc Vi-et a) nh lớ Vi- et b) p dng = 1 2 x + x -b a ì 1 2 x x = c a NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) th× Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức Vi-et a) Định lí Vi- et Phương trình 2x 2 -5x + 3 = 0 a) a = 2 ; b = -5 ; c = 3 a + b + c = 2 + (-5) + 3 = 0 b) Thay x = 1 vào phương trình ta được 2.1 2 + (-5).1 + 3 = 2 + (-5) + 3 = 0 Vậy x 1 = 1 là một nghiệm của ph/trình c) Ta có 1 2 2 c 3 3 x .x = = x = a 2 2 ⇒ ?2 Tæng qu¸t 1: NÕu pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã a + b + c = 0 th× pt cã một nghiÖm x 1 =1, cßn nghiÖm kia lµ 2 c x a = = 1 2 x + x -b a × 1 2 x x = c a b) Áp dụng Ho¹t §éng nhãm Ho¹t §éng nhãm NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) th× Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức Vi-et a) Định lí Vi- et Phương trình 3x 2 + 7x + 4 = 0 a) a = 3 ; b = 7 ; c = 4 a - b + c = 3 - 7 + 4 = 0 b) Thay x = -1vào phương trình ta được 3.(-1) 2 + 7.(-1) + 4 = 3 - 7 + 4 = 0 Vậy x 1 = -1 là một nghiệm của ph/trình c) Ta có 1 2 2 c 4 4 x .x = = x = - a 3 3 ⇒ ?3 Tæng qu¸t 1: NÕu pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã a + b + c = 0 th× pt cã một nghiÖm x 1 =1, cßn nghiÖm kia lµ 2 c x a = 2 c x a = − Tæng qu¸t 2: NÕu pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã a - b + c = 0 th× pt cã một nghiÖm x 1 =-1, cßn nghiÖm kia lµ = 1 2 x + x -b a × 1 2 x x = c a b) Áp dụng NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) th× Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức Vi-et a) Định lí Vi- et ?4 Tính nhẩm nghiệm của các pt: a) -5x 2 + 3x + 2 = 0 b) 2004x 2 + 2005x +1 = 0 b) 2004x 2 + 2005x + 1 = 0 cã a = 2004 , b = 2005 , c = 1 ⇒ a – b + c = 2004 – 2005 +1 = 0 x 2 = - 1 2004 VËy x 1 = -1, a) -5x 2 + 3x + 2 = 0 cã a = -5, b =3, c = 2 ⇒ a + b + c = -5 + 3 + 2 = 0 VËy x 1 = 1 , 2 2 2 x 5 5 − = = − Gi¶i = 1 2 x + x -b a × 1 2 x x = c a b) Áp dụng Tæng qu¸t 1: NÕu pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã a + b + c = 0 th× pt cã một nghiÖm x 1 =1, cßn nghiÖm kia lµ 2 c x a = 2 c x a = − Tæng qu¸t 2: NÕu pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã a - b + c = 0 th× pt cã một nghiÖm x 1 =-1, cßn nghiÖm kia lµ NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) th× Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức Vi-et a) Định lí Vi- et = 1 2 x + x -b a × 1 2 x x = c a b) Áp dụng Tæng qu¸t 1: NÕu pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã a + b + c = 0 th× pt cã một nghiÖm x 1 =1, cßn nghiÖm kia lµ 2 c x a = 2 c x a = − Tæng qu¸t 2: NÕu pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cã a - b + c = 0 th× pt cã một nghiÖm x 1 =-1, cßn nghiÖm kia lµ Tæng qu¸t: (SGK) 2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng Giả sử hai số cần tìm có tổng bằng S và tích bằng P. Gọi một số là x thì số kia là S - x. Theo giả thiết ta có phương trình: x (S – x) = P hay x 2 – Sx + P = 0 (1) Nếu ∆ = S 2 – 4P ≥ 0 thì phương trình (1) có nghiệm. Các nghiệm này chính là hai số cần tìm. NÕu hai sè cã tæng b»ng S vµ tÝch b»ng P th× hai sè ®ã lµ hai nghiÖm cña ph ¬ng tr×nh x 2 – Sx + P = 0 §iÒu kiÖn ®Ó cã hai sè ®ã lµ S 2 - 4P ≥ 0 Tổng quát: (SGK) 2. Tỡm hai s bit tng v tớch ca chỳng Tit 57 : H THC VI-ẫT V NG DNG 1. H thc Vi-et Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của pt ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thì a) nh lớ vi- et = 1 2 x + x -b a ì 1 2 x x = c a b) p dng Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của ph ơng trình x 2 Sx + P = 0 Điều kiện để có hai số đó là S 2 - 4P 0 áp dụng Ví dụ 1: Tìm hai số, biết tổng của chúng bằng 27, tích của chúng bằng 180. Giải: Hai số cần tìm là hai nghiệm của ph ơng trình: x 2 _ 27x + 180 = 0 1 2 27 3 27 3 x 15 , x 12 2 2 + = = = = Vậy hai số cần tìm là 15 và 12 2 27 4.1.180 9 0 3 = = > = Ta cú: [...]... 0 §iỊu kiƯn ®Ĩ cã hai sè ®ã lµ S2 - 4P ≥ 0 Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1 Hệ thức Vi-et a) Định lí vi- et NÕu x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa pt ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) th× -b x1 + x 2 = a c x1 ×x 2 = a ¸p dơng Bài 28a (SGK) Tìm hai số u và v biết: u + v = 32 Gi¶iu.v = 231 , Hai số u và v là hai nghiệm của phương trình x2 – 32x + 231 = 0 b) Áp dụng ' ∆'= (-16)2 – 1.231 = 25 > 0 ⇒ ∆ = 5 Tỉng qu¸t: (SGK)... ®ã lµ hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh x2 – Sx + P = 0 §iỊu kiƯn ®Ĩ cã hai sè ®ã lµ S2 - 4P ≥ 0 Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1 Hệ thức Vi-et a) Định lí vi- et NÕu x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa pt ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) th× -b x1 + x 2 = a c x1 ×x 2 = a b) Áp dụng Tỉng qu¸t: (SGK) 2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng NÕu hai sè cã tỉng b»ng S vµ tÝch b»ng P th× hai sè ®ã lµ hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh... HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1 Hệ thức Vi-et a) Định lí vi- et NÕu x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa pt ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) th× -b x1 + x 2 = a c x1 ×x 2 = a ¸p dơng Bµi 27 (SGK): Dïng hƯ thøc Vi-Ðt ®Ĩ tÝnh nhÈm c¸c nghiƯm cđa ph ¬ng tr×nh x2 – 7x + 12 = 0 Gi¶i Δ = (7)2 - 4.1.12 = 49 - 48 = 1 > 0 V× 3 + 4 = 7 vµ 3 4 = 12 b) Áp dụng nªn x1=3, x2= 4 lµ hai nghiệm Tỉng qu¸t: (SGK) 2 Tìm hai số biết tổng và tích... : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1 Hệ thức Vi-et a) Định lí vi- et NÕu x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa pt ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) th× -b x1 + x 2 = a c x1 ×x 2 = a ¸p dơng T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng 1, tÝch cđa chóng b»ng 5 ?5 Gi¶i Hai sè cÇn t×m lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh : x2- x + 5 = 0 Ta có Δ= (-1)2 - 4.1.5 = -19 < 0 b) Áp dụng ⇒ Ph¬ng tr×nh v« nghiƯm Tỉng qu¸t: (SGK) 2 Tìm hai số biết tổng và tích... TRẮC NGHIỆM Chọn câu trả lời đúng: Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình nào ? A x2 - 2x + 5 = 0 B x + 2x – 5 = 0 C x - 7x + 10 = 0 D x2 + 7x + 10 = 0 2 2 sai Đú n g Sai HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ - Học thuộc định lí Vi-ét và cách tìm hai số biết tổng và tích - Nắm vững cách nhẩm nghiệm khi a + b + c = 0 ; a – b + c = 0 và khi tổng và tích của hai nghiệm (S và P) là những số ngun có giá trị tuyệt đối khơng... tuyệt đối khơng q lớn * BTVN: 25bd, 26, 28bc, 30 (SGK) 38, 41 (SBT) HD Bài 30b: Tìm giá trị của m để pt có nghiệm rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m: x2 + 2(m-1)x + m2 = 0 - Tính Δ theo m rồi tìm điều kiện để pt có nghiệm (Δ ≥ 0) - Áp dụng hệ thức Vi-et để tính tổng và tích các nghiệm theo m ChTuoênđáề ... Gi¶iu.v = 231 , Hai số u và v là hai nghiệm của phương trình x2 – 32x + 231 = 0 b) Áp dụng ' ∆'= (-16)2 – 1.231 = 25 > 0 ⇒ ∆ = 5 Tỉng qu¸t: (SGK) x1 = 16 + 5 = 21, x2 = 16 – 5 = 11 2 Tìm hai số biết tổng và tích của chúng Vậy u = 21, v = 11 NÕu hai sè cã tỉng b»ng S vµ tÝch hoặc u = 11,v = 21 b»ng P th× hai sè ®ã lµ hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh x2 – Sx + P = 0 §iỊu kiƯn ®Ĩ cã hai sè ®ã lµ S2 - 4P ≥ 0 BÀI . HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức Vi-et Bài 25 (SGK): Đối với mỗi pt sau, kí hiệu x 1 và x 2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (…) b) Áp dụng. hai nghim ca ph ơng trình đã cho. áp dụng Tỉng qu¸t: (SGK) 2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức Vi-et NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiƯm. thc Vi-et a) nh lớ Vi- et b) p dng = 1 2 x + x -b a ì 1 2 x x = c a NÕu x 1 , x 2 lµ hai nghiÖm cña pt ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) th× Tiết 57 : HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 1. Hệ thức Vi-et