Chuyên đề Vượt vũ môn

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH ở các kì thi cuối cấp THCS, các bạn hay gặp một số bài toán "có lời văn" mà các bạn có thể "đại số hoá" để giải quyết. Muốn giải được bài toán loại này, các bạn cần nắm được: + Chọn ẩn cần tìm là đại lương chưa biết nào? (có thể đặt 2 ẩn !) + Từ yêu cầu của bài toán thiết lập phương trình (hoặc hệ phương trình nếu có nhiều phương trình !). + Giải phương trình (hoặc giải hệ phương trình). + Đối với các bài toán thực tế cần lưu ý sự có nghĩa có giá trị nghiệm tìm được. Thí dụ 1: hai người đi xe đạp xuất phát cùng một lúc đi từ A đến B. Vận tốc của họ hơn kém nhau 3 km/h nên họ đến B sớm muộn hơn nhau 30 phút. Tính vận tốc mỗi người, biết rằng quãng đường AB dài 30 km. giải: gọi x (km/h)là vận tốc của người đi chậm thì vận tốc của người kia là x + 3 (km/h),và x>0. Thời gian từng người đi từ A đến B lần lượt là 30/x (h) và 30/(x + 3) (h). Do đó ta có phương trình: 30/x - 30/(x + 3) = 30/60 hay x 2 + 3x - 180 = 0 khi và chỉ khi x 1 = 12, x 2 = - 15. Vì x > 0 nên x 1 = 12 (km/h) chấp nhận được. Do đó vận tốc của từng người là 12 km/h và 15 km/h. Thí dụ 2: Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi 250 m. Tính diện tích của thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài tăng thêm 15 m và chiều rộng giảm đi 15m thì diện tích giảm đi 450 m 2 . Giải: Gọi chiều dài thửa ruộng là x (m) và chiều rộng thửa ruộng là y (m) thì x > y > 0. Khi đó: 2(x + y) = 250 hay x + y = 125 (1) Diện tích thửa ruộng hiện tại là xy. Diện tích thửa ruộng nếu thay đổi các chiều dài, chiều rộng như bài toán là (x + 15) (y - 15). Do đó ta có phương trình thứ hai: xy - (x + 15)(y - 15) = 450 Đơn giản và rút gọn, ta được: x - y = 15 (2) Do đó ta có hệ phương trình hai ẩn (1) và (2) Giải hệ ta được x = 70 và y = 55 thoả mãn điều kiện x > y > 0. Vậy diện tích thửa ruộng là: xy = 70.55 = 3850 (m 2 ) Thí dụ 3: Hai người làm chung một công việc thì hết 1 giờ 12 phút. Họ làm với nhau được 30 phút thì một người phải đi làm việc khác, người còn lại phải làm thêm 45 phút nữa thì xong 75% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì hết bao nhiêu thời gian? TOÁN TUỔI THƠ 1 Giải : Ta có 1h 12' = 6/5 h Gọi x, y lần lượt là thời gian mà người thứ nhất (người chỉ làm 30') và người thứ hai làm một minh để xong toàn bộ công việc thì x, y > 6/5 (đơn vị của x, y là giờ). 1 Một giờ người thứ nhất làm được 1/x công việc, người thứ hai làm được 1/y công việc, nên hai người làm chung thì được: 1/x + 1/y = 5/6 công việc (1). Người thứ nhất thực làm 1/2.1/x = 1/(2x) công việc. Người thứ hai làm trong 30' + 45' = 75' = 5/4 h nên làm 5/4.1/y = 5/(4y) công việc. Khi đó, họ hoàn thành 75% công việc nên: 1/(2x) + 5/(4y) = 3/4 (2) Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được x = 18/7; y = 9/4 thoả mãn điều kiện x, y > 6/5 (có thể đặt 1/x = X ; 1/y = Y). Vậy thời gian mà mỗi người làm một mình để xong công việc là: - Người thứ nhất cần: 18/7 h - Người thứ hai cần: 9/4 h Các bạn hãy tự luyện bằng cách giải thêm các bài toán: Bài 1: Ba vòi nước A,B,C được đặt vào cùng một bể chứa. Để được đầy bể nước người ta thấy có các cách sau đây : 1) Vòi A chảy 2h và vòi B chảy 2h30'. 2) Vòi A chảy 1h và vòi C chảy 4h. 3 Vòi B chảy 3h và vòi C chảy 2h. Nếu chỉ sử dụng một vòi thì mỗi vòi phải chảy bao nhiêu lâu mới đầy bể? Đáp số : A chảy 3h ;B chảy 4h30'; C chảy 6h. Bài 2:Một hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2/4 chiều dài. Nếu bớt mỗi chiều đi 5m thì diện tích bị giảm đi 16%. Tính các kích thước của hình chữ nhật lúc đầu. Đáp số: 50m và 75m. Bài 3: Một chiếc thuyền khởi hành từ bến A. Sau 5h20' có một ca nô chạy từ bến A đuổi theo và đuổi kịp thuyền tại địa điểm B cách bến A là 20 km. Biết rằng vận tốc ca nô hơn vận tốc thuyền là 12 km/h. Tính vận tốc của thuyền. TOÁN TUỔI THƠ 2 DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số hoặc một biểu thức là dạng toán các bạn thường gặp trong các kì thi, không chỉ ở bậc THCS mà sau này các bạn vẫn gặp ở bậc THPT. Tất nhiên ở mỗi bậc học, bài toán được đặt ra với các mức độ khác nhau. ở bài viết này xin bước đầu trao đổi với các bạn một chút kinh nghiệm sử dụng bất đẳng thức để giải quyết loại toán này. Kiến thức cơ bản cần biết để sử dụng là : * Với a, b ≥ 0 thì : và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Đây chính là bất đẳng thức Côsi trong trường hợp 2 số. Các bạn có thể suy từ bất đẳng thức hiển nhiên đúng : 2 * Với mọi a, b thì |a| + |b| ≥ |a + b| (**) và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0. Các bạn chỉ cần bình phương hai vế để có bất đẳng thức tương đương và hiển nhiên đúng. * Với các số a, b, c, d tùy ý ta có : (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd) 2 (***) và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad = bc. Đây chính là bất đẳng thức Bunhiacôpski đối với hai cặp số. Các bạn có thể suy ngay ra bất đẳng thức này dựa vào hằng đẳng thức : (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac + bd) 2 + (ad - bc) 2 * Cho a ≠ 0, Do đó : - Nếu a > 0 thì f(x) ≥ (4ac - b 2 )/(4a) với mọi x và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = - b/(2a) . - Nếu a < 0 thì f(x) ≤ (4ac - b 2 )/(4a) với mọi x và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = - b/(2a) . Bây giờ các bạn theo dõi các thí dụ : Thí dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : Lời giải : Thực hiện phép chia tử thức cho mẫu thức ta viết được : áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : với mọi x. Đẳng thức xảy ra Vậy y đạt giá trị nhỏ nhất là 2 khi và chỉ khi x = 0. Thí dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = |x - 2003| + |x + 2003| Lời giải : áp dụng bất đẳng thức (**) với a = x + 2003 và b = 2003 - x ta có : y = |x - 2003| + |x + 2003| = |2003 - x| + |x + 2003| ≥ |(2003 - x) + (x + 2003)| = 2006 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (2003 - x)(x + 2003) ≥ 0 Tương đương - 2003 ≤ x ≤ 2003. Do đó y đạt giá trị nhỏ nhất là 4006 khi và chỉ khi - 2003 ≤ x ≤ 2003 . Chú ý : Nhiều bạn lại áp dụng với a = x + 2003 và b = x - 2003 thì chưa được gì. Bởi khi đó ta có : y ≥ |(x - 20003) + (x + 2003)| = |2x| = 2|x| . 3 Vì 2|x| không phải là hằng số nên dù đẳng thức có xảy ra thì cũng không kết luận được gì về giá trị nhỏ nhất của y. Thí dụ 3 : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y = - 2001 x 2 + 2002 x - 2003. Lời giải : Như phần kiến thức đã trình bày ở trên, ta viết : với mọi x. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1001/2001 nên y đạt giái trị nhỏ nhất là - 3006002/2001. Chú ý : Khi gặp đa thức nhiều ẩn, các bạn có thể tạm coi đa thức là một ẩn với một ẩn nào đó và thực hiện cách biến đổi tương tự cũng sẽ giải quyết được bài toán. Thí dụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = x 2 + y 2 - xy - x + y + 1 Lời giải : Ta viết : Từ đó ta có giá trị nhỏ nhất của P là 2/3. Chú ý : Nhiều bạn có “sáng kiến” viết : 4 P = 1/2.(2x 2 + 2y 2 - 2xy - 2x + 2y + 2) = 1/2.[ (x - y) 2 + (x - 1) 2 + (y + 10 2 ] ≥ 0 với mọi x, y. Tuy nhiên bất đẳng thức trên không thể trở thành đẳng thức. Ta không được gì, ngoài việc biết được giá trị nhỏ nhất của P, nếu tồn tại sẽ là một số dương (!). Các bạn chớ thấy bất đẳng thức trên không trở thành đẳng thức mà vội vàng “liều lĩnh” kết luận : P không có giá trị nhỏ nhất (?). Thí dụ 5 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : Lời giải : Tập xác định của hàm số là 0 ≤ x ≤ 2 . Ta có : với mọi x thuộc tập xác định. Vì y ≥ 0 nên từ y 2 ≥ 2 => y ≥ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc x = 2. Do đó GTNN của y là . áp dụng bất đẳng thức (***) với : Do đó GTLN của y là 2. Mức độ khó hơn, các bạn có thể tham khảo các bài toán dưới đây : Thí dụ 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = x 4 - 4x 3 + 8x. Lời giải : Ta có : y = (x 4 - 4x 3 + 4x 2 ) - 4(x 2 - 2x) = (x 2 - 2x) 2 - 4(x 2 - 2x) = [ (x 2 - 2x) - 2] 2 - 4 ≥ - 4 với mọi x. Đẳng thức xảy ra : Do đó giá trị nhỏ nhất của y là -4, khi và chỉ khi Thí dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : Lời giải : Căn thức có nghĩa khi và chỉ khi 4 - x 2 ≥ 0 Tương đương với x 2 ≥ 4 hay |x| ≤ 2 Tương đương - 2 ≤ x ≤ 2 . Ta có : áp dụng bất đẳng thức (*) với a = x 2 và b = 4 - x 2 ta có Từ (1) và (2) ta có |y| ≤ 2 => - 2 ≤ y ≤ 2 GTLN của y là 2 GTNN của y là -2 5 Các bạn hãy tự luyện tập thêm qua các bài toán : 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x 2 + 2y 2 - 2xy + 2(x - 2y + 1) 4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số TOÁN TUỔI THƠ 7 MỘT KĨ NĂNG CÓ NHIỀU ỨNG DỤNG Các bạn hãy xuất phát từ một bài toán nhỏ : “Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 2 - 2x + 2”. Thật là dễ dàng viết được y = (x - 1) 2 + 1 nên y ≥ 1 với mọi x và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1. Do đó y đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 1. Điều cốt lõi ở cách viết trên là từ biểu thức x 2 - 2x, ta biết phải thêm 1 đơn vị để có (x - 1) 2 . Tại sao biết được điều đó ? Tại vì ta nhìn x 2 là bình phương số thứ nhất, 2x là hai lần tích số thứ nhất với số thứ hai nên số thứ hai chính là 1, vậy phải thêm bình phương số thứ hai tức là thêm 1 ! Đây là một kĩ năng mà các bạn cần thành thạo để giải quyết nhiều bài toán. Bây giờ các bạn hãy lần lượt theo dõi các thí dụ : Thí dụ 1 : Chứng minh với mọi a, b ta có a 2 - ab + b 2 ≥ 0. Phân tích : Nhìn vế trái như một đa thức bậc 2 đối với ẩn a và sử dụng kĩ năng trên ta có : a 2 - ab + b 2 = a 2 - 2.a.b/2 + (b/2) 2 + 3/4.b 2 = (a - b/2) 2 + 3/4.b 2 . Từ đó dễ dàng => điều phải chứng minh và thấy ngay đẳng thức chỉ xảy ra khi a = b = 0. Thí dụ 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = x 2 + y 2 + xy - x - y. 6 Phân tích : Nhiều bạn viết : F = 1/2(2x 2 + 2y 2 + 2xy - 2x - 2y + 2) - 1 <.dd> = 1/2[ (x - 1) 2 + (y - 1) 2 + (x + y) 2 ] - 1 . Do đó : F ≥ -1 với mọi x, y. Nhưng ta thấy bất đẳng thức này không thể trở thành đẳng thức nên “con đường” này không đi đến được kết quả. Thậm chí có bạn sau khi chứng tỏ đẳng thức F = -1 không xảy ra đã “liều” kết luận : F không có giá trị nhỏ nhất ! Nếu sử dụng kĩ năng đã trình bày thì hãy nhìn F như đa thức bậc hai ẩn x và viết : F = x 2 - x(y - 1) + (y 2 - y) = x 2 + 2.x.[ (y - 1)/2 ] + [ (y - 1)/2 ] 2 + 3/4.y 2 - y/2 - 1/4 [ x + (y - 1)/2 ] 2 + 3/4.(y 2 - 2/3.y + 1/9) - 1/4 - 1/12 = [ x + (y - 1)/2 ] 2 + 3/4(y - 1/3) 2 - 1/3 . Do đó F≥ - 1/3 với mọi x, y. Mặt khác : Vậy F đạt giá trị nhỏ nhất bằng - 1/3 khi x = y = 1/3 . (xem thêm TTT2 số 2 - 4/2003) Thí dụ 3 : Phân tích đa thức thành nhân tử : F = x 4 + y 2 - 2x2y + x 2 + x - 2y. Phân tích : Hãy nhìn F như đa thức ẩn y, ta viết : F = y 2 - 2y(x 2 + 1) + x 4 + x 2 + x = y 2 - 2y(x 2 + 1) + (x 2 + 1) 2 - x 2 + 2x - 1 = (y + x 2 + 1) 2 - (x - 1) 2 = (y + x 2 + x)(y + x 2 - x - 2) Thí dụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : Phân tích : Vẫn với kĩ năng nhìn ra bình phương của một biểu thức ta viết : Thí dụ 5 : Tìm các số nguyên x, y sao cho : Phân tích : Ta thấy : x 2 + 4x + 5 = (x + 2) 2 +1 > 0 với mọi x nên y xác định với mọi x. Từ đó ta cũng có y > 0. Do đó : Vì x, y thuộc Z nên y + x + 2 và y - x - 2 cũng nhận giá trị nguyên. Lưu ý tổng và tích của hai biểu thức này là dương nên ta có : TOÁN TUỔI THƠ 8 7 ĐA THỨC ĐỐI XỨNG HAI ẨN VÀ CÁC ỨNG DỤNG A. Lí thuyết. 1. Đa thức hai ẩn x, y không đổi khi thay x bởi y và y bởi x gọi là đa thức đối xứng (đtđx) hai ẩn. Ví dụ : P(x, y) = x 3 y + xy 3 ; Q(x, y) = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 là các đtđx. Các đa thức U(x, y) = 2x - 3y ; V(x, y) = x 2 - y 2 không phải là các đtđx. 2. Các đa thức t 1 = x + y và t 2 = xy gọi là đtđx cơ bản. 3. Kí hiệu S n = x n + y n (n thuộc N*) thì S n đều biểu diễn được theo t 1 , t 2 . Ví dụ : S 1 = x + y = t 1 S 2 = x 2 + y 2 = (x + y) 2 - 2xy = t 1 2 - 2t 2 S 3 = x 3 + y 3 = (x + y) 3 - 3xy(x + y) = t 1 3 - 3t 1 t 2 S 4 = x 4 + y 4 = (x 2 + y 2 ) 2 - 2x 2 y 2 = S 2 2 - 2t 2 2 = t 1 4 - 4t 1 2 t 2 + 2t 2 2 * Công thức truy hồi : S k = t 1 .S k - 1 - t 2 .S k - 2 . 4. Mọi đtđx hai ẩn x, y đều có thể viết dưới dạng đa thức hai ẩn t 1 , t 2 . B. Các ứng dụng. I. Phân tích đa thức thành nhân tử. Bài toán 1 : Phân tích đa thức : f(x, y) = x 5 + 3xy 4 + y 5 + 3x 4 y + x 2 y 3 + 3x 2 y 2 + x 3 y + xy 3 thành nhân tử. Lời giải : Ta có : f(x, y) = x 5 + 3xy 4 + y 5 + 3x 4 y + x 2 y 3 + 3x 2 y 2 + x 3 y + xy 3 = (x 5 + y 5 ) + 3xy(x 3 + y 3 ) + xy(y 2 + y 2 ) + x 2 y 2 (x + y) + 3x 2 y 2 = t 1 5 - 5t 1 3 t 2 + 5t 1 t 2 2 + 3t 2 (t 1 3 - 3t 1 t 2 ) + t 2 (t 1 2 - 2t 2 ) + t 2 2 t 1 + 3t 2 2 = t 1 5 - 2t 1 3 t 2 - 3t 1 t 2 2 + t 1 2 t 2 + t 2 2 = t 1 5 - 3t 1 3 t 2 + t 1 2 t 2 + t 2 t 1 3 - 3t 1 t 2 2+ t 2 2 = (t 1 2 + t 2 )(t 1 3 - 3t 1 t 2 + t 1 ) = (x 2 + y 2 + 3xy).(x 3 + y 3 + xy) II. Giải hệ phương trình. Bài toán 2 : Giải hệ : Lời giải : Đặt t 1 = x + y , t 2 = xy thì hệ trở thành : Thế t 1 = 3 ta có : 2 t 2 2 - 36 t 2 + 64 = 0 => t 2 = 16 ; t 2 = 2. Do đó x, y là các nghiệm của phương trình u 2 - 3u + 16 = 0 hoặc u 2 - 3u + 2 = 0. Từ đó ta có x = 1 & y = 2 hoặc x = 2 & y = 1. III. Giải phương trình. Bài toán 3 : Giải phương trình sau : Lời giải : 8 Từ kết quả bài toán trên ta có a, b và từ đó có nghiệm của phương trình là x = -15 hoặc x = 0. IV. Chứng minh đẳng thức. Bài toán 4 : Cho x + y = 1, x 3 + y 3 = a, x 5 + y 5 = b. Chứng minh 5a.(a + 1) = 9b + 1. Lời giải : Ta có : x 3 + y 3 = t 1 3 - 3t 1 t 2 = a => t 2 = (1 - a)/3 ; b = x 5 + y 5 = t 1 5 - 5t 1 3 t 2 + 5t 2 2 t 1 (áp dụng công thức truy hồi) => b = 1 + 5t 2 2 - 5t 2 = (5a 2 + 5a - 1)/9 Vậy 9b = 5a 2 + 5a - 1 hay 9b + 1 = 5a.(a + 1). V. Lập phương trình bậc hai. Bài toán 5 : Hãy lập phương trình có hai nghiệm : y 1 = x 1 3 - 2x 2 ; y 2 = x 2 3 - 2x 2 với x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình : x 2 - x - 5 = 0. Lời giải : Theo Vi-et ta có t 1 = x 1 + x 2 = 1 ; t 2 = x 1 .x 2 = -5. = (-5) 3 - 2.(14 - 4.(-5) + 2.(-5) 2 ) + 4.(-5) = -125 - 2.(1 + 20 + 50) - 20 = -125 - 142 - 20 = -287 Vậy y 1 , y 2 là nghiệm của phương trình : y 2 - 14y - 287 = 0. VI. Tìm cực trị. Bài toán 6 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của : Lời giải : 9 C. Một số bài tập. 1. Phân tích đa thức thành nhân tử. a) f(x, y) = 10x 4 - 27x 3 y - 110x 2 y 2 - 27xy 3 + 10y 4 . b) 2x 4 - x 3 y + 3x 2 y 2 - xy 3 + 2y 4 . 2. Lập phương trình bậc hai z 2 + pz + q = 0 có các nghiệm là : z 1 = x 1 6 - 2x 2 2 , z 2 = x 2 6 - 2x 1 2 , với x 1 , x 2 là nghiệm của x 2 - x - 3 = 0. 3. Cho x, y dương thỏa mãn x + y = 1. Chứng minh rằng : 8.(x 4 + y 4 ) + 1/xy ≥ 5 4. Giải hệ : 5. Chứng minh : (x + y) 4 + x 4 + y 4 = 2(x 2 + xy + y 2 ) 2 . 6. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình : x 3 + y 3 + 1 = 3xy. 7. Giải phương trình : TOÁN TUỔI THƠ 9 SÔ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LOẠI PHƯƠNG TRÌNH Kiến thức về xét dấu các nghiệm của một phương trình bậc hai là một trong những kiến thức cơ bản của THCS. Sau này khi học lên bậc THPT, các em vẫn cần sử dụng. Ta nhớ lại những điều cần thiết : * Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), ta thường kí hiệu P = c/a ; S = - b/a , và x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình. * Các điều kiện quan trọng : +) x 1 < 0 < x 2 tương đương P < 0 +) 0 = x1 < x2 tương đương P = 0 và S > 0 +) x 1 < x 2 = 0 tương đương P = 0 và S < 0 +) x 1 = x 2 = 0 tương đương P = 0 và S = 0 hoặc là Δ = 0 và S = 0 +) 0 < x 1 < x 2 tương đương với Δ > 0 , P > 0 và S > 0 10 [...]... N thuộc đường tròn đường kính BN1 Giới hạn lại ta đều có quỹ tích N là nửa đường tròn đường kính BN1 Cách 4 : Kéo dài PM cắt đường tròn tại I Dễ chứng minh I là trung điểm => I cố định Mà IN = IB => N thuộc đường tròn tâm I, bán kính IB Chú ý : Do mệnh đề thuận và mệnh đề phản đảo là tương đương nên có những khi người ta đã thay phần thuận bởi mệnh đề phản đảo, cụ thể là : Chứng minh M không thuộc... tích M là một đoạn thẳng // AB và cách AB một khoảng AB/4) Bài 2 : Cho đoạn thẳng AB Một điểm C chuyển động trên AB Lấy AC và BC làm cạnh dựng hai tam giác đều về cùng một phía của AB Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng nối tâm hai tam giác đều (Quỹ tích là một đoạn thẳng // AB, cách AB một khoảng ) Bài 3 : Cho đường tròn (O ; R) và một đường thẳng d cắt (O) ở A và B Một điểm M chuyển động trên... góc với d) Bài 4 : Cho nửa đường tròn đường kính AOB Một điểm M chuyển động trên nửa đường tròn Dựng tam giác đều BMC về nửa mặt phẳng bờ BM không chứa O a) Tìm quỹ tích đỉnh C (Cung chứa góc 60o) b) Tìm quỹ tích trung điểm H của MC (cung chứa góc 90o) c) Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác đều BMC (một nửa đường tròn) Bài 5 : Cho góc xOy Tìm quỹ tích các điểm M ở miền trong của góc xOy sao cho tổng... chọn và kết hợp nhiều phương pháp khác nhau Chắc chắn chúng ta còn gặp nhiều dạng bài toán liên quan đến căn bậc hai với những cách biến đổi đặc biệt khác Đề nghị các bạn tiếp tục trao đổi Dưới đây là một số bài tập áp dụng (được trích từ một số đề thi của các tỉnh, thành phố) Tính giá trị của các biểu thức : 25 TOÁN TUỔI THƠ 15 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Trong các loại hệ phương trình thì hệ... 0 Tương đương với Δ > 0 , P ≥ 0 và S > 0 hay : m2 - 8m + 12 > 0 , 2m - 3 ≥; 0 và m > 0 hay là : m > 6 hoặc m < 2 , m ≥ 3/2 và m > 0 Tươn đương : m > 6 hoặc 3/2 ≥ m < 2 12 Trước khi dừng bài viết, xin đề nghị các em có thể tự giải các bài tập sau đây : Bài tập 1 : Tìm m để phương trình x2 + 2m|x - 2| - 4x + m2 + 3 = 0 có ít nhất một nghiệm Bài tập 2 : Chứng minh rằng phương trình : mx4 - 3(m - 2)x2... nguyên x sao cho T nhận giá trị nguyên Bài 3 : Chứng minh rằng : Nếu a + b + c = 0 và abc khác 0 thì : Bài 4 : Cho : TOÁN TUỔI THƠ 12 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Trong chương trình môn Toán THCS, các bạn đã được học và làm quen với phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Bài viết giúp các bạn có một số phương pháp cơ bản để xét phương trình loại này Phương pháp 1 :1 Phương... - 2(-1) = 3 2) Q = (x12 + x22) + (x12 + x22)2 - 2x12x22 = 3 + 32 - 2(-1)2 = 10 => Q chia hết cho 5 21 Chú ý : Các bạn giỏi có thể chứng minh Q = x12001 + x22001 + x12003 + x22003 cũng chia hết cho 5 (Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Nam Định) Thí dụ 2 : Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 - (m + 1)x + m2 - 2m + 2 = 0 Tìm m để F = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất Giải : Trước hết, phương trình có nghiệm... dạng thẳng (đoạn thẳng, tia, đường thẳng) ta có thể chọn lựa các cách chứng minh sau : - Sử dụng quỹ tích đường trung trực - Sử dụng quỹ tích đường phân giác - Sử dụng quỹ tích đường thẳng song song cách đều - Nối điểm chuyển động M với một điểm O cố định rồi chứng minh : OM song song với một đường thẳng cố định, hoặc vuông góc với một đường thẳng cố định hoặc OM tạo với đường thẳng cố định một góc a không... 97.98.99.100 + 98.99.100.101 = 98.99.100.101 33 34 TOÁN TUỔI THƠ 20 TỪ MỘT ĐIỀU HIỂN NHIÊN ĐÚNG Các bạn có biết các bất đẳng thức (BĐT) như Cô-si ; Bu-nhi-a-cốp-xki ; Trê-bư-sép và nhiều BĐT “tên tuổi” khác đều là hệ quả của một BĐT rất quen thuộc, là BĐT nào không ? Phải chăng đó chính là BĐT (a - b)2 ≥ 0 với mọi số thực a, b ? Chúng ta hãy theo dõi một chuỗi biến đổi từ BĐT này Ta có : (a - b)2 ≥ 0 ... b2)(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2 Với c > 0 ; d > 0 ta có : áp dụng BĐT (9), ta có BĐT S-vác : (trong đó a1, a2, , an là các số dương) Như vậy có thể khẳng định rằng rất nhiều BĐT quan trọng, có ứng dụng rất lớn đều khởi nguồn từ BĐT hiển nhiên đúng (a - b)2 0 áp dụng BĐT này, các bạn hãy thử chứng minh các kết quả sau : 1) 3(ab + bc +ca) ≤ (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 2) (a + b)3 ≤ 4(a3 + b3) 3) với mọi a > . đường tròn tâm I, bán kính IB. Chú ý : Do mệnh đề thuận và mệnh đề phản đảo là tương đương nên có những khi người ta đã thay phần thuận bởi mệnh đề phản đảo, cụ thể là : Chứng minh M không thuộc. trên AB. Lấy AC và BC làm cạnh dựng hai tam giác đều về cùng một phía của AB. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng nối tâm hai tam giác đều (Quỹ tích là một đoạn thẳng // AB, cách AB một. ≥ 3/2 và m > 0 Tươn đương : m > 6 hoặc 3/2 ≥ m < 2 . 12 Trước khi dừng bài viết, xin đề nghị các em có thể tự giải các bài tập sau đây : Bài tập 1 : Tìm m để phương trình x 2 + 2m|x