V. Biểu diễn lũy thừa bậc cao qua lũy thừa bậc 1 Thí dụ 5 : Tính giá trị của biểu thức :
NHẨM NGHIỆM ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Nhiều bạn khi nói đến nhẩm nghiệm đều băn khoăn là nhẩm những con số nào ?
Nhiều bạn khi nói đến nhẩm nghiệm đều băn khoăn là nhẩm những con số nào ? Chẳng lẽ cứ nhẩm “vu vơ” may ra thì được ? Xin “mách” các bạn nguyên tắc nhẩm (dựa trên kết quả đã được khẳng định nhưng không trình bày trong chương trình sách giáo khoa).
Nguyên tắc cơ bản:
1) Cho đa thức ẩn x với hệ số nguyên
f(x) = a0xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an có nghiệm hữu tỉ thì p là ước của an và q là ước của a0.
Hệ quả : Nếu a0 = 1 thì mọi nghiệm hữu tỉ của f(x) đều là nghiệm nguyên và nghiệm nguyên này là ước của số hạng tự do an.
2) Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì x - a là một nhân tử khi phân tích f(x) về dạng tích. Chúng ta theo dõi một ví dụ đơn giản
sau :
Ví dụ 1 : Phân tích đa thức x2 - 9x + 14 thành nhân tử.
Nhẩm nghiệm : Ta thấy nghiệm nguyên nếu có của f(x) sẽ là ước của 14. Nhẩm thử sẽ tìm ra nghiệm x = 2 (có bạn nhẩm ra x = 7 trước !). Từ đó ta có x - 2 phải là một nhân tử của f(x) (nếu nhẩm được x = 7 thì nhận định có một nhân tử là x - 7).
Lời giải : Khi bạn nhẩm được nghiệm x = 2.
Cách 1 : x2 - 9x + 14 = x2 - 2x - 7x + 14 = x(x - 2) - 7(x - 2) = (x - 2)(x - 7).
Cách 2 : x2 - 9x + 14 = x2 - 4 - 9x + 18 = (x + 2)(x - 2) - 9(x - 2) = (x - 2)(x - 7).
Khi bạn nhẩm được nghiệm x = 7.
Cách 1 : x2 - 9x + 14 = x2 - 49 - 9x + 63 = (x - 7)(x + 7) - 9(x - 7) = (x - 7)(x - 2).
Cách 2 : x2 - 9x + 14 = x2 - 7x - 2x + 14 = x(x - 7) - 2(x - 7) = (x - 7)(x - 2).
Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử
f(n) = 5n3 + 15n2 + 10n.
Tìm lời giải : Ta có f(n) = 5n3 + 15n2 + + 10n = 5n(n2 + 3n + 2). Nhẩm nghiệm của đa thức n2 + 3n + 2 ta được n = -1 (hoặc n = -2).
Lời giải : f(n) = 5n3 + 15n2 + 10n = 5n(n2 + 3n + 2) = 5n(n2 + n + 2n + 2) = 5n[n(n + 1) + 2(n + 1)] = 5n(n + 1)(n + 2).
Chú ý : Từ kết quả trên có thể chứng minh f(n) chia hết cho 30 với mọi số nguyên n.
Thí dụ dưới đây để các bạn lưu ý về tác dụng của ẩn phụ.
Ví dụ 3 : Phân tích đa thức thành nhân tử P(x) = (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - 12. Tìm lời giải : Đặt t = x2 + 3x + 1 thì đa thức trở thành f(t) = t(t + 1) - 12 = t2 + t - 12. Nhẩm nghiệm trong các ước của 12 ta có nghiệm t = 3 (hoặc t = -4).
Lời giải : Ta có f(t) = t2 - 3t + 4t - 12 = t(t - 3) + 4(t - 3) = (t - 3)(t + 4). Do đó : P(x) = (x2 + 3x + 1 - 3)(x2 + 3x + 1 + 4) = (x2 + 3x - 2)(x2 + 3x + 5).
Mời các bạn thử làm các bài tập sau :
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15 ; b) (x2+ 8x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 ;
2) Chứng minh P = (x2 + 1)4 + 9(x2 + 1)3 + + 21(x2 + 1)2 - x2 - 31 ≥ 0 với mọi x. 3) Chứng minh Q = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 là số chính phương với mọi số nguyên x.
TOÁN TUỔI THƠ 23