phương trình, hệ phương trình chứa tham số có giải chi tiết

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP Chuyên đề SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ - BẢNG BIẾN THIÊN GIẢI CÁC BÀI TOÁN PT – BPT – HPT LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ Huỳnh Chí Hào I. CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cơ sở của phương pháp này là ý nghĩa hình học của việc giải phương trình, bất phương trình được thể hiện trong các tính chất sau. Xét các hệ thức ( ) ( ) f x g x = (1) ; ( ) ( ) f x g x > (2) ; ( ) ( ) f x g x < (3) Gọi , f g G G lần lượt là đồ thị hàm số ( ) ( ) , y f x y g x = = . Trên cùng một mặt phẳng tọa độ ( ) Oxy vẽ f G và g G . Ký hiệu f g D D D = ∩ là tập xác định của hệ thức, ta có: 1. Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ điểm chung của f G và g G 2. Nghiệm của bất phương trình (2) là khoảng các giá trị của x mà trong đó f G nằm ở phía trên g G 3. Nghiệm của bất phương trình (3) là khoảng các giá trị của x mà trong đó f G nằm ở phía dưới g G Nhận xét 1 1. Phương trình (1) có nghiệm ⇔ f G và g G có điểm chung 2. Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ f G và g G không có điểm chung 3. Phương trình (1) có k nghiệm ⇔ f G và g G có k điểm chung 4. Phương trình (1) có k nghiệm phân biệt ⇔ f G và g G có k điểm chung khác nhau. Nhận xét 2 1. Bất phương trình (2) có nghiệm ⇔ có điểm thuộc f G nằm ở phía trên g G 2. Bất phương trình (2) vô nghiệm ⇔ không có điểm nào thuộc f G nằm ở phía trên g G 3. Bất phương trình (2) luôn đúng với mọi x D ∈ ⇔ toàn bộ f G nằm ở phía trên g G Nhận xét 3 1. Bất phương trình (3) có nghiệm ⇔ có điểm thuộc f G nằm ở phía dưới g G 2. Bất phương trình (3) vô nghiệm ⇔ không có điểm nào thuộc f G nằm ở phía dưới g G 3. Bất phương trình (3) luôn đúng với mọi x D ∈ ⇔ toàn bộ f G nằm ở phía dưới g G Chú ý 1 Đối với hệ thức dạng ( ) 0 f x = (1) ; ( ) 0 f x > (2) ; ( ) 0 f x < (3) thì g G có phương trình 0 y = nên g G là trục hoành. Chú ý 2 Đối với hệ thức dạng ( ) f x m = (1) ; ( ) f x m > (2) ; ( ) f x m < (3) thì g G có phương trình y m = nên g G là đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm có tọa độ ( ) 0; m • Trong trường hợp này ta có thể thay việc vẽ g G trên D bằng việc lập BBT của hàm số ( ) y f x = trên D . Các hệ thức trên còn được gọi là có dạng “tách ẩn” hoặc dạng “cô lập”. Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP II. ÁP DỤNG   Thí dụ 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 2 2 1 1 x x x x m + + − − + = (1) Lời giải. • Tập xác định của phương trình : D = » • Xét hàm số ( ) 2 2 1 1 y f x x x x x = = + + − − + trên » . Phương trình ( ) 1 có nghiệm ⇔ đường thẳng y m = có điểm chung với phần đồ thị hàm số ( ) y f x = vẽ trên » . • Lập BBT của hàm số ( ) y f x = trên D . Ta có: ( ) 2 2 2 1 2 1 ' 2 1 2 1 x x f x x x x x + − = − + + − + ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 0 2 1 1 2 1 1 f x x x x x x x = ⇔ + − + = − + + (2) Bình phương hai vế (2), ta được phương trình hệ quả ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 1 1 4 4 1 1 0 x x x x x x x x x + + − + = − + + + ⇔ = Thử lại, ta thấy 0 x = không thỏa (2). Vậy ( ) ' 0 f x = vô nghiệm Do ( ) ' 0 f x = vô nghiệm ⇒ ( ) ' f x không đổi dấu trên » , mà ( ) ' 0 1 0 f = > ⇒ ( ) ' 0, f x x > ∀ ∈ » ⇒ ( ) f x đồng biến trên » . Giới hạn: ( ) 2 2 2 lim lim 1 1 1 x x x f x x x x x →+∞ →+∞ = = + + + − + và ( ) lim 1 x f x →−∞ = − Bảng biến thiên x - ∞ + ∞ ( ) ' f x + ( ) f x 1 -1 • Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ 1 1 m − < < .  MINH HỌA ĐỒ THỊ Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP   Thí dụ 2. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 2 m x x x − + = + (1) Lời giải. • Tập xác định của phương trình : D = » Khi đó: ( ) 2 2 1 2 2 x m x x + ⇔ = − + (2) • Xét hàm số ( ) 2 2 2 2 x y f x x x + = = − + trên » . Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x ∈ » ⇔ đường thẳng y m = có hai điểm chung khác nhau với đồ thị hàm số ( ) y f x = vẽ trên » . • Lập BBT của hàm số trên trên D . Ta có: ( ) ( ) 2 2 4 3 ' 2 2 2 2 x f x x x x x − = − + − + ( ) 4 ' 0 3 f x x = ⇔ = Gi ớ i h ạ n: 2 2 lim ( ) lim 1 2 2 x x x f x x x →−∞ →−∞ + = = − − + và 2 2 lim ( ) lim 1 2 2 x x x f x x x →+∞ →+∞ + = = − + Bảng biến thiên x −∞ 4 3 +∞ ( ) ' f x + 0 ̶̶ ( ) f x 10 1 − 1 • D ự a vào BBT ta suy ra : Ph ươ ng trình (2) có hai nghi ệ m phân bi ệ t x ∈ » ⇔ 1 10 m< < .  MINH HỌA ĐỒ THỊ Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP   Thí dụ 3. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 1 x mx x + + = + (1) Lời giải. • Do 0 x = không phải là nghiệm của phương trình (1) nên ( ) 2 2 2 2 3 4 1 1 3 4 1 (2) 1 2 1 1 2 4 4 1 2 2 x x x x mx m x x x x mx x x x  + −   + − = =  ≥ −    ⇔ ⇔ ⇔    ≥ −    + + = + + ≥ −     • Xét hàm số ( ) 2 3 4 1 x x y f x x + − = = trên 1 ; 2 D   = − +∞     . Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 1 ; 2 x   ∈ − +∞     ⇔ đường thẳng y m = có hai điểm chung khác nhau với đồ thị hàm số ( ) y f x = vẽ trên 1 ; 2   − +∞     . • Lập BBT của hàm số trên trên D . Ta có: ( ) { } 2 2 3 1 1 ' , ; \ 0 2 x f x x x +   = > ∀ ∈ − +∞     Giới hạn: 2 3 4 1 lim ( ) lim x x x x f x x →+∞ →+∞ + − = = +∞ Bảng biến thiên x 1 2 − 0 +∞ ( ) ' f x + + ( ) f x +∞ +∞ 9 2 −∞ • D ự a vào BBT ta suy ra : Ph ươ ng trình (1) có hai nghi ệ m phân bi ệ t ⇔ 9 2 m ≥ .  MINH HỌA ĐỒ THỊ Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP   Thí dụ 4. Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt 4 4 2 2 2 6 2 6 x x x x m + + − + − = (1) Lời giải. • Tập xác định của phương trình : [ ] 0;6 D = • Xét hàm số ( ) 4 4 2 2 2 6 2 6 y f x x x x x = = + + − + − trên [ ] 0;6 . Phương trình ( ) 1 có nghiệm trên [ ] 0;6 ⇔ đường thẳng y m = có điểm chung với phần đồ thị hàm số ( ) y f x = vẽ trên [ ] 0;6 . • Lập BBT của hàm số ( ) y f x = trên D . Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 ' 2 6 2 2 2 6 f x x x x x = + − − = − − ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 1 1 , 0;6 2 2 2 6 2 6 x x x x x       = − + − ∀ ∈     −     −   Đặ t ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 , 2 6 2 6 u x v x x x x x = − = − − − . Ta th ấ y ( ) ( ) 2 2 0 u v = = nên ( ) ' 2 0 f = M ặ t khác ( ) ( ) , u x v x cùng d ươ ng trên ( ) 0;2 , cùng âm trên ( ) 2;6 nên ta có Bảng biến thiên x 0 2 6 f’(x) + 0 ̶̶ f(x) 6 3 2 + 4 2 6 2 6 + 4 12 2 3 + • Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình ( ) 1 có nghiệm trên [ ] 0;6 ⇔ 4 2 6 2 6 3 2 6 m + ≤ < + . MINH HỌA ĐỒ THỊ Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP   Thí dụ 6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( ) 3 2 2 1 x x m + − = (1) Lời giải. • Tập xác định của phương trình : [ ] 1;1 D = − • Đặt 2 1 t x = − với [ ] 1;1 x ∈ − . Tập giá trị của ẩn phụ t khi [ ] 1;1 x ∈ − là : [ ] ' 0;1 D = • Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: 2 3 1 t t m − + = ⇔ 3 2 1 t t m − + = (2) Phương trình (1) có nghiệm [ ] 1;1 x ∈ − ⇔ Phương trình (2) có nghiệm [ ] 0;1 t ∈ • Xét hàm số ( ) 3 2 1 y f t t t = = − + với [ ] 0;1 t ∈ . Phương trình ( ) 2 có nghiệm [ ] 0;1 t ∈ ⇔ đường thẳng y m = có điểm chung với phần đồ thị hàm số ( ) y f t = vẽ trên [ ] 0;1 . • Lập BBT của hàm số trên ( ) y f t = trên ' D . Ta có: ( ) 2 ' 3 2 f t t t = − ( ) 0 ' 0 2 3 t f t t =   = ⇔  =  Bảng biến thiên t 0 2 3 1 ( ) ' f t ̶̶ 0 + ( ) f t 1 − 1 23 27 • D ự a vào BBT ta suy ra : Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m [ ] 1;1 x ∈ − ⇔ 23 1 27 m ≤ ≤ .    Thí dụ 6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( )( ) ( ) 6 2 4 2 2 4 4 2 2 x x x m x x + + − − = + − + − (1) Lời giải. • Tập xác định của phương trình : [ ] 1;4 D = • Đặt ẩn phụ 4 2 2 t x x = − + − với [ ] 1;4 x ∈ . Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi [ ] 1;4 x ∈ Ta có: 1 1 2 2 2 4 ' 2 4 2 2 2 4 . 2 2 x x t x x x x − − − + − = + = − − − − , ( ) 1;4 x∀ ∈ ( ) ' 0 2 4 2 2 4 4 2 2 3 t x x x x x = ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = Bảng biến thiên x 1 3 4 ' t + 0 ̶̶ t 3 3 6 Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : ' 3;3 D   =   • Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: 2 4 4 t t m − + = (2) Phương trình (1) có nghiệm [ ] 1;4 x ∈ ⇔ Phương trình (2) có nghiệm 3;3 t   ∈   • Xét hàm số ( ) 2 4 4 y f t t t = = − + với 3;3 t   ∈   . Phương trình ( ) 2 có nghiệm 3;3 t   ∈   ⇔ đường thẳng y m = có điểm chung với phần đồ thị hàm số ( ) y f t = vẽ trên 3;3     . • Lập BBT của hàm số ( ) y f t = trên ' D . Ta có: ( ) ' 2 4 f t t = − ; ( ) ' 0 2 f t t = ⇔ = Bảng biến thiên t 3 2 3 ( ) ' f t ̶̶ 0 + ( ) f t 7 4 3 − 1 0 • D ự a vào BBT ta suy ra : Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m [ ] 1;4 x ∈ ⇔ 0 1 m ≤ ≤ .  Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm tập giá trị của ẩn phụ và chuyển phương trình sang phương trình theo ẩn phụ với tập xác định là tập giá trị của ẩn phụ tìm được. Cụ thể • Khi đặt ( ) , t u x x D = ∈ , ta tìm được ' t D ∈ và phương trình ( ) ; 0 f x m = (1) trở thành ( ) ; 0 g t m = (2) . Khi đó (1) có nghiệm x D ∈ ⇔ (2) có nghiệm ' t D ∈ • Để tìm miền giá trị của t ta nên lập BBT của hàm số ( ) t u x = trên D (có thể sử dụng bất đẳng thức để đánh giá hoặc tính chất của hàm số) • Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t . Tức là mỗi giá trị ' t D ∈ thì phương trình ( ) u x t = có bao nhiêu nghiệm x D ∈ ? (có thể xem là một bài toán nhỏ về xét sự tương giao)   Thí dụ 7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( ) 2 4 6 3 2 2 3 x x x m x x + − − = + + − (1) Lời giải. • Tập xác định của phương trình : [ ] 2;3 D = − • Đặt 2 2 3 t x x = + + − với [ ] 2;3 x ∈ − . Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi [ ] 2;3 x ∈ − Ta có: 1 2 3 2 ' 2 2 2 3 2 2. 3 x x t x x x x − − + = − = + − + − ( ) ' 0 3 2 2 3 4 2 1 t x x x x x = ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ = − Bảng biến thiên x -2 -1 3 ' t + 0 ̶̶ t 5 2 5 5 Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : ' 5;5 D   =   • Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: 2 14 t t mt − = ⇔ 14 t m t − = (2) Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m [ ] 2;3 x ∈ − ⇔ Ph ươ ng trình (2) có nghi ệ m 5;5 t   ∈   • Xét hàm s ố ( ) 14 y f t t t = = − v ớ i 5;5 t   ∈   . Ph ươ ng trình ( ) 2 có nghi ệ m 5;5 t   ∈   ⇔ đườ ng th ẳ ng y m = có đ i ể m chung v ớ i ph ầ n đồ th ị hàm s ố ( ) y f t = v ẽ trên 5;5     . • L ậ p BBT c ủ a hàm s ố trên ( ) y f t = trên ' D . Ta có: ( ) 2 14 ' 1 0 f t t = + > , 5;5 t   ∀ ∈   Bảng biến thiên t 5 5 ( ) ' f t + ( ) f t 11 5 9 5 5 − • D ự a vào BBT ta suy ra : Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m [ ] 2;3 x ∈ − ⇔ 9 5 11 5 5 m − ≤ ≤ .    Thí dụ 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( ) 2 2 4 2 2 1 1 2 2 1 1 1 m x x x x x + − − + = − + + − − (1) Lời giải. • Tập xác định của phương trình : [ ] 1;1 D = − • Đặt 2 2 1 1 t x x = + − − [ ] 1;1 x ∈ − . Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi [ ] 1;1 x ∈ − Ta có: 2 2 2 2 1 1 ' 1 1 1 1 x x t x x x x x   = + = +   + − + −   , ' 0 0 t x = ⇔ = Bảng biến thiên x -1 0 1 ' t ̶̶ 0 + t 2 2 0 Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : ' 0; 2 D   =   • Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: ( ) 2 2 2 m t t t + = − + + ⇔ 2 2 2 t t m t − + + = + (2) Phương trình (1) có nghiệm [ ] 1;1 x ∈ − ⇔ Phương trình (2) có nghiệm 0; 2 t   ∈   Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP • Xét hàm số ( ) 2 2 2 t t y f t t − + + = = + với 0; 2 t   ∈   . Phương trình ( ) 2 có nghiệm 0; 2 t   ∈   ⇔ đường thẳng y m = có điểm chung với phần đồ thị hàm số ( ) y f t = vẽ trên 0; 2     . • Lập BBT của hàm số ( ) y f t = trên ' D . Ta có: ( ) ( ) 2 2 4 ' 0 , 0; 2 2 t t f t t t − −   = ≤ ∀ ∈   + Bảng biến thiên t 0 2 ( ) ' f t ̶̶ ( ) f t 1 2 1 − • D ự a vào BBT ta suy ra : Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m [ ] 1;1 x ∈ − ⇔ 2 1 1 m − ≤ ≤ .    Thí dụ 9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( ) ( ) 4 1 1 1 1 1 x x m x x x x   + − + + − =   −   (1) Lời giải. • Tập xác định của phương trình : ( ) 0;D = +∞ • Khi đó: ( ) ( ) ( ) 4 1 1 1 1 1 1 x x m x x x x   ⇔ + − + + − =   −   ( ) 4 1 1 1 1 m x x x x x x ⇔ + + − = − − − ( ) ( ) 4 1 1 1 1 1 x x x m x x ⇔ − + + − = − − 4 1 1 1 x x m x x − ⇔ + = − − (2) • Đặt 4 1 x t x − = , do 1 x > nên 1 0 1 0 1 x t x − < < ⇒ < < . T ậ p giá tr ị c ủ a t là: ( ) ' 0;1 D = • V ớ i ẩ n ph ụ trên thì ph ươ ng trình (1) tr ở thành: 2 2 1 1 1 1 t m m t t t + = − ⇔ = − − + (2) Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m ( ) 1;x ∈ +∞ ⇔ Ph ươ ng trình (2) có nghi ệ m ( ) 0;1 t ∈ • Xét hàm s ố ( ) 2 1 1 y f t t t = = − − + v ớ i ( ) 0;1 t ∈ . Ph ươ ng trình ( ) 2 có nghi ệ m ( ) 0;2 t ∈ ⇔ đườ ng th ẳ ng y m = có đ i ể m chung v ớ i ph ầ n đồ th ị hàm s ố ( ) y f t = v ẽ trên ( ) 0;2 . • L ậ p BBT c ủ a hàm s ố ( ) y f t = trên ' D . Ta có: ( ) ( ) 2 2 ' 1 0, 0;1 f t t t = − > ∀ ∈ Bảng biến thiên Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP t 0 1 ( ) ' f t + ( ) f t 1 − −∞ • D ự a vào BBT ta suy ra : Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m ( ) 1; x ∈ +∞ ⇔ 1 m < − .    Thí dụ 10. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 2 4 3 1 1 4 1 x m x x − + + = − (1) Lời giải. • Tập xác định của phương trình : [ ) 1;D = +∞ • Khi đó: ( ) ( ) 2 4 2 1 1 1 3 2 1 1 x x m x x − − ⇔ + = + + 4 1 1 3 2 1 1 x x m x x − − ⇔ + = + + • Đặt 4 1 1 x t x − = + , do 1 x ≥ nên 1 0 1 0 1 1 x t x − ≤ < ⇒ ≤ < + . T ậ p giá tr ị c ủ a t là: [ ) ' 0;1 D = • V ớ i ẩ n ph ụ trên thì ph ươ ng trình (1) tr ở thành: 2 3 2 t t m − + = (2) Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m [ ) 1;x ∈ +∞ ⇔ Ph ươ ng trình (2) có nghi ệ m [ ) 0;1 t ∈ • Xét hàm s ố ( ) 2 3 2 y f t t t = = − + v ớ i [ ) 0;1 t ∈ . Ph ươ ng trình ( ) 2 có nghi ệ m [ ) 0;1 t ∈ ⇔ đườ ng th ẳ ng y m = có đ i ể m chung v ớ i ph ầ n đồ th ị hàm s ố ( ) y f t = v ẽ trên [ ) 0;1 t ∈ . • L ậ p BBT c ủ a hàm s ố ( ) y f t = trên ' D . Ta có: ( ) ' 6 2 f t t = − + , ( ) 1 ' 0 3 f t t = ⇔ = Bảng biến thiên t 0 1 3 1 ( ) ' f t + 0 ̶̶ ( ) f t 1 3 0 1 − • D ự a vào BBT ta suy ra : Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m [ ) 1; x ∈ +∞ ⇔ 1 1 3 m − < ≤ .    Thí dụ 11. Tìm m để phương trình sau nghiệm 3 1;3 x   ∈   2 2 3 3 log log 1 2 1 0 x x m + + − − = (1) Lời giải. • T ậ p xác đị nh c ủ a ph ươ ng trình : 3 1;3 D   =   [...]... Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành: t 2 + t − 2 = 2m (2) 3 Phương trình (1) có nghiệm x ∈ 1;3 ⇔ phương trình (2) có nghiệm t ∈ [1; 2]   Xét hàm số y = f ( t ) = t 2 + t − 2 với t ∈ [1; 2] 3 2 3 Phương trình (2) có nghiệm t ∈ [1; 2] ⇔ đường thẳng y = 2m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y = f ( t ) vẽ trên [1; 2] Lập BBT của hàm số y = f ( t ) trên D ' Ta có: f ' ( t ) = 2t +... ra: Phương trình (1) có nghiệm x ∈ 1;3 3  ⇔ 0 ≤ m ≤ 2   Thí dụ 12 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 4− x + x+5 ≥ m (1) Lời giải • Tập xác định của phương trình : D = [ −5; 4] • Xét hàm số y = f ( x ) = 4 − x + x + 5 trên [ −5; 4] Bất phương trình (1) có nghiệm x ∈ [ −5; 4] ⇔ có điểm thuộc đường thẳng y = m nằm phía dưới đồ thị hàm số y = f ( x ) vẽ trên [ −5; 4] • Lập BBT của hàm số trên... bất phương trình sau có nghiệm ( x − 2 − m) x −1 ≤ m − 4 ĐS: m > 1 ĐS: m ≥ 2 2) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −4;6] ( x + 4 )( 6 − x ) ≤ x 2 − 2 x + m ĐS: m ≥ 6 3) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm m x2 + 1 ≤ x + 2 − m ĐS: m ≤ 5 4 ĐS: m ≤ 2 3 4) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x ∈ 0;1 + 3    m ( ) x2 − 2 x + 2 + 1 + x ( 2 − x ) ≤ 0 5) Tìm m để bất phương trình. .. 2m  Lời giải  x2 − x ( 2x − y ) = m  • Ta có : (1) ⇔  2  x − x + ( 2 x − y ) = 1 − 2m  u = x 2 − x 1 • Đặt  Điều kiện của u là u ≥ − 4 v = 2 x − y ( ( • (1) ) )  2 uv = m u + ( 2m − 1) u + m = 0 Hệ phương trình trở thành:  ⇔ v = 1 − 2 m − u u + v = 1 − 2m  Hệ phương trình (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm thỏa mãn u ≥ − • 1 Với u ≥ − , ta có: 4 • ( 2) 1 4 −u 2 + u 2u + 1 Xét hàm số f (... trên thì bất phương trình (1) trở thành: m ≥ t 2 − 4t + 10 (2) Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −2; 4] ⇔ Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi t ∈ [ 0;3] • Xét hàm số y = f ( t ) = t 2 − 4t + 10 với t ∈ [ 0;3] Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi t ∈ [ 0;3] ⇔ đường thẳng y = m nằm hoàn toàn ở phía trên phần đồ thị hàm số y = f ( t ) vẽ trên [ 0;3] • Lập BBT của hàm số y = f ( t... D Ta có: f ' ( x ) = −1 1 4− x − x+5 + = 2 4 − x 2 x + 5 2 ( 4 − x )( x + 5 ) f '( x ) = 0 ⇔ 4 − x = x + 5 ⇔ x = − x -5 3 • Dựa vào BBT ta suy ra: 4 − + t' t 1 2 0 3 2 1 2 ̶ 3 Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học Bất phương trình (1) có nghiệm x ∈ [ −5; 4] ⇔ m ≤ 3 2 HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP Thí dụ 13 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx − x − 3 ≤ m + 1 (1) Lời giải • Tập xác định của phương trình :... trên thì bất phương trình (1) trở thành: 4t + 1 (2) t + 4t + 1 Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −2; 4] ⇔ Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mt 2 + 4 ( m − 1) t + m − 1 ⇔ m > 2 mọi t ∈ ( 0; +∞ ) • 4t + 1 với t ∈ ( 0; +∞ ) t 2 + 4t + 1 Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi t ∈ ( 0; +∞ ) ⇔ đường thẳng y = m nằm hoàn toàn ở Xét hàm số y = f ( t ) = phía trên phần đồ thị hàm số y = f (... Dựa vào BBT ta suy ra: • Hệ phương trình (1) có nghiệm ⇔ m ≤ 2− 3 2 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập rèn luyện 1 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm 1) x + 3 x 2 + 1 = m 6 3 ĐS: m ≥ 2) 4 x2 + 1 − x = m 3) 4 x 4 − 13 x + m + x − 1 = 0 4) x x + x + 12 = m ( 5− x + 4− x ) ĐS: 0 < m ≤ 1 3 ĐS: m ≥ − 2 ĐS: 2 3 5 − 2 ≤ m ≤ 12 ( ) Bài tập rèn luyện 2 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm 1) x 2 + ( m + 2 )... f ( x) 1 2 • 0 Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) có nghiệm [3; +∞ ) ⇔ m ≤ 2 3 Thí dụ 14 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −2; 4] −4 ( 4 − x )( 2 + x ) ≤ x 2 − 2 x + m − 18 (1) Lời giải • Tập xác định của phương trình : D = [ −2; 4] • Đặt t = − x 2 + 2 x + 8 với x ∈ [ −2; 4] Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi x ∈ [ −2; 4] Ta có: t'= −x +1 − x2 + 2x + 8 Bảng biến thiên... của hàm số y = f ( t ) trên D ' Ta có: f ' ( t ) = 2t − 4 , f ' ( t ) = 0 ⇔ t = 2 Bảng biến thiên t f '(t ) 0 f (t ) 10 ̶ 2 0 3 + 7 6 • Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −2; 4] ⇔ m ≥ 10 Thí dụ 15 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ » m.4 x + ( m − 1) 2 x + 2 + m − 1 > 0 (1) Lời giải • Tập xác định của phương trình : D = » • Đặt t = 2 x với x ∈ . 1 1. Phương trình (1) có nghiệm ⇔ f G và g G có điểm chung 2. Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ f G và g G không có điểm chung 3. Phương trình (1) có k nghiệm ⇔ f G và g G có k . 4. Phương trình (1) có k nghiệm phân biệt ⇔ f G và g G có k điểm chung khác nhau. Nhận xét 2 1. Bất phương trình (2) có nghiệm ⇔ có điểm thuộc f G nằm ở phía trên g G 2. Bất phương. trên thì phương trình (1) trở thành: 2 3 1 t t m − + = ⇔ 3 2 1 t t m − + = (2) Phương trình (1) có nghiệm [ ] 1;1 x ∈ − ⇔ Phương trình (2) có nghiệm [ ] 0;1 t ∈ • Xét hàm số ( ) 3