phương trình, hệ phương trình chứa tham số có giải chi tiết

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP Chuyên đề SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ - BẢNG BIẾN THIÊN GIẢI CÁC BÀI TOÁN PT – BPT – HPT LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ Huỳnh Chí Hào I..

Trang 1

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP

Chuyên đề

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ - BẢNG BIẾN THIÊN

GIẢI CÁC BÀI TOÁN PT – BPT – HPT LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ

Huỳnh Chí Hào

I CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Cơ sở của phương pháp này là ý nghĩa hình học của việc giải phương trình, bất phương trình được thể hiện trong các tính chất sau

Xét các hệ thức

f x( )=g x( ) (1) ; f x( )>g x( ) (2) ; f x( )< g x( ) (3)

Gọi G G f, g lần lượt là đồ thị hàm số y= f x( ),y=g x( ) Trên cùng một mặt phẳng tọa độ (Oxy) vẽ G f

và G g Ký hiệu D=D f ∩D g là tập xác định của hệ thức, ta có:

1 Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ điểm chung của G f và G g

2.Nghiệm của bất phương trình (2) là khoảng các giá trị của x mà trong đó G f nằm ở phía trên G g

3.Nghiệm của bất phương trình (3) là khoảng các giá trị của x mà trong đó G f nằm ở phía dưới G g

Nhận xét 1

1 Phương trình (1) có nghiệm ⇔G f và G g có điểm chung

2 Phương trình (1) vô nghiệm ⇔G f và G g không có điểm chung

3 Phương trình (1) có k nghiệm ⇔ G f và G g có k điểm chung

4 Phương trình (1) có k nghiệm phân biệt ⇔G f và G g có k điểm chung khác nhau

Nhận xét 2

1 Bất phương trình (2) có nghiệm ⇔ có điểm thuộc G f nằm ở phía trên G g

2 Bất phương trình (2) vô nghiệm ⇔ không có điểm nào thuộc G f nằm ở phía trên G g

3 Bất phương trình (2) luôn đúng với mọi x∈D ⇔ toàn bộ G f nằm ở phía trên G g

Nhận xét 3

1 Bất phương trình (3) có nghiệm ⇔ có điểm thuộc G f nằm ở phía dưới G g

2 Bất phương trình (3) vô nghiệm ⇔ không có điểm nào thuộc G f nằm ở phía dưới G g

3 Bất phương trình (3) luôn đúng với mọi x∈D ⇔ toàn bộ G f nằm ở phía dưới G g

Chú ý 1

Đối với hệ thức dạng

f x =( ) 0 (1) ; f x >( ) 0 (2) ; f x <( ) 0 (3)

thì G g có phương trình y =0 nên G g là trục hoành

Chú ý 2

Đối với hệ thức dạng

f x( )=m (1) ; f x( )>m (2) ; f x( )<m (3)

thì G g có phương trình y=m nên G g là đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm có tọa độ (0; m)

• Trong trường hợp này ta có thể thay việc vẽ G g trên D bằng việc lập BBT của hàm số y= f x( )

trên D Các hệ thức trên còn được gọi là có dạng “tách ẩn” hoặc dạng “cô lập”

Trang 2

II ÁP DỤNG

Thí dụ 1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm

x2+ + −x 1 x2− + =x 1 m (1)

Lời giải

• Tập xác định của phương trình : D = »

y= f x = x + + −x x − +x trên » Phương trình ( )1 có nghiệm ⇔ đường thẳng y=m có điểm chung với phần đồ thị hàm số

y= f x( ) vẽ trên »

• Lập BBT của hàm số y= f x( ) trên D Ta có: ( )

'

f x = ⇔ x+ x − + =x x− x +x+ (2) Bình phương hai vế (2), ta được phương trình hệ quả

4x +4x+1 x − +x 1 = 4x −4x+1 x +x+1 ⇔x=0 Thử lại, ta thấy x =0không thỏa (2) Vậy f '( )x =0 vô nghiệm

Do f '( )x =0 vô nghiệm ⇒ f'( )x không đổi dấu trên » , mà f' 0( )= >1 0

⇒ f'( )x >0, ∀ ∈x » ⇒ f x( ) đồng biến trên »

Giới hạn: ( )

2

x

f x

→+∞ →+∞

và lim ( ) 1

→−∞ = −

Bảng biến thiên

x - ∞ + ∞

( ) '

f x +

( )

f x 1

-1

• Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ 1− <m<1

MINH HỌA ĐỒ THỊ

Trang 3

Thí dụ 2 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

m x2−2x+2 =x+2 (1)

Lời giải

• Tập xác định của phương trình : D = »

Khi đó: ( )

2

2 1

x m

+

(2)

• Xét hàm số ( )

2

x

+

− + trên »

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x ∈ »⇔đường thẳng y=m có hai điểm chung khác nhau với đồ thị hàm số y= f x( ) vẽ trên »

• Lập BBT của hàm số trên trên D Ta có: ( )

4 3 '

x

−

=

'( ) 0 4

3

Giới hạn:

2

x

f x

→−∞ →−∞

+

− +

và

2

x

f x

→+∞ →+∞

+

− +

x

−∞ 4

3 +∞

( ) '

f x + 0 ̶̶

( )

f x

10 1

− 1

• Dựa vào BBT ta suy ra:

Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x ∈ » ⇔ 1<m< 10.

Trang 4

Thí dụ 3 Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt

x2+mx+2 =2x+1 (1)

Lời giải

• Do x =0 không phải là nghiệm của phương trình (1) nên

( )

2 2

1

2

x

≥ −

2

3x 4x 1

x

2

= − +∞  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm phân

2

∈ − +∞  ⇔ đường thẳng y=m có hai điểm chung khác nhau với đồ thị hàm số

( )

y= f x vẽ trên 1;

2

x

= > ∀ ∈ − +∞ 

Giới hạn:

2

lim ( ) lim

f x

x

→+∞ →+∞

2

− 0 +∞

( )

'

f x + +

( )

f x

+∞ +∞

9

2 −∞

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ 9

2

m ≥

Trang 5

Thí dụ 4 Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt

42x+ 2x+2 64 −x+2 6−x=m (1)

Lời giải

• Tập xác định của phương trình : D =[0; 6]

• Xét hàm số y= f x( )=4 2x+ 2x+2 64 −x+2 6−x trên [0; 6]

Phương trình ( )1 có nghiệm trên [0; 6]⇔ đường thẳng y=m có điểm chung với phần đồ thị hàm số y= f x( ) vẽ trên [0; 6]

• Lập BBT của hàm số y= f x( ) trên D Ta có: ( )

'

−

( )

, 0; 6

−

Đặt ( )

( )

,

−

Ta thấy u( )2 =v( )2 =0 nên f' 2( )=0

Mặt khác u x v x( ) ( ), cùng dương trên (0; 2 , cùng âm trên ) (2; 6 nên ta có )

x 0 2 6 f’(x) + 0 ̶̶

f(x) 6 3 2+

4

2 6+2 6 412+2 3

Phương trình ( )1 có nghiệm trên [0; 6 ⇔] 2 6+2 64 ≤m<3 2+6.

Trang 6

1

x + −x =m (1)

Lời giải

• Tập xác định của phương trình : D = −[ 1;1]

1

t= −x với x ∈ −[ 1;1] Tập giá trị của ẩn phụ t khi x ∈ −[ 1;1] là : D =' [0;1]

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: 2 3

1 t− +t =m ⇔ t3−t2+ =1 m (2) Phương trình (1) có nghiệm x ∈ −[ 1;1]⇔ Phương trình (2) có nghiệm t ∈[0;1]

1

y= f t =t −t + với t ∈[0;1] Phương trình ( )2 có nghiệm t ∈[0;1]⇔ đường thẳng y=m có điểm chung với phần đồ thị hàm sốy= f t( ) vẽ trên [0;1]

• Lập BBT của hàm số trên y= f t( ) trên D' Ta có: f '( )t =3t2−2t

( )

0

3

t

f t

t

=







t

0 2

3 1

( ) '

f t ̶̶ 0 +

( )

f t −1 1

23

27

Phương trình (1) có nghiệm x ∈ −[ 1;1]⇔ 23

1

27≤m≤

6+x+2 (4−x)(2x−2)=m+4( 4−x+ 2x−2) (1)

Lời giải

• Tập xác định của phương trình : D =[1; 4]

• Đặt ẩn phụ t= 4−x+ 2x−2 với x ∈[1; 4] Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi x ∈[1; 4]

t

t'=0⇔2 4−x = 2x−2⇔4 4( −x)=2x−2⇔x=3

x 1 3 4 '

t + 0 ̶̶

t 3

3 6

Trang 7

Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : D'=  3;3

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: 2

t − t+ =m (2) Phương trình (1) có nghiệm x ∈[1; 4]⇔ Phương trình (2) có nghiệm t∈  3;3

• Xét hàm số ( ) 2

y= f t =t − t+ với t∈  3;3 Phương trình ( )2 có nghiệm t∈ 3;3

  ⇔ đường thẳng y=m có điểm chung với phần đồ thị

hàm số y= f t( ) vẽ trên  3;3

 

• Lập BBT của hàm số y= f t( ) trên D' Ta có: f '( )t =2t−4; f '( )t =0⇔ =t 2

t 3 2 3

( ) '

f t ̶̶ 0 +

( )

f t 7 4 3− 1

0

Phương trình (1) có nghiệm x ∈[1; 4]⇔ 0≤m≤1.

Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm tập giá trị của ẩn phụ và chuyển phương trình sang phương trình theo

ẩn phụ với tập xác định là tập giá trị của ẩn phụ tìm được Cụ thể

• Khi đặt t=u x( ),x∈D, ta tìm được t∈D' và phương trình f x m =( ; ) 0 (1) trở thành

( ; ) 0

g t m = (2) Khi đó (1) có nghiệm x∈D ⇔ (2) có nghiệm t∈D'

• Để tìm miền giá trị của t ta nên lập BBT của hàm số t=u x( ) trên D (có thể sử dụng bất đẳng

thức để đánh giá hoặc tính chất của hàm số)

• Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t Tức là mỗi

giá trị t∈D' thì phương trình u x( )=t có bao nhiêu nghiệm x∈D ? (có thể xem là một bài toán nhỏ về xét sự tương giao)

4 6+x−x −3x=m x+2+2 3−x (1)

Lời giải

• Đặt t= x+2+2 3−x với x ∈ −[ 2;3] Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi x ∈ −[ 2;3]

t

t'=0⇔ 3−x=2 x+2 ⇔ −3 x=4(x+2)⇔x= −1

x -2 -1 3 '

t + 0 ̶̶

t 5

2 5 5

Trang 8

Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : D'=  5;5

14

t − t=mt ⇔ t 14 m

t

− = (2) Phương trình (1) có nghiệm x ∈ −[ 2;3]⇔ Phương trình (2) có nghiệm t∈  5;5

• Xét hàm số y f t( ) t 14

t

= = − với t∈  5;5 Phương trình ( )2 có nghiệm t∈  5;5 ⇔ đường thẳng y=m có điểm chung với phần đồ thị

hàm sốy= f t( ) vẽ trên  5;5

 

• Lập BBT của hàm số trên y= f t( ) trên D' Ta có: f '( )t 1 142 0

t

= + > , ∀ ∈t  5;5

 

t 5 5

( ) '

f t +

( )

f t 11

5

9 5 5

−

Phương trình (1) có nghiệm x ∈ −[ 2;3]⇔ 9 5 11

m +x − −x + = −x + +x − −x (1)

Lời giải

• Đặt t= 1+x2 − 1−x2 x ∈ −[ 1;1] Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi x ∈ −[ 1;1]

Ta có:

'

+ −  + − , t'=0⇔x=0

x -1 0 1 '

t ̶̶ 0 +

t 2 2

0

Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : D'= 0; 2

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: m t( +2)= −t2+ +t 2 ⇔

2 2 2

m t

=

Phương trình (1) có nghiệm x ∈ −[ 1;1]⇔ Phương trình (2) có nghiệm t∈ 0; 2

Trang 9

2 2 2

t

+ với t∈ 0; 2

Phương trình ( )2 có nghiệm t∈ 0; 2 ⇔ đường thẳng y=m có điểm chung với phần đồ thị

hàm sốy= f t( ) vẽ trên 0; 2 

• Lập BBT của hàm số y= f t( ) trên D' Ta có: ( )

2

4

2

t

+

t 0 2

( )

'

f t ̶̶

( )

f t 1

2 1−

Phương trình (1) có nghiệm x ∈ −[ 1;1]⇔ 2 1− ≤m≤1

1

x

−

Lời giải

• Tập xác định của phương trình : D =(0;+∞)

1

x

−

1 4 ( )

1

x

−

1

x

−

4 1

1 1

m x

x

−

− (2)

• Đặt 4 x 1

t

x

−

= , do x >1 nên 0 x 1 1 0 t 1

x

−

< < ⇒ < < Tập giá trị của t là: D =' (0;1)

• Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: 12 t 1 m m 12 t 1

t + = − ⇔ = −t − + (2)

Phương trình (1) có nghiệm x ∈(1;+∞ ⇔) Phương trình (2) có nghiệm t ∈(0;1)

• Xét hàm số y f t( ) 12 t 1

t

= = − − + với t ∈(0;1) Phương trình ( )2 có nghiệm t ∈(0; 2)⇔ đường thẳng y=m có điểm chung với phần đồ thị hàm sốy= f t( ) vẽ trên (0; 2 )

• Lập BBT của hàm số y= f t( ) trên D' Ta có: f '( )t 22 1 0, t (0;1)

t

= − > ∀ ∈

Trang 10

t 0 1

( ) '

f t +

( )

f t 1−

−∞

Phương trình (1) có nghiệm x∈(1;+∞ ⇔) m < −1

3 x− +1 m x+ =1 44 x2−1 (1)

Lời giải

• Tập xác định của phương trình : D =[1;+∞)

• Khi đó: ( )

2

m

4

m

+ +

1

x t

x

−

=

1

x

t x

−

≤ < ⇒ ≤ <

+ Tập giá trị của t là: D =' [0;1)

3t 2t m

− + = (2) Phương trình (1) có nghiệm x ∈[1;+∞)⇔ Phương trình (2) có nghiệm t ∈[0;1)

• Xét hàm số y= f t( )= −3t2+2t với t ∈[0;1)

Phương trình ( )2 có nghiệm t ∈[0;1)⇔ đường thẳng y=m có điểm chung với phần đồ thị hàm sốy= f t( ) vẽ trên t ∈[0;1)

• Lập BBT của hàm số y= f t( ) trên D' Ta có: f '( )t = −6t+2, '( ) 0 1

3

t

0 1

3 1

( )

'

f t + 0 ̶̶

( )

f t 1

3

0 1−

Phương trình (1) có nghiệm x ∈[1;+∞)⇔ 1

1

3

m

− < ≤

log32x+ log23x+ −1 2m− =1 0 (1)

Lời giải

• Tập xác định của phương trình : D 1;3 3

=  

Trang 11

3

log 1

t= x+ với x 1;3 3

∈   Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi x∈ 1;3 3

3 1;3

∈   ⇔ 1≤x≤3 3 ⇔1 log≤ 23x+ ≤1 4 ⇔1≤ log23x+ ≤1 2⇔1≤ ≤t 2 ⇔ t ∈[1; 2]

Tập giá trị của ẩn phụ t khi x 1;3 3

∈   là D =' [1; 2]

• Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành: t2+ −t 2=2m (2)

Phương trình (1) có nghiệm x 1;3 3

∈   ⇔ phương trình (2) có nghiệm t ∈[1; 2]

• Xét hàm số ( ) 2

2

y= f t =t + −t với t ∈[1; 2] Phương trình (2) có nghiệm t ∈[1; 2]⇔ đường thẳng y=2m có điểm chung với phần đồ thị hàm

sốy= f t( ) vẽ trên [1; 2]

Lập BBT của hàm số y= f t( ) trên D' Ta có: f '( )t =2t+ >1 0 , ∀ ∈t [1; 2]

t 1 2

( ) '

f t +

( )

f t 4

0

Phương trình (1) có nghiệm x 1;3 3

∈   ⇔ 0≤m≤2.

Thí dụ 12 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

4−x+ x+5≥m (1)

Lời giải

• Tập xác định của phương trình : D = −[ 5; 4]

• Xét hàm số y= f x( )= 4−x+ x+5 trên [−5; 4]

Bất phương trình (1) có nghiệm x∈ −[ 5; 4]⇔có điểm thuộc đường thẳng y=m nằm phía dưới

đồ thị hàm số y= f x( ) vẽ trên [−5; 4]

• Lập BBT của hàm số trên trên D Ta có: ( )

'

'( ) 0 4 5 1

2

x

-5 1

2

− 4 '

t + 0 ̶̶

t 3 2

3 3

Trang 12

Bất phương trình (1) có nghiệm x ∈ −[ 5; 4] ⇔ m ≤3 2.

Thí dụ 13 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm

mx− x−3≤m+1 (1)

Lời giải

• Tập xác định của phương trình : D =[3;+∞)

Khi đó: ( )1 3 1

1

x m x

− +

− (2)

1

x

− trên [3; +∞ ) Bất phương trình (2) có nghiệm x ∈[3;+∞ ⇔) có điểm thuộc đường thẳng y=m nằm phía dưới

đồ thị hàm số y= f x( ) vẽ trên [3; +∞ )

• Lập BBT của hàm số trên D Ta có: ( )

( )2

'

=

f'( )x =0⇔ x−3= −5 x⇔x=4

1

x

f x

x

→+∞ →+∞

− +

−

x 3 4 +∞

( ) '

f x + 0 ̶̶

( )

f x

2

3 1

2 0

Bất phương trình (1) có nghiệm [3; +∞ ⇔) 2

3

m ≤

( )( ) 2

− − + ≤ − + − (1)

Lời giải

• Tập xác định của phương trình : D = −[ 2; 4]

t= −x + x+ với x ∈ −[ 2; 4] Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi x ∈ −[ 2; 4]

Ta có:

2

1 '

x t

− +

=

, 't =0⇔ x=1

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	267,35 KB