MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN OxyzTài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmôn Toán theo chương trình Chuẩn & Nâng Cao Môn Toán lớp 12 ---Bài toán 1.. 2/ Tìm toạ độ điểm M trên d sao
Trang 1MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
(Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmôn Toán theo chương trình Chuẩn & Nâng Cao)
Môn Toán lớp 12
-Bài toán 1.
Trong không gian Oxyz cho hai điểm : A( 1; 4; 2) ; B( -1; 2; 4), mặt phẳng (P):x+y-z+6=0 và đường thẳng
2
z 1
2 z 2
1
x
:
1/ Tìm toạ độ điểm M trên (P) sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất
2/ Tìm toạ độ điểm M trên d sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất
Lời giài đề nghị
1/ M thuộc (P) sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất :
Ta có CV(ABC) = AB + MA+ MB , do AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ nhất khi và chỉ khi (MA+MB) nhỏ nhất
P(A)=1+4-2+6=9 > 0 và P(B)= -1+2-4+6=3 > 0 nên A và B nằm một bên mặt phẳng (P); do đó điểm M cần tìm là giao điểm của đường thẳng (A’B) và mặt phẳng (P) ; với A’ là điểm đối xứng của A qua (P)
Thật vậy , ta có :MA+MB = MA’+ MB = A’B ; với điểm N bất kỳ trên (P) thì
NA+NB= NA’+NB ≥ A’B ( Xét tam giác A’NB) , dấu đẳng thức xãy ra khi N M≡ (đpcm)
Giải:
Phương trình của đương thẳng AA’:
−
=
+
=
+
= t 2 z
t 4 y
t 1 x
Hình chiếu vuông góc H của M trên (P) là giao điểm của AA’ và (P) : H(-2;1;5)
H là trung điểm của AA’ nên: A’(-5;4;8)
Phương trình đường thẳng A’B:
−
=
−
=
+
−
= t 2 4 z
t 2 y
t 2 1 x
Điểm M là giao điểm của đường thẳng A’B và (P) : M(-3;3;6)
Đáp số : M(-3;3;6)
Ghi Chú: Bài toán vô nghiệm nếu A và B nằm hai bên mặt phẳng (P)
2/ Tìm M thuộc d sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất.
Ta có CV(ABC)= AB+MA+MB, do AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ nhất khi và chỉ khi (MA+MB) nhỏ nhất
Phương trình tham số của d:
=
+
−
=
−
= t 2 z
t 2 y
t 1 x
Đặt M(1-t;-2+t;2t) d∈
9
35 3
5 t 6 40 t 20 t 6 t
2 2 t 6 t MA
2 2
2 2
−
= +
−
=
− +
− +
=
9
5 3
7 t 6 36 t 28 t 6 t
2 4 t 4 t 2 MB
2 2
2 2
−
= +
−
=
− +
− + +
−
=
Trang 2Ta được:
+
− + +
−
= +
9
5 3
7 t 9
35 3
5 t 6 MB MA
2 2
Vậy (MA+MB) nhỏ nhất khi và chỉ khi ( )
9
5 3
7 t 9
35 3
5 t t
f
2 2
+
− + +
−
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của f(t)
Trong mặt phẳng Oxy, chọn điểm ba : ;M'( ;0)
3
5
; 3
7 ' B
; 3
35
; 3
5 ' A
−
Ta có f(t)= M’A’ + M’B’ nên f(t) nhỏ nhất khi và chỉ khi (M’A’+M’B’)nhỏ nhất, điều nầy xãy
ra khi ba điểm A’,B’,M’ thẳng hàng hay → →
= tM'B' '
A '
M ( do M’ thay đổi trên Ox còn A’ và B’ nằm hai bên Ox) Điều kiện cùng phương của hai véctơ cho
) 7 1 ( 3
7 7 5 t +
+
+ +
+
− +
+
−
7 1 ( 3
7 14 10
; ) 7 (!
3
7 1
; ) 7 1 ( 3
) 7 2 1 ( 2
Ghi chú: 1/ Có thể tìm điểm M bằng phương pháp hình học sau: gïọi A1 và B1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên d Điểm M cần tìm sẽ là điểm chia đoạn thẳng A1B1 theo tỉ số:
1
1
BB
AA
3
14
; 3
1
; 3
4 B 3
10
; 3
1
; 3
2
−
dựng điểm M như thế là thoả đề bài từ bài toán dựng hình đơn giản trong không gian)
2/ Phương pháp hình học trên cho thấy : đặc biệt , nếu (AB) song song với d thì điểm M cần tìm là giao điểm của d với mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
Một số bài toán cực trị khác trong không gian Oxyz : Bài toán 2: Cho hai điểm A ; B và đường thẳng d Tìm trên d điểm M để :
a) (MA2+MB2) nhỏ nhất b) MA→+MB→ nhỏ nhất c) Tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất Bài toán 3: Cho điểm A và đường thẳng d Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d có d(M,d) lớn nhất (Đề thi Đại Học Khối A năm 2008)
Bài toán 4 : Cho hai đường thẳng d và d’ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và tạo với d’ góc lớn nhất
Bài toán 5 : Cho mặt phẳng (P) và đường thăng d Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ nhất
Bài toán 6: Cho hai điểm A;B và đường thẳng d Trong các đường thẳng đi qua A và cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B là : a) Lớn nhất b) Nhỏ nhát
