Baøi toaùn 3: Cho ñieåm A vaø ñöôøng thaúng d. Trong caùc ñöôøng thaúng ñi qua A vaø caét d, vieát phöông trình ñöôøng thaúng coù khoaûng caùch ñeán B laø : a) Lôùn nhaát.[r]
(1)MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN Oxyz
(Tài liệu bổ trợ luyện thi Đại Họcmơn Tốn theo chương trình Chuẩn & Nâng Cao) Mơn Tốn lớp 12
-Bài tốn 1.
Trong khơng gian Oxyz cho hai điểm : A( 1; 4; 2) ; B( -1; 2; 4), mặt phẳng (P):x+y-z+6=0 đường thẳng d:x −1
2 = z+2
1 = z
1/ Tìm toạ độ điểm M (P) cho tam giác MAB có chu vi nhỏ 2/ Tìm toạ độ điểm M d cho tam giác MAB có chu vi nhỏ
Lời giài đề nghị 1/ M thuộc (P) cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất:
Ta có CV(ABC) = AB + MA+ MB , AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ (MA+MB) nhỏ
P(A)=1+4-2+6=9 > P(B)= -1+2-4+6=3 > nên A B nằm bên mặt phẳng (P); điểm M cần tìm giao điểm đường thẳng (A’B) mặt phẳng (P) ; với A’ điểm đối xứng A qua (P)
Thật , ta có :MA+MB = MA’+ MB = A’B ; với điểm N (P)
NA+NB= NA’+NB A’B ( Xét tam giác A’NB) , dấu đẳng thức xãy N M (đpcm) Giải:
Phương trình đương thẳng AA’:
¿
x=1+t y=4+t z=2−t
¿{ {
¿
Hình chiếu vuông góc H M (P) giao điểm AA’ (P) : H(-2;1;5) H trung điểm AA’ nên: A’(-5;4;8)
Phương trình đường thẳng A’B:
¿
x=−1+2t y=2−t z=4−2t
¿{ {
¿
Điểm M giao điểm đường thẳng A’B (P) : M(-3;3;6)
Đáp số : M(-3;3;6)
Ghi Chú: Bài tốn vơ nghiệm A B nằm hai bên mặt phẳng (P) 2/ Tìm M thuộc d cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất
Ta có CV(ABC)= AB+MA+MB, AB không đổi nên CV(ABC) nhỏ (MA+MB) nhỏ
Phương trình tham số d:
¿
x=1−t y=−2+t
z=2t
¿{ {
¿
Đặt M(1-t;-2+t;2t) d
MA=√t2+(6− t)2
+(2−2t)2=√6t2−20t+40=√6 √(t −5 3)
2 +35
(2)MB=√(−2+t)2+(4−t)2+(4−2t)2=√6t2−28t+36=√6 √(t −7 3)
2 +5
9 Ta được: MA+MB=√6 (√(t −5
3)
+35
9 +√(t − 3)
2 +5
9) Vậy (MA+MB) nhỏ f(t)=√(t −5
3)
+35
9 +√(t − 3)
2 +5
9 nhỏ Ta tìm giá trị nhỏ f(t)
Trong mặt phẳng Oxy, chọn điểm ba : A '(5 3;
√35 );B '(
7 3;−
√5
3 ); M '(t ;0)
Ta có f(t)= M’A’ + M’B’ nên f(t) nhỏ (M’A’+M’B’)nhỏ nhất, điều nầy xãy ba điểm A’,B’,M’ thẳng hàng hay M ' A '⃗❑
=t.M ' B '⃗❑ ( M’ thay đổi Ox A’ B’ nằm hai bên Ox) Điều kiện phương hai véctơ cho t= 5+7√7
3(1+√7)
Đáp Số :
1+√7 3(¿¿) −2(1+2√7)
3(1+√7) ;
−1+√7 3(!+√7);
10+14√7
¿
M¿
Ghi chú: 1/ Có thể tìm điểm M phương pháp hình học sau: gïọi A1 B1 hình chiếu
vng góc A B d Điểm M cần tìm điểm chia đoạn thẳng A1B1 theo tỉ số:
k=AA1
BB1 Ta tìm :
A1(−2 3;−
1 3;
10
3 )B1(− 3;
1 3;
14
3 );k=−√7 ( Ta chứng minh cách
dựng điểm M thoả đề từ tốn dựng hình đơn giản khơng gian)
2/ Phương pháp hình học cho thấy : đặc biệt , (AB) song song với d điểm M cần tìm giao điểm d với mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB
Hết toán
Một số tốn cực trị khác khơng gian Oxyz :
Bài toán 2: Cho hai điểm A ; B đường thẳng d Tìm d điểm M để : a) (MA2+MB2) nhỏ b) |
MA
⃗ ❑
+MB
⃗ ❑
| nhỏ c) Tam giác MAB có diện tích nhỏ Bài tốn 3: Cho điểm A đường thẳng d Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d có d(M,d) lớn (Đề thi Đại Học Khối A năm 2008)
Bài toán : Cho hai đường thẳng d d’ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d tạo với d’ góc lớn
Bài toán : Cho mặt phẳng (P) đường thăng d Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d tạo với mặt phẳng (P) góc nhỏ
Bài tốn 6: Cho hai điểm A;B đường thẳng d Trong đường thẳng qua A cắt d, viết phương trình đường thẳng có khoảng cách đến B : a) Lớn b) Nhỏ nhát