KHỐI ĐA DIỆN 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vuông cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của CN và DM. biết SH vuông góc với mp (ABCD) và 3SH a= . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. (Trích đề thi đại học khối A – 2010) ĐS: 3 5 3 24 a ; 12 19 a 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60 0 . Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. (Trích đề thi đại học khối B – 2010) ĐS: 3 3a 3 8 ; 7 12 a 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC, 4 AC AH = . Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. (Trích đề thi đại học khối D – 2010) ĐS: 3 14 48 a 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 60 0 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. (Trích đề thi đại học khối A – 2009) ĐS: 3 3 15 5 a 5. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0 ; tam giác ABC vuông tại C và · BAC = 60 0 . Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. (Trích đề thi đại học khối B – 2009) ĐS: 3 9 208 a 6. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). (Trích đề thi đại học khối D – 2009) ĐS: 3 4 9 IABC a V = ; d(A,IBC) 2 5 5 a = 7. Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = 3a và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm 1 của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'. (Trích đề thi đại học khối A – 2008) ĐS: 3 1 ;cos 2 4 a ϕ = 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = 3a và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN. (Trích đề thi đại học khối B – 2008) ĐS: 3 3 5 ;cos 3 5 a ϕ = 9. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên ' 2AA a= . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C. (Trích đề thi đại học khối D – 2008) ĐS: 3 2 7 ; 2 7 a a . 10. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP. (Trích đề thi C Đ – 2009) ĐS: 3 6 48 a 11. Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông cân tại B, BA = BC = 2a. hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là trung điểm E của AB, SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC. M là điểm di động trên tia đối của tia BA sao cho góc · ( ) 90 o ECM α α = < và H là hình chiếu vuông góc của S lên MC. Tính thể tích khối tứ diện EHIJ theo a, α và tìm α để thể tích đó lớn nhất. ( Trích đề dự bị 1 - 2008 – A) ĐS: 3 1 .sin 2 12 a α 12. Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của AD và (SMN). Chứng minh rằng AD SI⊥ và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI. ( Trích đề dự bị 2 - 2008 – A) ĐS: 3 36 a 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh = a, ( ) 3,SA a SA ABCD= ⊥ . Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC. ( Trích đề dự bị 1 - 2008 – B) 14. Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC, ABD là các tam giác đều cạnh = a, các mặt ACD, BCD vuông góc nhau. Hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo của góc giữa hai đường thẳng AD, BC. 2 ( Trích đề dự bị 2 - 2008 – B) 15. Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, BD, AC sao cho BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN. Mp (MNP) cắt AD tại Q. tính tỉ số AQ AD và tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện ABCD được phân chia bởi mp (MNP). ( Trích đề dự bị 1 - 2008 – D) ĐS: 3 5 AQ AD = ; 1 2 7 13 V V = 16. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại đỉnh B, AB = a, SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC lần lượt tại H, K. Tính theo a thể tích khối tứ diện SAHK. ( Trích đề dự bị 2 - 2008 – D). ĐS: 3 8 45 a 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và 2SA a= . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến (SCD). ( Trích đề thi ĐH 2007 – D) ĐS: 3 a 18. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN BD⊥ và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. ( Trích đề thi ĐH 2007 – B) ĐS: 2 4 a 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên (SAD) là tam giác đều và nằm trong mp vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM BP⊥ và tính thể tích của khối tứ diện CMNP. ( Trích đề thi ĐH 2007 – A) ĐS: 3 3 96 a 20. Cho lăng trụ đứng 1 1 1 .ABC A B C có AB = a, AC = 2a, 1 2 5AA a= và · 120 o BAC = . Gọi M là trung điểm cạnh CC 1 . Chứng minh 1 MB MA⊥ và tính ( ) 1 ,d A A BM . ( Trích đề dự bị 1 - 2007 – A) ĐS: a 5 . 3 21. Cho hình chóp S.ABC có góc giữa (SBC) và (ABC) là 60 o ; ABC và SBC là các tam giác đều cạnh a. tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC). ( Trích đề dự bị 2 - 2007 – A) ĐS: 3a 13 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O, SA ⊥ đáy. Cho , 2AB a SA a= = . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh ( ) SC AHK⊥ và tính thể tích khối chóp OAHK. 3 ( Trích đề dự bị 1 - 2007 – B) ĐS: 3 2a 27 . 23. Trong mp (P) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vng góc với (P) tại A lấy S sao cho góc giữa (SAB) và (SBC) là 60 o . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC. Chứng minh rằng tam giác AHK vng và tính thể tích của khối chóp S.ABC. (Trích đề dự bị 2 - 2007 – B) ĐS: 3 6 12 R . 24. Cho lăng trụ đứng 1 1 1 .ABC A B C có đáy ABC là tam giác vng, AB = AC = a, 1 2AA a= . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 1 1 ,AA BC . Chứng minh MN là đường vng góc chung của AA 1 và BC 1 . Tính thể tích khối chóp 1 1 MA BC . ( Trích đề dự bị 1 - 2007 – D) ĐS: 3 2 12 a 25. Cho lăng trụ đứng 1 1 1 .ABC A B C có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA 1 . Chứng minh 1 BM B C⊥ và tính ( ) 1 ,d BM B C . ( Trích đề dự bị 2 - 2007 – D). ĐS: a 30 10 . 26. Cho hình hộp đứng ABCD. A′B′C′D′ có các cạnh AB = AD = a, 3 ' 2 a AA = và · 60 o BAD = . Gọi M và N lần lượt là trung điểmcủa các cạnh A′D′ và A′B′ . Chứng minh ( ) 'AC BDMN⊥ . Tính thể tích khối chóp A.BDMN. ( Trích đề dự bị 1 - 2006 – A). ĐS: 3 3 16 a . 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA ⊥ đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0 . Trên cạnh SA lấy điểm M sao cho 3 3 a AM = . Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp S.BCNM. ( Trích đề dự bị 2 - 2006 – A) ĐS: 3 10 3 27 a 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, · 60 o BAD = , SA ⊥ đáy, SA = a. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC’ và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’,D ’ . Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’. ( Trích đề dự bị 1 - 2006 – B) ĐS: 3 3 18 a 4 29. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b. Gọi α là góc giữa 2 mp (ABC) và ( A’BC). Tính tgα và thể tích khối chóp A’BB’C’C. ( Trích đề dự bị 2 - 2006 – B) ĐS: 2 2 2 3 tan b a a α − = và 2 2 2 3 6 a b a V − = . 30. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mp bên (SBC) bằng b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. ( Trích đề dự bị 1 - 2006 – D). ĐS: 3 2 2 2 3 16 a b a b− . 31. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a và điểm K thuộc cạnh CC’ sao cho 2 3 a CK = . Mặt phẳng (α ) đi qua A, K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó. ( Trích đề dự bị 2 - 2006 – D). ĐS: 3 3 2 ; 3 3 a a . 32. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy = a, chiều cao = a. Gọi E, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBK. ĐS: 29 8 a . 33. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh = 2 6 . Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh AB, AC . Tính thể tích khối chóp S.AMN và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó . ĐS: 3 3 ; 2 4 2 2 V R= = + . 5 . 2 3 a CK = . Mặt phẳng (α ) đi qua A, K và song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó. ( Trích đề dự bị 2 - 2006 – D). ĐS: 3 3 2 ; 3 3 a. tích của khối tứ diện MBSI. ( Trích đề dự bị 2 - 2008 – A) ĐS: 3 36 a 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh = a, ( ) 3,SA a SA ABCD= ⊥ . Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. (Trích đề thi đại học khối B – 2010) ĐS: 3 3a 3 8 ; 7 12 a 3. Cho hình chóp S.ABCD có đa y ABCD là