Bài tập về khối đa diện

BÀI TẬP:THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN PHẦN 1: KHỐI CHĨP Hình chóp: *) Cho hình chóp S.ABCD, H hình chiếu S lên mp(ABCD), E hình chiếu H lên cạnh AB, K hình chiếu H lên SE Ta có: • SH = h chiều cao hình chóp · • SAH góc SA với mặt đáy (ABCD) · • SEH góc mặt bên (SAB) với mặt đáy • Độ dài đoạn HK khoảng cách từ H đến (SAB) Các hình chóp đặc biệt: 2.1 Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy đa giác có cạnh bên • SO = h chiều cao hình chóp • SO = h chiều cao hình chóp · • SAO góc SA với mặt đáy (ABCD) · • SAO góc SA với mặt đáy (ABCD) · • SEO góc mặt bên (SAB) với mặt đáy · • SEO góc mặt bên (SAB) với mặt đáy • Độ dài đoạn OH khoảng cách từ H đến (SBC) *) Tính chất: • Độ dài đoạn OH khoảng cách từ H đến (SBC) - Đáy đa giác - Các mặt bên tam giác cân - Các cạnh bên hợp với đáy góc - Các mặt bên hợp với đáy góc 2.2 Tứ diện đều: Có cạnh *) Tính chất: Có mặt tam giác 2.3 Tứ diện gần đều: Có cạnh đối diện Thể tích khối chóp: V = B.h Trong đó: B_ diện tích đáy, h_ chiều cao khối chóp Tỉ số thể tích hai khối tứ diện: Cho khối tứ diện S.ABC Gọi A’, B’, C’ điểm cạnh SA, SB, SC Ta có: VSABC SA SB SC = VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' 5/ Chú ý: 5.1 Các hệ thức lượng tam giác vuông: +) a = b + c 2 +) b = ab ', c = a.c ' +) a.h = b.c = ( S ) +) 1 = 2+ 2 b c +) sin B = cos C = b c ,sin C = cos B = a a b c +) tan B = cot C = , tan C = cot B = c b 5.2 Hệ thức lượng tam giác thường a/ Định lí sin: a b c = = = 2R sin A sin B sin C 5.3 Các cơng thức tính diện tích tam giác S = b/ Định lí cosin: a = b + c − 2bc sin A 1 abc a.ha = ab.sin C = = pr = 2 4R 5.4 Cách xác định góc: a/ Giữa hai đường thẳng: Góc hai đường thẳng a, b khơng gian góc hai đường thẳng a’, b’ qua O song song với a b *) 00 ≤ (· a, b ) ≤ 900  a // b *) (·a, b) = ⇔  a ≡ b *) p( p − a )( p − b)( p − c) (·a, b) = 900 ⇔ a ⊥ b b/ Giữa đường thẳng mặt phẳng: (a, ( P)) = (a, a ') a’ hình chiếu a lên (P) c/ Giữa hai mặt phẳng - Gọi ∆ giao tuyến (P) (Q) I ∈ ∆ - đường thẳng a ⊂ ( P ) vng góc với ∆ I - đường thẳng b ⊂ (Q ) vng góc với ∆ I Khi đó: (a,b) = ((P),(Q)) 5.5 Các cách xác định khoảng cách: a/ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, từ điểm đến mặt phẳng b/ Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng song song c/ Khoảng cách hai mp song song d/ Khoảng cách hai đường thẳng chéo Chú ý: (cách tính khoảng cách gián tiếp) Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) I Khi ta có: d ( A, ( P )) AI = d ( B, ( P )) BI CÁC MƠ HÌNH CƠ BẢN Mơ hình 1: Khối chóp – Khối chóp có cạnh bên Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có AB = a, SA = a a Tính VS.ABC b/ Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) Bài 2: Cho hình chóp S.ABC, có AB = a , góc SA với mặt đáy (SBC) 300 a/ Tính VS ABC b/ Tính khoảng cách SA BC Bài 3: Cho hình chóp S.ABC, có AB = a Góc giữ (SBC) (ABC) 300 Tính VS ABC Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a Gọi H chân đường cao tứ diện hạ từ đỉnh S H cách đỉnh A, B, C Khoảng cách từ H đến (SBC) a/ Chứng minh S.ABC khối chóp a b/ Tính VS.ABC Bài 3: Cho tứ diện ABCD có cạnh CD = 2a, cạnh lại a a/ C/m AB ⊥ CD Xác định đường vng góc chung AB CD b/ Tình VABCD c/ Nhận dạng tam giác ACD BCD Từ tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ giác ABCD Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có AB = a, SA = a a/ Tính VS ABCD b/ Tính khoảng cách từ tâm ABCD đến mặt phẳng (SCD) Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có AB = a , góc SC với mặt đáy 600 a/ Tính VS ABCD b/ Tính khoảng BD SC Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có SA = a , góc (SCD) với mặt đáy 600 a/ Tính VS ABCD b/ Tính khoảng SA CD Bài 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có ABCD hình vng tâm O, khoảng cách từ O đến (SCD) a, góc (SCD) với mặt đáy 600 Tính VS ABCD Bài 5: (KB – 2004 ) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy 600 Tính tang góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) Tình VS.ABCD theo a Bài 6: (NN I – 2000 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a Một mặt phẳng (P) qua AB vuông góc với (SCD) cắt SC SD C’ D’ a/ Tính SABC’D’ b/ Tính VABCDD’C’ Bài 7: (KTQD – 2001) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB = 2a, BC = a Các cạnh bên a a/ Tính VS.ABCD theo a b/ Gọi M, N trung điểm AB CD, K điểm cạnh AD cho AK = a Tính khoảng cách hai đường thẳng MN SK theo a Bài 8: Cho tứ diện S.ABC có cạnh a Dựng đường cao SH a/ Chứng minh SA ⊥ BC b/ Tính thể tích khối chóp diện tích tồn phần tứ diện c/ Gọi O trung điểm SH Chứng minh OA, OB, OC đơi vng góc với Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên cạnh đáy a a/ Tính thể tích khối chóp b/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên tạo với đáy góc 600 cạnh đáy a a/ Tính VS ABCD b/ Qua A dựng mặt phẳng (P) vng góc với SC Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt (P) Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có khoảng cách từ tâm O đáy đến mặt bên a, góc mặt bên đường cao 300 a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD b/ Gọi E, F trung điểm cạnh SB, SC M điểm cạn SD cho MS = 2MD Mặt phẳng (MEF) cắt SA N Tính thể tích khối chóp S.EFMN Bài 12: (2012B) Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H hình chiếu vng góc A lên SC Chứng minh SC ⊥ ( ABH ) Tính thể tích khối chóp S ABH Bài 13: (09CĐ) Cho hình chóp S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N P trung điểm SA, SB, CD Chứng minh MN ⊥ SP Tính thể tích khối tư diện AMNP  SP ⊥ CD  → SP ⊥ MN HD:   MN // CD Chú ý rằng: 1 VAMNP = VP AMN = VP ASB = SO.S∆ABP 4 a = 48 Mơ hình 2: Hình chóp có cạnh bên vng góc với mặt đáy (có hai mặt bên vng góc với đáy) - Cạnh bên vng góc với đáy: Là chiều cao khối chóp - Hai mặt bên vng góc với đáy: Đường cao giao tuyến Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a, SA ⊥ (ABC), SB = a a/ Tính VS.ABC b/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh a, SA ⊥ (ABC), (SBC) tạo với mặt đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, góc ·ACB = 300 , cạnh AC = a Góc SB với mặt đáy (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC · Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy ABC tam giác cân A, góc BAC = 1200 , cạnh BC = 2a Góc (SBC) (ABC) 450 Tính VS ABC Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, có SA ⊥ (ABCD), SC = a a/ Tính VS.ABCD b/ Tính khoảng cách BD với SC Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, có SA ⊥ (ABCD), Góc SC với mặt đáy (ABCD) 300 a/ Tính VS.ABCD b/ Tính khoảng cách từ A đến (SCD) Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA ⊥ (ABCD) AC = 2a Góc (SCD) với mặt đáy (ABCD) 300 a/ Tính VS.ABCD b/ Tính tan góc SC với mặt đáy (ABCD) Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc nhọn A 600 SA ⊥ ( ABCD ) , khoảng cách từ A đến SC a Tính VS ABCD Bài 9: Cho khối chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, có AB = BC = a, AD = 2a Mặt phẳng (SCD) hợp với đáy góc 600 Tính VS ABCD Bµi 10 (KD – 2006 ) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM HD: (Dùng tỉ số thể tích) Bài 11: (KB – 2006 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a SA = a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB HD: Do AM//BC nên ta có: AI MI AM = = = IC IB BC Ta lại có: AC = a 3, BM = a Từ suy ra: AI = a a AC = , MI = MB = 3 Xét ∆AIM có: AM = AI + IM suy ∆AIM vuông I Hay BM ⊥ AC mà BM ⊥ SA Suy ( SBM ) ⊥ ( SAC ) Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA ⊥ ( ABCD) AB = a, SA = a Gọi H, K hình chiếu A SB SD Chứng minh SC ⊥ ( AHK ) Tính thể tích khối tứ diện S.AHK Bài 13: (2011A) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, AB = BC = 2a , hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc (SBC) với (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a HD: Mặt phẳng qua SM //BC cắt AC N MN // BC N trung điểm BC Góc (SBC) với (ABC) · góc SBA = 600 Ta tó: VS BCNM = SA.S BCNM = a 3 Bài 14: (08CĐ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, · · BAD = ABC = 900 , AB = BC = a, AD = 2a , SA ⊥ ( ABCD) Gọi M, N trung điểm SA, SD Chứng minh BCNM hình chữ nhật tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a HD: Dùng tỉ số thể tích Mơ hình 3: Khối chóp có mặt vng góc với đáy Chú ý: Đường cao khối chóp = đường cao mặt chân đường cao thuộc giao tuyến Bài 1: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC cạnh a, tam giác SAC cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) Tính VS.ABC trường hợp: a/ SB = a b/ SB tạo với mặt đáy góc 300 Bài 2: Cho tứ diện ABCD có ∆BCD vng cân B, CD = a , ∆ACD cân A nằm mặt phẳng vng góc với (BCD) Tính VABCD biết AB tạo với mạt phẳng (BCD) góc 600 Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, BC = a Mặt phẳng (SAC) vng góc với đáy, mặt bên (SAB) (SBC) tạo với đáy góc 450 a/ Chứng minh chân đường cao khối chóp trung điểm AC b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, ∆ SAD cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy góc 300 Tính VS ABCD Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a Tam giác SAD cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) Tính VS ABCD biết SB tạo vơi đáy góc 300 Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC vng cân A BC = a , tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC), góc (SAC) với mặt đáy (ABC) 450 Tính VS ABC Bài 7: (KA – 2007 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP  BP ⊥ ( SHC ) ⇒ BP ⊥ ( AMN ) HD: Chứng minh  ( SHC ) //( AMN ) HD: T trung điểm HB MT ⊥ ( ABCD ) a3 VCMNP = MT S ∆CNP = ⇒ BP ⊥ AM 96 Bài 8: (KB – 2008 ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a,SB = mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cosin góc hai đường thẳng SM, DN Bài 9: (KA – 2009 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 10 Bài 10: (2011D): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA = 3a, BC = 4a , mặt · phẳng (SBC) góc với mp(ABC) Biết SB = 2a SBC = 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ B đến (SAC) theo a Bài 11: (2010 CĐ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc SC với mặt phẳng đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh 2a, ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) Góc (SAD) (ABCD) 600 M, N trung điểm BC CD Tính VS AMCN 11 Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật, AB = a 3, AD = a, ( SAC ) ⊥ ( ABCD), SA = a tam giác SAC vng S Tính VS ABCD Bài 16: Cho hình chóp S.ABCD hình vng cạnh a, ( SAB ) ⊥ ( ABCD) , tam giác SAB cân S, M trung điểm CD, mặt phẳng (SBM) tạo với mặt đáy (ABCD) góc 600 Tính VS ABCD Mơ hình 4: Khối chóp cho trước đường cao Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Hình chiếu S lên (ABCD) trọng tâm tam giác ACD, SA = a, SA tạo với mặt đáy (ABCD) góc 600 M, N, P trung điểm SC, AB, AD a/ Tính VS ABCD b/ Tính VM ANP Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vng A, D Hình chiếu S lên (ABCD) trung điểm M AC Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy (ABCD) góc 600 AB = AD = 2a, DC = a a/ Tính VS ABCD b/ Gọi N, P, Q trung điểm SC, AB, AD Tính VNPQD Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng tai A D.Hình chiếu S lên (ABCD) trung điểm cạnh AD Góc SB với mặt đáy (ABCD) 600 , AB = AD = 2a, DC = a Tính VS ABCD Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có ∆ABC tam giác vng A, ·ACB = 600 Hình chiếu S lên (ABC) trọng tâm tam giác ABC, SB = a , góc SB với mặt đáy (ABC) 600 Tính VS ABCD Bài 5: (2010D) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a, hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) H thuộc đoạn AC AH = AC Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Bài 6: (2012A) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) H thuộc AB cho HA = HB Góc SC với (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a 12 Bài 7: (2010A) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm AB AD, H giao điểm CN DM Biết SH ⊥ ( ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM tính khoảng cách DM SC theo a HD: Dễ dàng có CN ⊥ DM PHẦN 2: KHỐI LĂNG TRỤ Hình lăng trụ 13 2/ Các lăng trụ đặc biệt a/ Lăng trụ đứng: Là lăng trụ có cạnh bên vng góc với đáy Các mặt bên hình chữ nhật Cạnh bên đường cao lăng trụ b/ Lăng trụ đều: Là lăng trụ đứng có đáy đa giác Các mặt bên LT hình chữ nhật c/ Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy hình bình hành - mặt hình hộp hình bình hành - Hai mặt đối diện song song - Bốn đường chéo hình hộp đồng quy trung điểm đường d/ Hình hộp chữ nhật: Có mặt hình chữ nhật e/ Hình lập phương: Là hình có mặt hình vng (bằng nhau) 3/ Thể tích khối lăng trụ: V = B.h CÁC MƠ HÌNH CHÍNH Mơ hình 1: LĂNG TRỤ ĐỨNG – LĂNG TRỤ ĐỀU Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vng cân A, BC = 2a , Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 600 a/ Chứng minh AB ⊥ ( ACC ' A ') a/ Tính thể tích khối lăng trụ theo a b/ Tính khoảng cách từ A đến đến mp(A’BC) c/ Tính từ AA’ đến mp(BCC’B’) Bài 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ , góc mặt phẳng (C’AB) với (ABC) 300 , khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABB’A’) a Tính khoảng cách từ C đến mp(C’AB) thể tích khối lăng trụ Bài 3: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông A với AC = a, ·ACB = 600 , biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' thể tích lăng trụ Bài 4: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên 4a đường chéo 5a Tính thể tích khối 14 lăng trụ Bài 5: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, góc (B’AC) với mặt đáy (ABCD) 600 , khoảng cách từ B đến (B’AC) a Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ Bài 6: Cho lăn trụ đứng ABC A1 B1C1 đáy tam giác Mặt phẳng ( A1 BC ) tạo với đáy (ABC) góc 300 tam giác A1 BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A1 B1C1 D1 có khoảng cách AB A1 D Độ dài đường chéo mặt bên a/ Hạ AK ⊥ A1 D Chứng minh AK = b/ Tính thể tích khối lăng trụ cho Các tập tự luyện Bài 1: Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác ABC vng cân A có cạnh BC = a biết A ' B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ · Bài 2: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAC = 600 , AC = BD ' Tính thể tích khối lăng trụ theo a Bài 3: Lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a đường chéo AC’ tạo với mặt bên BCC’B’ góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ Bài 4: Đáy hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ hình thoi có đường chéo nhỏ a góc nhọn 60 Diện tích mặt bên khối hộp a 2 Tính thể tích khối hộp Bài 5: Lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a Diện tích tam giác ABC’ a Tính thể tích khối lăng trụ Bài 6: Lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có chiều cao a Mặt phẳng (ABC’) tạo với mặt đáy góc 30 Tính thể tích khối lăng trụ Bài 7: Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng Gọi O tâm ABCD OA ' = a Tính thể tích khối hộp khi: a/ Cạnh đáy cạnh bên lăng trụ b/ OA' hợp với đáy ABCD góc 60o c/ A'B hợp với (AA'CC') góc 300 d/ Diên tích tam giác BDA’ 2a Bài 8: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau: a/ Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 c/ Khoảng cách từ A đến (A’BC) a b/ A'B hợp với đáy (ABC) góc 450 d/ Diện tích tam giác A’BC a2 Bài 9: Cho lăng trụ tứ giác ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a/ Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD góc 450 b/ BD' hợp với (ABCD) góc 600 15 c/ Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') a d/ Diện tích tam giác ACD’ a2 Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng đường chéo 2a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a/ Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 600 b/ Tam giác BDC' tam giác c/ AC' hợp với đáy ABCD góc 450 d/ Khoảng cách AC với BD’ a · Bài 11: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn BAC = 600 Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây: a/ Mặt (BDC') hợp với đáy ABCD góc 600 b/ Khoảng cách từ C đến (BDC') a c/ AC' hợp với đáy ABCD góc 450 d/ Diện tích tam giác BDC’ a2 Bài 12: (KD – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM, B’C HD: Dùng tỉ số khoảng cách Bài 13: (2010B) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB = a , góc mặt phẳng (A’BC) mặt phẳng (ABC) 600 G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a 16 Mơ hình 2: LĂNG TRỤ XIÊN Chú ý: - Giả thiết khơng có từ “đứng” “đều” - Thường cho trước đường cao với giả thiết “ Hình chiếu đỉnh lên mặt đối diện ” Bài 1: Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 600 a/ Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật b/ Tính thể tích lăng trụ Bài 2: Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a, biết chân đường vng góc hạ từ A' ABC trùng với trung điểm BC AA' = a a/ Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ b/ Tính thể tích lăng trụ Bài 3: (NGT 2011) Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy tam giác vng A, AB = a, AC = a 3, A ' A = A ' B = A ' C Mặt phẳng ( A ' AB ) hợp với mặt đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ cosin góc BC AA’ Bài 4: (2011B) Cho lăng trụ ABCD A1 B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a Hình chiếu vng góc A1 lên mặt phẳng ABCD trùng vào giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng 17 ( ADD1 A1 ) ( ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ B1 đến mặt phẳng ( A1 BD) theo a Chú ý: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) k/c từ đường thẳng d đến (P) Trong d qua M song song với (P) Từ ta có: d ( B1 ,( A1BD )) = d ( B1C ( A1BD )) = d ( C ,( A1BD )) = CH Bài 6: (2012D) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng, tam giác A’AC vng cân, A ' C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) theo a · Bài 7: (DTH 2011) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cân A AB = 2a, BAC = 1200 Hình chiếu A’ lên đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết ta giác A’BC vng A’ Tính thể tích khối lăng trụ cho Bài 8: (LTV 2010) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A ' ABC hình chóp cạnh AB = a Biết độ dài đoạn vng góc chung AA’ BC a , Tính thể tích khối chóp A '.BB ' C ' C 18 CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: (DB06) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ co cạnh AB = AD = a, AA '= a · , BAD = 600 Gọi M, N trung điểm A’D’ A’B’ a/ Chứng minh AC ' ⊥ ( BDMN ) b/ Tính thể tích khối chóp A.BDMN Bài 2*: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A’ lên (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC vng góc với AA’ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích a2 Tính thể tích khối lăng trụ Bài (DB 2007): Cho lăng trụ đứng ABC A1 B1C1 có đáy tam giác vuông AB = AC = a, AA1 = a Gọi M, N trung điểm AA1 , BC1 Chứng minh MN đoạn vng góc chung AA1 BC1 Tính thể tích khối chóp MA1 BC1 HD: *) MN // AE mà AE ⊥ AA1 ⇒ MN ⊥ AA1 Do hai hình chữ nhật: AA1 B1 B, AA1C1C nhau: MB = MC1 Do ∆MBC1 cân M ⇒ MN ⊥ BC1 MN đường vng góc chung *) A1C1 ⊥ ( AA1 B1 B) ⇒ A1C1 ⊥ ( A1MB) ⇒VMA1BC1 =VC1 A1MB = A1C1 S A1MB Bài 4: (KB - 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mặt 19 · phẳng (ABC) 600; tam giác ABC vuông C BAC = 600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Bài 5: (KD – 2009 ).Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) HD: IH CI 2 4a = = ⇒ IH = AA ' = IH đường cao AA ' CA ' 3 tứ diện IABC AC = a 5, BC = 2a ⇒ VIABC = IH S ABC = *) Dựng IK vng góc với A’B Ta có A’K khoảng cách từ A đến (IBC) Bài 6: (KA - 2008) Cho lăng trụ ABC.A 'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A' mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA', B'C' 20 21 ...2.3 Tứ diện gần đều: Có cạnh đối diện Thể tích khối chóp: V = B.h Trong đó: B_ diện tích đáy, h_ chiều cao khối chóp Tỉ số thể tích hai khối tứ diện: Cho khối tứ diện S.ABC Gọi A’,... a góc nhọn 60 Diện tích mặt bên khối hộp a 2 Tính thể tích khối hộp Bài 5: Lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a Diện tích tam giác ABC’ a Tính thể tích khối lăng trụ Bài 6: Lăng trụ... cách hai đường thẳng MN SK theo a Bài 8: Cho tứ diện S.ABC có cạnh a Dựng đường cao SH a/ Chứng minh SA ⊥ BC b/ Tính thể tích khối chóp diện tích tồn phần tứ diện c/ Gọi O trung điểm SH Chứng