Tính theå tích khoái choùp S.ABCD theo a vaø chöùng minh SC ^ (EBK). Cho hình choùp töù giaùc S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thang vuoâng taïi A vaø D. Caïnh beân SA =3a vaø vuoâng goùc[r]
(1)›š & ›š
BÀI TẬP HÌNH HỌC 12
TẬP
(2)1 Hai đường thẳng song song
a) Định nghóa: a bÛ ầ = ặỡa ba b, è( )P ợ
P b) Tính chất
·
( ) ( ) ( )
( ) ( ) , ,
( ) ( ) ( ) ( )
P Q R
P Q a a b c đồng qui
P R b a b c
Q R c
ỡ ạ ùù ầ = ịộ ầ = ờ ù ầ =
ïỵ P P
· ( ) ( )( )PP a QQ,( )d b d a bd a d b( ) a b ì Ç = ï É ẫ ịộ ờ ùợ P P P · ,
a b a b
a c b c
ỡ ị
ớ
ỵ P P P
2 Đường thẳng mặt phẳng song song
a) Định nghóa: d // (P) d ầ (P) = ặ
b) Tớnh chất
· ì Ëídd d( ), ' ( )P d' è P ịd ( )P
ợ P P ·
( )
( ) ,( ) ( )
d P d a
Q d Q P a
ì Þ
í É ầ =
ợ P P
à ( ) ( )
( )PP a QQ,( )da d a
ỡ ầ = ị
ớ
ợ P P P
3 Hai mặt phẳng song song
a) Định nghóa: (P) // (Q) Û (P) Ç (Q) = Ỉ
b) Tính chất
· ( ) , ( ) ( )
( ), ( ) P a b
a b M P Q
a Q b Q
ì É
ï ầ = ị
ớ
ùợ P P P ·
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P Q
P R P Q
Q R
ỡ
ù ị
ớ
ïỵ PP P ·
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Q R
P Q a a b
P R b
ỡù ầ = ị ù ầ = P P 4 Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song
Có thể sử dụng cách sau:
· Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)
· Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba
· Áp dụng định lí giao tuyến song song
b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh d P ( )P , ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng d¢ nằm (P)
c) Chứng minh hai mặt phẳng song song
Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng
CHƯƠNG
(3)1 Hai đường thẳng vng góc
a) Định nghóa: a ^ b Û
( )
a b¶, =900b) Tính chất
· Giả sử ur VTCP a, vr VTCP b Khi a b^ Û u vr r =0
· b c a b a c
ỡ ÔÔ ị ^ ^
ợ
2 Đường thẳng mặt phẳng vng góc
a) Định nghóa: d ^ (P) Û d ^ a, "a Ì (P)
b) Tính chất
· Điều kiện để đường thẳng ^ mặt phẳng: ìí ^a bd a d b, Ì,( ),P a b OÇ = Þ ^d ( )P ^
ỵ · ìí( )a bP aị( )P ^b
^
ợ P ·
a b a b
a ( ),P b ( )P
ỡ ị
ớ ^ ^
ỵ P
· P Q a Q
a P
( ) ( ) ( )
( )
ì Þ ^
í ^
ỵ P ·
P Q P Q
P a Q a
( ) ( ) ( ) )
( ) ,( )
ì ¹ ị (
ớ ^ ^
ợ P
· ìí ^ab ( )( )PP Þ ^b a
ỵ P ·
a P a P
a b P( ),( ) b )
ì Ë Þ (
í ^ ^
ỵ P
· Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm
Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng
· Định lí ba đường vng góc
Cho a ^ ( ),P bÌ( )P , a¢ hình chiếu a (P) Khi b ^ a Û b ^ a¢
3 Hai mặt phẳng vuông góc
a) Định nghóa: (P) ^ (Q) Û
(
·( ),( )P Q)
=900b) Tính chất
· Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau: ( )ìí ^aP É Þ( )Qa ( ) ( )P ^ Q ỵ
· ( ) ( ),( ) ( ) ( )
( ),
P Q P Q c a Q
a P a c
ì ^ ầ = ị ^
ớ è ^
ỵ ·
( ) ( )
( ) ( )
, ( )
P Q
A P a P
a A a Q
ỡ ^
ù
ẻ ị è
ớ
ï ' ^
ỵ · ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
P Q a
P R a R
Q R
ì Ç =
ï
^ ị ^
ớ
ù ^
ợ
4 Chứng minh quan hệ vng góc
a) Chứng minh hai đường thẳng vng góc
Để chứng minh d a^ , ta sử dụng cách sau:
· Chứng minh góc a d 900
· Chứng minh vectơ phương a d vng góc với
· Chứng minh d b^ mà b aP
(4)· Chứng minh d vng góc với (P) (P) chứa a
· Sử dụng định lí ba đường vng góc
· Sử dụng tính chất hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …)
b) Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng
Để chứng minh d ^ (P), ta chứng minh cách sau:
· Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P)
· Chứng minh d vng góc với (Q) (Q) // (P)
· Chứng minh d // a a ^ (P)
· Chứng minh d Ì (Q) với (Q) ^ (P) d vng góc với giao tuyến c (P) (Q)
· Chứng minh d = (Q) Ç (R) với (Q) ^ (P) (R) ^ (P)
c) Chứng minh hai mặt phẳng vng góc
Để chứng minh (P) ^ (Q), ta chứng minh cách sau:
· Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a ^ (Q)
· Chứng minh
(
( ),( )·P Q)
=9001 Góc
a) Góc hai đường thẳng: a//a', b//b' Þ
( )
a b¶, =(
a b·', ')
Chú ý: 00 £
( )
a b¶, £ 900b) Góc đường thẳng với mặt phẳng:
· Neáu d ^ (P)
(
d P·,( ))
= 900· Nếu d ^ ( )P
(
d P·,( ))
=( )
d d·, ' với d¢ hình chiếu d (P)Chú ý: 00 £
(
d P·,( ))
£ 900c) Góc hai mặt phẳng ì ^í ^ab ( )( )QP Þ
(
( ),( )·P Q)
=( )
a b¶, ỵ· Giả sử (P) Ç (Q) = c Từ I Ỵ c, dựng ( ), ( ), a P a c b Q b c
ì Ì ^
í Ì ^
ợ ị
(
( ),( )ÃP Q)
=( )
a bả,Chú ý: 00£
(
( ),( )·P Q)
£900d) Diện tích hình chiếu đa giác
Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S¢ diện tích hình chiếu (H¢) (H) (Q), j =
(
( ),( )·P Q)
Khi đó: S¢ = S.cosj2 Khoảng cách
a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) độ dài đoạn vng góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng)
b) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm đường thẳng đến mặt phẳng
c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ điểm trên mặt phẳng đến mặt phẳng
(5)d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau bằng:
· Độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng
· Khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng thứ
· Khoảng cách hai mặt phẳng, mà mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng
1 Hệ thức lượng tam giác
a) Cho DABC vng A, có đường cao AH
· AB2+AC2 =BC2 · AB2 =BC BH AC. , =BC CH. ·
2 2
1 1
AH = AB + AC
b) Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài trung tuyến ma, mb, mc; bán
kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường trịn nội tiếp r; nửa chu vi p · Định lí hàm số cosin:
a =b2 2+c2–2bc cosA; b. =c2+a2-2ca.cos ;B c2 =a2+b2-2ab.cosC
· Định lí hàm số sin: R
C c B b A a
2 sin sin
sin = = = · Công thức độ dài trung tuyến:
2 2 2 2 2 2
2 4
a b c a b c a b c a b c
m = + - ;m = + - ;m = +
-2 Các cơng thức tính diện tích
a) Tam giaùc:
· S aha bhb c.hc
2
1 = =
= · S bc A ca B absinC
2 sin sin
1 = =
= ·
R abc S
4
= · S = pr · S= p p a p b p c
(
-)(
-)(
-)
· DABC vuông A: 2S AB AC BC AH= =· DABC đều, cạnh a:
4 a S=
b) Hình vng: S = a2 (a: cạnh hình vng) c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước)
d) Hình bình hành: S = đáy ´ cao = AB AD sinBAD ·
e) Hình thoi: ·
2
S AB AD sinBAD= = AC BD
f) Hình thang: S
(
a b)
.h2 +
= (a, b: hai đáy, h: chiều cao)
g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc:
2
S= AC BD
(6)1 Thể tích khối hộp chữ nhật:
V abc= với a, b, c ba kích thước khối hộp chữ nhật
2 Thể tích khối chóp:
3 đáy
V = S h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối chóp 3 Thể tích khối lăng trụ:
V S= đáy.h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ 4 Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
a) Tính thể tích cơng thức
· Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, …
· Sử dụng công thức để tính thể tích
b) Tính thể tích cách chia nhỏ
Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau đó, cộng kết ta thể tích khối đa diện cần tính
c) Tính thể tích cách bổ sung
Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác cho khối đa diện thêm vào khối đa diện tạo thành dễ tính thể tích
d) Tính thể tích cơng thức tỉ số thể tích
Ta vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz khơng đồng phẳng Với điểm A, A’ Ox; B, B' trên Oy; C, C' Oz, ta có:
OABC
OA B C
V OA OB OC
V ' ' ' =OA OB OC' ' '
* Bổ sung
· Diện tích xung quanh hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích mặt bên · Diện tích tồn phần hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích xung quanh với diện tích đáy
Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Góc mặt bên mặt đáy a (450 < a < 900) Tính thể tích hình chóp
HD: Tính h = 1
2atana Þ V a tan
= a
Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, cạnh bên SA = a Một mặt phẳng (P) qua AB vuông góc với mp(SCD) cắt SC SD C¢ D¢ Tính thể tích khối đa diện ADD¢.BCC¢
HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' khối SABCD
ÞV 5a3 =
CHƯƠNG I
(7)Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, cạnh lại Tính thể tích hình chóp theo x y
HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC AIBC (I trung điểm SA)
Þ V xy x2 y2 12
= -
-Bài Cho tứ diện ABCD có cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c Tính thể tích tứ diện theo a, b, c
HD: Trong mp(BCD) lấy điểm P, Q, R cho B, C, D trung điểm PQ, QR, RP Chú ý: VAPQR = 4VABCD = 1
6AP AQ AR
Þ V (a2 b2 c b2)( c2 a c2)( a2 b2) 12
= + - + - +
-Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA ^ (ABC).Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM
HD:
2 2
16 25 SAMN
SABC
V SA SM SN SA V SA SB SC SB
ỉ
= =ỗỗ ữữ =
ố ứ ị
a V 3
50 =
Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 7cm, SA ^ (ABCD), SB = cm Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A với AB = cm, AC = 4cm Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng đáy SA = 5cm Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài Cho hình tứ diện ABCD cóAD ^ (ABC) Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) b) Tính thể tích tứ diện ABCD
Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢ có mp(ABC¢) tạo với đáy góc 450 diện tích DABC¢ 49 cm2 Tính thể tích lăng trụ
Bài 10 Cho hình vng ABCD cạnh a, nửa đường thẳng Bx, Dy vng góc với mp(ABCD) phía mặt phẳng Trên Bx Dy lấy điểm M, N gọi BM = x, DN = y Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y
Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB =a, AD = a , SA ^ (ABCD) Gọi M,N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC
a) Chứng minh mp(SAC) ^ BM
b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB
Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA ^ (ABC) Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM
(8)HD:
2
a
V = ; cosj=
Bài 14 (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a (SAB) vng góc mặt đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN cosin góc hai đường thẳng SM DN
HD: 3
3
a
V = ; cosj=
Bài 15 (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a Gọi M trung điềm BC Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách đường thẳng AM, B¢C
HD:
2
a a
V = ; d=
Bài 16 (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM ^ BP tính thể tích khối CMNP
HD: 3 96
a V =
Bài 17 (B–07): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA; M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN ^ BD tính khoảng cách hai đường thẳng MN AC
HD:
4 a d =
Bài 18 (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với
· ·ABC BAD= =900, BC = BA = a, AD = 2a SA^(ABCD), SA=a 2 Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính khoảng cách từ H đến (SCD)
HD:
3 a d =
Bài 19 (A–06): Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O¢, bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O¢ lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ diện OO¢AB
HD: 3 12
a V =
Bài 20 (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a,
a
AD= , SA = a SA ^ (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD, SC; I giao điểm BM AC Chứng minh (SAC) ^ (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB
HD: 36 a V =
(9)2a SA ^ (ABC) Gọi M, N hình chiếu vng góc A SB, SC Tính thể tích hình chóp A.BCMN
HD: 3 50
a V =
Bài 22 (Dự bị A–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 =
2a ·BAC=1200 Gọi M trung điểm CC1 Chứng minh MB ^ MA1 tính khoảng cách d từ A đến (A1BM)
HD:
3 a d=
Bài 23 (Dự bị A–07): Cho hình chóp SABC có góc
·
(
(SBC ABC),( ))
=600, ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC)HD:
13 a d=
Bài 24 (Dự bị B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA ^ (ABCD) AB = a, SA=a Gọi H, K hình chiếu vng góc A SB, SD Chứng minh SC^(AHK) tính thể tích tứ diện OAHK
HD: 27
a V =
Bài 25 (Dự bị B–07): Trong mặt phẳng (P), cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R điểm C thuộc nửa đường trịn cho AC = R Trên đường thẳng vng góc với (P) A lấy điểm S cho
·
(
(SAB) SBC,( ))
=600 Gọi H, K hình chiếu A SB, SC Chứng minh tam giác AHK vng tính thể tích tứ diện SABCHD:
12 R V =
Bài 26 (Dự bị D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 = a Gọi M, N trung điểm đoạn AA1 BC1 Chứng minh MN đường vng góc chung AA1 BC1 Tính thể tích tứ diện MA1BC1
HD: 12 a V =
Bài 27 (Dự bị D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM ^ B1C tính khoảng cách hai đường thẳng BM B1C
HD: 30
10 a d=
Bài 28 (Dự bị A–06): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh AB = AD = a, AA' =
2
(10)HD: 3 16
a V =
Bài 29 (Dự bị A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vng góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM =
3
a Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối choùp S.BCMN
HD: 10 3 27 V = a
Bài 30 (Dự bị B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a,
·BAD=600, SA ^ (ABCD), SA = a Gọi C' trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AC' song song với BD, cắt cạnh SB, SD B', D' Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'
HD: 3 18 a V =
Bài 31 (Dự bị B–06): Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA' = b Gọi a góc hai mặt phẳng (ABC) (A'BC) Tính tana thể tích khối chóp A'.BB'C'C
HD: 2 a b a
V =
-Bài 32 (Dự bị D–06): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi SH đường cao hình chóp Khoảng cachs từ trung điểm I SH đến mặt phẳng (SBC) b Tính thể tích khối chóp S.ABCD
HD:
2 2
3 16 a b V
a b
=
-Bài 33 (Dự bị D–06): Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ có cạnh a điểm K thuộc cạnh CC¢ cho CK =
3a Mặt phẳng (a) qua A, K song song với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể tích hai khối đa diện HD: 1 2
3
a a
V = ; V =
Bài 34 (Dự bị 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a SB ^ (ABC) Tam giác ABC có BA = BC = a, góc ABC 1200 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC)
(11)Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD, có cạnh đáy a ·ASB=a a) Tính diện tích xung quanh hình chóp
b) Chứng minh đường cao hình chóp 1
2
a cot a
-c) Tính thể tích khối chóp HD: a) Sxq =
2
a cota c) V = 1 1 6a cot
a
-Bài Cho hình chóp SABC có mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với đáy Đáy ABC tam giác cân đỉnh A Trung tuyến AD = a Cạnh bên SB tạo với đáy góc a tạo với mp(SAD) góc b
a) Xác định góc a, b
b) Chứng minh: SB2 = SA2 + AD2 + BD2
c) Tính diện tích tồn phần thể tích khối chóp HD: a) ·SBA=a;·BSD=b
c) Stp =
2
2 2 2
2
2
a (sin sin ) a sin
cos sin cos sin
b
a b
a- b + + a- b
V = 2 2
a sin sin
(cos sin )
a b
a- b
Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB M điểm di động đường thẳng BC
a) Chứng minh SH ^ (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tìm tập hợp hình chiếu S lên DM
c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a x = CM
HD: b) K thuộc đường trịn đường kính HD c) SK = 24 24 2
a a ax x a x
- +
+
Bài Trên đường thẳng vng góc A với mặt phẳng hình vng ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a Gọi B¢, D¢ hình chiếu A lên SB SD Mặt phẳng (AB¢D¢) cắt SC C¢ Tính thể tích khối chóp SAB¢C¢D¢
HD:
15 SAB C
SABC V
V Â Â = ị VSABÂCÂDÂ = 16
45a
Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD A¢, B¢, C¢, D¢ Chứng minh:
SA SC SB SD
SA SC¢+ ¢ =SB¢+SD¢ HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp
Bài Cho tứ diện SABC có cạnh a Dựng đường cao SH a) Chứng minh SA ^ BC
(12)b) Tính thể tích diện tích tồn phần hình chóp SABC
c) Gọi O trung điểm SH Chứng minh OA, OB, OC đôi vng góc với
HD: b) V = 12 a ; S
tp = a2 3
Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh bên tạo với đáy góc 600 cạnh đáy a
a) Tính thể tích khối chóp
b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vng góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo (P) hình chóp
HD: a) V = 6
a b) S = 3 a
Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao SH = h góc đáy mặt bên a
a) Tính diện tích xung quanh thể tích khối chóp theo a h
b) Cho điểm M di động cạnh SC Tìm tập hợp hình chiếu S xuống mp(MAB) HD: a) Sxq =
2
1 h tan tan
a
a - ; V =
3
3
h (tan a- )
Bài Trên cạnh AD hình vng ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0
£ x £ a) nửa đường thẳng Ax vng góc A với mặt phẳng hình vng, người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0)
a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) (SBC) vng góc b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC)
c) Tính thể tích khối chóp SABCM
d) Với giả thiết x2 + y2 = a2 Tìm giá trị lớn thể tích với SABCM
e) I trung điểm SC Tìm quĩ tích hình chiếu I xuống MC M di động đoạn AD
HD: b) d = 2
x c) V = 1
6ay x a( + ) d) Vmax =
3 24a
Bài 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a hợp với mặt bên SAB góc b
a) Chứng minh: SC2 = 2
a
cos a-sin b
b) Tính thể tích khối chóp HD: b) V =
2
a sin sin
(cos sin )
a b
a - b
Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA =2a vng góc với mặt phẳng đáy
a) Tính diện tích tồn phần hình chóp
b) Hạ AE ^ SB, AF ^ SD Chứng minh SC ^ (AEF)
(13)Bài 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD ^ (ABCD) SD= a
a) Chứng minh DSBC vng Tính diện tích DSBC b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
Bài 14 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD ^ (ABCD), SD =a Từ trung điểm E DC dựng EK ^ SC (KỴSC) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a chứng minh SC ^ (EBK)
Bài 15 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D Biết AB = 2a, AD = CD = a (a > 0) Cạnh bên SA =3a vng góc với đáy a) Tính diện tích tam giác SBD
b) Tính thể tích tứ diện tứ diện SBCD theo a
Bài 16 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vng B Cạnh SA vng góc với đáy Từ A kẻ đoạn thẳng AD ^SB AE^SC Biết AB = a, BC = b, SA = c
a) Tính thể tích khối chóp S.ADE
b) Tính khoảng cách từ điểm E đến mặt phẳng (SAB)
Bài 17 Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢, cạnh đáy a, đường chéo mặt bên BCC¢B¢ hợp với mặt bên ABB¢A¢ góc a
a) Xác định góc a
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là: 3 33
a sin sin
a a
HD: a) ·C BI¢ ¢ với I¢ trung điểm A¢B¢
Bài 18 Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A¢B¢C¢D¢, chiều cao h Mặt phẳng (A¢BD) hợp với mặt bên ABB¢A¢ góc a Tính thể tích diện tích xung quanh lăng trụ
HD: V = h3 tan2a-1, S
xq =4h2 tan2a -1
Bài 19 Cho lăng trụ đứng ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC vng A Khoảng cách từ AA¢ đến mặt bên BCC¢B¢ a, mp(ABC¢) cách C khoảng b hợp với đáy góc a a) Dựng AH ^ BC, CK ^ AC¢ Chứng minh: AH = a, ·CAC¢ = a, CK = b
b) Tính thể tích lăng trụ
c) Cho a = b khơng đổi, cịn a thay đổi Định a để thể tích lăng trụ nhỏ HD: b) V =
2 2
ab b a
sin a - sin a c) a = arctan
2
Bài 20 Cho lăng trụ ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh đáy a Góc đường chéo AC¢ đáy 600 Tính thể tích diện tích xung quanh hình lăng trụ
HD: V = a3
6; Sxq = 4a2
Bài 21 Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên h Từ đỉnh vẽ đường chéo mặt bên kề Góc đường chéo a Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ
HD: Sxq = 4h2 cos
cos
a a
(14)Bài 22 Cho lăng trụ tam giác ABc.A¢B¢C¢, cạnh đáy a Mặt phẳng (ABC¢) hợp với mp(BCC¢B¢) góc a Gọi I, J hình chiếu A lên BC BC¢
a) Chứng minh ·AJI = a
b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình lăng trụ HD: b) V =
2
4
a
tan a - ; Sxq = 3a
2
2
3 tan a-
Bài 23 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy tam giác cạnh a, AA¢ = A¢B = A¢C = b a) Xác định đường cao lăng trụ vẽ từ A¢ Chứng minh mặt bên BCC¢B¢ hình chữ nhật
b) Định b theo a để mặt bên ABB¢A¢ hợp với đáy góc 600
c) Tính thể tích diện tích tồn phần theo a với giá trị b tìm HD: b) b = a
12 c) Stp =
7 21
a ( + )
Bài 24 Cho hình lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC tam giác vng cân đỉnh A Mặt bên ABB¢A¢ hình thoi cạnh a, nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt bên ACC¢A¢ hợp với đáy góc nhị diện có số đo a (0 < a < 900)
a) Chứng minh: ·A AB¢ = a b) Tính thể tích lăng trụ
c) Xác định thiết diện thẳng qua A Tính diện tích xung quanh lăng trụ d) Gọi b góc nhọn mà mp(BCC¢B¢) hợp với mặt phẳng đáy
Chứng minh: tanb = 2tana HD: b) V = 1
2a
3sina c) S
xq = a2(1 + sina + 1+sin2a )
Bài 25 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ đáy tam giác cạnh a Hình chiếu A¢ lên mp(ABC) trùng với tâm đường trịn (ABC) Cho ·BAA¢ = 450
a) Tính thể tích lăng trụ b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ HD: a) V = 2
8
a b) S
xq = a2(1 +
2 )
Bài 26 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢, đáy ABC tam giác nội tiếp đường trịn tâm O Hình chiếu C¢ lên mp(ABC) O Khoảng cách AB CC¢ d số đo nhị diện cạnh CC¢ 2j
a) Tính thể tích lăng trụ
b) Gọi a góc mp(ABB¢A¢) (ABC) (0 < a < 900) Tính j biết a + j = 900
HD: a) V = 3 2
3
d tan tan
j
j- b) tana =
3tan j-1; j = arctan 2
Bài 27 Cho lăng trụ xiên ABC.A¢B¢C¢ có đáy tam giác vng A, AB = a, BC = 2a Mặt bên ABBA¢ hình thoi, mặt bên BCC¢B¢ nằm mặt phẳng vng góc với đáy, hai mặt hợp với góc a
(15)HD: a)
a Gọi AK đường cao
DABC; vẽ KH ^ BB¢ ·AHK = a b) V = 3
2
a cota
Bài 28 Cho hình hộp đứng ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy hình thoi Biết diện tích mặt chéo ACC¢A¢, BDD¢B¢ S1, S2
a) Tính diện tích xung quanh hình hộp b) Biết ·BA D¢ = 1v Tính thể tích hình hộp
HD: a) Sxq = 2 S12+S22 b) V =
2
2
2
S S S S
-Bài 29 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A¢B¢C¢D¢, đường chéo AC¢ = d hợp với đáy ABCD góc a hợp với mặt bên BCC¢B¢ góc b
a) Chứng minh: ·CAC¢=a và AC B·¢ =b
b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d3sina.sinb cos(a b+ ).cos(a b- )
c) Tìm hệ thức a, b để A¢D¢CB hình vuông Cho d không đổi, a b thay đổi mà A¢D¢CB ln hình vng, định a, b để V lớn
HD: c) 2(cos2a – sin2b) = ; V max =
3 2 32 d
a = b = 300 (dùng Cơsi) Bài 30 Cho hình hộp ABCD.AÂBÂCÂD cú ỏy l hỡnh thoi ABCD cnh a, àA = 600 Chân
đường vng góc hà từ B¢ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy Cho BB¢ = a
a) Tính góc cạnh bên đáy
b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp HD: a) 600 b) V = 3
4
a ; Sxq = a2 15
Bài 31 Cho hình hộp xiên ABCD.A¢B¢C¢D¢, đáy ABCD hình thoi cạnh a ·BAD = 600; A¢A = A¢B = A¢D cạnh bên hợp với đáy góc a
a) Xác định chân đường cao hình hộp vẽ từ A¢ góc a Tính thể tích hình hộp b) Tính diện tích tứ giác ACC¢A¢, BDD¢B¢
c) Đặt b =
·
(
ABB A ABCD¢ ¢,)
Tính a biết a + b =p
HD: a) Chân đường cao tâm tam giác ABD b) SBDD¢B¢ =
2 3
a
sina ; SACC¢A¢ = a2tana c) a = arctan
17