Chuyên đề thể tích khối đa diện (2)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 1 m , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0. Tính diện tích toàn [r]

VẤN ĐỀ 1: ƠN TẬP HÌNH HỌC PHẲNG

1/ Các ̣ thức lượng tam giác vuông

Cho DABC vuông ta ̣i A, AH là đường cao, AM là đường trung tuyến Ta có:

2/ Các ̣ thức lượng tam giác a) Đinh ḷ ı́ hàm số cosin

b) Đinh ḷ ı́ hàm số sin

c) Công thức tı́nh diên ṭ ı́ch của tam giác

d) Công thức tı́nh độ dài đường trung tuyến của tam giác

A

C

B

R

2 sin sin sin

a b c

R

A= B = C =

(R là bán kı́nh đường tròn ngoa ̣i tiếp ABC)

b

c

a

A

B

C

b

c

a



2 2

ABC a b c

SD = a h = b h = c h  

 sin sin sin

2 2

ABC

SD = ab C = bc A= ac B 

 ,

4

ABC ABC

abc

S S p r

R

D = D =  

(

)(

)(

)

,

2 ABC

a b c

SD p p a p b p c p

ổ + + ữử

ỗ

= - - - ỗỗố = ữữ

ứ

p

na chu vi

r

– bán kı́nh đường tròn nô ̣i tiếp R – bk đường ngoại nô ̣i tiếp

A

B

C

b

c

a

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 cos cos

2 cos cos

2 cos cos

2

b c a

a b c bc A A

bc

a c b

b a c ac B B

ac

a b c

c a b ab C C

ab

+

-* = + -  =

+

-* = + -  =

+

-* = + -  =

A

B

H M

C

 BC2 =AB2+AC2

(

Pitago

)

 

 AH BC =AB AC  

 AB2=BH BC AC. , =CH CB.  



2 2

1 1

, AH HB HC

AH =AB +AC =  



2

BC

AM =  

A

B

C

N

K

M

2 2

2

2

AB AC BC

AM +

* = -

2 2

2

2

BA BC AC

BN +

* =

2 2

2

2

CA CB AB

CK +

-3/ Đi ̣nh lı́ Talet

4/ Diê ̣n tı́ch của đa giác

a/ Diê ̣n tı́ch tam giác vuông

Diê ̣n tı́ch tam giác vuông bằng ½ tı́ch ca ̣nh góc vng

b/ Diê ̣n tı́ch tam giác đều + Diê ̣n tı́ch tam giác đều:

SD =

+ Chiều cao tam giác đều:

hD =

c/ Diê ̣n tı́ch hı̀nh vuông và hı̀nh chữ nhâ ̣t + Diê ̣n tı́ch hı̀nh vuông bằng ca ̣nh bı̀nh phương + Đường chéo hı̀nh vuông bằng ca ̣nh nhân + Diê ̣n tı́ch hı̀nh chữ nhâ ̣t bằng dài nhân rô ̣ng

d/ Diê ̣n tı́ch hı̀nh thang Diê ̣n tı́ch hı̀nh thang: SHı̀nh Thang

2

= (đáy lớn + đáy bé) chiều cao

e/ Diê ̣n tı́ch tứ giác có hai đường chéo vuông góc + Diê ̣n tı́ch tứ giác có hai đường chéo vuông góc bằng ½ tı́ch hai đường chéo

+ Hı̀nh thoi có hai đường chéo vuông góc ta ̣i trung điểm của mỗi đường

Lưu ý: Trong tı́nh toán diê ̣n tı́ch, ta có thể chia đa giác thành những hı̀nh đơn giản dễ tı́nh diê ̣n tı́ch, sau đó cô ̣ng các diê ̣n tı́ch được chia này, ta được diê ̣n tı́ch đa giác

VẤN ĐỀ 2: ƠN TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11

1/ Chứng minh đường thẳngd // mp( )a

a Phương pháp 1: Chứng minh

(

)

// // ' ' ( ) ( ) ( ) d d

d d mp

d a a a ìïï ïïï Ì  íï ïï Ë ïïỵ 2 / / AMN ABC

AM AN MN

MN BC k

AB AC BC

S AM k

S AB D D * = = = ổ ửữ ỗ ữ * =ỗỗ ữữ = ỗố ứ

(T diờn t ch bng tı̉ bı̀nh phương đồng dạng)

A

B

C

N

M

A C

B

1 ABC

SD AB AC

 = A B C

a

h 3 ABC a S a h D ìïï = ïïï  í ïï = ïï ïỵ

A B

C D a O 2 HV S a

AC BD a

ì = ïïï  íï = = ïïỵ A

B H C

D

(

)

2

AD BC AH

S +

 =

A

B

D

C

1 H Thoi

S AC BD

 =

(ca ̣nh)

2 đều

b Phương pháp 2: Chứng minh

( )

// //

( )

( ) ( )

d

d mp b

a

b a

ìï Ì

ïï 

íï ïïỵ

c Phương pháp 3: Chứng minh d và ( )a cùng vuông góc với mô ̣t đường thẳng hoă ̣c cùng vuông góc với mô ̣t mă ̣t phẳng

2/ Chứng minhmp( )a // mp

( )

b

a Phương pháp 1: Chứng minh mp( )a chứa hai đường thẳng cắt song song với mp

( )

b

b Phương pháp 2: Chứng minh

mp

( )

a

và mp

( )

b cùng song song với mă ̣t phẳng hoă ̣c cùng vuông góc với đường thẳng

3/ Chứng minh hai đường thẳng song song:

a Phương pháp 1: Hai

mp

( ),

a b

( )

có điểm chung S và lần lượt chứa đường thẳng song song

a b

,

thı̀

( )

// //

( )

a Ç b =Sx a b

b Phương pháp 2: Chứng minh

( )

( )

//

//

( )

( )

a mp

a mp a b

b a

b

a b

ìïï

ïïï Ì 

íï

ïï Ç =

ïïỵ

c Phương pháp 3: Hai mă ̣t phẳng cùng song song với mô ̣t đường thẳng thı̀ giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó

d Phương pháp 4: Mô ̣t mă ̣t phẳng cắt hai mă ̣t phẳng song song theo giao tuyến song song e Phương pháp 5: Hai đường thẳng cùng vuông góc với mô ̣t mă ̣t phẳng thı̀ song song với

f Phương pháp 6: Sử du ̣ng phương pháp hı̀nh ho ̣c phẳng: Đường trung bı̀nh, ̣nh lı́ Talét đảo, …

4/ Chứng minh đường thẳngd ^mp

( )

a a Phương pháp 1: Chứng minh:

( )

,

d a

d b

a b

a b mp a ìï ^

ïï ï ^

ùù

ớ ầ ùù ùù è ùùợ

( )

d ^mp a

b Phương pháp 2: Chứng minh:

( )

//

'

'

d d

d mp a

ìïïï 

íï ^

ïïỵ d ^mp

( )

a

c Phương pháp 3: Chứng minh:

( )

( )

//

( )

d mp

mp mp

b

b a

ìï ^

ïï 

íï

ïïỵ d ^mp

( )

a

d Phương pháp 4: Hai mă ̣t phẳng cắt cùng vuông góc với mă ̣t phẳng thứ thı̀ giao tuyến của chúng vuông

góc với mă ̣t phẳng thứ 3:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

P

P d P

d a

b

a b

ìï ^

ïï

ïï ^  ^

íï

ïï Ç =

ïïỵ

e Phương pháp 5: Có hai mă ̣t phẳng vuông góc, đường thẳng nào nằm mă ̣t phẳng này và vuông góc với giao

tuyến mặt phẳng, cũng vuông góc với mă ̣t phẳng kia:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

a d d

d a

a b

a b

b a

ìï ^

ïï

ïï Ç =

ï  ^

íï Ì ïï ï ^ ïïỵ 5/ Chứng minh đường thẳng

d

^

d

'

b Phương pháp 2: Sử du ̣ng ̣nh lý ba đường vuông góc

c Phương pháp 3: Chứng tỏ góc giữa

d

và

d

'

bằng

90

0

d Phương pháp 4: Sử du ̣ng hı̀nh ho ̣c phẳng

6/ Chứng minhmp

( )

a ^mp

( )

b

a Phương pháp 1: Chứng minh

( )

( )

( )

( )

d

mp mp

d a

a b

b

ìï É

ïï  ^

íï ^

ïïỵ (chứng minh mp chứa đường thẳng vng góc với mp kia)

b Phương pháp 2: Chứng tỏ góc giữa hai mă ̣t phẳng bằng

90

0

PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH

(Ph

ầ

n c

ầ

n n

ắ

m cho th

ậ

t v

ữ

ng)

I TÍNH GĨC

1 Tính góc giữa hai đường thẳng a b chéo Phương pháp :Có thể sử dụng cách sau:

a Cách 1:(theo phương pháp hình học)

+ Góc giữa hai đường thẳng song song trùng + Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau: Là góc tạo bởi hai đường thẳng cắt lần lượt vẽ cùng phương với hai đường thẳng đó:

 

// //

'

( , ) ( ', ') '

a a

a b a b

b b f

ìïï  = =

íï ïỵ

(chú ý: Góc giữa hai đường thẳngchỉ lấy góc nhọn khơng lấy góc tù) b Cách : (theo phương pháp véc tơ): cos ,

 

a b a b

a b  

  

 

2 Tính góc giữa đường thẳng a mặt phẳng

 

P

Phương pháp xác định : + a

   

P  A

+ Trên đường thẳng a lấy điểm M

+ Tìm điểm H hình chiếu M mp

 

P MH 

 

P + a P;

 

MAH



Chú ý: đường thẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng góc bằng 0 3.Xác định góc giữa hai mặt phẳng

 

P

 

Q

Phương pháp :

+ Tìm giao tuyến mặt phẳng

 

P

 

Q

+ Tìm đường thẳng nằm mặt phẳng

 

P

 

Q đồng thời đường thẳng vng góc với giao tuyến chung mặt phẳng

 

P

 

Q

+ Góc mặt phẳng

 

P

 

Q góc đường thẳng vng góc với giao tuyến chung mặt phẳng

 

P

 

Q Chú ý: mặt phẳng song song trùng góc 0 II TÍNH KHOẢNG CÁCH

1.Tính khoảng cách giữa một điểm mặt phẳng

Phương pháp :Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng , ta phải tìm đoạn vng góc vẽ từ điểm

đến mặt phẳng , ta hay dùng hai cách sau : Cách :

+ Tìm mặt phẳng (Q) chứa M vng góc với (P)



a

b

'

+ Xác định m P

   

 Q

+ Dựng MH m P 

   

 Q , MH

 

P

Suy MH đoạn cần tìm Cách 2:Dựng MH AK/ / 

 

P

Chú ý :

+ Nếu / /

 

 

 

, ,

MA P d d

M P M P

 

   

   

+ Nếu MA

 

P I

 

 

, ,

d M P IM

d M P IA

 

 

 

 

 

2 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng:

+ Khi a//

 

P

 

 

, ,

d d

a P A P

 

   

    với A P

 

+ Khi đường thẳng a

 

P a

 

P thì khoảng cách 0 3 Khoảng cách từ một mặt phẳng đến một mặt phẳng :

+ Khi

   

P // Q

d

   P ,Q

d

M Q, 

   





với

A



 

P

+ Khi

   

   

   P ,Q

P Q

P Q

d

 

 

  

 

Khoảng cách giữa hai đường thẳng

a Khi

   

   

   , ' '

0 '

d

  

   

  

  



b Khi

   

/ / '

d

    , '

d

M, '

d

N, 

     

   



với M 

 

,N 

 

' c Khi hai đường thẳng chéo :

+ Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo

 



 

' đường thẳng

 

a cắt

 

 M cắt

 

' N đồng thời vng góc với

 



 

'

+ Đoạn MN gọi đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo

 



 

'

+ Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng

Phương pháp :

+ Cách : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a song song với b .Tính khoảng cách từ b đến mp(P)

+ Cách : Dựng hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Khoảng cách hai mặt phẳng

khoảng cách cần tìm

+ Cách : Dựng đoạn vng góc chung tính độ dài đoạn * Cách dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo :

+ Dựng

 

P b P,

 

//a

+ Dựng a hch'

 

P a, cách lấy M a

+ Dựng đoạn MN

 

 , lúc a’ đường thẳng qua N song song a

+ Gọi H a b ' , dựng HK MN//

HK

 là đoạn vng góc chung cần tìm ( Hay MN đoạn vng góc chung cần tìm)

* Nếu hai đường thẳng chéo vng góc thì:

+ Dựng mp P

 

b P,

 

a H + Trong (P) dựng HK b K

+ Đoạn HK đoạn vuông góc chung a b

VẤN ĐỀ 3: TÍNH CHẤT CỦA MỘT SỐ HÌNH ĐẶC BIỆT

(a)

' 

M

S

A

B

C

H O

A

B

C

D S

O H

I HÌNH CHĨP ĐỀU

1/ Đi ̣nh nghı̃a: Mô ̣t hı̀nh chóp được go ̣i là hı̀nh chóp đều nếu có đáy là môt ̣ đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy

Nhận xét:

+ Hı̀nh chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng + Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng

+ Các cạnh bên của hı̀nh chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau + Đáy đa giác (tam giác đều, hình vng )

2/ Hai hı̀nh chóp đều thường gă ̣p a/ Hı̀nh chóp tam giác đều:

Cho hı̀nh chóp tam giác đềuS ABC Khi đó: + ĐáyABClà tam giác đều

+ Các mă ̣t bên là các tam giác cân ta ̣i

S

+ Chiều cao: SO.( O tâm đáy)

+ Góc giữa ca ̣nh bên và mă ̣t đáy: SAO =SBO =SCO + Góc giữa mă ̣t bên và mă ̣t đáy: SHO

+ Tı́nh chất: , ,

3

AB

AO = AH OH = AH AH =

Lưu ý: Hı̀nh chóp tam giác đều khác với tứ diên ̣ đều: + Tứ diê ̣n đều có các mă ̣t là các tam giác đều

+ Tứ diê ̣n đều là hı̀nh chóp tam giác đều có ca ̣nh bên bằng ca ̣nh đáy b/ Hı̀nh chóp tứ giác đều:

Cho hı̀nh chóp tam giác đều

S ABCD

.

+ ĐáyABCDlà hı̀nh vuông

+ Các mă ̣t bên là các tam giác cân ta ̣i

S

+ Chiều cao:

SO

+ Góc giữa ca ̣nh bên và mă ̣t đáy:

   

SAO =SBO =SCO=SDO + Góc giữa mă ̣t bên và mă ̣t đáy: SHO II TỨ DIỆN ĐỀU:

+ Tứ diê ̣n đều có mă ̣t là các tam giác đều

+ Khi hı̀nh chóp tam giác đều có ca ̣nh bên bằng ca ̣nh đáy tứ diê ̣n đều Do tứ diê ̣n đều có tính chất hình chóp tam giác

III HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

HÌNH LĂNG TRỤ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

+ mặt đáy đa giác song song + cạnh bên song song + mặt bên hình bình hành

+ Chiều cao khoảng cách mặt đáy

Hình hộp:là hình lăng trụ có đáy hình bình hành

+ mặt đáy đa giác song song + cạnh bên song song

+ mặt bên hình bình chữ nhật vng góc với mặt đáy

+ Chiều cao cạnh bên

hình chữ nhật

Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có mặt hình vng.

IV CHIỀU CAO CỦA MỘT SỐ HÌNH CHĨP CĨ TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT

1/ Hı̀nh chóp có mô ̣t ca ̣nh bên vuông góc với đáy:Chiều cao của hı̀nh chóp là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy Vı́ du ̣: Hı̀nh chópS ABCD có ca ̣nh bên SA^

(

ABCD

)

thı̀ chiều cao là SA

2/ Hı̀nh chóp có mô ̣t mă ̣t bên vuông góc với mă ̣t đáy:Chiều cao của hı̀nh chóp là chiều cao của tam giác chứa trong mặt bên vuông góc với đáy

Vı́ du ̣: Hı̀nh chópS ABC có mă ̣t bên

(

SAB

)

vuông góc với mă ̣t đáy

(

ABC

)

thı̀ chiều cao của hı̀nh chóp là chiều cao của

D

SAB

3/ Hı̀nh chóp có hai mă ̣t bên vuông góc với đáy:Chiều cao của hı̀nh chóp là giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với đáy

Vı́ du ̣: Hı̀nh chópS ABCD có hai mă ̣t bên

(

SAB

)

và

(

SAD

)

cùng vuông góc với mă ̣t đáy

(

ABCD

)

thı̀ chiều cao là SA

4/ Hı̀nh chóp đềuvà tứ diện đều: Chiều cao của hı̀nh chóp là đoạn thẳng nối đı̉nh và tâm của đáy

Vı́ du ̣: Hı̀nh chóp tứ giác đềuS ABCD có tâm mă ̣t phẳng đáy là giao điểm O của hai đường chéo hı̀nh vuông

ABCD

thı̀ có đường cao là

SO

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

LÝ THUYẾT: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN, DIỆN TÍCH XUNG QUANH,

DIỆN TÍCH TỒN PHẦN

Thể tích Diện tích xung quanh Diện tích tồn phần KHỐI CHÓP

1

V  B h + B diện tích đáy + h đường cao hình chóp

Sxq = Tổng diện tích mặt bên Stp = Sxq + Diện tích mặt đáy

KHỐI LĂNG TRỤ

.

V



B h

+ B diện tích đáy

+ h đường cao lăng trụ Sxq = Tổng diện tích mặt bên Stp = Sxq + Diện tích mặt đáy

KHỐI CHĨP CỤT

(

' '

)

3 h

V = B+B + BB +Với

B B

, '

là diên ṭ ı́ch hai đáy + h đường cao hình chóp

Sxq = Tổng diện tích mặt bên Stp = Sxq + Diện tích mặt đáy

Chú ý:

I.Thể tı́ch hı̀nh hô ̣p chữ nhâ ̣t: V =a b c Thể tı́ch khối lâ ̣p phương: V =a3

Hình hộp chữ nhật Hình lập phương II phương pháp thường dùng tı́nh thể tı́ch

1.Tı́nh thể tı́ch bằng công thức

+ Tı́nh các yếu tố cần thiết: đô ̣ dài ca ̣nh, diê ̣n tı́ch đáy, chiều cao,… + Sử du ̣ng công thức tı́nh thể tı́ch

a b c

+ Cần năm vững công thức tính diện tích tam giác, tứ giác,

2 Tı́nh thể tı́ch bằng cách chia nhỏ: Ta chia khối đa diê ̣n thành nhiều khối đa diê ̣n nhỏ mà có thể dễ dàng tı́nh thể

tı́ch của chúng Sau đó, ta cô ̣ng kết quả la ̣i, ta sẽ có kết quả cần tı̀m

3 Tı́nh thể tı́ch bằng cách bổ sung: Ta có thể ghép thêm vào khối đa diê ̣n mô ̣t khối đa diê ̣n khác, cho khối đa diê ̣n thêm vào và khối đa diê ̣n mới có thể dễ dàng tı́nh được thể tı́ch

4 Tı́nh thể tı́ch bằng tı̉ số thể tı́ch

* Trong nhiều bài toán, viêc ṭ ı́nh trực tiếp thể tı́ch khối đa diên cọ ́ thể gặp khó khăn vı̀ hai lı́ do: + Hoặc là khó xác đinh vạ ̀ tı́nh được chiều cao

+ Hoặc tı́nh được diên ṭ ı́ch đáy cũng không dễ dàng * Khi đó, ta có thể làm theo các phương pháp sau:

+ Phân chia khối cần tı́nh thể tı́ch thành tổng hoặc hiêu cạ ́c khối bản (hı̀nh chóp hoặc hı̀nh lăng trụ) mà các khối này dễ tı́nh

+ Hoặc là so sánh thể tı́ch khối cần tı́nh với một đa diên khạ ́c đã biết trước hoặc dễ dàng tı́nh thể tı́ch * Trong dang nạ ̀y, ta thường hay sử dung pḥ ương pháp tỉ số, lấy kết quả của bài toán sau:

Cho hı̀nh chóp S.ABC Lấy A’, B’, C’ tương ứng ca ̣nh SA, SB, SC Khi đó: ' ' '

' ' '

S A B C

S ABC

V SA SB SC

V = SA SB SC

Chứng minh:

Kẻ A’H’ và AH cùng vuông góc với mă ̣t phẳng (SBC) Khi đó: A’H // AH và S, H’, H thẳng hàng

Ta có: ' ' ' ' ' ' ' '

1 ' '

1

SB C S A B C A SB C

S ABC A SBC

SBC

S A H

V V

V V

S AH

D

D

= =

(

)

1 '. '.sin ' '

' ' '

1

.sin

SB SC A H SB SC SA

Ðpcm SB SC SA

SB SC AH

a a

= = 

Trong đó: a=B SC' '=BSC

Lưu ý: Kết quả vẫn đúng nếu các điểm A’, B’, C’ có thể có điểm AºA B', ºB C', ºC' Thông thường, đối với loại này, đề thường cho điểm chia đoạn theo tı̉ lê, song song, ḥ ı̀nh chiếu,…

III Sử dụng phương pháp thể tích khối đa diện để tính khoảng cách

* Các bài toán tı̀m khoảng cách: Khoảng cách từ mô ̣t điểm đến mô ̣t mă ̣t phẳng, khoảng cách giữa hai đường

thẳng, nhiều trường hợp có thể qui về bài toán thể tı́ch khối đa diê ̣n Viê ̣c tı́nh khoảng cách này dựa vào công thức hiển nhiên: h 3V

B

= , ở đâyV B h, , lần lượt là thể tı́ch, diê ̣n tı́ch đáy và chiều cao của mô ̣t hı̀nh chóp nào đó (hoă ̣c V

h S

= đối với hı̀nh lăng trụ)

* Phương pháp này áp dung ̣ được trường hợp sau: Giả sử có thể qui bài toán tı̀m khoảng cách về bài toán

tı̀m chiều cao của mô ̣t hı̀nh chóp (hoă ̣c mô ̣t lăng trụ) nào đó Dı̃ nhiên, các chiều cao này thường là không tı́nh được trực tiếp bằng cách sử dụng các phương pháp thông thường ̣nh lı́ Pitago, công thức lượng giác,… Tuy nhiên, các khối đa diê ̣n này la ̣i dễ dàng tı́nh được thể tı́ch và diê ̣n tı́ch đáy Như vâ ̣y, chiều cao của nó sẽ được xác ̣nh bởi công thức đơn giản * Phương pháp:Sử du ̣ng các ̣nh lı́ của hı̀nh ho ̣c không gian sau đây:

+ Nếu AB // mp P

( )

trong đómp P

( )

chứaCDthı̀d AB CD

(

,

)

= êd AB Péë ,

( )

ùúû

+ Nếu mp P

( )

// mp Q

( )

đó mp P mp Q

( )

,

( )

lần lượt chứa AB và CD thı̀:

(

,

)

( )

,

( )

d AB CD = êd mp P mp Qéë ùúû

+ Từ đó, qui bài toán tı̀m khoảng cách theo yêu cầu bài toán về viê ̣c tı̀m chiều cao của khối chóp (hoă ̣c mô ̣t khối lăng tru ̣) nào đó

S

A’ B’

C’

A B

+ Giả sử bài toán đã được qui về tı̀m chiều cao kẻ từ đı̉nh

S

của mô ̣t hı̀nh chóp (hoă ̣c mô ̣t lăng trụ) Ta tı̀m thể tı́ch của hı̀nh chóp (lăng tru ̣) này theo mô ̣t đường khác mà không dựa vào đı̉nh S này, chẳng ̣n quan niê ̣m hı̀nh chóp ấy có đı̉nh

S

'

¹

S

Sau đó, tı́nh diê ̣n tı́ch đáy đối diê ̣n với đı̉nh

S

Như thế, ta suy được chiều cao kẻ từ

S

cần tı̀m

CHỦ ĐỀ 1: CÁC DẠNG TỐN KHỐI CHĨP

DẠNG 1: HÌNH CHĨP CĨ CẠNH BÊN VNG GĨC VỚI ĐÁY

Bài 1. Cho hı̀nh chóp

S ABC

.

có đáy là

D

ABC

vuông cân ởB AC, =a 2,SA^mp ABC SA

(

)

, =a

a Tı́nh thể tı́ch khối chóp

S ABC

.

ĐS:

( )

đvtt

3

6

S ABC a

V =

b Go ̣i Glà tro ̣ng tâm của DSBC, mp

( )

a quaAGvà song song với BC cắt SC SB, lần lượt ta ̣i M N, Tı́nh thể tı́ch khối chóp

S AMN

.

ĐS:

( )

đvtt

3

2 27 SAMN

a

V =

Bài 2. Cho hı̀nh chóp S ABC có đáy là DABC đều ca ̣nh avà SA^

(

ABC

)

,SA=2a Go ̣i H K, lần lượt là hı̀nh chiếu vuông góc của điểm A lần lượt lên ca ̣nh SB SC,

a Tı́nh thể tı́ch khới chóp

H ABC

.

theo

a

ĐS:

( )

đvtt

3

3 30 H ABC

a

V =

b Tı́nh thể tı́ch khối

ABCKH

.

theo

a

ĐS:

( )

đvtt

3

3 50 A BCKH

a

V =

c Tính khoảng cách từ

H

đến

mp SAC

(

)

ĐS: ,( ) 3

(

đvđd

)

10 H SAC

a dé ù

ê ú

ë û =

Bài 3. Cho tứ diê ̣n

ABCD

có ca ̣nh

AD

vuông góc với mp ABC

(

)

, AC =AD=4

( )

cm AB, =3

( )

cm ,

( )

5

BC = cm Tı́nh khoảng cách từ A đến mp BCD

(

)

ĐS: ( )

( )

,

6 34 17 A DBC

dé ù cm

ê ú

ë û =

Bài 4. Cho hı̀nh chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

là tam giác có AC

=

a AB,

=

3a, BAC

=

600 Go ̣i

H

hình chiếu

của S

(

ABC

)

biết H ỴAB và AH

=

2HB Cạnh bên SC hợp với đáy góc 450 a Tı́nh thể tı́ch khối chóp S ABC

b Tı́nh khoảng cách từ A đến mp SBC

(

)

Bài 5. Cho hı̀nh chóp

S ABC

.

có đáy

D

ABC

là tam giác vuông ta ̣i

B

và SA

^

(

ABC

)

với ACB

=

600,

,

BC =a SA=a Go ̣i

M

là trung điểm của ca ̣nh

SB

a Chứng minh rằng: mp SAB

(

)

^mp SBC

(

)

b Tı́nh thể tı́ch khối chóp

S ABC

.

ĐS:

( )

đvtt

3

2

S ABC a

V =

c Tı́nh thể tı́ch khối tứ diê ̣nMABC ĐS:

( )

đvtt

3

4 MABC

a

V =

d Tı́nh khoảng cách từ điểm M đến mp SAC

(

)

ĐS: ,( )

(

đvđd

)

2 M SAC

a dé ù

ê ú

ë û =

Bài 6. Cho hı̀nh chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hı̀nh vuông ca ̣nh

a

,

SA

^

(

ABCD

)

, SA=a Gọi

O

giao điểm hai đường chéo hình vng

ABCD

a Tı́nh thể tı́ch khối chóp

S ABCD

.

theo

a

ĐS:

( )

đvtt

3

3 S ABCD

a

b Tı́nh thể tı́ch khối chóp S OBC theo a ĐS:

( )

đvtt

3

3 12 S ABCD

a

V =

c Tı́nh khoảng cách từ điểm A đến mp SBC

(

)

ĐS: ,( ) 3

(

đvđd

)

2 A SBC

a dé ù

ê ú

ë û =

d Tı́nh khoảng cách từ điểm O đến mp SBC

(

)

ĐS: ,( ) 3

(

đvđd

)

4 A SBC

a déê ùú

ë û =

Bài 7. Cho hı̀nh chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hı̀nh vuông ca ̣nh

a

,SA^

(

ABCD

)

Cạnh

SC

tạo với mặt phẳng đáy

(

ABCD

)

góc 600

a Tı́nh thể tı́ch khới chóp

S ABCD

.

theo

a

ĐS:

( )

đvtt

3

6 S ABCD

a

V =

b Xác ̣nh và tı́nh đô ̣ dài đoa ̣n vuông góc chung của hai đường thẳng

SC

và

BD

ĐS: ( ; ) SC BD

a

d =

Bài 8. Cho hı̀nh chóp

S ABCD

.

có đáy là hı̀nh vuông ca ̣nh bằng

a

, chiều cao

SA

=

2

a

Go ̣i

N

là trung điểm của

SC

a Tính diện tích tồn phần hình chóp

S ABCD

.

b Tı́nh thể tı́ch khối chóp S ABCD theo a ĐS:

( )

đvtt

3

2 S ABCD

a

V =

c Mă ̣t phẳng

( )

P chứa AN và song song với BD lần lượt cắt SB SD, ta ̣i M P, Tı́nh thể tı́ch khối chóp

S AMNP theo a ĐS:

( )

đvtt

3

2 S AMNP

a

V =

Bài 9. Cho hı̀nh chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hı̀nh chữ nhâ ̣t tâm

O SA

,

^

mp ABCD

(

)

Biết

AB

=

3

a

, góc

 600

BAC = Mặt bên

(

SBC

)

hợp với đáy góc 450

a Tı́nh thể tı́ch khối chóp S ABCD theo a ĐS:

( )

đvtt

S ABCD

V = a

b Tı́nh thể tı́ch khối chóp

SOAD

ĐS:

( )

đvtt

3

9 S OAD

a

V =

c Tı́nh khoảng cách từ điểm

O

đếnmp SBC

(

)

ĐS:

,( ) 2

(

đvđd

)

2 O SBC

a déê ùú

ë û =

Bài 10.Cho khối chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hı̀nh chữ nhâ ̣t Biết rằng SA^

(

ABCD SC

)

, hợp với mă ̣t phẳng chứa đáy

ABCD

mô ̣t góc 300

vàAB =a BC, =2a

a Tı́nh thể tı́ch khối chóp S ABCD ĐS: . 15

( )

đvtt

3 S ABCD

a

V =

b Tı́nh thể tı́ch khối chóp

S ABC

.

ĐS:

( )

đvtt

3

15 S ABC

a

V =

c Gọi O giao điểm AC BD Tı́nh khoảng cách từ điểm O đến mp SCD

(

)

ĐS: ,( ) 1140

(

đvđd

)

60 O SCD

a dé ù

ê ú

DẠNG 2: HÌNH CHĨP CĨ MỘT MẶT VNG GĨC VỚI ĐÁY

Chú ý:

-

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

P Q

P Q a

b Q

b P

b a

ìï ^

ïï

ïï Ç =

ï  ^

íï Ì ïï ï ^ ïïỵ

- Tam giác

BAC

cân tại

A

,

I

trung điểm BC 

AI

vừa đường cao vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác

ABC

D

- Tam giác

ABC

đều ,

G

là trọng tâm

D

ABC

, M N P, , lần lượt trung điểm cạnh BC AC AB, , Ta cần nhớ:

+

1

3

1

3

1

3

AG GM AM

BG GN BN

CG GP CP

ìïï = =

ïï ïï

ïï = =

íï ïï

ïï = =

ïïïỵ

+ AM BN CP, , vừa đường cao vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác

D

ABC

Bài 1. Cho hı̀nh chóp S ABCD có đáyABCDlà hı̀nh vuông ca ̣nh a Mă ̣t bên SAB là tam giác đều nằm mă ̣t phẳng vuông góc với mă ̣t phẳng đáy

(

ABCD

)

a Chứng minh rằng chân đường cao của khối chóp đã cho trùng với trung điểm của ca ̣nh AB

b Tı́nh thể tı́ch khối chóp S ABCD ĐS:

( )

đvtt

3

3 S ABCD

a

V =

c Tı́nh thể tı́ch khối chóp S BCD ĐS:

( )

đvtt

3

3 12 S BCD

a

V =

d Tı́nh khoảng cách từ D đến mp SBC

(

)

ĐS: ,( ) 3

(

đvđd

)

2 D SBC

a dé ù

ê ú

ë û =

Bài 2. Cho hı̀nh chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hı̀nh chữ nhâ ̣t Mă ̣t bên

SAB

là tam giác đều ca ̣nh là

a

và nằm mă ̣t phẳng vuông góc vớimp ABCD

(

)

Cạnh bên SC hợp với mp ABCD

(

)

mô ̣t góc bằng 300

a Tı́nh thể tı́ch khối chópS ABCD đã cho ĐS:

3

30 12 S ABCD

a

V =

b Tı́nh khoảng cách điểm C đến mp SAD

(

)

ĐS: ,( ) 3

(

đvđd

)

2 C SAD

a dé ù

ê ú

ë û

=

c Tı́nh khoảng cách điểm B đến mp SAC

(

)

ĐS: ,( ) 390

(

đvđd

)

13 B SAC

a dé ù

ê ú

ë û

=

Bài 3. Cho hı̀nh chóp

S ABC

.

có BAC =90 ,0 ABC =30 ,0 DSBC

là tam giác đều ca ̣nh

a

và

(

)

(

)

mp SAB ^mp ABC

a Tı́nh thể tı́ch khối chóp

S ABC

.

ĐS:

( )

đvtt

3

39 96 S ABC

a

V =

b Tính khoảng cách từ

B

đến mp SAC

(

)

ĐS: ,( ) 39

(

đvđd

)

8 B SAC

a déê ùú

ë û =

c Gọi Glà trọng tâm DSBC Tı́nh khoảng cách điểm G đến mp SAC

(

)

a Gọi

H

trung điểm

AC

Chứng minh SH ^

(

ABC

)

b Tı́nh thể tı́ch khối chóp

S ABC

.

ĐS:

( )

đvtt

3

12

S ABC a

V =

c Tính khoảng cách từ

H

đến mp SBC

(

)

ĐS: ,( ) 2

(

đvđd

)

4 H SBC

a dé ù

ê ú

ë û

=

Bài 5. Cho hı̀nh chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hı̀nh vuông ca ̣nh

a

,mp SAB

(

)

^mp ABCD

(

)

,

SA

=

SB

, góc giữa đường thẳng

SC

và mă ̣t phẳng đáy bằng 450

a Tı́nh theo

a

thể tı́ch của khối chóp

S ABCD

.

ĐS:

( )

đvtt

3

5 S ABCD

a

V =

b Tính khoảng cách từ

D

đến mp SBC

(

)

ĐS: ,( ) 30

(

đvđd

)

6 D SBC

a déê ùú

ë û

=

c Gọi

G

là trọng tâm

D

SAB

Tı́nh khoảng cách điểm

G

đến mp SCD

(

)

ĐS: ,( ) G SCD

a déê ùú

ë û =

Bài 6. Cho hı̀nh chóp S ABCD có đáy ABCD là hı̀nh vuông ca ̣nh a,mp SAC

(

)

^mp ABCD

(

)

, DSAC , vuông cân

S

a Tı́nh theo

a

thể tı́ch của khối chóp

S ABCD

.

ĐS: . 2

( )

đvtt

6 S ABCD

a

V =

b Tı́nh theo

a

thể tı́ch của khối chóp

S BCD

.

ĐS:

( )

đvtt

3

2 12 S BCD

a

V =

b Tính khoảng cách từ

B

đến mp SAD

(

)

ĐS: ,( ) 6

(

đvđd

)

12 B SAD

a dé ù

ê ú

ë û

=

DẠNG 3: HÌNH CHĨP CĨ HAI MẶT VNG GĨC VỚI ĐÁY

Chú ý:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

Q P

R P a P

Q R a

üï

^ ïï

ïï

^ ýï ^

ùù

ầ = ùùỵ

Bi 1. Cho hnh chóp S ABC có SA=AB=AC =BC =a Hai mp SAB( ) và mp SAC( ) cùng vuông góc với ( )

mp SBC

a Tı́nh thể tı́ch của hı̀nh chóp S ABC ĐS:

( )

đvtt

3

3 12 S ABC

a

V =

b Tính góc đường thẳng SB mp ABC( ) ĐS: SB ABC,

(

)

=450

c Tính khoảng cách từ

A

đến mp SBC

(

)

ĐS: ,( ) 15

(

đvđd

)

5 A SBC

a dé ù

ê ú

ë û

=

Bài 2. Cho hình chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hình chữ nhật cóAB=a BC, =2a Hai mp SAB

(

)

(

)

mp SAD cùng vng góc với mă ̣t phẳng đáy, cạnh

SC

hợp với đáy góc 600

a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a ĐS:

( )

đvtt

3

2 15 ABCD

a

V =

b Gọi

{ }

O =AC ÇBD Tính thể tích khối chóp S OBC theo a ĐS: đvtt

( )

3

15 S OBC

a

V =

c Tính khoảng cách từ O đến mp SCD

(

)

ĐS: ,( ) 60

(

đvđd

)

2 19 O SCD

a dé ù

ê ú

Bài 3. Cho hı̀nh chóp

S ABC

.

có đáy

ABC

là tam giác vuông cân ta ̣i

A

Hai mă ̣t phẳng

(

SAB

)

và

(

SAC

)

cùng vuông góc với mă ̣t phẳng đáy

(

ABC

)

, cho BC =a 2, mă ̣t bên

(

SBC

)

ta ̣i với đáy

(

ABC

)

mô ̣t góc

60

0

a Tı́nh thể tı́ch của khối chóp S ABC

b Tı́nh khoảng cách từ điểm

A

đến mă ̣t phẳng

(

SBC

)

c Trên cạnh AB lấy điểm D cho:

3

AD = AB Tı́nh khoảng cách từ điểm D đến mă ̣t phẳng

(

SAC

)

Bài 4. Cho hı̀nh chóp S ABCD có đáyABCD là hı̀nh vuông ca ̣nh a, hai mă ̣t bên

(

SAB

)

và

(

SAD

)

cùng vuông góc với

(

ABCD

)

Cho SB =3a Go ̣i M là trung điểm của CD

a Tı́nh thể tı́ch của khối chóp

S ABCM

.

b Tı́nh khoảng cách điểm M đến mp SBC

(

)

Bài 5. Cho hı̀nh chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hı̀nh chữ nhâ ̣t, các mă ̣t bên

(

SAB

)

và

(

SAD

)

cùng vuông góc với mă ̣t đáy

(

ABCD

)

, choAB=a AD, =2 ,a SC ta ̣o với mă ̣t đáy

(

ABCD

)

mô ̣t góc 450

a Tı́nh thể tı́ch của khối chóp S ABCD theo a

b Gọi

H

hình chiếu

A

cạnh

BD

Tính thể tı́ch của khối chóp

S AHCD

.

theo

a

c Tı́nh khoảng cách điểm C đến mp SAH

(

)

d Tı́nh khoảng cách đường thẳng

SB

và

AH

Bài 6. Cho hı̀nh chóp

S ABCD

.

có đáy

ABCD

là hı̀nh thoi cạnh

a

, BAD =1200 Biết mặt bên

(

SAB

)

(

SAD

)

vng góc với mặt đáy

(

ABCD

)

Cạnh bên SC tạo với đáy góc 600

a Tı́nh thể tı́ch khối chóp

S ABCD

.

ĐS:

( )

đvtt

3

2

S ABCD a

V =

b Tı́nh thể tı́ch khối chóp S BCD ĐS:

( )

đvtt

3

4

S BCD a

V =

c Tính khoảng cách từ

C

đến mp SAB

(

)

ĐS: ,( ) 3

(

đvđd

)

2 C SAB

a dé ù

ê ú

ë û =

DẠNG 4: HÌNH CHĨP ĐỀU

Định nghĩa:

+

đ

áy

đ

a giác

đề

u (tam giác

đề

u, hình vng, ng

ũ

giác

đề

u )

+ m

ặ

t bên tam giác cân t

ạ

i

đỉ

nh c

ủ

a hình chóp

+

đườ

ng cao

đườ

ng h

ạ

t

ừ

đỉ

nh

đế

n tâm c

ủ

a

đ

a giác

đề

u

+ c

ạ

nh bên t

ạ

o v

ớ

i

đ

áy góc

đề

u b

ằ

ng

+ m

ặ

t bên t

ạ

o v

ớ

i

đ

áy góc

đề

u b

ằ

ng

Chú ý:

+ T

ứ

di

ệ

n

đề

u hình chóp tam giác

đề

u có c

ạ

nh

đ

áy b

ằ

ng c

ạ

nh bên

+ Hình chóp

đề

u khác v

ớ

i hình chóp có

đ

áy

đ

a giác

đề

u (hình chóp có

đ

áy t

ứ

giác

đề

u hình

chóp ch

ỉ

có

đ

áy

đ

a giác

đề

u )

Bài 1. Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 2a, góc mặt bên mặt đáy 600 Gọi G trọng tâm tam giác

D

SAC

a Tính thể tích hình chóp

S ABCD

.

ĐS:

( )

đvtt

3

4 3 S ABCD

a

V =

b Tính khoảng cách từ

A

đến mp SBC

(

)

ĐS: déA SBC,( )ù a 3

(

đvđd

)

ê ú

ë û

c Tính khoảng cách từ Gđến mp SAB

(

)

ĐS: ,( ) 3

(

đvđd

)

3 G SAB

a dé ù

ê ú

ë û

=

Bài 2. Cho khối chóp tứ giác đều

S ABCD

.

Mô ̣t mă ̣t phẳng

( )

P quaA B, và trung điểm

M

của

SC

Tı́nh tı̉ số thể tı́ch của hai phần khối chóp bi ̣ phân chia bởi mă ̣t phẳng đó ĐS:

5 S ABMN ABCDNM V

V =

Bài 3. Cho tứ diê ̣n đều ABCDcó ca ̣nh a Lấy các điểm B C', ' AB và AC cho ' , a

AB = '

3 a AC =

a Tı́nh thể tı́ch khối tứ diê ̣n AB C D' ' ĐS:

( )

đvtt

3 ' '

2 36 AB C D

a

V =

b Tı́nh khoảng cách từ

B

'

đến mp ACD

(

)

ĐS: ';  6



đvđd



B ACD a d 

  

Bài 4. Cho khối tứ diê ̣n đều ABCD ca ̣nh bằng a Go ̣iM là trung điểm của ca ̣nhDC

a Tı́nh thể tı́ch khối tứ diê ̣n đều ABCD ` ĐS:

( )

đvtt

3 2

12 ABCD

a

V =

b Tı́nh khoảng cách từ M đến mp ABC

(

)

Suy thể tı́ch hı̀nh chópM ABC ĐS:

3

2 24 M ABC

a

V =

Bài 5. Cho khối chóp tam giác đều

S ABC

.

biết ca ̣nh đáy bằng

a

, ca ̣nh bên bằng

2

a

a Tı́nh thể tı́ch khối chóp

S ABC

.

ĐS:

( )

đvtt

3

11 S ABC

a

V =

b Trên cạnh

AC

lấy điểm

E

cho:

AE = AC Tı́nh khoảng cách từ

E

đến

mp SBC

(

)

Bài 6. Cho khối chóp tam giác đều S ABC biết ca ̣nh đáy bằng a, mă ̣t bên hợp với đáy mô ̣t góc 600. Trên cạnh SB

lấy điểm E cho: SE

SB = , cạnh SC lấy điểm F cho:

2 SF SC =

a Tı́nh thể tı́ch khối chóp S ABC ĐS:

( )

đvtt

3

3 24 S ABC

a

V =

b Tı́nh thể tı́ch khối chóp

S AEF

.

Bài 7. Cho hı̀nh chóp tứ giác đều

S ABCD

.

có ca ̣nh đáy bằng

a

, góc giữa mă ̣t bên và mă ̣t đáy bằng 600 a Tı́nh thể tı́ch của khối chóp S ABCD theo a

b Gọi

O

tâm đáy

ABCD

Tı́nh thể tı́ch của khối tứ diện

SOAB

c Tı́nh khoảng cách từ điểm

A

đến mp SBC

(

)

Bài 8. Cho hı̀nh chóp tứ giác đều

S ABCD

.

có ca ̣nh đáy bằng

a

và BSA =600

a Tı́nh diện tích xung quanh của hı̀nh chóp đều này ĐS:

(

đvdt

)

2 3

3 a

S =

b Tı́nh thể tı́ch của khối chóp

S ABCD

.

ĐS:

( )

đvtt

3

2 S ABCD

a

V =

Bài 9. Cho hı̀nh chóp tứ giác đều S ABCD có ca ̣nh đáy bằng avà ca ̣nh bên hợp với đáy mô ̣t góc 600 a Tı́nh diện tích tồn phần của hı̀nh chóp đều này ĐS: 2

(

10 1

)

(

đvdt

)

tp

S =a +

b Tı́nh thể tı́ch của khối chóp

S ABCD

.

ĐS:

( )

đvtt

3

6 S ABCD

a

CHỦ ĐỀ 2: THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ

DẠNG 1: LĂNG TRỤ ĐỨNG

HÌNH LĂNG TRỤ HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG

+ mặt đáy đa giác song song + cạnh bên song song + mặt bên hình bình hành

+ Chiều cao khoảng cách mặt đáy

Hình hộp:là hình lăng trụ có đáy hình bình hành

+ mặt đáy đa giác song song + cạnh bên song song

+ mặt bên hình bình chữ nhật vng góc với mặt đáy

+ Chiều cao cạnh bên

Hình hộp chữ nhật :là hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật

Hình lập phương: là hình lăng trụ đứng có mặt hình vng.

Chú ý: + Hình lăng trụ tam giác đều hình lăng trụ đứng có đáy tam giác + Hình lăng trụ có đáy tam giác đều hình lăng trụ xiên có đáy tam giác + Hình lăng trụ tứ giác đều hình lăng trụ đứng có đáy hình vng

Bài 1. Cho hı̀nh lăng trụ đứng ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác đều Biết ca ̣nh bên AA'=a Tı́nh thể tich khối lăng tru ̣ các trường hợp sau:

a mp A BC

(

'

)

hợp với đáy mă ̣t phẳng chứa đáy

ABC

mô ̣t góc 600 ĐS:

( )

đvtt ' ' '

ABC A B C

V =a

b Đường thẳng

A B

'

hợp vớimp ABC

(

)

mô ̣t góc 450 ĐS:

( )

đvtt ' ' '

3 ABC A B C

a

V =

c Chiều cao kẻ từA'của DA BC' bằng đô ̣ dài ca ̣nh đáy của lăng trụ ĐS:

( )

đvtt

' ' '

ABC A B C

V =a

Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng

ABC A B C

' ' '

có đáy

ABC

là tam giác vng A AC, =a ACB, =600 Đường

chéo

BC

'

của mặt bên

(

BC C C' '

)

tạo với mặt phẳng mp AA C C

(

' '

)

góc 300

a Tính thể tích khối lăng trụ theo

a

ĐS:

( )

đvtt

' ' '

ABC A B C

V =a

b Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ.

ĐS: 2 3

(

3

)

2

(

đvdt

)

xq

S = + a

Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vng B BC, =a, mp A BC

(

'

)

tạo với đáy góc 300 DA BC' có diện tích a2 3

a Tính thể tích khối lăng trụ

ABC A B C

' ' '

ĐS:

( )

đvtt

3 ' ' '

3 ABC A B C

a

V =

b Tính diện tích tồn phần hình lăng trụ ĐS:

(

3 4 3 30

)

2

(

đvdt

)

tp

S = + + a

Bài 4. Cho hı̀nh lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' 'có ca ̣nh đáy bằng a Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng ABvà A C' bằng 15

5 a

a Tı́nh thể tı́ch khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' ĐS:

( )

đvtt

3 ' ' '

3 ABC A B C

a

V =

b Tı́nh thể tı́ch khối đa diện A BCB C' ' ' c Tı́nh khoảng cách từ

A

đến

mp A BC

(

'

)

Bài 5. Cho lăng tru ̣ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều ca ̣nh a Biết rằng AB' hợp với mă ̣t bên

(

BCC B

' '

)

mô ̣t góc

30

0

a Tı́nh đô ̣ dài đoa ̣n thẳng

AB

'

ĐS: AB'=a 3

(

đvđd

)

b Tı́nh thể tı́ch khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' ĐS:

( )

đvtt

3 ' ' '

3 ABC A B C

a

V =

c Tı́nh khoảng cách từ C đến mp AB C

(

' '

)

Bài 6. Cho lăng tru ̣ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông ta ̣iA Biết AB=a ACB; =600

và đường thẳng

BC

'

hợp với mă ̣t bên

(

AA C C' '

)

mô ̣t góc 300

a Thể tı́ch khối lăng trụ

ABC A B C

' ' '

ĐS:

( )

đvtt

' ' '

ABC A B C

V =a

b Tı́nh diê ̣n tı́ch tam giácABC' ĐS:

(

đvdt

)

2 '

3 ABC

a

SD =

Bài 7. Cho hı̀nh lăng trụ đứngABC A B C ' ' 'có đáyABClà tam giác vuông ta ̣iB AB, =a AA, '=2a, A C' =3a Go ̣i

M

là trung điểm đoa ̣n thẳng

A C

' '

và

I

là giao điểm của

AM

và

A C

'

a Tı́nh thể tı́ch của khối tứ diê ̣n

IABC

ĐS:

( )

đvtt

3

4 IABC

a

V =

b Tı́nh khoảng cách từ

A

đến mp IBC

(

)

theo

a

ĐS: ( ,( )) 5

(

đvđd

)

5 A IBC

a

d =

Bài 8. Cho hı̀nh lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông cân ta ̣i B;AC =2a Biết rằng

(

'

)

mp A BC hơ ̣p với mp ABC

(

)

mô ̣t góc 450

a Tı́nh thể tı́ch khối lăng trụ

ABC A B C

' ' '

ĐS:

( )

đvtt

' ' '

ABC A B C

V =a

b Tính diện tích tồn phần hình lăng trụ

Bài 9. Cho lăng tru ̣ đứng ABC A B C ' ' 'có đáy ABClà tam giác vuông ta ̣i A, góc ACB =30 ,0 AA'=3a,

2

AC

=

a

a Tı́nh thể tı́ch khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' b Tı́nh thể tı́ch khới chóp

A BCC B

'

' '

c Mă ̣t phẳng

(

A BC'

)

chia khối lăng tru ̣

ABC A B C

' ' '

thành hai khối đa diê ̣n Tı́nh thể tı́ch của mỗi khối đa diê ̣n Bài 10.Cho lăng tru ̣ đứng có đáy là tam giác đều, biết rằng tất cả các ca ̣nh của lăng tru ̣ bằng a

a Tı́nh thể tı́ch và tổng diê ̣n tı́ch các mă ̣t bên của lăng trụ ĐS:

3

2

3

;

4 xq a

V = S = a

b Tı́nh thể tı́ch khối tứ diện ABCB'

DẠNG 2: HÌNH LĂNG TRỤ XIÊN

Bài 1. Cho hı̀nh lăng tru ̣ tam giác ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác đều với tâm O Cạnh bên CC'=a và hợp với mă ̣t phẳng chứa đáy ABC mô ̣t góc 600 Hı̀nh chiếu của điểm C'lên mp ABC

(

)

trùng với O

a Chứng minh rằng:

AA B B

' '

là hı̀nh chữ nhâ ̣t Tı́nh diê ̣n tı́ch hı̀nh chữ nhâ ̣t này ĐS:

2 3

2 a

S =

b Chứng minh hình chóp

O A B C

' ' '

hình chóp tam giác

c Tı́nh thể tı́ch khối lăng trụ

ABC A B C

' ' '

này ĐS:

3

3 a

Bài 2. Cho hình lăng trụ

ABC A B C

' ' '

có đáy

ABC

là tam giác cạnh bằng

a

Điểm

H

hình chiếu vng góc

A

'

xuống mp ABC

(

)

trung điểm

AB

Mặt bên

(

AA C C' '

)

tạo với đáy góc

45



a Tính thể tích khối lăng trụ ĐS:

( )

đvtt

3 ' ' '

3 16 ABC A B C

a

V =

b Tính khoảng cách từ điểm C' đến mp AHA



'



ĐS: ',( ') 3

(

đvđd

)

2 C AHA

a dé ù

ê ú

ë û

=

Bài 3. Cho hı̀nh lăng trụ tam giác

ABC A B C

' ' '

có đáy

ABC

là tam giác đều ca ̣nh

a

Biết ca ̣nh bên bằng a 3 và nó hợp với mă ̣t phẳng chứa đáy ABC mô ̣t góc 600

a Tı́nh thể tı́ch khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' ĐS: ' ' ' 3 3

( )

đvtt

8 ABC A B C

a

V =

b Tính khoảng cách từ điểm A đến mp A BC



'



ĐS: ,( ' ) 15

(

đvđd

)

5 A A BC

a dé ù

ê ú

ë û

=

Bài 4. Cho hı̀nh lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' 'có đáy ABC là tam giác đều ca ̣nh a Hı̀nh chiếu của điểm A'

(

)

mp ABC trùng với trọng tâm G của DABC Biết cạnh bên AA'=a a Tı́nh thể tı́ch khối lăng trụ

ABC A B C

' ' '

b Tı́nh thể tı́ch khối chóp G A B C ' ' '

Bài 5. Cho hı̀nh lăng trụ tam giác

ABC A B C

' ' '

có đáy

ABC

là tam giác đều ca ̣nh

a

Hı̀nh chiếu của điểm

A

'

xuống

(

)

mp ABC

trùng với tâm

O

của đường tròn ngoa ̣i tiếp

D

ABC

và biết rằng đường thẳng

AA

'

ta ̣o với mă ̣t phẳng chứa

đáy

ABC

mô ̣t góc 450

.Tı́nh thể tı́ch khối lăng trụ

ABC A B C

' ' '

đã cho

CHỦ ĐỀ 3: MỘT SỐ BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Tính thể tích V khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết

AB



2

a

A.

V



2 2

a

3 B.

V



2

a

3 C.V 2a3 D 2

3

V  a Câu 2. Tính thể tích V khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết

BB

' 2



m

A.V 8m3 B V 2m3 C

3

V  m D V 6m3

Câu 3. Hỏi cạnh khối lập phương tăng lên lần, lúc thể tích khối lập phương tăng lên lần?

A.125 lần. B. 15 lần C. 25 lần D 5 lần

Câu 4. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông A, AB 

a

2

AC =a 5.Tính độ dài đường sinh

l

hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB

A.l 7a B. l 10a C. l 3a D.

l



7

a

Câu 5. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông B, AB 

a

2

BC =a 6.Tính độ dài đường sinh

l

hình nón, nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB

A

l



2

a

B.

l



2 2

a

C.

l



4

a

D. l 3a

Câu 6. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB  1m AD  2m Gọi M, N trung điểm AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN, ta hình trụ Tính diện tích tồn phần Stp hình trụ A Stp 2m2 B. Stpm2 C. Stp 6m2 D. Stp 10m2

Câu 7. Trong không gian, cho khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo cạnh AB  1m, AD  2m AA’=3m Tính thể tích V khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

Câu 8. Cho khối chóp S.ABCD có SA(ABCD),

SC



2

a

ABCD hình vng cạnh

a

Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD

A.

R a



B.

R



2

a

C.

R



2

a

D.

2

R a

Câu 9. Trong khơng gian, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo cạnh AB  1m, AD  2m AA’=3m Tính diện tích tồn phần Stp hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

A Stp 22m2 B. Stp 6m2 C. Stp 2m2 D. Stp 11m2 Câu 10. Tính diện tích tồn phần Stp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết

AB



2

a

A.

S

tp



12

a

3 B.

S

tp



64

a

3 C.

S

tp



2

a

3 D

S

tp



8

a

3

Câu 11. Tính diện tích tồn phần Stp hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết

AA

' 2



m

A.

S

tp



24

m

3 B.

S

tp



64

m

3 C.

S

tp



12

m

3 D

S

tp



8

m

3

Câu 12. Cho khối chóp S.ABCD có SA(ABCD),

SC



2

a

ABCD hình vng cạnh

a

Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

A.

3

V 



a B.

3

V  a C.V 4



a3 D.V 4a3

Câu 13. Cho khối chóp S.ABCD có SA(ABCD),

SA



2

a

ABCD hình vng cạnh

a

Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD

A.

R



2

a

B.

R a



C.

R



2

a

D.

2

R a

Câu 14. Tính thể tích V khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết

AC



2

a

A.

V



2

a

3 B.

V



2 2

a

3 C.V 2a3 D 2

3

V  a Câu 15. Tính thể tích V khối lập phương ABCD.A’B’C’D’, biết

BC

' 2



m

A

V



2 2

m

3 B.V 8m3 C

3

V  m D

V



6 2

m

3

Câu 16. Hỏi thể tích khối lập phương tăng lên lần, lúc cạnh khối lập phương tăng lên lần?

A 8 lần. B.2 lần. C. lần D 24 lần

Câu 17. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông A, AC 

a

2

AB =a 5.Tính thể tích V khối nón nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB

A

3

V  a B.

3

V 



a C V 2 5



a3 D 10

3

V  a

Câu 18. Trong không gian, cho tam giác ABC vuông B, AB 

3

m

BC =

2

m

Tính thể tích V khối nón nhận quay tam giác ABC xung quanh trục AB

A V 12m3 B.V 12



m3 C V 6m3 D V 2



m3

Câu 19. Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB  1m AC  3m Gọi M, N trung điểm AD BC Quay hình chữ nhật xung quanh trục MN, ta hình trụ Tính diện tích tồn phần Stp hình trụ A.Stp 2m2 B Stp 3m2 C. Stp 3m2 D. Stp

3



m2

A.V 2m3 B V 6m3 C.V m3 D V 12m3

Câu 21. Cho khối chóp S.ABCD có SA(ABCD),

SA



2

a

ABCD hình vng cạnh

a

Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD

A.

R



2

a

B

R a



C.

R



2

a

D.

2

R a

Câu 22. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có ABCD hình vng cạnh

2

a

Góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABCD) 600 Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD

A.

R



2

a

B.

R a



C

3

R a D.

2

R a

Câu 23. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có ABCD hình vng cạnh

2

a

Góc đường thẳng SA mặt phẳng (SBD) 300 Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD

A.

R



2

a

B.

3

R a C

3

R a D.

2

R a

Câu 24. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có ABCD hình vng cạnh

2

a

Góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABCD) 600 Tính thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

A 3

9

V 



a B. 3

9

V 



a C 32 3

27

V 



a D 3

9

V 



a

Câu 25. Trong không gian, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo cạnh AB  1m, AC  5m AA’=3m Tính thể tích V khối chóp D.A’B’C’D’

A V 3 5m3 B V 6m3 C V 2m3 D V  5m3

Câu 26. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh

1

m

, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy góc đường thẳng SB mặt phẳng (ABCD) 600 Tính diện tích tồn phần S

tp mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

A.Stp 5m2 B.Stp 3m2 C Stp

5

m2 D. Stp 1m2

Câu 27. Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác vng cân B, cạnh AB = 6a có SA(ABC),

SB



10

a

Tính diện tích tồn phần Stp mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC

A. Stp

544

a2 B. Stp

60

a2 C. Stp

136

a2 D. Stp 30a2

Câu 28. Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác cạnh 2a Hình chiếu vng góc S (ABC) điểm H thuộc cạnh BC cho HC = HB.Góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABC) 600 Tính diện tích tồn phần S

tp khối nón nhận quay tam giác SHA xung quanh trục SH

A. Stp

6



a2 B. Stp 9a2 C. Stpa2 D. Stp 9a2

Câu 29. Trong khơng gian, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có số đo cạnh AB  1m, AC  5m Góc mặt (A’BC) mặt phẳng (ABCD) 600 Tính thể tích V khối chóp D.A’B’C’D’

A

3

V  m B V 2 5m3 C V 2 3m3 D 3

3

V  m

Câu 30. Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác cạnh 2m Hình chiếu vng góc S (ABC) điểm H thuộc cạnh BC cho HC = HB.Góc đường thẳng SA mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích V khối nón nhận quay tam giác SHB xung quanh trục SH

A V  3m3 B 3

3