BÀI TẬP HHGT TRONG MẶT PHẲNG

Chủ đề 11: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong của góc A nằm trên đường thẳng x + 2y – 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Giải: Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương trình: ( ) 4 3 4 0 2 2;4 2 6 0 4 x y x A x y y + − = = −   ⇔ ⇒ −   + − = =   Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương trình ( ) 4 3 4 0 1 1;0 1 0 0 x y x B x y y + − = =   ⇔ ⇒   − − = =   Đường thẳng AC đi qua điểm A(-2;4) nên phương trình có dạng: ( ) ( ) 2 4 0 2 4 0a x b y ax by a b+ + − = ⇔ + + − = Gọi 1 2 3 : 4 3 4 0; : 2 6 0; : 2 4 0x y x y ax by a b∆ + − = ∆ + − = ∆ + + − = Từ giả thiết suy ra ( ) · ( ) · 2 3 1 2 ; ;∆ ∆ = ∆ ∆ . Do đó ( ) · ( ) · ( ) 2 3 1 2 2 2 2 2 |1. 2. | | 4.1 2.3| cos ; cos ; 25. 5 5. 0 | 2 | 2 3 4 0 3 4 0 a b a b a a b a b a a b a b + + ∆ ∆ = ∆ ∆ ⇔ = + =  ⇔ + = + ⇔ − = ⇔  − =  + a = 0 0b⇒ ≠ . Do đó 3 : 4 0y∆ − = + 3a – 4b = 0: Có thể cho a = 4 thì b = 3. Suy ra 3 : 4 3 4 0x y∆ + − = (trùng với 1 ∆ ). Do vậy, phương trình của đường thẳng AC là y - 4 = 0. Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương trình: ( ) 4 0 5 5;4 1 0 4 y x C x y y − = =   ⇔ ⇒   − − = =   2. Trong mỈt ph¼ng víi hƯ trơc Oxy cho parabol (P): xxy 2 2 −= vµ elip (E): 1 9 2 2 =+ y x . Chøng minh r»ng (P) giao (E) t¹i 4 ®iĨm ph©n biƯt cïng n»m trªn mét ®êng trßn. ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn ®i qua 4 ®iĨm ®ã. Giải: Hoµnh ®é giao ®iĨm cđa (E) vµ (P) lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh 09x37x36x91)x2x( 9 x 23422 2 =−+−⇔=−+ (*) XÐt 9x37x36x9)x(f 234 −+−= , f(x) liªn tơc trªn R cã f(-1)f(0) < 0, f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < 0 suy ra (*) cã 4 nghiƯm ph©n biƯt, do ®ã (E) c¾t (P) t¹i 4 ®iĨm ph©n biƯt To¹ ®é c¸c giao ®iĨm cđa (E) vµ (P) tháa m·n hƯ      =+ −= 1y 9 x x2xy 2 2 2 09y8x16y9x9 9y9x y8x16x8 22 22 2 =+ =+ = (**) (**) là phơng trình của đờng tròn có tâm = 9 4 ; 9 8 I , bán kính R = 9 161 Do đó 4 giao điểm của (E) và (P) cùng nằm trên đờng tròn có phơng trình (**) 3. Cho im A(-1 ;0), B(1 ;2) v ng thng (d): x - y - 1 = 0. Lp phng trỡnh ng trũn i qua 2 im A, B v tip xỳc vi ng thng (d). Giaỷi : Gi s phng trỡnh cn tỡm l (x-a) 2 + (x-b) 2 = R 2 Vỡ ng trũn i qua A, B v tip xỳc vi d nờn ta cú h phng trỡnh 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (2 ) ( 1) 2 a b R a y R a b R + + = + = = 2 0 1 2 a b R = = = Vy ng trũn cn tỡm l: x 2 + (y - 1) 2 = 2 4. Trong mt phng Oxy cho tam giỏc ABC cú trng tõm G(2, 0) bit phng trỡnh cỏc cnh AB, AC theo th t l 4x + y + 14 = 0; 02y5x2 =+ . Tỡm ta cỏc nh A, B, C. Giaỷi : Ta A l nghim ca h { { 4x y 14 0 x 4 2x 5y 2 0 y 2 + + = = + = = A(4, 2) Vỡ G(2, 0) l trng tõm ca ABC nờn =+ =+ ++= ++= 2yy 2xx yyyy3 xxxx3 CB CB CBAG CBAG (1) VỡB(x B , y B ) AB y B = 4x B 14 (2) C(x C , y C ) AC 5 2 5 x2 y C C += ( 3) Th (2) v (3) vo (1) ta cú == == =+ =+ 0y 1x 2y3x 2 5 2 5 x2 14x4 2xx CC BB C B CB Vy A(4, 2), B(3, 2), C(1, 0) 5. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho ng trũn (C): x 2 + y 2 - 2x - 2my + m 2 - 24 = 0 cú tõm I v ng thng : mx + 4y = 0. Tỡm m bit ng thng ct ng trũn (C) ti hai im phõn bit A,B tha món din tớch tam giỏc IAB bng 12. Giaỷi ng trũn (C) cú tõm I(1; m), bỏn kớnh R = 5. Gi H l trung im ca dõy cung AB. Ta cú IH l ng cao ca tam giỏc IAB. I A B H 5 IH = 2 2 | 4 | | 5 | ( , ) 16 16 m m m d I m m + = = + + 2 2 2 2 2 (5 ) 20 25 16 16 m AH IA IH m m = = = + + Din tớch tam giỏc IAB l 12 2 12S IAB IAH S = = 2 3 ( , ). 12 25 | | 3( 16) 16 3 m d I AH m m m = = = + = 6. Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú phng trỡnh cnh AB: x - y - 2 = 0, phng trỡnh cnh AC: x + 2y - 5 = 0. Bit trng tõm ca tam giỏc G(3; 2). Vit phng trỡnh cnh BC. Giaỷi Ta im A l nghim ca HPT: - - 2 0 2 - 5 0 x y x y = + = A(3; 1) Gi B(b; b- 2) AB, C(5- 2c; c) AC Do G l trng tõm ca tam giỏc ABC nờn 3 5 2 9 1 2 6 b c b c + + = + + = 5 2 b c = = . Hay B(5; 3), C(1; 2) Mt vect ch phng ca cnh BC l ( 4; 1)u BC= = r uuur . Phng trỡnh cnh BC l: x - 4y + 7 = 0 ng trũn (C) cú tõm I(1; m), bỏn kớnh R = 5. 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đờng tròn (C) có phơng trình : (x-1) 2 + (y+2) 2 = 9 và đờng thẳng d: x + y + m = 0. Tìm m để trên đờng thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông. Giaỷi Từ pt ct của đờng tròn ta có tâm I(1;-2), R = 3, từ A kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn và ACAB => tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3 23= IA = = == 7 5 6123 2 1 m m m m 8. Vit phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc ABC bit B(2; -1), ng cao v ng phõn giỏc trong qua nh A, C ln lt l : (d 1 ) : 3x 4y + 27 = 0 v (d 2 ) : x + 2y 5 = 0 Giaỷi: +) PT cạnh BC đi qua B(2 ; -1) và nhận VTCP ( ) 1 u 4;3= uur của (d 2 ) làm VTPT (BC) : 4( x- 2) + 3( y +1) = 0 hay 4x + 3y - 5 =0 +) Tọa độ điểm C là nghiệm của HPT : ( ) 4x 3y 5 0 x 1 C 1;3 x 2y 5 0 y 3 + = = = + = = +) Đờng thẳng đi qua B và vuông góc với (d 2 ) có VTPT là ( ) 2 u 2; 1= uur \ có PT : 2( x - 2) - ( y + 1) = 0 hay 2x - y - 5 = 0 +) Tọa độ giao điểm H của và (d 2 ) là nghiệm của HPT : ( ) 2x y 5 0 x 3 H 3;1 x 2y 5 0 y 1 = = = + = = +) Gọi B là điểm đối xứng với B qua (d 2 ) thì B thuộc AC và H là trung điểm của BB nên : ( ) B' H B B' H B x 2x x 4 B' 4;3 y 2y y 3 = = = = = +) Đờng thẳng AC đi qua C( -1 ; 3) và B(4 ; 3) nên có PT : y - 3 = 0 +) Tọa độ điểm A là nghiệm của HPT : y 3 0 x 5 A ( 5;3) 3x 4y 27 0 y 3 = = = + = = +) Đờng thẳng qua AB có VTCP ( ) AB 7; 4= uuur , nên có PT : 9. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ABC cú nh A(1;2), ng trung tuyn BM: 2 1 0x y+ + = v phõn giỏc trong CD: 1 0x y+ = . Vit phng trỡnh ng thng BC. Giaỷi: im ( ) : 1 0 ;1C CD x y C t t + = . Suy ra trung im M ca AC l 1 3 ; 2 2 t t M + ữ . ( ) 1 3 : 2 1 0 2 1 0 7 7;8 2 2 t t M BM x y t C + + + = + + = = ữ T A(1;2), k : 1 0AK CD x y + = ti I (im K BC ). Suy ra ( ) ( ) : 1 2 0 1 0AK x y x y = + = . Ta im I tha h: ( ) 1 0 0;1 1 0 x y I x y + = + = . Tam giỏc ACK cõn ti C nờn I l trung im ca AK x 2 y 1 4x 7y 1 0 7 4 + = + = ⇒ tọa độ của ( ) 1;0K − . Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: 1 4 3 4 0 7 1 8 x y x y + = ⇔ + + = − + 10. Trong mặt phẳng Oxy cho ABC ∆ có ( ) 0 5A ; . Các đường phân giác và trung tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là 1 2 1 0 2 0d : x y ,d : x y .− + = − = Viết phương trình ba cạnh 11. Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4. Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai đường chéo nằm trên đường thẳng y = x. Tìm tọa độ đỉnh C và D. 12. Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x 2 +y 2 -2x +6y -15=0 (C ). Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6 13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ,Oxy xét elíp )(E đi qua điểm )3;2( −−M và có phương trình một đường chuẩn là .08 =+x Viết phương trình chính tắc của ).(E 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1) 2 + (y + 1) 2 = 25 và điểm M(7; 3). Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua M cắt (C) tại A, B phân biệt 5. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) : 2 2 x y 2x 8y 8 0+ + − − = . Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d: 3x+y-2=0 và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng 6. 16. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) , cho điểm 1 3; 2 M    ÷   . Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm M và nhận ( ) 1 3;0F − làm tiêu điểm. 17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB: x - y - 2 = 0, phương trình cạnh AC: x + 2y - 5 = 0. Biết trọng tâm của tam giác G(3; 2). Viết phương trình cạnh BC. . TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0. Phân giác trong. = 6 13. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ,Oxy xét elíp )(E đi qua điểm )3;2( −−M và có phương trình một đường chuẩn là .08 =+x Viết phương trình chính tắc của ).(E 14. Trong mặt phẳng với. bằng 6. 16. Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) , cho điểm 1 3; 2 M    ÷   . Viết phương trình chính tắc của elip đi qua điểm M và nhận ( ) 1 3;0F − làm tiêu điểm. 17. Trong mặt phẳng với hệ