các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 9

c Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó... MATHVN.COM | www.MATHVN.comDẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT... b Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.. c Tìm hệ

Trang 1

MATHVN.COM | www.MATHVN.com

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

THEO TỪNG DẠNG

DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC

Bài 1: Cho biểu thức

P =

2 2 a a 1 2

1 a

1 2

1









 a) Rút gọn P

b) Tìm Min P

Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x

Tính giá trị biểu thức : P =

1

-xy

xy 2 y 2

Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q =

y x

y -x

 Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0

P =

3 x

3 x 2 x -1

2 x 3 3 x 2 x

11 x 15













a) Tìm các giá trị của x sao cho P =

2 1

b) Chứng minh P ≤

3 2

P =

a

2 a 2 a

1 a 2

a a

3 9a 3a

1 













a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên

P =

2

a

16 a

8 -1

4 -a 4 a 4 -a 4 a







a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên





























2 1 a

1 : a a

1 1

a a

Trang 2

MATHVN.COM | www.MATHVN.com b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2

c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0

P =



























2 x 2 x

1 x : x 4

8x x

2

x 4

a) Rút gọn P

b) Tính x để P = -1

c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x - 3)P > x + 1

P =





























xy

y x x xy

y y

xy

x :

y x

xy

-y x

a) Tìm x, y để P có nghĩa

b) Rút gọn P

c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3

P =

x

2007 x

1 x

1 4x x

1 x

1 -x 1 x

1 x

2



























a) Tìm x để P xác định

b) Rút gọn P

c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên

Bài 11: Rút gọn P

P =

2

2 2 4 2

2

2 2 2

2

2 2

b

b a a 4 : b a a

b a a b a a

b a





















Với | a | >| b | > 0

P =

2

x 1 1 x 2 x

2 x 1

x

2 x



























a) Rút gọn P

b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0

c) Tìm GTLN của P

Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức

P =

6 x 5 x

10 x 3

x 4 x

1 x 5 2 x 3 x

2x



 Không phụ thuộc vào biến số x

Bài 14: Chứng minh giá trị của biểu thức

P =

x

x x











5 2

5 4 9

3 4 7 3 2

4

6 3

Không phụ thuộc vào biến số x

Trang 3

1 x x

x x

1 x x

x













Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1

P =

1 x

) 1 2(x x

x 2x

1 x x

x

x2











a) Rút gọn P

b) Tìm GTNN của P

c) Tìm x để biểu thức Q =

P

x 2 nhận giá trị là số nguyên

P =

1 x 2

x 1

x 2x

1 x 1

x

x x 1

x x

x x x 2x

































a) Tìm x để P có nghĩa

b) Rút gọn P

c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó

Bài 18: Rút gọn biểu thức

P =

5 3 10

5 3 5

3 10

5 3









Bài 19: Rút gọn biểu thức

a) A = 4  7  4  7

b) B = 4 102 5  4 102 5

c) C = 4  15  4  15  2 3  5

Bài 20: Tính giá trị biểu thức

P = x247 2x 1  x43 2x1

Với 2

1 ≤ x ≤ 5

Bài 21: Chứng minh rằng:

P =

2 6

48 13

5 3 2







là một số nguyên

Bài 22: Chứng minh đẳng thức:

Trang 4

1 2

3 1 1

2

3 1

2

3 1 1

2

3 1







Bài 23: Cho x = 35 2735 27

Tính giá trị của biểu thức f(x) = x3 + 3x

y x

xy 1 y x

xy 1





Tính giá trị của E biết:

x = 4 8 2 2 2 2 2 2

y =

45 27

2 18 3

20 12

2 8 3









2008

2007 2

2008

2 2007 2

2007

Bài 26: Rút gọn biểu thức sau:

P =

5 1

1

 +

9 5

1

 + +

2005 2001

1



Bài 27: Tính giá rẹi của biểu thức:

P = x3 + y3- 3(x + y) + 2004 biết rằng

x = 332 2 332 2

y = 31712 2 31712 2































a a a a

a a

4 1

1 1

1

a) Rút gọn A

b) Tính A với a = (4 + 15)( 10 - 6) 4  15

Bài 29: Cho biểu thức



















1

1 1 1

4

1 4 1

4

x

x x

a) x = ? thì A có nghĩa

b) Rút gọn A

P =

x x

x

x x

x















1

1 1

1

1 1 1

1

1 1

a) Rút gọn P

b) So sánh P với

2 2

Trang 5

P =

1

2 1

3 1

1









x

a) Rút gọn P

b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1

P =

a

a a

a















3

1 2

2

3 6

5

9 2

a) Rút gọn P

b) a = ? thì P < 1

c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên

P =

x

x y

xy x

x

x y

xy

x







1 2

2

2 2

a) Rút gọn P

b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0

P =

x

x y

xy x

x

x y

xy

x







1 2

2

2 2

a) Rút gọn P

b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0

P =

y x xy

y y x x y x y x y x y

3 3

: 1 1 2

1 1































a) Rút gọn P

b) Cho xy = 16 Tìm Min P

Trang 6

DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT

Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a2 +3b2 = 10ab

Tính giá trị của biểu thức: P =

b a





Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x2 +2y2 = 5xy

Tính giá trị biểu thức E =

y x





Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0

CMR: a3 + b3 + c3 = 3abc

2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0

Tính giá trị biểu thức:

z

xy y

xz x

yz



 Bài 4: Cho a3 + b3 + c3 = 3abc Tính giá trị của biểu thức:









































a

c c

b b

a

1 1

1

Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:

(x + y + z)3 - x3 - y 3 -z3

b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x3 + y3 + z3 = 1

Tính giá trị của biểu thức: A = x2007+ y2007 + z2007

Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị của biểu thức:

P = a4 + b4 + c4

Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:

a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102

Tính giá trị của biểu thức P = a2007 + b2007

Bài 8: Cho  1

b

y a

x

và 2

ab

xy

3 3 3

b

y a

x

 Bài 9: Cho a + b + c = 0 Tính giá trị của biểu thức

c b a b c a a c

Bài 10: Cho

b a b

y a

x





4 4

; x2 + y2 = 1 Chứng minh rằng:

a) bx2 = ay2;

Trang 7

2008

1004

2008

) (

2

b a b

y a

x







Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì:

xz z yz

y xy

x      

1 1

1

= 1

Bài 12: Cho a + b + c = 0 Tính giá trị biểu thức:

A = (a – b)c3 + (c – a)b3 + (b – c)a3

Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau Tính giá trị của biểu thức:

P =

) )(

( ) )(

(

2 2

2

a c b c

c a

b c b

b c

a b a

a











Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc

Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều

Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:

a c c b b a b c a c

b a a

b c b

b c c

a b a

c b























) )(

( ) )(

(

Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p

Chứng minh rằng:

) )(

)(

(

1 1 1

1

c p b p a p p

abc p

c p b p a

Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1 Chứng minh :

3

) 2 ( 2 1

3











ab a

b b

a

Bài 18: Cho    1

c

z b

y a

x

và    0

z

c y

b x a

Tính giá trị biểu thức A = 2

2 2 2 2 2

c

z b

y a

x



Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và  0









c a c

b c b a

) ( ) ( )

c a

c

b c

b

a











Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)

b) x(y + z)2 + y(z + x)2 + z(x + y)2 – 4xyz

Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c Chứng minh rằng biểu thức

A = a4(b – c) + b4(c – a) + c4(a – b) luôn khác 0

Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd

Chứng minh: c = d

Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x2

Tính giá trị biểu thức: A =

y x





Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x2 – y2 = 2xy

Trang 8

MATHVN.COM | www.MATHVN.com Tính giá trị của phân thức A = 2 2

6

2

y xy x

xy





Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007

2 2 2

) ( ) ( ) (y z ac x z ab x y bc

cz by ax













Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008

Tính giá trị biểu thức:

P =

) )(

( ) )(

(

3 3

3

x z y z

z z

y x y

y z

x y x

x











Bài 27: Cho























1 1 1

3 3 3

2 2 2

z y x

Tính giá trị của biểu thức: P = x2007+ y2007+ z2007

Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác Tính giá trị của biểu thức:

 2 2

2 2

) ( ) (

) (

b c a c b a

c b a c b a











Bài 29: Cho biểu thức P = (b2 + c2 – a2)2 – 4b2c2

Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0

Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:























15 8 3

z x zx

z y yz

z y xy

Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z

Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:















1

3 3 3

2 2 2

z y x

Tính giá trị biểu thức P = xyz (Đề thi HSG tỉnh 2003)

Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P =

4 3 2

4 8 6 3 2



b) Tính giá trị biểu thức: Q =

y x





Biết x2 – 2y2 = xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0 (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)

Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì:

2(x5 + y5 + z5) = 5xyz(x2 + y2 + z2) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006) Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a2 = b2 + c2

a) So sánh a và b + c

b) So sánh a3 và b3 + c3 (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)

Bài 35: 1) Giải phương trình: x3 -6x – 40 = 0

Trang 9

MATHVN.COM | www.MATHVN.com 2) Tính A = 3 3

2 14 20 2

14

20    (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)

DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m

c) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thỏa mãn

điều kiện 2

1

x + 2

2

x  10

Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:

















ac bc ab a

c

2

0

2

Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac < 0

Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt

Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = 0 Tìm p, q biết rằng phương trình có hai

nghiệm x1, x2 thỏa mãn:















35

5

3 2 3 1

2 1

x x

Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình

(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm

Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b

Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác CMR phương trình sau có nghiệm:

(a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0

Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a 0) có nghiệm nếu 2   4

a

c a b

Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: 2

1

x - 2

2

x =

9 5

Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN

b) B = x12 + x22 - đạt GTNN

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1,x2 không phụ thuộc vào m

Bài 11: Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình bậc 2:

2

Trang 10

2 3 1

1 1

x

x 

Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2 3x + 1 = 0 Có hai nghiệm là x1,x2 Không giải phương trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:

A =

2 3 1 3 2 1

2 2 2 1 2 1

4 4

3 5

3

x x x x



Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)

1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a

2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:

x1

2 + x2 2 = 6

3) Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:

x1 < 1 < x2 Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)

a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình (1)

Tìm GTNN của M = x1

2 + x2 2 Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:

2

1 1 1





b a

CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:

x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0

Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)

a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m

b) Tìm m sao cho 10x1 x2 + x1

2 + x2 2 đạt GTNN Tìm GTNN đó

Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình

sau phải có nghiệm:

ax2 + 2bx + c = 0 (1)

bx2 + 2cx + a = 0 (2)

cx2 + 2ax + b = 0 (2)

Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1)

a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m

b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN

Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)

1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m

2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:

x1

2 + x2 2

 10

3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện:

E = x1

2 + x2

2 đạt GTNN

Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương

CMR: a2 + b2 là một hợp số

Trang 11

DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO

Giải phương trình:

Bài 1: x3 + 2x2 + 2 2x + 2 2

Bài 2: (x + 1)4 = 2(x4 + 1)

Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2

Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x

Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144

Bài 6: (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272

Bài 7: a) (x + 2)4 + (x + 1)4 = 33 + 12 2

b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0

b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0 c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0

Bài 9: a) x4 = 24x + 32

b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0 Bài 10: x 85  x 93  1

2 5 3

7 2

3

2







x x

Bài 12: x2 +

 2 12

4

2





x x

1

4 48 1

2 5 1

2

2 2

2









































x

x x

x

1

7 1

3

2



x x

b)

15 12

4 15

6

15 10

2 2

2















x x

x

x x

c)

4

1 5 6

5 5 5

4

5 3

2 2 2

2





















x x

x x x

x

x x

Bài 15: a) x2 +

 9 40

81

2





x x

Trang 12

MATHVN.COM | www.MATHVN.com b) x2 +

 12 15

2





x x

Bài 16: a)

9

40 2

1





























 

x

x x

x

1

4 2

5 1

2 1

2

2 2

2



































x

x x

x

1

8 1

8

















x

x x

Bài 17: x2 +

2

1











 

x

= 8( Đề thi HSG V1 2004) Bài 18: x 1  5x 1  3x 2

Bài 19: 3 x 1  3 7 x  2

Bài 20: x 2 x 1  x 2 x 1  2

Bài 21: 3x2 + 21x + 18 + 2 2 7 7 2





 x

x

Bài 22: a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1

b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 Bài 23: (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003)

Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3

b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 Bài 25: a) x3 - 6x + 4 = 0

b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 Bài 26: a) x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0

b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0

3 10 48

2



















x

x x

x

Bài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5ab

b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x3  1

( Đề thi HSG 1998)

5 3

14







x

x x

Bài 30: x4 - 4 3x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000)

2

4

2

4







x x

x

( Đề thi HSG V2 2003) Bài 32: a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0

b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0 Bài 33: (x + 3 x + 2)(x + 9 x +18) = 168x (Đề thi HSG 2005)

Bài 34: a) x2 + 4x + 5 = 2 2 x 3

b) 3 x3  8 = 2x2 - 6x + 4 c) 2 x 4  2

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	196,5 KB