skkn ti le thuc

Phòng gd& đt yên định Trờng tHCS yên tâm *** *** *** *** Phơng pháp giảI Một số bài toán về tỉ lệ thức hay và khó Ngời thực hiện: Lê xuân Phơng Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trờng thcs yên tâm Tháng 04 Năm 2010 a. phần mở đầu I. Lý do chọn đề tài: Trong nhiều năm gần đây, đa số các kỳ thi học sinh giỏi bậc THCS và các kỳ thi học sinh giỏi khối 7;8 đặc biệt là thi vào các trờng THPT chuyên cũng nh năng khiếu thờng gặp những bài toán về tỉ lệ thức đặc biệt là các bài toán về dãy tỉ số bằng nhau hay và khó. Các bài toán này gọi chung là các bài toán về tỉ lệ thức. Các bài toán này rất phong phú và đa dạng mang nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục t tởng qua môn toán: Đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, trong một bài toán để dần dần hình thành cho học sinh thói quen đi tìm giải pháp tối u cho một công việc nào đó trong cuộc sống sau này. Loại bài toán này đa dạng nh vậy và nhiều bài toán học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong việc phân tích để tìm ra lời giải . Nhng trong các tài liệu tham khảo chi mới dành một phần nhỏ để nói về vấn đề này hoặc viêt rời rạc và các bài toán đa số là các bài khá đơn giản, rất ít bài nhằm phát huy t duy ở học sinh. Vì vậy qua nhiều năm ôn học sinh giỏi, qua thực tế giảng dạy bản thân đã đọc tham khảo nhiều sách tài liệu về toán tôi rút ra đợc một số dạng bài tập về tỉ lệ thức hay vá khó, và phơng pháp để giải các dạng bài toán đó nhằm góp thêm tài liệu cho đồng nghiệp tham khảo trong việc bồi dỡng học sinh giỏi toán khối THCS. 1. ý nghĩa của đề tài : Các bài toán về tỉ lệ thức và phơng pháp giải có ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh : + Rèn luyện phơng pháp phân tích bài toán trớc khi bắt tay vào giải bài toán đó. + Rèn luyện kĩ năng giảI toán tỉ lệ thức. + Là vốn kiến thức cần thiết cho Học Sinh (HS) khi thi HS giỏi các cấp. + Là hành trang để các em thi vào THPT chuyên và không chuyên. + Là cơ sở vững chắc và vốn hiểu biết để các em ôn thi đại học sau này + Góp phần không nhỏ vào việc rèn luyện và phát triển t duy ở học sinh. Với ý nghĩa và tác dụng nh vậy, việc hớng dẫn học sinh tiếp cận và vận dụng các phơng pháp giải các bài toán tỉ lê thức là vấn đề quan trọng. 2. Phạm vi đề tài : Trong chơng trình toán THCS lợng kiến thức và chủ đề toán tơng đối rộng song ở đây tôi tập trung trình bày một số bài toán về tỉ lệ thức hay và khó của bậc THCS chủ yếu là học sinh khá, giỏi toán khối THCS. Mỗi ph- ơng pháp đợc trình bày theo cấu trúc gồm: Cơ sở lý thuyết và bài tập cụ thể, rút ra nhận xét tổng quát. B. nội dung I. Cơ sở lý luận : Việc giải các bài toán về tỉ lệ thức đợc dựa trên hệ thống kiến thức trong trờng phổ thông nh: các phép biến đổi tơng đơng, các quy tắc, các hằng đẳng thức , các tỉ lệ thức, dãy tỉ số bằng nhau Dựa trên trình độ và khả năng t duy, độ tuổi của HS. II. Thực trạng của vấn đề. 1. Đặc điểm tình hình. Trờng THCS Yên Tâm có truyền thống hiếu học, trình độ của Giáo Viên tơng đối đảm bảo, gần 80% trên chuẩn, nhiệt tình trong giảng dạy, luôn luôn tự trau dồi học hỏi kinh nghiệm của bạn bè đồng nghiệp và sách báo, tài liệu tham khảo. Nhiều năm trở lại đây trờng luôn nằm trong tốp 10 của huyện về chất lợng dạy và học, chất lợng mũi nhọn tơng đối tốt và luôn đứng từ thứ 5 đến thứ 10 trong các kì thi HS giỏi cấp huyện. Nhà trờng có tủ sách phong phú về chủng loại sách để giáo viên có điều kiện tham khảo trong quá trình dạy học. Ngày nay với trình độ khoa học tiên tiến nên chúng ta đợc tiếp cận tốt hơn với những kiến thức mới, những phát minh mới cũng nh học hỏi bạn bè trên khắp đất nớc. Song tuy nhiều tài liệu nhng việc đọc và phân loại các bài toán cần có nhiều thời gian Khó khăn trong việc hình thành và rèn luyện ở HS khả năng phân tích, so sánh , tổng hợp, tr ớc khi giải toán. 2. Thực trạng: Giáo viên môn toán thờng cha quan tâm đến vấn đề này, cha chú ý đến việc phân loại các dạng bài, cha phân loại đối tợng HS để rèn luyện kỉ năng giải toán nói chung và các bài toán tỉ lệ thức nói riêng cho các em HS . Vì vậy chất lợng HS tuy có nhiều tiến bộ song vẫn còn thấp so với yêu cầu thực tế và tiềm năng của HS. Đa số các em giải toán theo hớng dẫn của giáo viên một cách máy móc, cha biết nhìn nhận, phân tích bài toán trớc khi giải, có khi còn mò mẫm lúng túng khi giải bài tập toán. Theo khảo sơ bộ ở HS khối lớp 7, 8 là khối tiếp cận nhiều với toán tỉ lệ thức năm 2004-2005 cho thấy : + Có 35% định hớng để giải đợc các bài toán tỉ lệ thức, 21% làm đợc một số bài đơn giản, 25% làm mò mẫm số còn lại cha biết giải. + Trong mỗi lớp dạy tỉ lệ HS có khả năng giải toán còn thấp . + Chất lợng mũi nhọn không cao. Với thực trạng nh vậy bản thân là một giáo viên dạy toán không khỏi lo lắng cho chất lợng dạy tham khảo, lựa chọn và phân loại một số bài toán điển hình và phơng pháp giải các bài toán về bài toán tỉ lệ thức hay và nh sau: III. Ph ơng pháp giảI một số bài toán tỉ lệ thức hay và khó Dạng 1: Từ một d y tỉ số bằng nhau chứng minh một d y tỉ số bằng ã ã nhau khác. Trong dạng này chúng ta cần chi thành một số loại điển hình sau: Loại 1: Nhân cả tử và mẫu của mỗi tỉ số với mẫu tơng ứng. Ví dụ 1: Cho cy bz az cx bx ay x y z = = Chứng minh rằng: a b c x y z = = Lời giải: Ta có cy bz az cx bx ay x y z = = 2 2 2 2 2 2 0 cxy bxz ayz cxy bxz ayz cxy bxz ayz cxy bxz ayz x y z x y z + + = = = = + + cy bz x = 0 cy-bz = 0 cy = bz b c y z = (1) Và az cx y = 0 az = cx a c x z = (2) Từ (1) và (2) ta có a b c x y z = = (ĐPCM) Ví dụ 2: Cho 2 3 3 2 2 3 bz cy cx az ay bx a b c = = Chứng minh rằng: 2 3 x y z a b c = = Lời giải: Ta có 2 3 3 2 2 3 bz cy cx az ay bx a b c = = 2 2 2 2 3 2.3 2 3 3.2 4 9 abz acy bcx abz acy bcx a b c = = = 2 2 2 2 3 6 2 3 6 4 9 abz acy bcx abz acy bcx a b c + + + + =0 2 3bz cy a = 0 2bz-3cy = 0 2 3 y z b c = (1) Và 3 2 cx az b = 0 3cx-az = 0 3 x z a c = (2) Từ (1) và (2) ta có 2 3 x y z a b c = = (ĐPCM). Ví dụ 3: Cho 4 5 5 3 3 4 3 4 5 bz cy cx az ay bx a b c = = Chứng minh rằng: 3 4 5 x y z a b c = = Lời giải: Ta có 4 5 5 3 3 4 3 4 5 bz cy cx az ay bx a b c = = 2 2 2 12 15 20 12 15 20 9 16 25 abz acy bcx abz acy bcx a b c = = = = 2 2 2 12 15 20 12 15 20 9 16 25 baz acy bcx abz ay bcx a b c + + + + = 0 4 5 3 bz cy a = 0 và 5 3 4 cx az b = 0 4bz -5cy = 0 4 5 y z b c = (1) Và 5cx -3az = 0 5 3 z x c a = (2) Từ (1) và (2) ta có 3 4 5 x y z a b c = = (ĐPCM). Tơng tự ta có thể cho HS làm các bài sau: 1. 3 4 4 2 2 3 2 3 4 cy bz az cx bx ay x y z = = .CMR: 2 3 4 a b c x y z = = 2. 7 5 2 7 5 2cy bz az cx bx ay x y z = = . CMR: 2 5 7a b c x y z = = 3. bz cy cx az ay bx a b c = = .CMR: x y z a b c = = Loại 2: Đặt dãy tỉ số bằng nhau bằng hằng số k hoặc 1 k , sau đó tìm ra các đẳng thức cùng bằng nhau để đi đến một dãy tỉ số cần chứng minh. Ví dụ 1: Cho các số a,b,c,x,y,z thoả mãn: 2 2 4 4 x y z a b c a b c a b c = = + + + + Chứng minh rằng: 2 2 4 4 a b c x y z x y z x y z = = + + + + Lời giải: Ta đặt: 2 2 4 4 x y z a b c a b c a b c = = + + + + =k Ta có: 2 2 4 4 x k a b c y k a b c c k a b c = + + = + = + 2 2 4 4 x ka kb kc y ka kb kc z ka kb kc = + + = + = + 2 2 4 2 2 4 4 x ka kb kc y ka kb kc z ka kb kc = + + = + = + Cộng từng vế ta có: x+2y+z= 9ka 1 2 9 a x y z k = + + Lại có 2 2 4 4 x ka kb kc y ka kb kc z ka kb kc = + + = + = + 2 2 4 2 2 4 4 x ka kb kc y ka kb kc z ka kb kc = + + = + = + Cộng từng vế ta có: 2x+y-z = 9bk 1 2 9 b x y z k = + Tơng tự ta cũng có 1 4 4 9 c x y z k = + Khi đó ta có 2 2 4 4 a b c x y z x y z x y z = = + + + + (ĐPCM) Ví dụ 2: Cho a,b,c,x,y,z thoả mãn: 2 2 4 4 x y z a b c a b c a b c = = + + + Chứng minh rằng: 2 2 4 4 a b c x y z z y x x y z = = + + + Lời giải: Ta đặt: 2 2 4 4 x y z k a b c a b c a b c = = = + + + Khi đó ta có: 2 2 4 4 x k a b c y k a b c c k a b c = + = = + + 2 2 4 4 x ka kb kc y ka kb kc z ka kb kc = + = = + + 2 2 4 2 2 4 4 x ka kb kc y ka kb kc z ka kb kc = + = = + + Cộng từng vế ta có: x+2y+z = 9ak 1 2 9 a x y z k = + + Lại có 2 2 4 4 x ka kb kc y ka kb kc z ka kb kc = + = = + + 2 2 4 2 2 4 4 x ka kb kc y ka kb kc z ka kb kc = + = = + + Cộng từng vế ta có: z-y-2x = 9bk 1 2 9 b z y x k = Tơng tự ta có: 1 4 4 9 c x y z k = + + Từ các kết quả trên ta có 2 2 4 4 a b c x y z z y x x y z = = + + + (ĐPCM) Ví dụ 3: Cho a,b,c,x,y,z thoả mãn: 2 2 4 4 x y z a b c a b c b a c = = + + + Chứng minh rằng: 2 2 4 4 a b c x y z x y z x y z = = + + + Lời giải: Lời giải: Ta đặt: 2 2 4 4 x y z k a b c a b c b a c = = = + + + Khi đó ta có: 2 2 4 4 x k a b c y k a b c c k b a c = + + = + = 2 2 4 4 x ka kb kc y ka kb kc z kb ka kc = + + = + = 2 2 4 2 2 4 4 x ka kb kc y ka kb kc z kb ka kc = + + = + = Cộng từng vế ta có: x+2y-z = 9ak 1 2 9 a x y z k = + Lại có 2 2 4 4 x ka kb kc y ka kb kc z kb ka kc = + + = + = 2 2 4 2 2 4 4 x ka kb kc y ka kb kc z kb ka kc = + + = + = Cộng từng vế ta có: 2x+y+z = 9bk 1 2 9 b x y z k = + + Tơng tự ta có: 1 4 4 9 c x y z k = Từ các kết quả trên ta có 2 2 4 4 a b c x y z x y z x y z = = + + + (ĐPCM) Bằng cách làm tợng tự ta có thể làm thêm các bài sau: 1. Cho a,b,c,x,y,z thoả mãn: 2 2 4 4 x y z b c a b c a c b a = = + Chứng minh rằng: 2 2 4 4 a b c x y z z x y z x y = = + + + 2. Cho a,b,c,x,y,z thoả mãn: 2 2 4 4 x y z a b c a b c b c a = = + + + + Chứng minh rằng: 2 2 4 4 a b c x y z x y z y z x = = + + + + Loại 3. Đặt dãy tỉ số bằng một số k hoặc 1 k nhng phải bình phơng hai vế của đẳng thức tìm đợc để đi tìm các đẳng thức mà có một vế nh nhau. Ví dụ 1: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn: 2 2 2 x yz y xz z xy a b c = = Chứng minh rằng: 2 2 2 a bc b ac c ab x y z = = Lời giải: Đặt 2 2 2 x yz y xz z xy a b c = = =k Khi đó ta có: 2 2 2 x yz ak y zx bk z xy ck = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x yz a k y zx b k z xy c k = = = 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 (1) 2 (2) 2 (3) x x yz y z a k y xy z x z b k z xyz x y c k + = + = + = Lại có: 2 2 2 x yz ak y zx bk z xy ck = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( )( ) ( )( ) ( )( ) x yz y zx abk x yz z xy ack y xz z xy bck = = = 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 (4) (5) (6) x y x z y z xyz abk x z x y yz xy z ack y z xy xz x yz bck + = + = + = Lấy (1)-(6) ta có : x(x 3 +y 3 +z 3 -3xyz) = k 2 (a 2 -bc) 3 3 3 2 2 x y z 3xyz a bc k x + + = Lấy (2)-(5) ta có: y(x 3 +y 3 +z 3 -3xyz) = k 2 (b 2 -ac) 3 3 3 2 2 x y z 3xyz cb a k y + + = Lấy (3)-(4) ta có: z(x 3 +y 3 +z 3 -3xyz) = k 2 (c 2 -ab) 3 3 3 2 2 x y z 3xyz c ab k z + + = Khi đó ta có : 2 2 2 a bc b ac c ab x y z = = (ĐPCM) Ví dụ 2: Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn: 2 2 2 6 4 3 9 2 2 3 x yz y xz z xy a b c = = Chứng minh rằng: 2 2 2 6 4 3 9 2 2 3 a bc b ac c ab x y z = = Lời giải: Đặt 2 2 2 6 4 3 9 2 2 3 x yz y xz z xy a b c = = =k Khi đó ta có: 2 2 2 6 4 3 2 9 2 3 x yz ak y zx bk z xy ck = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 6 ) (4 3 ) 4 (9 2 ) 9 x yz a k y zx b k z xy c k = = = 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 12 36 (1) 16 24 9 4 (2) 81 36 4 9 (3) x x yz y z a k y xy z x z b k z xyz x y c k + = + = + = Lại có: 2 2 2 6 4 3 2 9 2 3 x yz ak y zx bk z xy ck = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 6 )(4 3 ) 2 ( 6 )(9 2 ) 3 (4 3 )(9 2 ) 6 x yz y zx abk x yz z xy ack y xz z xy bck = = = 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 4 3 24 18 2 (4) 9 2 54 6 3 (5) 36 8 27 6 6 (6) x y x z y z xyz abk x z x y yz xy z ack y z xy xz x yz bck + = + = + = Mặt khác: Lấy (1)-(6) ta có : x(x 3 +8y 3 +27z 3 -6xyz) = k 2 (a 2 -6bc) 3 3 3 2 2 x 8y 27z 6xyz a 6bc k x + + = Lấy (2)-(5) ta có: 2y(x 3 +8y 3 +27z 3 -6xyz) = k 2 (b 2 -ac) 3 3 3 2 2 x 8y 27z 6xyz 4 3 c 2 b a k y + + = Lấy (3)-(4) ta có: 3z(x 3 +8y 3 +27z 3 -6xyz) = k 2 (c 2 -ab) 3 3 3 2 2 x 8y 27z 6xyz 9 2 3 c ab k z + + = Khi đó ta có 2 2 2 6 4 3 9 2 2 3 a bc b ac c ab x y z = = (ĐPCM). Bằng cách làm tợng tự ta có thể cho HS làm thêm các bài sau: 1. Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn: 2 2 2 15 9 5 15 3 3 5 x yz y xz z xy a b c = = Chứng minh rằng: 2 2 2 15 9 5 25 3 3 5 a bc b ac c ab x y z = = 2. Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn: 2 2 2 9 20 16 15 25 12 3 4 5 x yz y xz z xy a b c = = Chứng minh rằng: 2 2 2 9 20 16 15 25 12 3 4 5 a bc b ac c ab x y z = = 3. Cho a,b,c,x,y,z khác 0 thoả mãn: 2 2 2 x yz y xz xy z a b c + + = = Chứng minh rằng: 2 2 2 a bc b ac ab c x y z + + = = Loại 4: Đặt dãy tỉ số bằng hằng số k hoặc 1 k sau đó cộng trừ một cách hợp lý đẳng thức tìm đợc ta sẽ có kết quả của bài toán. Ta xét một số ví dụ sau: Ví dụ 1: Cho ba số a,b,c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn: a(y+z) = b(x+z)= c(x+y) Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) y z z x x y a b c b c a c a b = = Lời giải: Đặt a(y+z) = b(x+z)= c(x+y) = k Ta có (1) (2) (3) k y z a k z x b k x y c + = + = + = Lấy (!) - (2) ta đợc: y-x = ( )k b a ab x y k a b ab = ( ) x y k c a b abc = Lấy (2) - (3) ta đợc: z-y = ( ) ( ) k c b y z k bc a b c bac = [...]... sử lý một cách thuộn lợi cho cách giải Lời giải: Từ xy 1 zy 1 xz 1 = = =1 y z x PP: Với loại này ta nên hớng dẫn HS kết hợp hai tỉ số thành một đẳng thức để biến đổi, sau đó nhân các kết quả ta sẻ tim ra đợc mối quan hệ đặc biệt của x;y;z Vì dãy tỉ số bằng 1 nên ta sẻ tìm đợc giá trị của x;y;z xy 1 zy 1 xz 1 = = = 1 Ta có: Lời giải: Từ y z x xy 1 zy 1 1 1 1 1 zy = x = y x y = = * y z y... toán - Tạo hứng thú cho các em khi học toán 2 Đối với các cấp quản lý - Cần đầu t nhiều trang thiết bị hơn nữa để phục vụ cho dạy học - Đầu t cơ sở vật chất nhà trờng để giáo viên sử dụng công nghệ thông tin vào công việc giảng dạy Yên tâm, ngày 15 tháng 04 năm 2010 Ngời thực hiện Lê xuân phơng  . có điều kiện tham khảo trong quá trình dạy học. Ngày nay với trình độ khoa học ti n ti n nên chúng ta đợc ti p cận tốt hơn với những kiến thức mới, những phát minh mới cũng nh học hỏi bạn. lệ thức nói riêng cho các em HS . Vì vậy chất lợng HS tuy có nhiều ti n bộ song vẫn còn thấp so với yêu cầu thực tế và ti m năng của HS. Đa số các em giải toán theo hớng dẫn của giáo viên. luyện và phát triển t duy ở học sinh. Với ý nghĩa và tác dụng nh vậy, việc hớng dẫn học sinh ti p cận và vận dụng các phơng pháp giải các bài toán tỉ lê thức là vấn đề quan trọng. 2. Phạm