Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Kì Thi Tuyển Sinh Vào Lớp 10 Trung Học Phổ Thông ĐăkLăk Năm Học 2010-2011 Đề Chính Thức Môn : TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm) 1) Giải phương trình: xxxx 3232 22 +=+ 2) Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A(2;8) và B(3;2). Bài 2: (2 điểm) 1) Rút gọn biểu thức: ( ) ( ) 2 12222 ++−=A 2) Cho biểu thức: − + + − − = x x x x x B 1 2 1 1 : 1 2 với x ≥ 0,x ≠ 1. a) Rút gon biểu thức B. b) Tìm giá trị của x để biểu thức B = 5. Bài 3: (1,5 điểm) Cho phương trình: ( ) 0 2 1 12 22 =+++− mxmx (m là tham số) (1) 1) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt? 2) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 sao cho biểu thức ( ) ( ) 1.1 21 −−= xxM đạt giá trị nhỏ nhất? Bài 4: (3,5 điểm) Cho nữa đường tròn có tâm O và đường kính AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB, P là điểm thuộc cung MB (P không trùng với M và B); đường thẳng AP cắt đường thẳng OM tại C, đường thẳng OM cắt đường thẳng BP tại D. 1) Chứng minh OBPC là một tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh hai tam giác BDO và CAO đồng dạng. 3) Tiếp tuyến của nửa đường tròn ở P cắt CD tại I. Chứng minh I là trung điểm của đoạn thẳng CD. Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng phương trình ( ) ( ) 02 62856244 =−+−−− baaxabaxba luôn luôn có nghiệm với mọi a, b. Hết Họ tên thí sinh:………………………………………Số báo danh:……………………… Họ tên và chữ ki giám thị ……………………………………… ………………………………………… 1 Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Kì Thi Tuyển Sinh Vào Lớp 10 THPT TỈNH ĐĂKLĂK Năm Học 2010- 2011 Đề Chính Thức Môn: Toán –Chuyên Thời gian làm bài 150 phút Bài 1: 1) Giải phương trình: ( ) 0203694 2 2 2 =+−+− xxxx 2) Giải hệ phương trình: ( )( ) =+++ −=++ 123 623 22 yxyx yxxy Bài 2: 1) Cho a là số thực dương thỏa mãn a 2 ≥ a+2. Chứng minh phương trình: 0422 22 =−++ aaxx 2) Cho phương trình: x 2 + x + m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm 21 ; xx . Từ đó tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 2 2 1 3 2 3 1 xxxxA −−+= Bài 3: 1) Cho a,b,c là các số thực.Chứng minh rằng: 100510051005100510051005201020102010 accbbacba ++≥++ , với mọi a,b,c. Dấu bằng xảy ra khi nào? 2) Chứng minh biểu thức: ( ) xxxP 45 23 +−= chia hết cho 5, với mọi x nguyên. 3) Tìm nghiệm nguyên x;y của phương trình: ( ) 010272 22 =+++++ yyxxyx Bài 4: 1) Cho hình vuông ABCD. Điểm M di chuyển trên tia đối của tia CD ( M không trung C).Trên đường thẳng BC lấy điểm N sao cho AN vuông góc với AM. a) Chứng minh MAN vuông cân. b) Xác định vị trí điểm M trên tia đối của tia CD sao cho tam giác AEC là tam giác đều, trong đó E là trung điểm của MN. 2) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D, biết AB = 6 cm, BC = 5 cm và CD = 3 cm . Tính thể tích hình được tạo thành khi quay hình thang ABCD quanh AD đúng một vòng. 2 Sở Giáo Dục Và Đào Tạo KÌ THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG ĐăkLăk Năm Học 2010-2011 Đáp Án Đề Thi Toán – Chuyên ( Năm 2010 -2011 ) Bài 1 (2đ) Ý NỘI DUNG Điểm 1 + Đặt t = x 2 -4x = (x-2) 2 - 4 ≥ -4 + Phương trình cho trở thành t 2 +9t +20 = 0 t= -5 ; t = -4 + Đối chiếu điều kiện t= -4 + Giải p/t t= - 4 tức x 2 - 4x +4 = 0 x= 2 0,25 0,25 0,25 0,25 2 + Viết lại hệ phương trình ( ){ ( ) 123 623 22 22 =+++ −=++ yyxx yyxx + Đặt u = x 2 +3x = 2 2 3 −x - 4 9 ≥ - 4 9 Và v = y 2 +2y = (y+1) 2 -1 ≥ -1 Ta được hệ p/t : =+ −= 1 6 vu uv Lúc này u và v là hai nghiệm của p/t : X 2 –X -6 = 0 X=-2 ;X=3 Đối chiếu điều kiện −≥ −≥ 1 4 9 v u ta có hệ =+ −=+ 32 23 2 2 yy xx + Giải hệ ta được 4 nghiệm : −= −= = −= −= −= = −= 3 2 ; 1 2 ; 3 1 ; 1 1 y x y x y x y x 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài2 (2đ) 1 = Tính '∆ =a 2 –(2a 2 -4) = 4-a 2 + Từ giải thiết a > 0 ; a 2 ≥ 2+a ta có a 2 ≥ 2 a2 =>a 4 ≥ 8 => a ≥ 2 + Lúc này ' ∆ ≤ 0 +Kết luận : phương trình đã cho không có hai nghiệm phân biệt 0,25 0,25 0,25 2 x 2 +x +m =- 0 (1) P/T (1) có hai nghiệm phân biệt khi x 1 ,x 2 khi ∆ = 1- 4m ≥ 0 m 4 1 ≤ +Theo định lí Vi Et ta có : = −=+ mxx xx 21 21 1 + A=(x 1 +x 2 ) ( ) [ ] 21 2 21 3 xxxx −+ - ( ) [ ] 21 2 21 2 xxxx −+ =5m -2 0,25 0,25 0,25 3 Vì m 4 1 ≤ nên A 4 3 −≤ do đó giá trị lớn nhất của A là - 4 3 khi m = 4 1 0,25 Bài 3 ( 3đ) 1 Đặt x =a 1005, y = b 1005 ; z = c 1005. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành x 2 +y 2 + +z 2 ≥ xy+yz+zx 2(x 2 +y 2 +x 2 ) ≥ 2(xy+yz+zx) ( x- y) 2 + (y-z) 2 +(z-x) 2 ≥ 0 , ∀ x, y, z ∈ R và dấu “ =” xảy ra khi x= y= z hay a =b = c 0,25 0,25 0,25 0,25 2 + Phân tích P =x(x 4 -5x 2 +4) = x(x 2 -1)(x 2 -4) = (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) - Vì x ∈ Z thì P là tích của 5 số nguyên liên tiếp do đó P 5 với ∀ x ∈ Z 0,25 0,25 0,5 3 +Viết lại p/t đã cho về dạng (x+y) 2 + 7(x+y) +y 2 +10 = 0 Đặt t = x+y ta có t 2 +7t +y 2 +10 = 0 (1) Phương trình (1) có nghiệm theo t khi ∆ = 49 – 4(10+y) 2 > 0 , y 2 ≤ 4 9 y ≤ 2 3 mà y ∈ Z => y = -1; 0;1 . +Với y = -1 thì phương trình x 2 +5x+5 = 0 ( vô nghiệm) + Với y = 0 x 2 +7x +10 = 0 x =-5 ; x= -2 + Với y = 1 giải tương tự không tồn tại số nguyên x thỏa đề bài . + kết luận : p/t đã cho có nghiệm x , y nguyên là = −= = −= 0 2 ; 0 5 y x y x 0,25 0,25 0,25 0,25 4 Bài 4: ( 3đ) D A B M C N E Tứ giác MCAN nội tiếp ( vì góc MAN = góc MCN =90 0 ) Ta có góc AMN = góc CAN ( vì góc nội tiếp cùng chắn cung AN) Mà góc ACN=45 0 nên góc AMN = 45 0 do đó ∆ AMN vuông cân tại A ∆ MAN và ∆ MCN là các tam giác vuông cân nên AE = CE = 2 MN Để ∆ AEC đều thì chỉ cần AC= CE. Đặt cạnh hình vuông bằng a ta có AB = a (a> 0) => AC = a 2 => CE = a 2 MN = 2a 2 => AM = 2a. Vậy điểm M cần tìm là giao điểm của tia đối của tia CD với đường tròn tâm A, bán kính bằng 2AB. 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2 3cm 4cm 5cm 3cm 3cm A C D B E Từ C dựng đường thẳng song song với AD cắt AB tại E => EB = 3(cm) 0,25 5 Ta có ∆ CEB vuông tại E nên CE = )(4 22 cmEBBC =− Khi quay hình thang ABCD quanh AD đúng một vòng hình thu được là hình nón cụt có bán kính đáy lớn R = 6 (cm) và bán kính đáy nhỏ R’= 3(cm) và chiều cao h= 4 (cm) . Thể tích hình nón cụt là V = ( ) [ ] '' 3 1 2 2 RRRRh ++Π = [ ] 3.6364 3 1 22 ++Π = 84 Π (cm 3 ) 0,25 0,25 0,25 B. HƯỚNG DẪN CHẤM 1) Điểm bài thi đánh giá theo mthang điểm từ 0 đến 10. Điểm bài thi là tổng các điểm thành phần và không làm tròn . 2) Học sinh giải cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa phần đó . 3 ) Đáp án và biểu điểm gồm 04 trang ***Hết ** 6 . Giáo Dục Và Đào Tạo Kì Thi Tuyển Sinh Vào Lớp 10 Trung Học Phổ Thông ĐăkLăk Năm Học 2 010- 2011 Đề Chính Thức Môn : TOÁN Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm) 1). thị ……………………………………… ………………………………………… 1 Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Kì Thi Tuyển Sinh Vào Lớp 10 THPT TỈNH ĐĂKLĂK Năm Học 2 010- 2011 Đề Chính Thức Môn: Toán Chuyên Thời gian làm bài 150 phút Bài 1: 1) Giải phương. 2 2 2 1 3 2 3 1 xxxxA −−+= Bài 3: 1) Cho a,b,c là các số thực.Chứng minh rằng: 100 5100 5100 5100 5100 5100 52 0102 0102 010 accbbacba ++≥++ , với mọi a,b,c. Dấu bằng xảy ra khi nào? 2) Chứng minh biểu