chuyen de toan on thi vao lop 10 HAY

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình fx = gx II Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = fx hoặc y = gx để tìmtung độ giao điểm.. + Giả sử Ax0;y0 là

Mét sè d¹ng to¸n líp 9

I.rót gän biÓu thøc

Cã chøa c¨n thøc bËc hai

Bµi 1: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:

Mét sè d¹ng to¸n líp 91) 2 5  125  80  605;

3 1   3 2   3 3  ;19)  2 1   3 2 1  3

1  3 1 1    3 1 

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

c) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi x = 4 – 2 3

Bµi 2: TÝnh A = Sin210 + Sin220 + … + Sin + Sin2890

Bµi 3: Gäi x1; x2 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 + 2005x + 1 = 0

vµ x3; x4 lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 + 2006x + 1 = 0

TÝnh B = (x1 + x3)(x2 + x4)(x1 + x4)(x2 + x3)

Bµi 4: Cho c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n: a2005 + b2005 = a2006 + b2006= a2007 + b2007

TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = a + b

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

Bµi 22: Cho biểu thức

P =

2 a a 1 2

1 a

1 2

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

Bài 24: Tính giá trị biểu thức Q = xx-yy

Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0

Bài 25: Cho biểu thức

P =

3 x

3x2x-1

2x33x2x

11x15

1 a 2 a a

3 9a 3a

b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên

Bài 27: Cho biểu thức

P =

2

a

16 a

8 - 1

4 - a 4 a 4 - a 4 a

b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên

Bài 27: Cho biểu thức

1 : a a

1 1

a a

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2

c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0

Bài 29: Cho biểu thức

1 x : x 4

8x x

2

x 4

a) Rút gọn P

b) Tính x để P = -1

c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m( x - 3)P > x + 1

Bài 30: Cho biểu thức

y y

xy

x : y x

xy -

y x

a) Tìm x, y để P có nghĩa

b) Rút gọn P

c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2 3

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

Bài 31: Cho biểu thức

P =

x

2007 x

1 x

1 4x x

1 x

1 - x 1 x

1 x

2

2 2 2

2

2 2

b

b a a 4 : b a a

b a a b a a

b a

2 x 1

x

2 x

10 x 3

x 4 x

1 x 5 2 x 3 x

Không phụ thuộc vào biến số x

Bài 35: Chứng minh giá trị của biểu thức

P =

x

x x

3 4 7 3 2

4

6 3

Không phụ thuộc vào biến số x

Bài 36: Cho biểu thức

1 x x

x x 1 x x

) 1 2(x x

x 2x 1 x x

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

P =

1x2

x1

x2x

1x1

x

xx1

xx

xxx2x

5 3 5

3 10

5 3

1 ≤ x ≤ 5

Bài 42: Chứng minh rằng:

P =

2 6

48 13 5 3 2

311

2

31

2

311

2

31

2 18 3

20 12

2 8 3

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

Bài 48: Tính giá rẹi của biểu thức:

a a

1

1 1

4

1 4 1

4

x

x x

x x

x

x x

1

1 1 1

1

1 1

a a

3 6

5

9 2

a) Rút gọn P

b) a = ? thì P < 1

c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên

Bài 54: Cho biểu thức

2

2 2

2

2 2

a) Rút gọn P

b) Tính P biết 2x2 + y2 - 4x - 2xy + 4 = 0

Bài 56 : Cho biểu thức

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

P =

y x xy

y y x x y x y x y x y

3 3

: 1 1 2 1

II.CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

I.Điểm thuộc đường – đường đi qua điểm.

Điểm A(xA; yA) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) yA = f(xA)

Ví dụ 1: Tìm hệ số a của hàm số: y = ax2 biết đồ thị hàm số của nó đi qua điểmA(2;4)

Giải:

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(2;4) nên: 4= a.22 a = 1

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ cho A(-2;2) và đường thẳng (d) có phương trình: y

= -2(x + 1) Đường thẳng (d) có đi qua A không?

Giải:

Ta thấy -2.(-2 + 1) = 2 nên điểm A thuộc v ào đường thẳng (d)

II.Cách tìm giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x).

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) (II)

Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = f(x) hoặc y = g(x) để tìmtung độ giao điểm

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (II) là số giao điểm của hai đường trên.

III.Quan hệ giữa hai đường thẳng.

Xét hai đường thẳng : (d1) : y= a1x + b1

(d2) : y= a2x + b2.a) (d1) cắt (d2) a1 a2

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10Bước 1: Giải hệ phương trình gồm hai đường thẳng không chứa tham số để tìm(x;y).

Bước 2: Thay (x;y) vừa tìm được vào phương trình còn lại để tìm ra tham số

V.Quan hệ giữa (d): y = ax + b và (P): y = cx 2 (c 0).

1.Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:

cx2= ax + b (V)Bước 2: Lấy nghiệm đó thay vào 1 trong hai công thức y = ax +b hoặc y = cx2 đểtìm tung độ giao điểm

Chú ý: Số nghiệm của phương trình (V) là số giao điểm của (d) và (P).

2.Tìm điều kiện để (d) và (P).

a) (d) và (P) cắt nhau phương trình (V) có hai nghiệm phân biệt

b) (d) và (P) tiếp xúc với nhau phương trình (V) có nghiệm kép

c) (d) và (P) không giao nhau phương trình (V) vô nghiệm

VI.Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết.

1.Quan hệ về hệ số góc và đi qua điểm A(x 0 ;y 0 )

Bước 1: Dựa vào quan hệ song song hay vuông góc tìm hệ số a

Bước 2: Thay a vừa tìm được và x0;y0 vào công thức y = ax + b để tìm b

2.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 1 ;y 1 ) và B(x 2 ;y 2 ).

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(x1;y1) và B(x2;y2) nên ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình tìm a,b

3.Biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 0 ;y 0 ) và tiếp xúc với (P): y = cx 2 (c 0).

+) Do đường thẳng đi qua điểm A(x0;y0) nên có phương trình :

y0 = ax0 + b (3.1)+) Do đồ thị hàm số y = ax + b tiếp xúc với (P): y = cx 2 (c 0) nên:

Pt: cx2 = ax + b có nghiệm kép

(3.2) +) Giải hệ gồm hai phương trình trên để tìm a,b

VII.Chứng minh đường thẳng luôn đi qua 1 điểm cố định ( giả sử tham số là m).

+) Giả sử A(x0;y0) là điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua với mọi m, thay x0;y0

vào phương trình đường thẳng chuyển về phương trình ẩn m hệ số x0;y0 nghiệm đúng vớimọi m

+) Đồng nhất hệ số của phương trình trên với 0 giải hệ tìm ra x0;y0

VIII.Một số ứng dụng của đồ thị hàm số

Các dạng toán ôn thi vào lớp 101.Ứng dụng vào phương trỡnh.

2.Ứng dụng vào bài toỏn cực trị

bài tập về hàm số

1. cho parabol y= 2x2 (p)

a tìm hoành độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y= 3x-1

b tìm toạ độ giao điểm của (p) với đờng thẳng y=6x-9/2

c tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y=ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2)

d tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2)

e biện luận số giao điểm của (p) với đờng thẳng y=2m+1 ( bằng hai phơng pháp đồthị và đại số)

f cho đờng thẳng (d): y=mx-2 Tìm m để

+(p) không cắt (d)

+(p)tiếp xúc với (d) tìm toạ độ điểm tiếp xúc đó?

+ (p) cắt (d) tại hai điểm phân biệt

+(p) cắt (d)

2 cho hàm số (p): y=x2 và hai điểm A(0;1) ; B(1;3)

a viết phơng trình đờng thẳng AB tìm toạ độ giao điểm AB với (P) đã cho

b viết phơng trình đờng thẳng d song song với AB và tiếp xúc với (P)

c viết phơng trình đờng thẳng d1 vuông góc với AB và tiếp xúc với (P)

d chứng tỏ rằng qua điểm A chỉ có duy nhất một đờng thẳng cắt (P) tại hai điểmphân biệt C,D sao cho CD=2

3 Cho (P): y=x2 và hai đờng thẳng a,b có phơng trình lần lợt là

y= 2x-5y=2x+m

a chứng tỏ rằng đờng thẳng a không cắt (P)

b tìm m để đờng thẳng b tiếp xúc với (P), với m tìm đợc hãy:

+ Chứng minh các đờng thẳng a,b song song với nhau

+ tìm toạ độ tiếp điểm A của (P) với b

+ lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc bằng -1/2 tìm toạ độ giao

điểm của (a) và (d)

c tính tổng tung độ của các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m

5 cho hàm số y=2x2 (P) và y=3x+m (d)

a. khi m=1, tìm toạ độ các giao điểm của (P) và (d)

b. tính tổng bình phơng các hoành độ giao điểm của (P) và (d) theo m

c. tìm mối quan hệ giữa các hoành độ giao điểm của (P) và (d) độc lập với m

6 cho hàm số y=-x2 (P) và đờng thẳng (d) đI qua N(-1;-2) có hệ số góc k

a chứng minh rằng với mọi giá trị của k thì đờng thẳng (d) luôn cắt đồ thị (P) tại hai

điểm A,B tìm k cho A,B nằm về hai phía của trục tung

b gọi (x1;y1); (x2;y2) là toạ độ của các điểm A,B nói trên, tìm k cho tổngS=x1+y1+x2+y2 đạt giá trị lớn nhất

+ x=m2-m+1

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10+ x=(m-n)2

c. các điểm A(16;4) và B(16;-4), điểm nào thuộc đồ thị hàm số, điểm nào khôngthuộc đồ thị hàm số? tại sao

d. không vẽ đồ thị hãy tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với đồ thịhàm số y= x-6

8 cho hàm số y=x2 (P) và y=2mx-m2+4 (d)

a.tìm hoành độ của các điểm thuộc (P) biết tung độ của chúng y=(1- 2)2

b.chứng minh rằng (P) với (d) luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt tìm toạ độ giao

điểm của chúng với giá trị nào của m thì tổng các tung độ của chúng đạt giá trị nhỏnhất

9.cho hàm số y= mx-m+1 (d)

a. chứng tỏ rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d) luôn đI qua điểm cố định tìm điểm

cố định ấy

b. tìm m để (d) cắt (P) y=x2 tại 2 điểm phân biệt A và B, sao cho AB= 3

10.trên hệ trục toạ độ Oxy cho các điểm M(2;1); N(5;-1/2) và đờng thẳng (d) y=ax+b

a tìm a và b để đờng thẳng (d) đI qua các điểm M, N

b xác định toạ độ giao điểm của đờng thẳng MN với các trục Ox, Oy

11

cho hàm số y=x2 (P) và y=3x+m2 (d)

a. chứng minh với bất kỳ giá trị nào của m đờng thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phânbiệt

b. gọi y1, y2 kà các tung độ giao điểm của đờng thẳng (d) và (P) tìm m để có biểu thức

c lập phơng trình đờng trung trực (d) của đoạn thẳng AB

d tìm toạ độ giao điểm của (d) và (P)

13.a viết phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) y=2x2 tại điểm A(-1;2)

b cho hàm số y=x2 (P) và B(3;0), tìm phơng trình thoả mãn điều kiện tiếp xúc với(P) và đi qua B

c cho (P) y=x2 lập phơng trình đờng thẳng đi qua A(1;0) và tiếp xúc với (P)

d cho (P) y=x2 lập phơng trình d song song với đờng thẳng y=2x và tiếp xúc với(P)

e viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y=-x+2 và cắt (P) y=x2 tại

điểm có hoành độ bằng (-1)

f viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với (d) y=x+1 và cắt (P) y=x2 tại điểm cótung độ bằng 9

III.Hệ phơng trìnhBaứi 1: : Giải các HPT sau:

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10 Dïng PP céng: 2 3

1 1

1 1

x y

x x

y y

x y

Lu ý: - NhiỊu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy

- Cã thĨ thư l¹i nghiƯm cđa HPT võa gi¶i

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp thế)

1.1: 3

)

x y a

x y b

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 1.2 2 2 5

b) Cuừng hoỷi nhử vaọy neỏu heọ phửụng trỡnh coự nghieọm  2 1; 2  

Baứi 6: Giaỷi heọ phửụng trỡnh sau: 2x x y3y  12

by ax

b ay x

a) Giải hệ khi a=3 ; b=-2

b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y)=( 2 ; 3 )

Bài 9: GiảI các hệ phơng trình sau

5

2 2

1

y x y

x

y x y

8 4

3

y x

y x

2

3 2 4

2 3

y x

y x

(đk x;y2 )

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

1

4

11 1

2 1

2

2 2

x x

x

Ta có: 10.u2 + v2 -11.uv = 0 (u-v).(10u-v)=0 u=v hoặc 10u=v

Xét các trường hợp thay vào (1) ta tìm được x một cách dễ dàng

x

Giải:

) 1 (

1 )

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

90 )

u u

4 ) (

3 )

v u v

u v u v

uv u

1 2 3 3 5

2 2

x x x

0 9 24 22

4 (

3 ) 4 (

x x

Giải:

Điều kiện x > 4 hoặc x < -1

*Nếu x > 4, (1) trở thành:

0 18 ) 4 ).(

1 ( 3 )

1 ( 3 )

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

Từ đó ta dễ dàng tìm được y,thay vào (3) ta tìm được x

Bài 7:Gpt:(2x2 - 3x +1).(2x2 + 5x + 1)=9x2 (1)

Giải:

(1) 4 4 4 3 20 2 2 1 0











 x x x x (x 0).Chia cả hai vế cho x2 ta được :

 4x2 + 4x -20 + 2 12

x

x = 0

 2 1 2 2 1 24 0

2



































x

x x

x

x 1

Ta có: y2 + 2y -24 = 0

Từ đó ta tìm được y,thay vào (2) ta dễ dàng tìm được x

Bài 8:Gpt: 2 16 64 2 2 8 16 2 0













x

Giải:

0 4

.

2



Đến đây ta xét từng khoảng ,bài toán trở nên đơn giản

Bài 9:Gpt: (1 + x + x2)2 = 5.(1 + x2 + x4)

Giải:

4 2 3

2 4



0 2 2

0 4 2 2 2

4

2 3

4

2 3

4

























x x x

x

x x x

x

Nhận thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, vậy x 0 Chia cả hai vế của phương trình trên cho x2 ta được:

2x2 - x + 1 - 1 22  0

x

x Đặt y = x1x (*) Ta có:

2y2 - y - 3 = 0.Từ đó ta dễ dàng tìm được y, thay vào (*) ta tìm được x

Bài 10: Gpt: (6-x)4 + (8-x)4 = 16

Giải:

Đặt 7 - x = y (*)

x - 0 4 8 +

x-8 - - - 0 +

x-4 - - 0 + +

x - 0 + + +

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

Bài 2 Một ngời đi xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định Nếu vận tốc tăng14 km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ nếu vận tốc giảm 2 km/h thì đến B muộn 1 giờ Tính quãng

đờng AB, vận tốc và thời gian dự định

Bài 3 Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngợc chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngợc dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nớc) và vận tốc dòng nớc là 3 km/h

Bài 4 Một ca nô xuôi dòng 108 km và ngợc dòng 63 km hết 7 giờ Một lần khác ca nô xuôidòng 81 km và ngợc dòng 84 km cũng hết 7 giờ Tính vận tốc của dòng nớc và vận tốc thật của ca nô

Bài 5 Một ô tô dự định đi từ A đến B dài 120 km Đi đợc nửa quãng đờng xe nghỉ 30 phút nên để đến nơi đúng giờ xe phải tăng vận tốc thêm 5 km/h nữa trên quãng đờng còn lại Tính thời gian xe chạy

Bài 6 Hai ngời đi ngợc chiều về phía nhau.M đi từ A lúc 6 giờ sáng về phía B N đi từ B lúc

7 giờ sáng về phía A Họ gặp nhau lúc 8 giờ sáng Tính thời gian mỗi ngời đi hết quãng ờng AB Biết M đến B trớc N đến A là 1 giờ 20 phút

HPT:

2 1

1 1 3

HPT:

10 2

1 ( 2 ) 2( ) 5

Bài 8 Hai lớp 9A và 9B có tổng cộng 70 HS nếu chuyển 5 HS từ lớp 9A sang lớp 9B thì số

HS ở hai lớp bằng nhau Tính số HS mỗi lớp

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10Bài 9 Hai trờng A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng tuyển Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trờng A đạt 80%, trờng B đạt 90% Hỏi mỗi trờng có bao nhiêu HS lớp 9 dự thi vào lớp 10.

Bài 10 Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể

Bài 11 Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ nếu tổ một làm trong

5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì đợc 30% công việc Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu

Bài 12 Một thửa ruộng có chu vi 200m nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng đi 5m thì diện tích giảm đi 75 m2 Tính diện tích thửa ruộng đó

Bài 13 Một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi bằng nhau Nhng do số ngời đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê thêm 1 ghế mới đủ chỗ Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

Bµi tËp 1:

Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau

TT C¸c ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo  TT C¸c ph¬ng tr×nh cÇn gi¶i theo '

e) -6x2 + x - 3 = -3x(x - 1) - 11f) - 4x2 + x(x - 1) - 3 = x(x +3) + 5g) x2 - x - 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1h) -x2 - 4x - 3(2x - 7) = - 2x(x + 2) - 7i) 8x2 - x - 3x(2x - 3) = - x(x - 2) k) 3(2x + 3) = - x(x - 2) - 1

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x lần lợt bằng

x = 1; x = - 4; x = -2; x = 6; x = -7; x = -3

c) Tìm các giá trị của m để phơng trình trên có nghiệm kép

Bài tập 6: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 3)x + m2 + 3 = 0

a) Giải phơng trình với m = -1và m = 3b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 4c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = x2

Bài tập 7:

Cho phơng trình : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - 1 = 0

a) Giải phơng trình với m = -2

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt

c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2x2

Bài tập 8:

Cho phơng trình : 2x2 - 6x + (m +7) = 0

a) Giải phơng trình với m = -3

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 4

c) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt

d) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm

e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = - 2x2

Bài tập 9:

Cho phơng trình : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0

a) Giải phơng trình với m = 4

b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt

c) Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 3x2

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào m

e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Bài tập 15: Cho phơng trình bậc hai

(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0

a) Giải phơng trình với m = 3

b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2

c) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

e) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

f) Khi phơng trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại

Bài tập 16:Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0

a) Giải phơng trình với m = - 2

b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2 Tìm nghiệm còn lại

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x1 + x2 = 8

e) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x1 + x2

Bài tập 17: Cho phơng trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + 1 = 0

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phơng trình có hiệu hai nghiệm bằng 2

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1và x2 không phụ thuộc m

Bài tập 18: Cho phơng trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - 3 = 0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của a

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào a

c) Tìm giá trị nhỏ nhật của biểu thức A = x1 + x2

Bài tập 19: Cho phơng trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0

a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x2 x1

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài tập 22: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình

mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện 2 1

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10Cho phơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0 Tìm m để phơng trình có 2

nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn

5

1

2 1

x x x x

c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3

d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

Bài tập 30: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình

x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0Tìm m để x12 x22 có giá trị nhỏ nhất

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

Bài tập 31: Cho phơng trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

A = x1x2 + 2x1 + 2x2

Bài tập 32: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) Tìm m sao cho

2 nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn 10x1x2 +x12 x22 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị

đó

Bài 33:Cho phương trỡnh : x2 -(2m+1)x + m2+m -1= 0

1.Chứng minh phương trỡnh luụn cú nghiệm với mọi m

2.Chứng minh cú một hệ thức giữa hai nghiệm số khụng phụ thuộc vào m

) 1 ( 1 2

2 2 1 2 1

m m x x

m x

1

2 2 1

2

1

x x x

1

2 2 1 2

Vậy để  là số cp thỡ k = n2 + n( thử lại thấy đỳng)

Bài 35: Tỡm k để phương trỡnh sau đõy cú ba nghiệm phõn biệt :

)

2

(

0 ) 3 (

4 2

2

k k g

k k

Bài 36: Tỡm a,b để hai phương trỡnh sau là tương đương:

x2 + (3a + 2b) x - 4 =0 (1) và x2 + (2a +3b)x + 2b=0 (2)

với a và b tỡm được hóy giải cỏc phương trỡnh đó cho

Giải:

-Điều kiện cần:

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10Nhận thấy pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.Vậy pt (2) cũng phải có 2 nghiệm phân biệt giống với (1).

Đặt f(x) = x2 + (3a + 2b) x - 4 =0 và g(x) = x2 + (2a +3b)x + 2b

Để hai phương trình đã cho là tương đương thì f(x) = g(x) (*) với mọi x (Vì hệ số của x2

của cả hai pt đều bằng 1)

Thay x = 0 vào (*) ta có b = -2 (3)

Thay x = 1 vào (*) kết hợp với (3) ta được a= -2

-Điều kiện đủ:

Với a=b=-2 ta thấy hai phương trình tương đương với nhau

Bài 37: Giả sử b và c là các nghiệm của phương trình :

bc

a c b

Ta có:b4 c4  (b2 c2 ) 2  2b2c2 (bc) 2  2bc2 2b2c2

2 2 2 6 2 2

3 2 2 2

3 2

1 1

4

4 4

4 4

2 2 2

a a a

a

c

Bài 38 : Chứng minh rằng với mọi a,b,c phương trình sau luôn có nghiệm :

a(x-b).(x-c) + b.(x-c) (x-a) + c.(x-a).(x-b) = 0

Giải:

Đặt f(x) = a.(x-b).(x-c) + b.(x-c) (x-a) + c.(x-a).(x-b) =

= (a + b + c).x2 -2.(ab + bc + ca).x + 3abc

*Nếu a + b + c 0.Khi đó:

' = a2b2 + b2c2 + c2a2 -abc.(a + b + c) = [(ab-bc)2 + (bc-ca)2 + (ca-ab)2].12  0

*Nếu a + b + c = 0.Khi đó:

-Nếu ab + bc + ca  0 thì phương trình đã cho luôn có nghiệm

-Nếu ab + bc + ca =0 Khi đó kết hợp với gt a + b + c =0 ta dễ dàng chứng minh được a=b=c=0.Và dĩ nhiên trường hợp này pt đã cho có vô số nghiệm

Bài 39:CMR:Nếu các hệ số a,b,c của phương trình:ax2 + bx + c = 0 (a 0) đều là các số lẻ thì phương trình bậc hai trên không thể có nghiệm hữu tỉ

mà c,a đều là các số lẻ nên suy ra m,n cũng là các số lẻ

Vậy ta có:a,bc,m,n đều là các số lẻ Do đó:

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10





2 bmn cn

am số lẻ (Mõu thuẫn với (1))

Vậy điều ta giả sử là sai.Hay núi cỏch khỏc, ta cú đpcm

b, Bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by )2

 (a2 + b2)(x2 + y2)

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Dấu đẳng thức xảy ra <=> a x b y

c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :

a b ab

Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab  0

B: Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức

1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa

- Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xét hiệu A - B rồi chứng minh A - B > 0

- Lu ý : A2  0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0

Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng

- Kiến thức : Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức

đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh là đúng

- Một số bất đẳng thức thờng dùng :

(A+B)2=A2+2AB+B2

(A-B)2=A2-2AB+B2

(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC

(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3

(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3

3 Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc

- Kiến thức : Dùng các bất đẳng thức quen thuộc nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳngthức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứng minh ,

Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2  2xy

Với a, b > 0 ,   2

a

b b a

Phơng pháp 4 ; Dùng các tính chất của bất đẳng thức :

- Kiến thức : Dùng các tính chất đã đợc học để vận dụng vào giải các bài tập

Phơng pháp 5: Dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác

a , b, c, là độ dài ba cạnh của tam giác a<b+c (1)

b < a+c (2)

c< a+b (3)

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

Từ 3 bất đẳng thức về tổng ba cạnh của tam giác ta suy ra đợc 3 bất đẳng thức về hiệu haicạnh

+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết

+ Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng

+ Phủ định rồi suy ra hai đIều trài ngợc nhau

+ Phủ định rồi suy ra kết luận

+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)

+ Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0)

+ Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1

+ Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0)

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 + Giả sử (*) đúng với n = k (k  N ; k  3) , tức là : 2k > 2k + 1

ta phải chứng minh : 2k+1 > 2(k + 1) + 1

hay : 2k+1 > 2k + 3 (**)

+ Thật vậy : 2k+1 = 2.2k , mà 2k > 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp )

do đó : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0)

Vậy (**) đúng với mọi k  3

+ Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dơng n  3

Ngoài ra còn có một số phơng pháp khác để chứng minh bất đẳng thức nh : Phơng pháp làm trội , tam thức bậc hai ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp Ngoài ra còn có một số phơng pháp khác để chứng minh bất đẳng thức nh : Phơng pháp làm trội , làm giảm, tam thức bậc hai ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp

Bài 1:Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giỏc.

y

m z

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

)

.(

1

)

.(

2

m n z n

z

m

m n z

z

m n z

Giải:

Từ giả thiết , 0

0 1 0

x xy

Ta có:

).

1 ( 4

1 4

1

2

xy xy xy

1 1 ( ) (

4 ) ).(

1 1 (

4 2 2 4

x y

x y

ab b a

.

4 2 2 4 2 2 2

2

2

6 6 2 2

y

x

y x y x

y

x

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.Vậy ta có đpcm.

Bài 7:CMR: Nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau và a + b + c < 0 thì :

1 2 (

2

1

1 2 2

1 2

1 2

1 2 2

1 1 2

1

4

1 3

1 2 (

1

5 4

1 4 3

1 3

n

n n

A

Ta có đpcm

Bài 9:CMR: Nếu: p,q > 0 thì: pq

q p

q p

q pq p q p pq

1 2

1

1 1

1

3

1 2

1 2

1 1

1 1 1

y x

Giải:

C¸c d¹ng to¸n «n thi vµo líp 10

Ta có:

0 2 2 2 ).

( 2 2

x y x

( 0 4

2

2 2

b

c b c b c

b c

2 2

2 2

2

) 2 ( ).

2 (

).

2 (

) 2 ( ).

b b

a

a

c c b b a a

a c c b

c b

2

2 2 2

c

b

c a b

a

c a a b a

a

c a c a b a

b

a

c a c a b a

y y x

Giải:

Các dạng toán ôn thi vào lớp 10

Áp dụng BĐT Cụ Si: 3 2 3 xy 2x2

y

x xy

3 3

3

z y x zx x

z yz z

) (

) (

- Kiến thức : Nếu f(x)  m thì f(x) có giá trị nhỏ nhất là m

Nếu f(x)  M thì f(x) có giá trị lớn nhất là M

Ta thờng hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳngthức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Kiểm tra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị

Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phơng pháp biến đổi

t-ơng đt-ơng , đổi biến số , một số bất đẳng thức

Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thứcchứa dấu giá trị tuyệt đối

Chú ý : A  B AB

Xảy ra dấu '' = '' khi AB  0

A  0 Dấu ''= '' xảy ra khi A = 0

Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1



x