Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P... Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
Trang 11.Cho 4 số thực a, b, c, d thoả mãn: a2b2 1; c – d = 3
4
F ac bd cd
Giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki và giả thiết ta có:
2
d
Dựa vào BBT (chú ý: 2
2
d
), ta suy ra được: ( ) ( 3) 9 6 2
f d f
Dấu "=" xảy ra khi 1 ; 1 ; 3; 3
2 Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của
a b c b c a c a b P
Giải:
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ( )3,
a b c c
c và 1
3 ta được:
b c
c a
Cộng (1), (2) và (3) ta suy ra P 1 minP 1 khi a b c 1
3 Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x2 + y2 + z2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất
P
Giải:
P
6 2
P Vậy GTNN là Pmin = 3
2 khi x = y = z
4 Cho a, b, c 0 và 2 2 2
3
a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
Trang 22
3 2 2
3 2 2 3
1 1
c c c
b b b
a
2 4
1 1
2 1
2 2
4
2 2
2
b
a b
a
2 4
1 1
2 1
2
2 2
2 2
c
b c
2 4
1 1
2
1
2
2
2 2
2
a
c a
6 3
6 3
6
2 16
3 2 16
3 2 16
6 2 2 2
9 ) (
2 2 2
3 2
2
3
2
3 2 2
3 2 2
9 2 2
3 2 2
9
6 3
P
Để PMin khi a = b = c = 1
5 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4
x y z
2 x y z x 2 y z x y 2 z
Giải:
+Ta có : 2x y z1 14 2.( 1x y z 1 )
+ Lại có : 1 1 1( 1);
x y 4 xy
1 1 1( 1);
y z 4 yz
1 1 1( 1);
x z 4 xz
cộng các BĐT này ta được đpcm
6 Cho x, y, z > 0 và x + y + z ≤ xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
2 2 2
P
Giải:
Từ giả thiết ta có xyz ≥ x + y + z ≥ 3 xyz3 (xyz)3 ≥ 27.xyz xyz ≥ 3 3
Áp dụng BĐT Cauchy ta có
x2 + yz + yz ≥ 3 (3 xyz)2 ; y2 + zx + zx ≥ 3 (3 xyz)2 ; z2 + xy + xy ≥ 3 (3 xyz)2
3
3 (xyz) 3 (xyz) 3 (xyz) (xyz) (3 3)
Từ đó ta có Max P = 1
3 đạt được khi x y z x y z 3
x y z xyz
7 Cho a,b,c lµ c¸c số thùc kh¸c 0 CMR
3
a b c b c a c a b Giải:
Trang 3Áp dụng BĐT Bunhacopki:
2
T
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
VT
c
VT
dpcm
8 Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
Giải:
Ta có :
P
Nhận thấy : x2 + y2 – xy xy x, y
Do đó : x3 + y3 xy(x + y) x, y > 0 hay
x y
y x x, y > 0 Tương tự, ta có :
y z
z y y, z > 0
z x
x z x, z > 0 Cộng từng vế ba bất đẳng thức vừa nhận được ở trên, kết hợp với (*), ta được:
P 2(x + y + z) = 2 x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Hơn nữa, ta lại có P = 2 khi x = y = z = 1
3 Vì vậy, minP = 2
9 Cho x, y, z là các biến số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3
Giải:
Với x, y, z > 0 ta có
4(x3 + y3) (x + y)3 () Dấu = xảy ra x = y
Trang 4Thật vậy () 4(x + y)(x2 – xy + y2) (x + y)3
4(x2 – xy + y2) (x + y)2 do x, y > 0
3(x2 + y2 – 2xy) 0 (x – y)2 0 (đúng) Tương tự ta có4(y3 + z3) (y + z)3 Dấu = xảy ra y = z
4(z3 + x3) (z + x)3 Dấu = xảy ra z = x
Do đó 3 4 x 3 y3 3 4 y 3 z3 3 4 z 3 x3 2 x y z 6 xyz 3
Ta lại có 2 2 2 3 xyz
6 x
z z
y y
x
Dấu = xảy ra x = y = z
xyz
1 xyz 6
P
3
z y x
1 xyz
x = y = z = 1
Vậy minP = 12 Đạt được khi x = y = z = 1
9 Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6
P
x x y y y y z z z z x x
Giải:
Có x, y, z >0, Đặt : a = x3 , b = y3, c = z3 (a, b, c >0 ; abc=1)đc :
P
a ab b b bc c c ca a
2a b 2 (a b)a2 ab b2
3
a ab b
a ab b
(Biến đổi tương đương)
1
3
a ab b
a ab b
Tương tự: 2 3 3 2 1( ); 2 3 3 2 1( )
3
P a b c abc (BĐT Côsi)
=> P 2, P2 khi a = b = c = 1 x = y = z = 1
Vậy: minP = 2 khi x = y =z =1
End _