Toán Cao cấp D pot

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC Y  Z ĐỖ NGUYÊN SƠN - TRỊNH ĐỨC TÀI TOÁN CAO CẤP D (Bài Giảng Tóm Tắt) Lưu hành nội bộ Y Đà Lạt 2008 Z Mc lc I. Đại số tuyến tính 1. Một số kiến thức cơ bản 1 1.1 Tập hợp-Tập con- Tập hợp bằng nhau 1 1.2 Các phép toán trên tập hợp 1 2. ánh xạ 2 2.1 Các định ngha 2 2.2 ảnh và nghịch ảnh 3 2.3 Đơn ánh- Toàn ánh- Song ánh 4 2.4 Các phép toán trên ánh xạ 4 3. Quan hệ trên tập hợp 6 3.1 Quan hệ hai ngôi 6 3.2 Quan hệ tơng đơng 6 3.3 Quan hệ thứ tự 7 4. Ma trận 8 4.1 Định nghĩa ma trận 8 4.2 Các ma trận đặc biệt 9 4.3 Các phép toán trên ma trận 10 4.4 Biến đổi sơ cấp trên ma trận 13 5. Định thức 14 5.1 Hoán vị 14 5.2 Nghịch thế-Ký số 14 5.3 Định nghĩa định thức 16 5.4 Tính chất của định thức 17 5.5 Các phơng pháp tính định thức 19 5.6 áp dụng định thức tính ma trận nghịch đảo 23 5.7 Hạng của ma trận 24 5.8 Hệ phơng trình tuyến tính 25 II. Không gian vector 1. Không gian vector 31 1.1 Định nghĩa và ví dụ 31 1.2 Không gian vector con 33 1.3 Không gian con sinh bởi một tập hợp 33 1.4 Cơ sở- Số chiều- Tọa độ 34 2. ánh xạ tuyến tính 38 2.1 ánh xạ tuyến tính 38 2.2 ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính 40 2.3 Đẳng cấu tuyến tính 42 2.4 ánh xạ tuyến tính và ma trận 42 3. Phép biến đổi tuyến tính và chéo hóa 45 3.1 Đổi cơ sở - Công thức đổi tọa độ 45 3.2 Ma trận đồng dạng - Chéo hóa 46 3.3 Giá trị riêng - Vector riêng 46 3.4 Tiêu chuẩn chéo hóa 47 3.5 Thuật tóan chéo hóa 48 3.6 Thuật tóan chéo hóa ánh xạ tuyến tính 48 4. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phơng 48 4.1 Dạng song tuyến tính đối xứng 48 4.2 Ma trận biểu diễn dạng song tuyến tính 49 4.3 Dạng toàn phơng 50 4.4 Dạng chính tắc của dạng toàn phơng 51 4.5 Dạng xác định 53 III. Phép tính vi phân hàm một biến thực 1. Số thực 55 1.1 Số hữu tỉ 55 1.2 Số thực 56 1.3 Các phép tóan số học 57 1.4 Cận trên v cận dới 57 2. Dãy số thực 58 2.1 Khái niệm dãy số 58 2.2 Dãy bị chặn, dãy đơn điệu 58 2.3 Giới hạn dãy số 59 2.4 Các tính chất và phép toán 60 2.5 Các điều kiện hội tụ 61 2.6 Số e và logarithm tự nhiên 62 3. Hàm một biến thực 63 3.1 Khái niệm hàm số 63 3.2 Các phép toán 63 3.3 Các loại hàm số với tính chất đặc biệt 64 3.4 Hàm hợp, hàm ngợc 65 3.5 Các hàm sơ cấp 66 4. Giới hạn hàm số 67 4.1 Khái niệm giới hạn hàm số 67 4.2 Các tính chất và qui tắc tính giới hạn 68 4.3 Giới hạn một phía 71 4.4 Giới hạn vô cùng, giới hạn ở vô cùng 71 4.5 Vô cùng bé, vô cùng lớn 72 5. Hàm liên tục 73 5.1 Khái niệm hàm liên tục 74 5.2 Liên tục một phía - Điểm gián đoạn 74 5.3 Các tính chất của hàm liên tục trờn on 75 6. Đạo hàm 76 6.1 Khái niệm đạo hàm 76 6.2 ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm 78 6.3 Các nh lý và qui tắc tính đạo hàm 78 7. Vi phân 80 7.1 Định ngha 80 7.2 ứng dụng của vi phân 80 7.3 Các qui tắc tính vi phân 81 7.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao 81 8. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân 82 8.1 Các định lý giá trị trung bình 82 8.2 Khai triển Taylor 86 9. ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số 87 9.1 Tính tng gim - Cực trị 87 9.2 Tính lồi lừm - điểm uốn 89 IV. Phép tính tích phân hàm một biến 1. Nguyên hàm - Tích phân bất định 91 1.1 Nguyên hàm 91 1.2 Bảng cỏc tích phân các hàm sơ cấp 92 1.3 Các tính chất 93 1.4 Các phơng pháp tính tích phân 93 2. Tích phân một số lớp hàm thông dụng 94 2.1 Tích phân các hàm hữu tỉ 94 2.2 Tích phân các hàm vô tỉ 97 2.3 Tích phân các hàm lợng giác 99 3. Tích phân xác định 100 3.1 Bài toán diện tích hình thang cong 100 3.2 Định nghĩa tích phân xác định 100 3.3 Các lớp hàm khả tích 101 3.4 Các tính chất của tích phân xác định 102 3.5 Công thức Newton-Leibnitz 103 3.6 Các phơng pháp tính tích phân xác định 104 3.7 ứng dụng hình học của tích phân xác định 105 4. Tích phân suy rộng 107 4.1 Tích phân suy rộng loại 1 107 4.2 Tích phân suy rộng loại 1 của cỏc hàm không âm 109 4.3 Hội tụ tuyệt đối 110 4.4 Tích phân suy rộng loại 2 112 V. Lý thuyết chuỗi 1. Chuỗi số 115 1.1 Các định nghĩa và ví dụ 115 1.2 Tiêu chuẩn hội tụ 117 1.3 Các tính chất của chuỗi 117 2. Chuỗi dơng 118 2.1 Chuỗi dơng 118 2.2 Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi dơng 119 3. Chuỗi với dấu bất kỳ 122 3.1 Chuỗi đan dấu 122 3.2 Hội tụ tuyệt đối 122 4. Chuỗi hàm 123 4.1 Khái niệm chuỗi hàm - Sự hội tụ và hội tụ đều 123 4.2 Các tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều 124 5. Chuỗi lỹ thừa 126 5.1 Khái niệm chuỗi luỹ thừa, bán kính hội tụ 126 5.2 Các tính chất của chuỗi lũy thừa 127 5.3 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa 129 5.4 Khai triển thành chuỗi lũy thừa một số hàm sơ cấp 129 VI. Phép tính vi phân của hàm nhiều biến 1. Không gian R n 131 1.1 Không gian R n 131 1.2 Tích vô hớng - Chuẩn - Khoảng cách trong R n 132 1.3 Dãy trong R n 132 1.4 Các tập hợp trong R n 134 2. Hàm nhiều biến 136 2.1 Hàm nhiều biến 136 2.2 Giới hạn hàm nhiều biến 137 2.3 Tính liên tục 141 3. Đạo hàm riêng 142 3.1 Đạo hàm riêng 142 3.2 Các tính chất và qui tắc tính đạo hàm riêng 143 4. Đạo hàm riêng cấp cao - Cộng thức Taylor 144 4.1 Đạo hàm riêng cấp cao 144 4.2 Công thức Taylor 147 5. Cực trị hàm nhiều biến 148 5.1 Cực trị 148 5.2 Cực trị với điều kiện 151 VII. Phơng trình vi phân 1. Khái niệm phơng trình vi phân 155 1.1 Vài mô hình dẫn đến phơng trình vi phân 155 1.2 Các khái niệm 156 1.3 Bài toán Cauchy 157 2. Giải một số phơng trình vi phân cấp 1 158 2.1 Phơng trình với biến số phân ly 158 2.2 Phơng trình vi phân thuần nhất 160 2.3 Phơng trình vi phân toàn phần 162 2.4 Phơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 165 2.5 Phơng trình Bernoully 167 2.6 Phơng trình Clairaut 168 2.7 Phơng trình Lagrange 169 3. Phơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 170 3.1 Khái niệm phơng trình vi phân cấp 2 170 3.2 Nghiệm của phơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 171 3.3 Nghiệm của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 173 3.4 Phơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 175 4. Hệ phơng trình vi phân 178 4.1 Các khái niệm 178 4.2 Hệ phơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng 179 1 I. Đại số tuyến tính 1 Một số kiến thức cơ bản 1.1 Tập hợp - Tập con - Tập bằng nhau Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy. Tập hợp đ-ợc mô tả nh- một toàn thể nào đó bao gồm các đối t-ợng có cùng một dấu hiệu hay một tính chất nhất định. Các đối t-ợng lập nên tập hợp gọi là phần tử. Có hai cách để xác định một tập hợp. Một là liệt kê tất cả các phần tử của nó A = {a 1 ,a 2 , ,a n }, hai là mô tả đặc tính của các phần tử thuộc tập hợp A = {a | a có tính chất E}. Nếu a là một phần tử của của tập hợp A, thì ta viết a A. Nếu a không là một phần tử của của tập hợp A, thì ta viết a/ A. Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu là . Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là các phần tử của tập hợp X, thì ta nói A là tập con của X, ký hiệu A X. Rõ ràng ta có X với mọi tập hợp X. Các tập con của X lập thành một tập hợp , ký hiệu 2 X , và gọi là tập hợp các tập con của X. Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau, ký hiệu A = B, nếu A B và B A. Nếu A B và A = B, thì ta nói A là tập con thực sự cuả B, khi đó ta viết A B. 1.2 Các phép toán trên tập hợp Định nghĩa 1. Hợp của hai tập hợp A và B , ký hiệu A B, là tập hợp gồm các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B. Giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu A B, là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. Nếu A B = , thì ta nói A và B rời nhau. 2 Hiệu của hai tập hợp A và B , ký hiệu A \B, là tập hợp gồm các phần tử thuộc A nh-ng không thuộc B. Nếu A là tập con của X thì hiệu X \ A gọi là phần bù của A trong X. Tích trực tiếp hay tích Descartes của hai tập hợp A và B, ký hiệu A ì B,là tập hợp gồm tất cả các cặp (x, y) với x A và y B. Mệnh đề 1. Cho A,B,C,X là các tập hợp bất kỳ. Khi đó 1) A, A A. 2) Nếu A B và B C, thì A C. 3) (A B) = (B A), (A B) = (B A). 4) (A B) C = A (B C) , (A B) C = A (B C). 5) A (B C)=(A B) (A C), A (B C)=(A B) (A C). 6) Qui tắc De Morgan X \(A B)=(X \ A) (X \B),X\(A B)=(X \ A) (X \ B). Chứng minh. Các công thức đ-ợc dễ dàng suy ra từ định nghĩa các phép toán trên tập hợp. Ta chứng minh, chẳng hạn, công thức De Morgan. Thật vậy ta có x X \ (A B) x X và x/ (A B) x X và (x/ A và x/ B) (x X và x/ A) và (x X và x/ B) x (X \A) và x (X \B) x (X \A) (X \ B). 2 ánh xạ 2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 2. Cho hai tập hợp X và Y . Một ánh xạ f từ X đến Y là một qui tắc cho t-ơng ứng mỗi phần tử x X với duy nhất một phần tử y Y . Phần tử y gọi là ảnh của x, ký hiệu là f(x),vàx đ-ợc gọi là tạo ảnh của y. Tập hợp X đ-ợc gọi là tập nguồn hay miền xác định, còn tập Y gọi là tập đích hay miền giá trị của ánh xạ f. Một ánh xạ th-ờng đ-ợc viết nh- sau f : X Y x y = f(x). 3 Hai ánh xạ f và g gọi là bằng nhau, ký hiệu f = g, nếu chúng có cùng tập nguồn X và f(x)=g(x) với mọi x X. Ví dụ. a) T-ơng ứng f : R R, x 3 x, là một ánh xạ. b) T-ơng ứng Id X : X X, x x, là một ánh xạ gọi là ánh xạ đồng nhất trên X. c) Cho ánh xạ f : X Y và U X. Khi đó t-ơng ứng f | U : Y xác định bởi f | U (x)=f(x) với mọi x U là một ánh xạ, gọi là hạn chế của ánh xạ f lên bộ phận U. 2.2 ảnh và Nghịch ảnh Định nghĩa 3. Cho ánh xạ f : X Y và U X, V Y là các tập con. Khi đó tập hợp f(U)={f(x) | x U} gọi là ảnh của tập U qua ánh xạ f, và tập hợp f 1 (V )={x X | f(x) V } gọi là nghịch ảnh của tập V qua ánh xạ f. Nếu V = {y}, thì ta viết f 1 (y) thay cho f 1 ({y}). Mệnh đề 2. Cho ánh xạ f : X Y và A, B X, U, V Y . Khi đó 1) Nếu A B, thì f(A) f(B). 2) Nếu U V , thì f 1 (U) f 1 (V ). 3) f(A B)=f(A) f(B), f(A B) f(A) f(B). 4) f 1 (U V )=f 1 (U) f 1 (V ), f 1 (U V )=f 1 (U) f 1 (V ). Chứng minh. Các công thức đ-ợc dễ dàng suy ra từ định nghĩa. Ta chứng minh, chẳng hạn, các công thức thứ hai trong 3) và 4). Thật vậy, ta có y f(A B)=x (A B):f(x)=y = (x A và x B):f(x)=y = (x A : f(x)=y) và (x B : f(x)=y) = y f(A) và y f(B) = y f(A) f(B). Từ đó suy ra f(A B) f(A) f(B). T-ơng tự, ta có x f 1 (U V ) f(x) U V f(x) U và f(x) V x f 1 (U) và x f 1 (V ) x f 1 (U) f 1 (V ). 4 Vậy f 1 (A B)=f 1 (A) f 1 (B). Nhận xét. Đẳng thức f(A B)=f(A) f(B) nói chung không đúng. Chẳng hạn, với ánh xạ f : R [1, 1] , f(x) = sinx,vàA =[0,/2], B =[/4,]. 2.3 Đơn ánh - Toàn ánh - Song ánh Định nghĩa 4. Cho ánh xạ f : X Y . ánh xạ f gọi là đơn ánh nếu với mọi x 1 ,x 2 X sao cho f(x 1 )=f(x 2 ), thì suy ra x 1 = x 2 . Nh- vậy, với mỗi phần tử y Y tồn tại không quá một phần tử x X sao cho y = f(x). ánh xạ f gọi là toàn ánh nếu f(X)=Y , tức là, với mỗi phần tử y Y tồn tại ít nhất một phần tử x X sao cho y = f(x). ánh xạ f gọi là song ánh nếu f vừa đơn ánh vừa toàn ánh. Tức là, với mỗi phần tử y Y tồn tại đúng một phần tử x X sao cho y = f(x). Ví dụ. a) ánh xạ f : R R, x x 3 , là một song ánh. Thật vậy, với mỗi y R, ph-ơng trình y = x 3 có duy nhất nghiệm x = 3 y. b) ánh xạ f : R R, x x 2 , không phải là đơn ánh, vì với 1 R có hai số thực 1, 1, là tạo ảnh của 1. 2.4 Các phép toán trên ánh xạ 2.4.1 Hợp hai ánh xạ Định nghĩa 5. Cho hai ánh xạ f : X Y và g : Y Z. Hợp của f và g,ký hiệu g f, là ánh xạ từ X vào Z xác định bởi g f(x)=g(f(x)). Ví dụ. Với f : R R, f(x)=x 2 và g : R R, g(x)=x +2, ta có (g f)(x)=g(f(x)) = g(x 2 )=x 2 +2, (f g)(x)=f(g( x)) = f(x +2)=(x +2) 2 . Nhận xét. Nói chung g f = f g. Mệnh đề 3. Cho các ánh xạ f : X Y , f : Y Z, h : Z T. Khi đó 1) f Id X = Id Y f = f, 2) h (g f)=(h g) f. Chứng minh. 1) là hiển nhiên. 2) suy ra từ h (g f)(x)=h((g f)(x)) = h(g(f(x))) = (h g)(f(x)) = (h g) f(x). [...]... trận A ta th-ờng d ng các phép biến đổi sơ cấp trên d ng để đ-a A về ma trận d ng bậc thang 25 1 2 3 1 2 3 3 7 11 5 8 9 Ví d Tìm hạng của ma trận A = 1 5 7 3 5 8 2 2 4 2 3 1 0 3 4 2 3 5 Ta thực hiện các phép biến đổ sơ cấp trên d ng của A 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 2 2 0 d3 3d2 0 1 2 2 2 0 d2 2d1 0 d2 + 2d2 d3 d1 0 3 0 0 2 4 3 5 A 4 2 3 5 d4 2d1 0 2 2 0 1 5 d4 3d2 0 0 2 4 3 5 0... ( m) b-ớc ta nhận đ-ợc ma trận d ng bậc thang 2 Ví d Đ-a ma trận sau về d ng bậc thang bởi các phép biến đổi sơ cấp trên d ng 0 0 1 2 2 2 0 0 1 2 3 1 2 3 A = 0 1 5 7 3 5 8 0 2 2 4 2 3 1 0 0 3 4 2 3 5 14 Thực hiện các b-ớc 0 1 0 0 d1 d A 2 0 1 0 2 0 0 0 d3 3d2 0 d4 + 2d2 0 d5 3d2 0 0 5 5.1 1 0 0 0 0 trong thuật toán Gauss 2 3 1 2 3 1 2 2 2 0 d3 d1 d 2d 5 7 3 5 8 4 1 2 4 2 3 1 3 4... d d Ă ă d d ă ă ă d d ă d d Ă ă d d ă Ă ă d d r (+) 5.4 e re r e r e r e e r r r e e r e re r e r e () Tính chất của định thức Mệnh đề 13 Định thức của ma trận không thay đổi qua phép chuyển vị det(t A) = det A Chứng minh Từ () = ( 1 ), ta có ()ta1(1) t a2(2) ã ã ãt an(n) det(t A) = Sn = ()a(1)1a(2)2 ã ã ã a(n)n Sn ( 1)a11 (1)a21 (2) ã ã ã an1 (n) = det A = 1 Sn 2 Do... đơn giản Ví d 1) Tính định thức cấp 4 sau đây x a D= a a a x a a a a x a a a a x Cộng d ng 1 với các d ng còn lại x + 3a x + 3a x + 3a x + 3a a x a a = (x + 3a) D= a a x a a a a x 1 a a a 1 x a a 1 a x a 1 a a x D ng các phép biến đổi D2 aD1, D3 aD1, D4 aD1 ta đ-ợc 1 1 1 1 0 xa 0 0 D = (x + 3a) = (x + 3a)(x a)3 0 0 xa 0 0 0 0 xa 2) Tính định thức Vandermonde cấp n 1 a0 a2 an 0 0 1 a1 a2 ... x + 2x x + x = 2 1 2 3 4 Ví d Giải hệ ph-ơng trình 2x1 + 3x2 + 2x3 + 3x4 = 3 3x1 + 4x2 + 3x3 + 4x4 = 4 Biến d i sơ cấp 1 1 1 2 (A|b) = 2 3 3 4 theo d ng ma trận 1 1:1 d2 d1 1 2 : 2 d3 2d1 2 3 : 3 d4 3d1 3 4:4 hệ số mở rộng 1 1 1 1:1 1 0 1 0 1 : 1 d3 d2 0 d4 d2 0 1 0 1 : 1 d4 3d1 0 0 1 0 1:1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1:1 1 : 1 0 : 0 0:0 Vì rankA = rank(A|b) = 2 < 4=số ẩn, nên hệ có vô số nghiệm... aik ajk = k=1 aik det Ajk k=1 Nếu i = j, thì cij là khai triển theo d ng j của định thức của A, từ đó cij = det A Nếu i = j, thì cij là khai triển theo d ng j của định thức lập từ A bằng cách thay d ng j bởi d ng i, tức là, có hai d ng giống nhau, từ đó nhận giá trị 0 Vậy, Aadj(A) = det AIn T-ơng tự, cũng có adj(A)A = det AIn Từ đó, tồn tại 2 A1 = (det A)1 adj(A) 24 1 2 1 Ví d Tìm ma trận nghịch... , Ai, An )+det(A1, , Ai, An ) 2) det(A1, , Ai, An ) = det(A1, , Ai , An ) Chứng minh Suy ra d d ng từ định nghĩa định thức 2 Từ các Mệnh đề trên, d d ng suy ra hệ qủa sau đây Hệ quả 1 Cho A MatR (n) 1) Nếu A có một d ng bằng 0, thì det A = 0 2) Nếu A có hai d ng bằng nhau hoặc tỉ lệ, thì det A = 0 3) Nếu thêm vào một d ng nào đó của A với một bội của một d ng khác thì định... A = In 4.4 2 Biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa 15 Các phép biến đổi trên ma trận sau đây gọi biến đổi sơ cấp: (1) Đổi chỗ d ng (cột) i với d ng (cột) j, ký hiệu di dj (ci cj ) (2) Nhân d ng (cột) i với một số = 0, ký hiệu di (ci ) (3) Cộng d ng (cột) i với lần d ng (cột) j, ký hiệu di + dj (ci + cj ) Mệnh đề 11 Mọi ma trận A = (aij ) MatR (m.n) đều có thể đ-a về d ng bậc thang bởi một số... đ-ợc bằng cách xóa d ng i, cột j, và đặt aij = (1)i+j det Aij , gọi là phần phụ đại số của phần tử aij Ta gọi ma trận adj(A) =t (ij ), a là ma trận phụ hợp của A Mệnh đề 18 Ma trận A = (aij ) MatR (n) khả nghịch khi và chỉ khi det A = 0 Khi đó A1 = (det A)1 adj(A) Chứng minh Giả sử tồn tại A1 Khi đó, det A = 0 vì det A det A1 = det(AA1) = det In = 1 n Giả sử det A = 0 Gọi Aadj(A) = (cij ) Khi đó,... là ph-ơng pháp d ng thuật toán Gauss để đ-a ma trận hệ số mở rộng (A|b) về d ng (A |b ), với A có d ng bậc thang, rồi giải hệ A x = b bằng ph-ơng pháp thế x1 + x2 + x3 + x4 = 10 x + 2x x + x = 6 1 2 3 4 Ví d Giải hệ ph-ơng trình 2x1 + 3x2 3x3 + 2x4 = 6 3x1 x2 + x3 x4 = 1 Biến d i sơ cấp theo d ng ma trận hệ số mở rộng 1 1 1 1 : 10 1 1 1 1 : 10 d2 d1 1 2 1 1 : 6 d3 2d1 0 1 2 0 : 4 . Gauss A d 1 d 2 0123123 0012220 0157358 0224231 0034235 d 3 d 1 d 4 2d 1 01 2 31 2 3 00 1 22 2 0 00 3 42 3 5 002 201 5 00 3 42 3 5 d 3 3d 2 d 4 + 2d 2 d 5 3d 2 0123123 0012220 0002 4 35 0002435 0002 4 35 d 4 +d 3 d 5 d 3 012. sơ cấp trên d ng A = 0012220 0123123 0157358 0224231 0034235 14 Thực hiện các b-ớc trong thuật toán Gauss A d 1 d 2 0123123 0012220 0157358 0224231 0034235 d 3 d 1 d 4 2d 1 01. Biến đổi sơ cấp trên ma trận Định nghĩa 15. Các phép biến đổi trên ma trận sau đây gọi biến đổi sơ cấp: (1) Đổi chỗ d ng (cột) i với d ng (cột) j, ký hiệu d i d j (c i c j ). (2) Nhân d ng (cột)