Toán cao cấp pot

3 Toán cao cấp Chương 1. Hàm một biến số Ngô Thanh Sơn (ĐH Công Nghiệp TP HCM) 1 §1 BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ 1.1. Định nghĩa. Cho X và Y là các tập hợp khác rỗng. Một hàm số : f XY là một quy tắc sao cho tương ứng với mỗi phần tử x X là một phần tử yY .  X được gọi là miền xác định của hàm số f .  Tập hợp    f GfxxX được gọi là tập giá trị của hàm f . Ví dụ 1.1. Xét 2 () f xx . Khi đó X   ,   0;Y . Vậy   :0;f  . Ví dụ 1.2. Xét () ln f xx . Khi đó   0;X  , Y   . Vậy   :0;f    . 1.2. Hàm chẵn – Hàm lẻ.  f được gọi là hàm chẵn nếu     f xfx .  f được gọi là hàm lẻ nếu     f xfx . Ví dụ 1.3. Xét hàm   25 sin f xx x . Ta có:    2 525 sin sin f xx xxxfx      . Vậy   f x là hàm lẻ. Nhận xét:  Đồ thị của hàm chẵn đối xứng qua trục tung.  Đồ thị của hàm lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. 1.3. Hàm số hợp.  Cho 2 hàm số : f XY và : g YZ . Khi đó, hàm số : g fX Z xác định bởi:       g fx gfx      .  Tương tự, ta cũng định nghĩa:       f gx fgx      . Chú ý:         f gx gfx. Ví dụ 1.4. Cho 2 hàm số   2 f xx ,   sin g xx .     2 2 sin sin sin f gx fgx f x x x   .         22 sin g fx gfx gx x    .         22 sin sin f gx x x gfx . 1.4. Các hàm lượng giác ngược. a. Hàm arcsinyx . Ta định nghĩa  arcsin : 1,1 , 22      xác định bởi arcsin sinyxxy. Ví dụ 1.5.  11 sin arcsin 62 26   .  sin 1 arcsin1 22    . Chương 1. Hàm một biến số Ngô Thanh Sơn (ĐH Công Nghiệp TP HCM) 2 b. Hàm arccosyx . Ta định nghĩa     arccos : 1,1 0,   xác định bởi arccos cosyxxy . Ví dụ 1.6.  cos 0 1 arccos1 0 .  33 cos arccos 62 26    . c. Hàm arctanyx . Ta định nghĩa arctan : , 22 x       xác định bởi arctan tan yxxy. Ví dụ 1.7.  11 tan arctan 66 33   .  tan 1 arctan1 44    . Quy ước:   arctan , arctan 22       . d. Hàm arccotyx . Ta định nghĩa   arccot : 0,   xác định bởi arc cot cotyxxy. Ví dụ 1.8.  cot 3 arccot 3 66   .  cot 1 arccot1 44    . Chương 1. Hàm một biến số Ngô Thanh Sơn (ĐH Công Nghiệp TP HCM) 3 §2 GIỚI HẠN HÀM SỐ 2.1. Các định nghĩa. Số L được gọi là giới hạn của hàm   f x khi x tiến về 0 x nếu   f x có thể lấy giá trị gần L một cách tùy ý, miễn là x đủ gần 0 x . Khi ấy ta viết 0 lim ( ) xx f xL   . Ví dụ 2.1. Với   2 f xx , 0 2x  thì 2 lim 2 4 x x   . 2x    f x 2x    f x 1,9 3,8 2,1 4,2 1,95 3,9 2,05 4,1 1,999 3,998 2,001 4,002 1,99999 3,99998 2,00001 4,00002 Giới hạn tại vô cùng. Trong định nghĩa giới hạn, nếu 0 x là  hoặc  thì ta có giới hạn của   f x tại vô cùng. Khi ấy ta viết   lim , x f xL     lim . x f xL   Ví dụ 2.2.  lim 0 x x e    .  2 1 lim 0 x x   . Giới hạn bằng vô cùng. Trong định nghĩa giới hạn, nếu L là  hoặc  thì ta có giới hạn của   f x tại 0 x bằng vô cùng. Khi ấy ta viết   0 lim xx fx  ,   0 lim xx fx  . Ví dụ 2.3.  lim x x e   .  2 0 1 lim x x  . Giới hạn bên trái. Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm   f x khi 0 x x nếu   f x có thể lấy giá trị gần L một cách tùy ý, miễn là x đủ gần 0 x và đồng thời nhỏ hơn 0 x . Khi ấy ta viết   0 lim xx f xL    . Ví dụ 2.4. 2 lim 2 4 x x    . 2x    f x 1,9 3,8 1,95 3,9 1,999 3,998 1,99999 3,99998 Giới hạn bên phải. Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm   f x khi 0 x x nếu   f x có thể lấy giá trị gần L một cách tùy ý, miễn là x đủ gần 0 x và đồng thời lớn hơn 0 x . Khi ấy ta viết   0 lim xx f xL    . Chương 1. Hàm một biến số Ngô Thanh Sơn (ĐH Công Nghiệp TP HCM) 4 Ví dụ 2.5. 2 lim 2 4 x x    . 2x    f x 2,1 4,2 2,05 4,1 2,001 4,002 2,00001 4,00002 Chú ý:       0 00 lim lim lim xx xx xx f x L fx fx      . 2.2. Tính chất. Giả sử   0 1 lim xx f xL   ,   0 2 lim xx g xL   . Khi ấy i.     0 12 lim xx f xgx LL    , ii.     0 12 lim xx f xgx LL    iii.   0 1 lim xx Cf x CL     ( C là hằng số), iv.     0 12 lim xx f xgx LL    , v.    0 1 2 lim xx fx L g xL      , với 2 0L  , Mệnh đề: Giả sử   0 lim 0 xx ux a  ,   0 lim xx vx b   . Khi ấy ta có   0 lim vx b xx ux a     . Ví dụ 2.6. Tìm 32 2 2 lim 3 x x x x L x         . Giải. Ta có: 2 lim 2 3 x x x    , 32 lim 3 2 x x x     . Vậy 3 28L . 2.3. Một số giới hạn hàm số cơ bản. 1. 0 1 lim x x   , 0 1 lim x x   , 0 1 lim x x  . 2. 111 lim lim lim 0 xxx x xx     . 3. Xét 1 110 1 110 lim nn nn mm x mm ax a x ax a L bx b x bx b         , ta có: a. n n a L b  nếu nm ; b. 0L  nếu nm ; c. L  nếu nm . 4. 00 sin tan lim lim 1 xx xx xx  . 5.       00 sin tan lim lim 1 xx xx ux ux ux ux   nếu   0 lim 0 xx ux   . Chương 1. Hàm một biến số Ngô Thanh Sơn (ĐH Công Nghiệp TP HCM) 5 6. 111 lim 1 lim 1 lim 1 xxx xxx e xxx                . 7.  1 0 lim 1 x x x e  . Ví dụ 2.7. Tìm 4 2 lim 4 x x L x     A. 0L  B. 1L  C. 1 2 L  D. 1 4 L  Giải. Ta có 44 211 lim lim 4 (2)(2) 2 xx x L xx x      Ví dụ 2.8. Tìm 2 2 1 1 lim 32 x x L xx     Giải. Ta có 11 (1)(1) 111 lim lim 2 (1)(2) 212 xx xx x L xx x         Ví dụ 2.9. Tìm 2 2 32 lim 1 21 x x x L xx        . Giải. 2 2 32 2 21 21 32 2 32 lim 1 21 x x xx xx x x x L xx                  . Đặt 2 32 0 21 x x u xx     , khi đó  2 21 1 32 2 0 32 lim 1 lim 1 21 xx x u xu x ue xx           . Ta lại có   2 22 23 2 64 6 lim lim 3 21212 xx xx xx xx xx        . Vậy 3 L e . Ví dụ 2.10. Tìm 2 2 1 lim 1 x x xx L xx        . Giải. 2 2 22 1 1 2 22 2 222 12222 lim 1 1 lim 1 lim 1 111 x x xx xx x x x xxx xx x x L e xx xx xx                               . Chương 1. Hàm một biến số Ngô Thanh Sơn (ĐH Công Nghiệp TP HCM) 6 §3 VÔ CÙNG BÉ - VÔ CÙNG LỚN 3.1. Vô cùng bé (VCB). Hàm   x  được gọi là VCB khi 0 x x nếu   0 lim 0 xx x    . Ví dụ 3.1.  Khi 0x  thì sin x là VCB vì 0 lim sin 0 x x   .  Khi x  thì x e  là VCB vì lim 0 x x e    3.2. Tính chất của VCB.  Tổng của hai VCB cũng là một VCB.  Hiệu của hai VCB cũng là một VCB.  Tích của hai VCB cũng là một VCB. 3.3. So sánh 2 VCB. Cho   x  ,   x  là 2 VCB khi 0 x x . Giả sử tồn tại giới hạn    0 lim xx x k x     . Khi đó:  0k  :   x  là VCB cấp cao hơn   x  , ký hiệu là       0 x x   .  k :   x  là VCB cấp thấp hơn   x  , tức là       0 x x   .  0k  và k  :   x  là VCB cùng cấp với   x  .  1k  :   x  và   x  là 2 VCB tương đương, ký hiệu là     x x   . Ví dụ 3.2. Khi 0x  thì 1cos x  là VCB cùng cấp với 2 x vì 2 22 00 0 2sin sin sin 1cos 2 1 222 lim lim lim 42 22 xx x xxx x xx xx    . Ví dụ 3.3. Khi 1x  thì  2 2 sin 3( 1) 9 1xx vì          2 2 11 sin 3 1 sin 3 1 sin 3 1 lim lim 1 31 31 91 xx xxx xx x         . 3.4. Tính chất của VCB tương đương khi 0 x x . a.         xx x x xx             . b.           11 12 12 22 xx x xxx xx              . c.             0 x xxxx   . 3.5. Các VCB tương đương cần nhớ khi 0x  .  sin x x  tan x x  arcsin x x  arctan x x  2 1cos 2 x x   1 x ex  Chương 1. Hàm một biến số Ngơ Thanh Sơn (ĐH Cơng Nghiệp TP HCM) 7    ln 1 x x   11 n x x n  Chú ý: Nếu   ux là VCB khi 0 x x thì trong 8 cơng thức ở trên, ta có thể thay x bởi   ux. Ví dụ 3.4. Khi 0x  thì  sin 5 5 x x ,    22 arctan x x ,  22 arcsin x x . 3.6. Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao. Giả sử ta cần tính 0 lim xx L   tổng hữu hạn các VCB tổng hữu hạn các VCB . Khi ấy ta có 0 lim xx L   VCB có cấp thấp nhất của tử VCB có cấp thấp nhất của mẫu . Ví dụ 3.5. Tìm 0 1cos2 lim sin x x L x x    . A. 2 L  B.1 L  C. 1 L  D. 1 2 L  Giải. Khi 0x  thì  22 2 (2 ) 4 1cos2 2 22 xx x x  2 sin x xx Vậy 2 2 0 2 lim 2 x x L x   Ví dụ 3.6. Tìm 2 22 0 sin 5 sin lim 4arcsin x x xx L x xx     . Giải. 22 22 2 000 544 lim lim lim 1 4424 xxx xxx xx x L xx x x x x        Ví dụ 3.7. Tìm 2 22 0 sin 3 sin lim 2arcsin x x xx L x xx     Giải. 22 22 2 000 322 lim lim lim 1 2222 xxx xxx xx x L xx x x x x       . Ví dụ 3.8. Tìm 2 0 1cos lim sin x x L x    A. L  B.0L  C. 1 4 L  D. 1 2 L  Giải. Khi 0x  thì 2 cos 1 1 cos 1 cos ( cos 1) ( 1 cos 1 1) 224 x xx xx x     Vậy 2 2 0 1 4 lim 4 x x L x   Ví dụ 3.9. Tìm 0 12sin 1tan 2 lim sin 2 x xx L x    Chương 1. Hàm một biến số Ngô Thanh Sơn (ĐH Công Nghiệp TP HCM) 8 A. 0L  B. 3 4 L  C. 3 2 L  D. 1 4 L  Giải. 0 1 2sin 1 1 tan 1 lim sin 2 x x x L x    Khi 0x  thì  2sin 1 2sin 1 sin 2 x x xx   tan 1tan 1 22 x x x  Vậy 0 3 2 lim 24 x x x L x    Ví dụ 3.10. Tìm   2 0 ln 1 tan 3 1 2 sin 1 lim arcsin 2 x x x L xx     . Giải. Khi 0x  thì    ln 1 tan 3 tan 3 3 x xx ,  2sin 1 2sin 1 sin 2 x x xx ,  arcsin 2 2 x x . Vậy 2 00 34 lim lim 2 22 xx xx x L x xx     . Ví dụ 3.11. Tìm   2 2 0 ln cos 1 2sin 1 lim 1 x x x x L e      Giải. Khi 0x  thì    2 ln cos ln 1 cos 1 cos 1 2 x xxx  ,  2 222 2sin 1 2sin 1 sin 2 x x xx ,    2 2 1 x ex  . Vậy 2 2 2 0 1 2 lim 2 x x x L x   . Chú ý: Quy tắc VCB tương đương không áp dụng được cho tổng hoặc hiệu của các VCB nếu chúng làm triệt tiêu tử hoặc mẫu của phân thức. Ví dụ 3.12.  22 00 tan lim lim xx x xxx L x x    (sai).  2 22 2 2 22 00 0 2112(2) lim lim lim xx x x xx x ee e e x x L xx x         (sai). 3.7. Vô cùng lớn (VCL). Hàm   x  được gọi là VCL khi 0 x x nếu Chương 1. Hàm một biến số Ngơ Thanh Sơn (ĐH Cơng Nghiệp TP HCM) 9   0 lim xx x    . Ví dụ 3.13.  Khi 0x  thì 2 1 3 x x là VCL vì 2 0 1 lim 3 x x x    .  Khi x  thì 2 1x  là VCL vì   2 lim 1 x x   . 3.8. Tính chất của VCL.  Tổng của hai VCL cũng là một VCL.  Hiệu của hai VCL cũng là một VCL.  Tích của hai VCL cũng là một VCL. 3.9. So sánh 2 VCL. Cho   x  ,   x  là 2 VCL khi 0 x x . Giả sử tồn tại giới hạn    0 lim xx x k x     . Khi đó:  0k  :   x  là VCL cấp thấp hơn   x  .  k :   x  là VCL cấp cao hơn   x  .  0k  và k :   x  là VCL cùng cấp với   x  .  1k  :   x  và   x  là 2 VCL tương đương, ký hiệu là     x x   . 3.10. Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp cao. Giả sử ta cần tính 0 lim xx L   tổng hữu hạn các VCL tổng hữu hạn các VCL . Khi ấy ta có 0 lim xx L   VCL có cấp cao nhất của tử VCL có cấp cao nhất của mẫu . Ví dụ 3.14. Tìm 32 32 1 lim 21 x x xx x L xxx     . A. L  B.0L  C. 1 L  D. 1 2 L  Giải. 3 3 1 lim 2 2 x xx L xx  . Ví dụ 3.15. Tìm 34 32 1 lim 21 x x xx x L xxx     . A. L  B.0L  C. 1L  D. 1 2 L  Giải. 4 3 lim 2 x x L xx  . Ví dụ 3.16. Tìm 34 34 1 lim 21 x x xx x L xxx     . A. L  B.0L  [...]... y2 1 2  y2  1  y2 1  y2 Fx 1 1  y2   2  y2 2  y2 Fy 1  y2 1.5 Đạo hàm cấp cao  Giả sử f ( x) có đạo hàm f ( x) và f ( x) có đạo hàm thì  f ( x )   f ( x) là đạo hàm cấp 2 của f ( x)  Tương tự, ta có f ( n ) ( x)   f ( n 1) ( x)  là đạo hàm cấp n của f ( x) Ví dụ 1.12 Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số y  arctan( x  1)  2 x 2x  2 2 x B y  2 A y  2 2 ( x  2 x... 1.15 Tìm vi phân cấp 1 của hàm số y  arctan 2 xdx 2dx B dy  A dy  2 x(4  ln 2 x) 4  ln x xdx 4dx D dy  C dy  2 x(4  ln x) 2(4  ln 2 x)  ln x  1 1   1 4 2 2  2   2x  2x    dy  dx Giải y  2 2 2 2 2 x(4  ln 2 x)  ln x  1  ln x 4  ln x 2 x 4  ln x x(4  ln x) 1   4 4  2  Giải y  b.Vi phân cấp cao: Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n là: d n... 2 Ví dụ 1.13 Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số y  ln( x  1)  sin x 1 1  cos x B y   sin x A y  2 ( x  1) ( x  1) 2 1 1  cos x  sin x B y  A y  2 ( x  1) ( x  1) 2 1 1 Giải y   cos x  y    sin x x 1 ( x  1) 2 1.6 Vi phân a Vi phân cấp một: Vi phân cấp một của hàm số y  f ( x) là: df ( x)  f ( x)dx hay dy  ydx x Ví dụ 1.14 Tìm vi phân cấp 1 của hàm số y  cos... hay y  t x x(t ) xt Ví dụ 1.1 Tìm đạo hàm cấp một y( x) tại x0  1 của hàm số cho bởi phương trình tham số  x  ln t  2 y  t A y(1)  e 2 C y(1)  2 B y(1)  2e2 D y(1)  2e3 1 Giải Ta có x(t )  , y(t )  2t t y(t ) 2t   2t 2 Vậy y( x)  x(t ) 1 t Khi x  1 thì 1  ln t  t  e , do đó y(1)  2t 2  2e 2 Ví dụ 1.2 Tìm đạo hàm cấp một y( x) tại x0  2 của hàm số cho bởi phương... 2e0 2  x  sin t với Ví dụ 1.3 Tìm đạo hàm cấp một y( x) của hàm số cho bởi phương trình tham số  2  y   cos t   t   0;   2 1 1 A y( x)  B y( x)  2sin t 2 cos t C y( x)  2 cos t D y( x)  2sin t Giải Ta có xt  cos t , yt  2 cos t ( sin t )  2 cos t sin t y 2 cos t sin t  2sin t Vậy y  t  x xt cos t Ví dụ 1.4 Tìm đạo hàm cấp một y( x) của hàm số cho bởi phương trình... 1.5 Tìm đạo hàm cấp một y( x) tại x0   4  x  arctan t   y  ln 2t   A y    0 4   A y    1 4 của hàm số cho bởi phương trình tham số   B y    2 4   1 B y    4 2 1 2 1 , y(t )   2 1 t 2t t 1 1 t2 y(t )  t  Vậy y( x)  1 x(t ) t 1 t2 Giải Ta có x(t )  Khi x   4 thì    arctan t  t  1 , do đó y( )  4 4 Ví dụ 1.6 Tìm đạo hàm cấp một y( x)... phân cấp 2 của hàm số y  ln(1  x 2 ) A d 2 y  2 C d 2 y  x2  1 dx 2 ( x 2  1) 2 x2  1 dx 2 ( x 2  1) 2 Giải y  B d 2 y  2 D d 2 y   x2  1 2 dx ( x 2  1) 2  x2  1 2 dx ( x 2  1) 2 2 x 2(1  x 2 )  ( 2 x)( 2 x) 2  2 x 2  4 x 2 2  2 x 2  x2 1  y     2 2 2 1  x2 (1  x 2 ) 2 ( x 2  1) 2 ( x  1) 2 ( x  1) 2  x2  1 2 dx ( x 2  1) 2 Ví dụ 1.17 Tìm vi phân cấp 2... Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số   u  v   u  v   u  v   u  v   uv   uv  uv  u  u v  uv    v2 v b Các công thức đạo hàm của một số hàm số sơ cấp   x   2 1 x   x    x 1    sin x   cos x   cos x    sin x   tan x   1  1  tan 2 x cos 2 x   e x   e x   ln x   1   1  cot 2 x  sin 2 x   a x   a... Nếu f ( x) liên tục trên khoảng (a, b) chứa x0 và f ( x0 )  f ( x) (hay f ( x0 )  f ( x) ) với mọi x  (a, b) \{xo } thì f ( x) đạt cực tiểu (hay cực đại) tại x0 Định lý Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng (a, b) chứa x0 thỏa f ( x0 )  0 và f ( x0 )  0 Nếu:  f ( x0 )  0 thì f ( x) đạt cực tiểu tại x0  f ( x0 )  0 thì f ( x) đạt cực đại tại x0 Chú ý: Trước khi tìm khoảng... của hàm số y  e B M  e5 , m  e3 A M  e3 , m  e 2 D M  e5 , m  e 2 C M  e5 , m  1 x2  4 trên [ 5; 21] 2.6 Công thức khai triển Maclaurin Cho hàm f ( x) liên tục trên [a, b] và có đạo hàm đến cấp n  1 trên (a, b) Khi đó với x thuộc (a, b) ta có: f (0) f (0) 2 f ( n ) (0) n f ( x)  f (0)  x x   x  0( x n ) n! 1! 2! Ví dụ 2.30 Viết khai triển Maclaurin của hàm số y  tan x đến số . Quy tắc ngắt bỏ VCL cấp cao. Giả sử ta cần tính 0 lim xx L   tổng hữu hạn các VCL tổng hữu hạn các VCL . Khi ấy ta có 0 lim xx L   VCL có cấp cao nhất của tử VCL có cấp cao nhất của mẫu       b.Vi phân cấp cao: Giả sử hàm số ()yfx có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n là:   1()nnnn dy dd y y dx  . Ví dụ 1.16. Tìm vi phân cấp 2 của hàm số 2 ln(1 )yx    0 lim xx x k x     . Khi đó:  0k  :   x  là VCL cấp thấp hơn   x  .  k :   x  là VCL cấp cao hơn   x  .  0k  và k :   x  là VCL cùng cấp với   x  .  1k  :   x 