Bài tập toán cao cấp tập 3 part 4 pot

1 Tiˆ eu chuˆ a’n Cauchy... T´ıch phˆanMo.i t´ıch phˆan hˆo.i tu... T´ıch phˆan th´u.. c´o diˆe`u kiˆe.n khˆong tuyˆe.t dˆo´i... cu’a t´ıch phˆan1Z... cu’a t´ıch phˆan d˜a cho.. H`am du.

2) Cˆ ong th´ u.c Newton-Leibnitz Nˆe´u trˆen khoa’ng [a, +∞) h` am f (x)

liˆen tu.c v`a F (x), x ∈ [a, +∞) l`a nguyˆen h`am n`ao d´o cu’a n´o th`ı

3) Cˆ ong th´ u.c dˆ o’i biˆ e´n Gia’ su ’ f (x), x ∈ [a, +∞) l`a h`am liˆen tu.c,

ϕ(t), t ∈ [α, β] l`a kha’ vi liˆen tu.c v`a a = ϕ(α) 6 ϕ(t) < lim

4) Cˆ ong th´ u.c t´ıch phˆ an t` u.ng phˆ ` n Nˆe´u u(x) v`a v(x), x ∈ [a, +∞) a

l`a nh˜u.ng h`am kha’ vi liˆen tu.c v`a lim

x→+∞ (uv) tˆ` n ta.i th`ı:o+∞

3 C´ ac diˆ `u kiˆ e e.n hˆo.i tu.

1) Tiˆ eu chuˆ a’n Cauchy T´ıch phˆan

2) Dˆ a´u hiˆ e.u so s´anh I Gia’ su ’ g(x) > f (x) > 0 ∀ x > a v`. a f (x),

g(x) kha’ t´ıch trˆ en mo.i doa.n [a, b], b < +∞ Khi d´o:

3) Dˆ a´u hiˆ e.u so s´anh II Gia’ su ’ f (x) > 0, g(x) > 0 ∀ x > a v`. a

lim

x→+∞

f (x) g(x) = λ.

D - i.nh ngh˜ıa T´ıch phˆan

Mo.i t´ıch phˆan hˆo.i tu tuyˆe.t dˆo´i dˆe`u hˆo.i tu

3) T`u dˆa´u hiˆe.u so s´anh II v`a (11.29) r´ut ra

Dˆ a´u hiˆ e.u thu .c h`anh Nˆe´u khi x → +∞ h`am du.o.ng f(x) l`a vˆo

c`ung b´e cˆa´p α > 0 so v´o.i 1

1/b 1/2

2 Nhu vˆa.y t´ıch phˆan d˜a cho

x dˆe’ so s´anh v`a c´o

lim

x→+∞

f (x) ϕ(x) = limx→+∞

(2x2+ 1)x

x2+ 3x + 4 = 2 6= 0.

V`ı t´ıch phˆan

∞Z

Gia’i Ta c´o bˆa´t d˘a’ng th´u.c

Ta x´et su hˆo.i tu tuyˆe.t dˆo´i Ta c´o

| sin x| > sin2x = 1 − cos 2x

2v`a do vˆa.y ∀ b > 1 ta c´o

T´ıch phˆan th´u nhˆa´t o.’ vˆe´ pha’i cu’a (11.31) phˆan k`y T´ıch phˆan th´u.hai o.’ vˆe´ pha’i d´o hˆo.i tu (diˆe`u d´o du.o c suy ra b˘a`ng c´ach t´ıch phˆan t`u.ngphˆ` n nhu (11.30)) Qua gi´o.i ha.n (11.31) khi b → +∞ ta c´o vˆe´ pha’iacu’a (11.31) dˆ` n dˆe´n ∞ v`a do d´o t´ıch phˆan vˆe´ tr´ai cu’a (11.31) phˆanak`y, t´u.c l`a t´ıch phˆan d˜a cho hˆo.i tu c´o diˆe`u kiˆe.n (khˆong tuyˆe.t dˆo´i) N

5 )

x2+ x + 1. (DS ln



1 +√23

2 dx (ta.i sao ?) v`a ´ap

du.ng dˆa´u hiˆe.u so s´anh II

Tiˆe´p dˆe´n ´ap du.ng dˆa´u hiˆe.u so s´anh II.

11.4.2 T´ıch phˆ an suy rˆ o ng cu ’ a h` am khˆ ong bi ch˘a.n

1 Gia’ su.’ h`am f (x) x´ ac di.nh trˆen khoa’ng [a, b) v`a kha’ t´ıch trˆen mo.i

doa.n [a, ξ], ξ < b Nˆe´u tˆo` n ta.i gi´o.i ha.n h˜u.u ha.n

th`ı gi´o.i ha.n d´o du.o c go.i l`a t´ıch phˆan suy rˆo.ng cu’a h`am f(x) trˆen [a, b)

v`a k´y hiˆe.u l`a:

b

Z

a

Trong tru.`o.ng ho p n`ay t´ıch phˆan suy rˆo.ng (11.33) du.o c go.i l`a t´ıch

phˆan hˆo.i tu Nˆe´u gi´o.i ha.n (11.32) khˆong tˆo` n ta.i th`ı t´ıch phˆan suy

rˆo.ng (11.33) phˆan k`y

Di.nh ngh˜ıa t´ıch phˆan suy rˆo.ng cu’a h`am f(x) x´ac di.nh trˆen khoa’ng

(a, b] du.o..c ph´at biˆe’u tu.o.ng tu

Nˆe´u h`am f (x) kha’ t´ıch theo ngh˜ıa suy rˆ o.ng trˆen c´ac khoa’ng [a, c)

v`a (c, b] th`ı h`am du.o c go.i l`a h`am kha’ t´ıch theo ngh˜ıa suy rˆo.ng trˆen

doa.n [a, b] v`a trong tru.`o.ng ho p n`ay t´ıch phˆan suy rˆo.ng du.o c x´ac di.nh

bo.’ i d˘a’ng th´u.c:

3) Cˆong th´u.c dˆo’i biˆe´n Gia’ su.’ f (x) liˆen tu.c trˆen [a, b) c`on ϕ(t),

t ∈ [α, β) kha’ vi liˆ en tu.c v`a a = ϕ(α) 6 ϕ(t) < lim

4) Cˆong th´u.c t´ıch phˆan t`u.ng phˆ` n Gia’ su.a ’ u(x), x ∈ [a, b) v` a v(x),

x ∈ [a, b) l`a nh˜u.ng h`am kha’ vi liˆen tu.c v`a lim

x→b−0 (uv) tˆ` n ta.i Khi d´o;o

3 C´ ac diˆ `u kiˆ e e.n hˆo.i tu.

1) Tiˆeu chuˆa’n Cauchy Gia’ su.’ h`am f (x) x´ac di.nh trˆen khoa’ng

[a, b), kha’ t´ıch theo ngh˜ıa thˆong thu.`o.ng trˆen mo.i doa.n [a, ξ], ξ < b

v`a khˆong bi ch˘a.n trong lˆan cˆa.n bˆen tr´ai cu’a diˆe’m x = b Khi d´o

< ε.

2) Dˆ a´u hiˆ e.u so s´anh I Gia’ su ’ g(x) > f (x) > 0 trˆen khoa’ng [a, b).

v`a kha’ t´ıch trˆen mˆo˜i doa.n con [a, ξ], ξ < b Khi d´o:

3) Dˆ a´u hiˆ e.u so s´anh II Gia’ su.’ f(x) > 0, g(x) > 0, x ∈ [a, b) v`a

lim

x→b−0

f (x) g(x) = λ.

Khi d´o:

Dˆ a´u hiˆ e.u thu .c h`anh Nˆe´u khi x → b − 0 h`am f(x) > 0 x´ac di.nh

v`a liˆen tu.c trong [a, b) l`a vˆo c`ung l´o.n cˆa´p α so v´o.i 1

1 − x2 liˆen tu.c v`a do d´o n´o kha’ t´ıch trˆen mo.i

doa.n [0, 1 − ε], ε > 0, nhu ng khi x → 1 − 0 th`ı f(x) → +∞ Ta c´o

V´ ı du 2 Kha’o s´at su hˆo.i tu cu’a t´ıch phˆan

1Z

V´ ı du 3 Kha’o s´at su hˆo.i tu cu’a t´ıch phˆan

1Z

T´ıch phˆan

1Z

0

dx

x α hˆo.i tu khi α > 1 nˆen v´o.i α > 1 t´ıch phˆan du.o c

x´et hˆo.i tu Nhu vˆa.y ca’ hai t´ıch phˆan o.’ vˆe´ pha’i (11.34) chı’ hˆo.i tu khi

1 < α < 2.

D´o ch´ınh l`a diˆ`u kiˆe.n hˆo.i tu cu’a t´ıch phˆan d˜a cho Ne

V´ ı du 5 Kha’o s´at su hˆo.i tu cu’a t´ıch phˆan

1Z

Gia’i H`am du.´o.i dˆa´u t´ıch phˆan khˆong bi ch˘a.n trong lˆan cˆa.n pha’i

cu’a diˆe’m x = 0 Khi x → 0 + 0 ta c´o

√125)

T´ıch phˆ an h` am nhiˆ `u biˆ e e´n

12.1 T´ıch phˆ an 2-l´ o.p 118

12.1.1 Tru.`o.ng ho p miˆe`n ch˜u nhˆa.t 118

12.1.2 Tru.`o.ng ho p miˆe`n cong 118

12.1.3 Mˆo.t v`ai ´u.ng du.ng trong h`ınh ho.c 121

12.2 T´ıch phˆ an 3-l´ o.p 133

12.2.1 Tru.`o.ng ho p miˆe`n h`ınh hˆo.p 133

12.2.2 Tru.`o.ng ho p miˆe`n cong 134

12.2.3 136

12.2.4 Nhˆa.n x´et chung 136

12.3 T´ıch phˆ an d u.` o.ng 144

12.3.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 144

12.3.2 T´ınh t´ıch phˆan du.`o.ng 146

12.4 T´ıch phˆ an m˘ a t 158

12.4.1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 158

12.4.2 Phu.o.ng ph´ap t´ınh t´ıch phˆan m˘a.t 160

12.4.3 Cˆong th´u.c Gauss-Ostrogradski 16212.4.4 Cˆong th´u.c Stokes 162

12.1.1 Tru.` o.ng ho . p miˆe `n ch˜ u nhˆ a t

Gia’ su.’

D = [a, b] × [c, d] = {(x, y) : a 6 x 6 b, c 6 y 6 d}

v`a h`am f (x, y) liˆen tu.c trong miˆe`n D Khi d´o t´ıch phˆan 2-l´o.p cu’a

h`am f (x, y) theo miˆ`n ch˜e u nhˆa.t

Trong (12.1): dˆ` u tiˆen t´ınh t´ıch phˆan trong I(x) theo y xem x l`a h˘a`nga

sˆo´, sau d´o t´ıch phˆan kˆe´t qua’ thu du.o c I(x) theo x Dˆo´i v´o.i (12.2) ta

c˜ung tiˆe´n h`anh tu.o ng tu nhu.ng theo th´u tu ngu.o c la.i

12.1.2 Tru.` o.ng ho . p miˆe `n cong

Gia’ su.’ h`am f (x, y) liˆen tu.c trong miˆe`n bi ch˘a.n

D = {(x, y) : a 6 x 6 b; ϕ1(x) 6 y 6 ϕ2(x)}

trong d´o y = ϕ1(x) l`a biˆen du.´o.i, y = ϕ2(x) l`a biˆen trˆen, ho˘a.c

D = {(x, y) : c 6 y 6 d; g1(y) 6 x 6 g2(y)}

trong d´o x = g1 (y) l`a biˆen tr´ai c`on x = g2(y) l`a biˆen pha’i, o.’ dˆay

ta luˆon gia’ thiˆe´t c´ac h`am ϕ1 , ϕ2, g1, g2 dˆ`u liˆen tu.c trong c´ac khoa’nge

tu.o.ng ´u.ng Khi d´o t´ıch phˆan 2-l´o.p theo miˆ`n D luˆon luˆon tˆoe ` n ta.i

Dˆe’ t´ınh t´ıch phˆan 2-l´o.p ta c´o thˆe’ ´ap du.ng mˆo.t trong hai phu.o.ng

ph´ap sau

1+ Phu.o.ng ph´ap Fubini du a trˆen di.nh l´y Fubini vˆe` viˆe.c du.a t´ıchphˆan 2-l´o.p vˆ` t´ıch phˆan l˘a.p Phu.o.ng ph´ap n`ay cho ph´ep ta du.a t´ıchephˆan 2-l´o.p vˆ` t´ıch phˆan l˘a.p theo hai th´u tu kh´ac nhau:e

T`u (12.3) v`a (12.4) suy r˘a`ng cˆ a n cu’a c´ ac t´ıch phˆ an trong biˆ e´n thiˆ en

v` a phu thuˆ o c v` ao biˆ e´n m` a khi t´ınh t´ıch phˆ an trong, n´ o du.o . c xem l`a

khˆ ong dˆ o’i Cˆ a n cu’a t´ıch phˆ an ngo` ai luˆ on luˆ on l` a h˘ a `ng sˆ o´.

Nˆe´u trong cˆong th´u.c (12.3) (tu.o.ng ´u.ng: (12.4)) phˆ` n biˆen du.´o.ia

hay phˆ` n biˆen trˆen (tu.o.ng ´a u.ng: phˆ` n biˆen tr´ai hay pha’i) gˆoa ` m t`u mˆo.t

sˆo´ phˆ` n v`a mˆo˜i phˆaa ` n c´o phu.o.ng tr`ınh riˆeng th`ı miˆe`n D cˆa` n chia th`anh

nh˜u.ng miˆ`n con bo.e ’ i c´ac du.`o.ng th˘a’ng song song v´o.i tru.c Oy (tu.o.ng

´

u.ng: song song v´o.i tru.c Ox) sao cho mˆo˜i miˆe`n con d´o c´ac phˆa` n biˆendu.´o.i hay trˆen (tu.o.ng ´u.ng: phˆ` n biˆen tr´ai, pha’i) dˆea `u chı’ du.o c biˆe’u

diˆe˜n bo.’ i mˆo.t phu.o.ng tr`ınh

2+ Phu.o.ng ph´ap dˆo’i biˆe´n Ph´ep dˆo’i biˆe´n trong t´ıch phˆan 2-l´o.p

du.o c thu c hiˆe.n theo cˆong th´u.c

dudv (12.5)

trong d´o D∗ l`a miˆ`n biˆe´n thiˆen cu’a to.a dˆo cong (u, v) tu.o.ng ´u.ngekhi c´ac diˆe’m (x, y) biˆe´n thiˆen trong D: x = ϕ(u, v), y = ψ(u, v); (u, v) ∈ D∗, (x, y) ∈ D; c`on

J = D(x, y) D(u, v) =

√

2x x−4

i

dx = 90.

Nhu vˆa.y t´ıch phˆan 2-l´o.p d˜a cho khˆong phu thuˆo.c th´u tu t´ınh t´ıch

phˆan Do vˆa.y, cˆa` n cho.n mˆo.t th´u tu t´ıch phˆan dˆe’ khˆong pha’i chiamiˆ`n Ne

V´ ı du 3 T´ınh t´ıch phˆan

ZZ

D (y − x)dxdy trong d´o miˆ`n D du.o ce

gi´o.i ha.n bo.’i c´ac du.`o.ng th˘a’ng y = x + 1, y = x − 3, y = −1

3x v`a ´ap du.ng cˆong th´u.c (12.5) Qua ph´ep dˆo’i biˆe´n d˜a cho.n,

du.`o.ng th˘a’ng y = x + 1 biˆe´n th`anh du.`o.ng th˘a’ng u = 1; c` on y = x − 3

biˆe´n th`anh u = −3 trong m˘ a.t ph˘a’ng Ouv; tu.o.ng tu , c´ac du.`o.ng th˘a’ng

D∗

3

4ududv =

5Z

7/3

dv

4Z

−3

3

4udu = −8 N

Nhˆ a n x´ et Ph´ep dˆo’i biˆe´n trong t´ıch phˆan hai l´o.p nh˘a`m mu.c d´ıch

do.n gia’n h´oa miˆ`n lˆa´y t´ıch phˆan C´o thˆe’ l´e uc d´o h`am du.´o.i dˆa´u t´ıchphˆan tro.’ nˆen ph´u.c ta.p ho.n

V´ ı du 4 T´ınh t´ıch phˆan

ZZ

D (x2+ y2)dxdy, trong d´ o D l`a h`ınh tr`ongi´o.i ha.n bo.’i du.`o.ng tr`on x2+ y2 = 2x.

Gia’i Ta chuyˆe’n sang to.a dˆo cu c v`a ´ap du.ng cˆong th´u.c (12.7)

Cˆong th´u.c liˆen hˆe (x, y) v´o.i to.a dˆo cu c (r, ϕ) v´o.i cu c ta.i diˆe’m O(0, 0)

c´o da.ng

x = r cos ϕ, y = r sin ϕ. (12.14)Thˆe´ (12.14) v`ao phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng tr`on ta thu du.o..c r2

Gia’i H`ınh chiˆe´u cu’a vˆa.t thˆe’ T lˆen m˘a.t ph˘a’ng Oxy l`a

1Z

−1

dx

1Z

x2

(x2+ y2)dy

=

1Z

−1

h

x2y + y

33

V´ ı du 6 T`ım diˆe.n t´ıch m˘a.t cˆa` u b´an k´ınh R v´o.i tˆam ta.i gˆo´c to.a dˆo

Gia’i Phu.o.ng tr`ınh m˘a.t cˆa` u d˜a cho c´o da.ng

x = r cos ϕ

y = r sin ϕ

J = r

= 4πR2. N

V´ ı du 7 T´ınh diˆe.n t´ıch phˆa` n m˘a.t tru x2

= 2z gi´o.i ha.n bo’ i giao.tuyˆe´n cu’a m˘a.t tru d´o v´o.i c´ac m˘a.t ph˘a’ng x−2y = 0, y = 2x, x = 2√2

Gia’i Dˆ˜ thˆa´y r˘a`ng h`ınh chiˆe´u cu’a phˆae ` n m˘a.t d˜a nˆeu l`a tam gi´acv´o.i c´ac ca.nh n˘a`m trˆen giao tuyˆe´n cu’a m˘a.t ph˘a’ng Oxy v´o.i c´ac m˘a.t

f (x, y)dxdy theo miˆ `n D gi´o.ie

ha.n bo.’i c´ac du.`o.ng d˜a chı’ ra (Dˆe’ ng˘a´n go.n ta k´y hiˆe.u f(x, y) = f(−)).

1 x = 3, x = 5, 3x − 2y + 4 = 0, 3x − 2y + 1 = 0.

(DS

5Z

3 x2+ y2 6 1, x > 0, y > 0.

(DS

1Z

−2

dx

3 2

f (−)dx. (DS

4Z

1/2

dx

2Z

1/x

f dy +

2Z

1

dx

2Z

2a − x ; D l`a h`ınh tr`on b´an k´ınh a n˘a`m trong g´oc vuˆong I

v`a tiˆe´p x´uc v´o.i c´ac tru.c to.a dˆo (DS 8

ydxdy; x = R(t − sin t), y = R(1 − cos t), 0 6 t 6 2π (l`a miˆ`ne

gi´o.i ha.n bo.’i v`om cu’a xicloid.) (DS 5

)

... miˆe`n cong 1 34

12.2 .3 136

12.2 .4 Nhˆa.n x´et chung 136

12 .3 T´ıch phˆ an d u.` o.ng 144

12 .3. 1 C´ac di.nh ngh˜ıa co ba’n 144

12 .3. 2 T´ınh t´ıch... cong 118

12.1 .3 Mˆo.t v`ai ´u.ng du.ng h`ınh ho.c 121

12.2 T´ıch phˆ an 3- l´ o.p 133

12.2.1 Tru.`o.ng ho p miˆe`n h`ınh hˆo.p 133

12.2.2 Tru.`o.ng... data-page="20">

12 .4 .3 Cˆong th´u.c Gauss-Ostrogradski 16212 .4. 4 Cˆong th´u.c Stokes 162

12.1.1 Tru.` o.ng ho . p miˆe `n ch˜ u nhˆ a t

Gia’