Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt O1, O2 lần lượt tại M và N... Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt O1, O2 lần lượt tại M và N... Qua B kẻ đường thẳng vuơng gĩc với DE, đườ
Trang 1SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Ngày 12 tháng 6 năm 2010
MÔN: TOÁN
( Thời gian 120 phút, không kể thời gian giao đề ) Bài 1: ( 2,5 điểm )
Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình x2 + ax + 1= 0 và x2 + bx + c = 0
có nghiệm chung, đồng thời các phương trình x2 + x + a = 0 và x2 + cx + b = 0 cũng có nghiệm chung Hãy tìm tổng a + b + c
Bài 2: ( 1,5 điểm )
Cho 3 số thực x, y, z đều lớn hơn 2 và thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh rằng: (x–2)(y–2)(z–2) ≤1 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 3: ( 1,5 điểm )
Cho a > c, b > d Chứng minh rằng: (a + b + c + d)2> 8(ad + bc)
Bài 4: ( 1,5 điểm )
Cho hình bình hành ABCD, M là điểm nằm trong hình bình hành sao cho AMB + CMD =
1800 Chứng minh rằng: MAD = MCD
Bài 5: ( 3 điểm )
Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B Đường thẳng O1A cắt (O2) tại C, đường thẳng O2A cắt (O1) tại D Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O1), (O2) lần lượt tại M
và N Chứng minh rằng:
a) Năm điểm B, C, D, O1, O2 cùng nằm trên cùng một đường tròn
b) BC + BD = MN
Trang 2ĐÁP ÁN Bài 1.
Lời giải:
Gọi x1 là nghiệm chung của các phương trình x2 + ax + 1= 0 và x2 + bx + c = 0
Ta có: x12 + ax1 + 1= 0 và x12 + bx1 + c = 0 Trừ vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được: (a – b)x1
Gọi x2 là nghiệm chung của các phương trình: x2 + x + a = 0 và x2 + cx + b = 0
Lý luận tương tự như trường hợp đầu, ta có: (c–1)x2 + b – a =0
Từ (1) và (2) suy ra x1x2 = 1
Vì x1 là nghiệm của phương trình x2 + ax + 1= 0 nên x2 là nghiệm còn lại của phương trình trên
Lại vì x2 là nghiệm của phương trình x2 + x + a = 0 nên x22 + x2 + a = 0 (4)
Vế trừ vế hai đẳng thức (3) và (4) ta được: (a – 1)(x2 – 1) = 0 (5)
Dễ dàng nhận thấy vì với a = 1, phương trình x2 + ax + 1 = 0 không có nghiệm thực Do
đó từ (5) suy ra x2 = 1
Vì x2 là nghiệm của phương trình x2 + x + a = 0 nên a + 2 = 0 (6)
Vì x2 là nghiệm của phương trình x2 + cx + b = 0 nên b + c + 1 = 0 (7)
Trang 3Từ (6) và (7), cộng vế theo vế ta được a + b + c + 3 =0, hay là a + b + c = –3 Vậy a + b + c = –3
Bài 2: Cho 3 số thực x, y, z đều lớn hơn 2 và thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh rằng: (x–2)(y–2)(z–2) ≤1 Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Lời giải:
Đặt , , Từ giả thiết ban đầu của bài toán, ta suy ra:
Ta có: (x–2)(y–2)(z–2) ≤1
(1 – 2a)(1 – 2b)(1 – 2c) abc
(a+b+c–2a)(a+b+c–2b)(a+b+c–2c) abc
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có:
2a = (c+a–b) + (a+b–c) 2
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (c+a–b) = (a+b–c) b = c
Lý luận tương tự, ta có:
Trang 4b (3)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = c
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
Nhân vế theo vế các bất đẳng thức (2), (3), (4) ta được bất đẳng thức (1) Suy ra ĐPCM
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = x = y = z = 3
Bài 3: Cho a > c, b > d Chứng minh rằng: (a + b + c + d)2> 8(ad + bc)
Lời giải:
Ta có:
(a + b + c + d)2 – 8(ad + bc) =
(a2 + b2 + c2 + d2) + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd – 8(ad + bc)
= 4(ab + cd – ad – bc) + (a2 + b2 + c2 + d2 –2ab – 2cd –2ad – 2bc + 2ac + 2bd)
= 4(a – c)(b – d) + (a + c – b – d)2 > 0
ĐPCM
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, M là điểm nằm trong hình bình hành sao cho AMB +
CMD = 1800 Chứng minh rằng: MAD = MCD
Lời giải:
Qua M kẻ đường thẳng (d) song song với AD và lấy trên (d) điểm N sao cho:
MN = AD = BC Dễ dàng chứng minh được tứ giác ADMN và tứ giác BCMN là hình bình hành
Trang 5NA = MD và NB = MC
MCD = NAB (cạnh, cạnh, cạnh)
ANB = CMD
ANB + AMB = CMD + AMB = 1800
tứ giác AMBN là tứ giác nội tiếp
Ta có:
NBA = AMN (tứ giác AMBN là tứ giác nội tiếp) (2)
Từ (1), (2), (3) suy ra: MCD = MAD ĐPCM
Bài 5: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) cắt nhau tại A và B Đường thẳng O1A cắt (O2) tại C, đường thẳng O2A cắt (O1) tại D Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O1), (O2) lần lượt tại M và N Chứng minh rằng:
a) Năm điểm B, C, D, O1, O2 cùng nằm trên cùng một đường tròn
b) BC + BD = MN
Lời giải:
a) Ta có: O1O2A = O1O2B (cạnh, cạnh, cạnh)
O1AO2 = O1BO2
Lại có CAO2 = ACO2(Tam giác ACO2 cân)
Trang 6Từ đó suy ra:
O1BO2 + O1CO2 = O1AO2 + CAO2 = 1800
Tứ giác BO1O2C nội tiếp
Chứng minh tương tự, tứ giác BO1O2D cũng là tứ giác nội tiếp
Năm điểm B, C, D, O1, O2 cùng nằm trên một đường tròn ĐPCM
b) Tứ giác BO2CD nội tiếp, có hai dây cung BO2 và CO2 bằng nhau nên DO2 là phân giác góc
Mặt khác, vì CD song song với MN nên DAM = ADC(2)
Từ (1) và (2) suy ra DAM = ADB
DAB = DAM + MAB = ADB + MDB = MDA
BD = MA (Mối tương quan giữa góc và dây cung của đường tròn (O1) (3)
Từ (3) và (4) suy ra MN = MA + NA = BD + BC
Vậy MN = BC + BD ĐPCM
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Ngày 12 tháng 6 năm 2010
MÔN: TOÁN
( Thời gian 120 phút, không kể thời gian giao đề )
Bài 1 ( 2 điểm )
Trang 7a) Tính ( 28 12 7) 7 2 21
b) Giải hpt: 34x x y2y512
Bài 2 ( 2,5 điểm )
Cho hàm số y= f(x) = x 3 1 cĩ đồ thị (d)
a) Các điểm A( 1
3;0) ; B(1; 3 1 ); cĩ nằm trên đồ thị hàm số khơng? Vì sao?
b) Khơng tính, hãy so sánh các giá trị f (1 3) và f( 2 3)
c) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị (d) với đường thẳng OC (O là gốc tọa độ)
Bài 3 ( 1,5 điểm )
Cho pt bậc hai đối với ẩn x : x2 2(m 1)x m 2 0(1)
Tìm các giá trị của m để phương trình (1) cĩ hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm đĩ cĩ nghiệm bằng -2
Bài 4: ( 1 điểm )
Chứng minh rằng đường thẳng y = (m – 2)x + 3m – 7 (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định với mọi m
Bài 5 ( 3 điểm )
Cho hình vuơng ABCD, điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuơng gĩc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE và DC theo thứ tự ở H và K
a) Chứng minh BHCD là tứ giác nội tiếp
b) Tính số đo gĩc CHK
c) Chứng minh tỉ số: KC.KD = KH.KB
ĐÁP ÁN
Bài 1.
a) ( 28 12 7) 7 2 21 = 7
b) 43x x y2y512
x
x y
Trang 83
x
y
Bài 2.
a) Thay tọa độ điểm A vào phương trình: y x 3 1 ; ta cĩ:
Với x = 1
3 y = 0 Suy ra điểm A (d)
Tương tự ta cĩ B (d)
b) a 3 0 nên hàm số f x( ) x 3 1 đồng biến trên R
Ta cĩ: 2 1 2 3 1 3 f( 2 3) f(1 3)
c) Viết pt OC : y = ax Đường thẳng OC đi qua C
2
PT OC cĩ dạng : y 3 22 x
Tọa độ giao điểm của (d) và OC là nghiệm của hệ pt:
3 1
3 2 2
y x
Giải hệ được x0; x ; y là tọa độ giao điểm cần tìm: ( 2 ; 4 3 7)
Bài 3.
Ta cĩ ' 2m 1 0nên 1
2
m Vậy 1
2
m thì pơhương trình cĩ hai nghiệm phân biệt
Goị hai nghiệm của pt (1) là x1; x2
Ta cĩ: 1 2 2
1 2
(2)
x x m
Vì pt(1) cĩ nghiệm x1 = -2 nên m1 = 0; m2 = 4
Kết hợp với điều kiện suy ra m = 0; m= 4
Bài 4.
Giả sử đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định M(x0; y0) => y0 = (m – 2) x0 + 3m – 7 Suy luận đến phương trình :-(x0 +3)m + 2 x0 + y0 + 7 = 0 có nghiệm với mọi m
<=>
0 7 2
0 3
0 0
0
y
x
x
1 3
0 0
y x
Vậy đường thẳng ( d ) luơn đi qua một điểm cố định M(-3; -1) với mọi m
Trang 9Bài 5
A B
H
E
D C K
a) Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp
Ta có:
0 0
90 90
BCD BHD
=> BHCD thuộc đường tròn đường kính BD => tứ giác BHCD nội tiếp
b) Tìm số đo góc CHK
Ta có:
DHC DBC
=>DHC 45 0 => CHK DHK DHC 90 0 45 0 45 0
Vậy CHK 45 0
c) CM được tam giác KHC đồng dạng tam giác KDB
Suy ra KC HD = KH KB
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 Ngày 12 tháng 6 năm 2010
MÔN: TOÁN
( Thời gian 120 phút, không kể thời gian giao đề ) Bài 1 ( 2 điểm )
Cho hai số dương a và b Xét tập hợp:
Trang 10Chứng minh rằng: các số và đều thuộc T
Bài 2: ( 1,5 điểm )
Một ô tô đi trên quãng đường AB với vận tốc 50km/h rồi đi tiếp quãng đường BC với vận tốc là 45km/h Biết tổng cộng quãng đường AB và BC dài 165km và thời gian đi trên quãng đường AB ít hơn thời gian đi trên quãng đường BC là 30 phút Tính thời gian ô tô đi trên mỗi đoạn đường AB, BC
Bài 3 ( 1,5 điểm )
Chứng minh rằng:
Bài 4 ( 2 điểm )
Bài 5 ( 3 điểm )
Cho nửa đường trịn (O, R) đường kính AB, M là điểm chuyển động trên nửa đường trịn Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B lần lượt ở C và D Đường thẳng OC cắt MA tại E, đường thẳng OD cắt MB tại F Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp và xác định vị trí của M để bán kính đường trịn ngoại tiếp tứ giác CEFD nhỏ nhất
ĐÁP ÁN Bài 1:
Trang 11Từ đĩ suy ra thuộc T
Từ đĩ suy ra thuộc T
Bài 2: (3đ)
Gọi x, y là thời gian ô tô đi trên đoạn đường AB và BC ( điều kiện cho ẩn: y > x > 0 ) Đổi 30’ = 0,5 giờ
Quảng đường xe đi được trên đoạn AB: 50x
Quảng đường xe đi được trên đoạn BC: 45y
Theo bài ra ta cĩ hệ phương trình:
165 45
50
5 ,
0
y
x
y
x
Giải hệ ta cĩ:
2 5 , 1
y x
Vậy thời gian xe đi trên quãng đường AB là 1,5 giờ
Vậy thời gian xe đi trên quãng đường BC là 2 giờ
Bài 3.
Bằng quy nạp, dễ dàng suy ra:
Hay là:
Suy ra: (2)
Trang 12Từ (2), kết hợp với suy ra (4)
Từ (1) và (4) suy ra:
Và cũng bằng quy nạp, ta dễ dàng suy ra:
Hay là:
Suy ra
Từ (3) và (5) suy ra điều phải chứng minh
Bài 4.
Dễ dàng nhận thấy là số hữu tỷ và là số vô tỷ Suy ra
Xét các trường hợp sau:
Từ đó suy ra
Mặt khác:
Trang 13Suy ra , hay là
Từ đó suy ra
Mặt khác:
Bài 5
Dễ dàng nhận thấy E là trung điểm của MA, F là trung điểm của MB Từ đó suy ra OE, OF, EF
là các đường trung bình của tam giác MAB
(1)
(so le trong) (3)
(4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra
Suy ra tứ giác CEFD nội tiếp ĐPCM
Gọi I, K lần lượt là trung điểm của CE, DF, J là giao điểm của hai đường trung trực của CE và DF
Dễ dàng nhận thấy J là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD , JI CE , JK DF và
tứ giác JKOI là hình chữ nhật
Trang 14Vì J là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD nên JF là bán kính của đường tròn Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của JF
Ta có:
Mặt khác:
Do đó:
Vì
Do đó
Suy ra
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
M là điểm chính giữa cung AB của đường tròn (O)
Kết luận: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEFD đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi M là điểm chính giữa cung AB của đường tròn (O)