Toán 9_ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT

Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Một số sai sót HS thờng mắc phải - khắc phục và định hớng lời giải một số bài toán về rút gọn biểu thức ( su tầm và biên soạn: Nguyễn Quốc Thọ) Đặt vấn đề: Sau nhiều năm ôn tập cho học sinh thi tốt nghiệp THCS thi tuyến sinh vào lớp 10 THPT thu thập và tìm hiếu các đề thi chúng tôi đã định hớng ra chơng trình ôn thi cho học sinh khối 9 sau khi đã hoàn thanh chơng trình THCS. Chơng trình ôn tập gồm 4 phần trọng tâm, trong đó một phần các đề thi thờng xuất hiện đó là các bàitoán rút gọn biếu thức. Trong bài toán rút gọn biểu thức tôi định ra các mức độ nh sau: Cơ sở lý thuyết: Cho biểu thức A (x) a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của A tại x=? c) Tìm giá trị của x z để A z Tìm giá trị nhỏ nhất, giá tri lớn nhất của A Tìm giá trịcủa x để A.f(x) =g(x) Tìm giá trị của x để A=k; A k;A k Tìm x để A A> . Tìm x để A A> . Dạng 1 Bài 1 Cho biểu thức x 2 1 A ( ): x 1 x x x 1 = + ( Đề thi lớp 10A1 trờng THPT NLII năm học 2007-2008) a) Tìm điều kiện xác định, Rút gọn A b)Tính giá trị của A khi x=3-2 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1. Rút gọn x 2 1 x 2 1 A ( ): ( ): x 1 x x x 1 x 1 x 1 x( x 1) = + = + 2 ( x) 2 x 1 (x 2)( x 1) x 2 A . 1 x( x 1) x( x 1) x + + + = = = b. Khi x= 3-2 2 = 2 ( x 1) x 2 1 = ( ) ( ) 5 2 2 2 1 3 2 2 2 5 2 2 A 1 3 2 1 2 1 2 1 + + = = = = c) Ta có A= x 2 2 x 2 2 x x + = + ( BĐT Côsi cho hai số dơng) min 2 A 2 2 x x 2 x = = = (TMĐK) Vậy A min =2 2 x 2 = . Bài 2: ( Đề thi tốt nghiệp năm 2002-2003) Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 1 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Cho biểu thức 1 1 3 A : x 3 x 3 x 3 = ữ + a) Tìm điều kiện xác định, rút gọn biểu thức A b) Với giá trị nào của xthì A > 1 3 c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất Bài giải: a) ĐKXĐ x 0;x 9 ( ) ( ) ( ) x 3 x 3 1 1 3 A : x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 + = = ữ + + . x 3 3 = ( ) ( ) 6 x 3 x 3 + . x 3 3 A = 2 x 3+ b) A > ( ) 1 2 1 2 1 3 x 0 0 3 3 3 x 3 x 3 3 x 3 > > > + + + 3 x 0 > ( vì 3( ( x 3) 0)+ > x 9 x 9 < < Kết quả hợp với ĐKXĐ: 0 x 9 thì A > 1/3. c) 2 A x 3 = + đạt giá trị lớn nhất khi x 3+ đạt giá trị nhỏ nhất. Mà ( ) min x 3 3 x 3 3 x 0 x 0+ + = = = lúc đó A Max = 2 x 0. 3 = Bài 3: ( Đề thi vào lớp 10 năm học 2008-2009) Cho biểu thức 3 1 1 P : 1 x x 1 x 1 = + ữ + + a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tìm các giá trị của x để P = 5 4 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M x 12 1 . P x 1 + = Bài giải: a) ĐKXĐ x 0;x 1 P = ( ) ( ) ( ) 3 1 3 x 1 x 1 . 1 x 1 x 1 x 1 ( x 1) x 1 + + + = + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 x 1 + + + = + b) ( ) ( ) 5 x 2 5 P 4 x 2 5 x 1 4 x 8 5 x 5. 4 4 x 1 + = = + = + = x 13 x 168 = = (TMĐK) Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 2 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 c) x 12 1 x 12 x 1 x 12 x 4 16 M . . P x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 + + + + = = = = + + + = 16 16 x 2 x 2 4 x 2 x 2 + = + + + + ta có 16 x 2 2 16 2.4 8 x 2 + + = = + min 16 M 8 4 4 M 4 x 2 x 2 = = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x 2 16 x 2 4 x 2 4 0 x 6 x 2 0 x 2 0 x 4(TMDK) + = + + + = + = = = Vậy M min = 4 x 4 = . Bài 4: Cho biểu thức: 2 x x 3x 3 2 x 2 D 1 x 9 x 3 x 3 x 3 + = + ữ ữ + a) Tìm ĐKXĐ ,rút gọn biểu thức b) Tìm x để D < - 1 2 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của D Dạng 2 Bài 1 ( Đề thi vào lớp 10 A 1 trờng THPT NL II năm 2006-2007) Cho biểu thức: a 2 a a a P 1 : 1 a 2 a 1 + = + ữ ữ + a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm a z để P nhận giá trị nghyên. Bài giải: a) ĐKXĐ: a 0;a 1 ( ) ( ) ( ) ( ) a a 2 a a 1 a 1 P 1 1 a 1 : a 1 a 2 a 1 a 1 + = + = + = + + b) a 1 2 P 1 a 1 a 1 = = + + để P nhận giá trị nguyên thì 2 a 1+ nhận giá trị nguyên dơng. a 1 + thuộc ớc dơng của 2. a 1 1 a 0 a 1 a 1 2 + = = = + = a=1 (Loại vì không thoả mãi điều kiện) Vậy P nhận giá trị nguyên khi a = 0 Bài 2: ( Đề thi vào lớp 10 A 1 trờng THPT NL II năm 2004-2005) Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 3 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Cho biểu thức ( ) ( ) 1 1 B 2 x 3 1 2 x 3 1 = + + + a) Tìm x để B có nghĩa và rút gọn B. b) Tìm x nguyên để B nhận giá trị nguyên. Bài giải: a) ĐKXĐ x 3;x 2 B = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 3 1 x 3 1 1 1 2 1 2 x 3 1 2 x 2 x 2 2 x 3 1 2 x 3 1 + + + = = = + + + + + + b) B nhận giá trị nguyên khi 1 x 2+ nhận giá trị nguyên. x 2 + Ư(1) x 2 1 x 1 x 2 1 x 3 + = = + = = thoả mãn điều kiện Vậy x= -1; x= -3 thì B nhận giá trị nguyên Bài 3 Cho biểu thức ( ) 2 2 x 1 x x 2x x P x x 1 x x 1 + = + + + a) Tìm ĐKXĐ , rút gọn P b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P c) Tìm x để biểu thức 2 x Q P = nhận giá trị nguyên. Dạng 3 Bài1 ( Đề thi vào lớp 10 năm học 2006-2007) Cho biểu thức: ( ) 2 1 1 x 1 P : x x 1 x 1 x + = + ữ a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm x để P > 0 Bài giải a) ĐKXĐ x>0; x 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 x 1 1 x 1 1 x 1 x P : . 1 x x 1 x x 1 x x 1 x 1 x + + = + = = + b) P > 0 1 x 0 1 x 0 x > > ( vì x 0)> x 1 x 1. < < Kết hợp với ĐKXĐ: 0 x 1< < thì P > 0 Bài 2 Cho biểu thức Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 4 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 1 1 a 1 a 2 P : a 1 a a 2 a 1 + + = ữ ữ a) Tìm ĐKXĐ, rút gọp P b) Tìm giá trị của a để P > 0 Bài 3 (Đề thi thử tốt nghiệp năm 2003-2004) Cho biểu thức ( ) 2 1 x x 2 x 2 P . 2 x 1 x 2 x 1 + = ữ + + a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P b) Tìm x để P < 1 2 Bài 4 Cho biểu thức: x 3 6 x 4 P x 1 x 1 x 1 = + + a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn P. b) Tìm x để P < 1 2 Bài 5: Cho biểu thức: 1 a a 1 a a B a a 1 a 1 a + = + ữ ữ + a)Tìm ĐKXĐ, rút gọn B b)Tìm a để B < 7- 4 3 Bài 6: Cho biểu thức: a 1 1 2 K : a 1 a 1 a a a 1 = ữ ữ + a) Rút gọn biểu thức K b) Tìm giá trị của K khi a = 3+2 2 c) Tìm giá trị của a sao cho K < 0 Dạng 4 Bài 1 (Đề thi vào lớp 10 năm học 2007-2008) Cho biểu thức x 1 1 A : x 1 x x x 1 = ữ a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn A b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0 c) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phơng trình A. x m x= có nghiệm. Bài giải a) ĐKXĐ: x > 0; x 1 Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 5 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 ( ) ( ) ( ) 2 x 1 x 1 1 x 1 1 x 1 x 1 A : : . 1 x 1 x x x 1 x 1 x 1 x x x 1 x 1 x = = = = ữ b) A < 0 x 1 0 x 1 0 x < < (vì x 0 < ) x 1 < kết hợp với ĐKXĐ 0 <x < 1 thì A < 0 c) P.t: A. x 1 x m x . x m x x 1 m x(1) x = = = ( ) x 1 m x x x m 1 0(*) = + + = Đặt x t= >0 ta có phơng trình ( ) ( ) 2 t t m 1 0 *+ + = để phơng trình (1) có nghiệm thì ph- ơng trình (*) phải có nghiệm dơng. Để phơng trình (*) có nghiệm dơng thì: ( ) ( ) 1 4 m 1 0 m 1 0 = + + + < 5 4m 5 0 m m 1 4 m 1 0 m 1 + > + > > Vậy m>-1 và m 1 thì pt A x m x= có nghiệm. Bài 2: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2004-2005) Cho biểu thức: 1 1 P 1 . x 1 x x = + ữ a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b) Tìm giá trị của P khi x = 25 c) Tìm x để P. ( ) 2 5 2 6. x 1 x 2005 2 3.+ = + + Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1 ( ) 1 1 x 1 P 1 . x 1 x x x 1 x x 1 ữ = + = ữ ữ ( ) 2 1 P x 1 = b) Khi x= 25 ( ) 2 1 1 P 16 25 1 = = c) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 P. 5 2 6. x 1 1 x 2005 2 3 . 2 3 . x 1 x 2005 2 3 x 1 + = + + + = + + 2 3 x 2005 2 3 + = + + x 2005 = TMĐK Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 6 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Vậy x = 2005 thì P. ( ) 2 5 2 6 x 1 x 2005 2 3+ = + + Dạng 5 Bài 1 (Đề thi vào lớp 10 năm học 2003-2004) Cho biểu thức 1 1 1 A . 1 x 1 x 1 x = + + ữ ữ + a) Tìm ĐKXĐ, và rút gọn A. b)Tính giá trị của A khi x= 1 4 . c)Tìm giá trị của x để A A.> Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1 . ( ) ( ) 1 1 1 x 1 x 1 x 1 A . 1 . x 1 x 1 x x x 1 x 1 + + + = + + = ữ ữ + + = ( ) ( ) ( ) 2 x x 1 2 A x 1 x 1 x 1 x + = + b) Khi x = 1 2 2 A 4 1 4 1 1 1 2 4 = = = c) 2 A 0 0 A 1 0 1. x 1 > < < < < ( ) 2 0 x 1 0 x 1 1 x 1 2 2 x 3 1 1 0 0 x 1 x 1 x 1 + < > > + < > > x 3 0 x 9 x 1 0 > > > Vậy x > 9 thì A A> Bài 2: (Đề thi vào lớp 10 năm học 2001-2002) Cho biểu thức ( ) x 2 x 1 A x 1 x x 1 = a) Tìm ĐKXĐ, rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị của biểu thức A c) Với giá trị nào của x thì A A> Bài giải: a) ĐKXĐ x > 0; x 1 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 x 1 A x 1 x x x 1 x x 1 x x 1 + = = = = b) Khi x=36 36 1 5 A 6 36 = = Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 7 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 c) x 1 A A A 0 0 x 1 0 x > < < < (vì x 0> ) x 1 x 1 < < Kết hợp với điều kiện xác định 0 < x <1 thì A A> Chuyên đề tam thức bậc hai ( Su tầm và biên soạn: Nguyễn Đình Dung) A.lý thuyết I. áp dụng công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn để xét số nghiêm phơng trình bậc hai. Cho phơng trình bậc hai: ax 2 +bx+c=0(a 0) 2 b 4ac = .Nếu b=2b ' thì ' = b ' 2 -ac 1. Phơng trình có nghiệm khi . Ta có thể xét hai trờng hợp: +Trờng hợp 1: - Nếu a=0,phơng trình có nghiệm x= c b . +Trờng hợp 2 : { a 0 0 hoặc { ' a 0 0 2.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi . { a 0 0 > hoặc { ' a 0 0 > 3.Phơng trình có nghiệm kép khi. { a 0 0 = hoặc { ' a 0 0 = 4. Phơng trình vô nghiệm khi. { a 0 0 < hoặc { ' a 0 0 < Ví dụ1: Cho phơng trình 2x 2 -(4m+3)x+2m 2 -1=0.Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng trình. a.Phơng trình có nghiệm b.Phơng trình có2nghiệm phân biệt Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 8 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 c.Phơng trình có nghiệm kép d. Phơng trình vô nghiệm Giải: =(4m+3) 2 -4.2(2m 2 -1)=24m+17. a.Phơng trình có nghiệm khi . { a 0 0 { 2 0 24m 17 0 + m 17 24 b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi. { a 0 0 > { 2 0 24m 17 0 17 m 24 + > > c.Phơng trình có nghiệm kép khi. { a 0 0 = 2 0 24m 17 0 17 m 24 + = = d. Phơng trình vô nghiệm khi. { a 0 0 < { 2 0 24m 17 0 17 m 24 + < < Ví du 2 : Cho phơng trình mx 2 -2(m-1)x+(m-4)=0 .Với m là tham số,tìm giá trị m để phơng trình. a.Phơng trình có nghiệm b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt c.Phơng trình có nghiệm kép d. Phơng trình vô nghiệm Giải: Ta có :a 0 m 0 , ' = b '2 -ac= ( ) 2 (m 1) -m(m-4)=m 2 -2m+1-m 2 +4m=2m+1 a.Phơng trình có nghiệm khi . +Trờng hợp 1: - Nếu a=0 m=0 ,phơng trình có nghiệm x= c b m 4 2(m 1) =2. +Trờng hợp 2 : { a 0 0 { m 0 2m 1 0 + m 0 1 m 2 b.Phơng trình có 2 nghiệm phân biệt khi. { a 0 0 > { m 0 m o 2m 1 0 1 m 2 + > Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 9 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 c.Phơng trình có nghiệm kép khi. { a 0 0 = { m 0 2m 1 0 + = m 0 1 m 2 = d. Phơng trình vô nghiệm khi. { a 0 0 < { m 0 m 0 2m 1 0 1 m 2 + < < II . Hệ thức vi- ét và ứng dụng. 1.Hệ thức vi- ét Nếu x 1 ,x 2 là hai nghiệm của phơng trình ax 2 +bx+c=0(a 0) thì x 1 + x 2 = b a và x 1 .x 2 = c a Ví dụ . Tính nhấm nghiêm của phơng trình x 2 -7x+12=0 Giải. Ta có 2 b 4ac = =(-7) 2 -4.12=49-48=1>0 Theo định lý Vi-ét x 1 + x 2 = b a =7, x 1 .x 2 = c a =12 x 1 =3; x 2 =4 2.áp dụng để tính nhấm nghiệm . Cho phơng trình ax 2 +bx+c=0(a 0) -Nếu a+b+c=0 thì x 1 =1và x 2 = c a Ví dụ : Giải phơng trình 3x 2 -7x+4=0 Giải. Ta có a+b+c=3+(-7)+4=0 x 1 =1và x 2 = c a = 4 3 -Nếu a-b+c=0 thì x 1 =-1và x 2 = c a Ví dụ : Giải phơng trình 7x 2 -5x-12=0 Giải. Ta có a-b+c=7-(-5)+(-12)=0 x 1 =-1và x 2 = c a = 12 7 3.áp dụng để xác định dấu các nghiệm Cho phơng trình ax 2 +bx+c=0(a 0 Điều kiện để phơng trình a.Có hai nghiệm trái dấu Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 10 = [...]... trình 100 (giờ) y 100 80 = (1) x y Quảng đờng xe máy đi là 60 km nên thời gian xe máy đi là Quảng đờng ô tô đi lag 120 km nên thời gian ô tô đi là Vì ô tô đi trớc xe máy 54 phút = 60 (giờ) y 120 (giờ) y 9 nên ta có phơng trình 10 120 60 9 = (2) x y 10 100 80 100 80 x = y x y =0 Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình 120 60 = 9 40 20 = 3 x x y 10 y 10 100 80 60 12 x y =0 = x = 50 x 10. .. x - 3 (km/h) Trong 3 giờ 20 phút (= 10 10 giờ) xe máy thứ nhất đi đợc x(km) 3 3 Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 21 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Trong 3 giờ 40 phút (= 11 11 giờ) xe máy thứ nhất đi đợc (x 3)(km) 3 3 Đó là quảng đờng tứ Hà nội đến Thái Bình nên ta có phơng trình 10 11 x = (x 3) x = 33 (thoả mãn điều kiện bài toán) 3 3 Vậy vận tốc của xe máy thứ... : x1 x 2 10 + = x 2 x1 3 Giải: a.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng là : Nguyễn Quốc Thọ - Tổ KHTN - Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 14 = { ' > 0 S>0,P >0 { Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 1 m >0 2 >0,m >0 m { m b.Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm phân biệt ' =1-m > 0 m . đề: Sau nhiều năm ôn tập cho học sinh thi tốt nghiệp THCS thi tuyến sinh vào lớp 10 THPT thu thập và tìm hiếu các đề thi chúng tôi đã định hớng ra chơng trình ôn thi cho học sinh khối 9 sau khi đã. Trờng THCS Nghi Kiều = Trang 6 = Tài liệu ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 Vậy x = 2005 thì P. ( ) 2 5 2 6 x 1 x 2005 2 3+ = + + Dạng 5 Bài 1 (Đề thi vào lớp 10 năm học 2003-2004) Cho biểu thức 1. theo thứ tự ngợc lại ta có xy 63 yx 10x y 63 10y x 9x 9y 63(2) + = + + = + = Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình x y 9 x y 9 2x 2 9x 9y 63 x y 7 x y 9 + = + = = = = + = Nguyễn