Hãy chọn phơng án đúng và viết vào bài làm.. Phơng trình nào sau đây cùng với phơng trình đã cho lập thành một hệ phơng trình vô nghiệm?. Gọi H là trung điểm của BC.. b Đờng thẳng DH son
Trang 1Sở Giáo dục - Đào tạo
Nam định
Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2009-2010
Môn: Toán - Đề chung
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,0 điểm) Trong mỗi câu từ câu 1 đến câu 8 đều có bốn phơng án trả lời A, B, C,
D; trong đó chỉ có một phơng án đúng Hãy chọn phơng án đúng và viết vào bài làm
Câu 1: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị các hàm số y =x2 và y= 4x+m cắt nhau tại hai
điểm phân biệt khi và chỉ khi
A m> − 1 B m> − 4 C m < − 1 D m< − 4
Câu 2: Cho phơng trình 3x− 2y+ 1 = 0 Phơng trình nào sau đây cùng với phơng trình đã cho lập thành một hệ phơng trình vô nghiệm?
A 2x− 3y− 1 = 0 B 6x− 4y+ 2 = 0 C − 6x+ 4y+ 1 = 0 D − 6x+ 4y− 2 = 0 Câu 3: Phơng trình nào sau đây có ít nhất một nghiệm nguyên?
A (x− 5)2 = 5 B 9x2 − 1 = 0 C 4x2 − 4x+ 1 = 0 D x2 +x+ 2 = 0
Câu 4: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, góc tạo bởi đờng thẳng y= 3x+ 5 và trục Ox bằng
Câu 5: Cho biểu thức: P=a 5, với a<0 Đa thừa số ra vào trong dấu căn, ta đợc P bằng
5a
−
Câu 6: Trong các phơng trình sau đây, phơng trình nào có hai nghiệm dơng?
A x2 − 2 2x+ 1 = 0 B x2 − 4x+ 5 = 0 C x2 + 10x+ 1 = 0 D x2 − 5x− 1 = 0 Câu 7: Cho đờng tròn (O; R) ngoại tiếp tam giác MNP vuông cân ở M Khi đó MN bằng
Câu 8: Cho hình chữ nhật MNPQ có MN=4 cm, MQ=3 cm Khi quay hình chữ nhật đã cho một vòng quanh cạnh MN ta đợc một hình trụ có thể tích bằng
A 48π cm3 B 36π cm3 C 24π cm3 D 72π cm3
Bài 2 (2,0 điểm)
1) Tìm x, biết: ( 2x− 1 ) 2 = 9
2) Rút gọn biểu thức:
5 3
4 12
+ +
=
M
3) Tìm điều kiện xác định của biểu thức: A= −x2 + 6x− 9
Trang 2Bài 3 (1,5 điểm) Cho phơng trình: x2 +(3 −m)x+ 2(m− 5)= 0 (1), với m là tham số.
1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, phơng trình (1) luôn có nghiệm x1=2 2) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có nghiệm x2 = 1 + 2 2
Bài 4 (3,0 điểm) Cho đờng tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài đờng tròn (O; R) Đờng
tròn đờng kính AO cắt đờng tròn (O; R) tại M và N Đờng thẳng d qua A cắt (O; R) tại B và C (d không qua O; điểm B nằm giữa hai điểm A và C) Gọi H là trung điểm của BC
1) Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O; R) và H thuộc đờng tròn đờng kính AO 2) Đờng thẳng qua B vuông góc với OM cắt MN ở D Chứng minh rằng:
a) ∠AHN = ∠BDN
b) Đờng thẳng DH song song với đờng thẳng MC
c) HB + HD > CD
Bài 5 (1,5 điểm)
1) Giải hệ phơng trình:
( )
+
−
=
− +
=
− +
1 1
0 2
2 2
2
xy y
x y x
xy y x
2) Chứng minh rằng với mọi x ta luôn có: ( 2x+ 1 ) x2 −x+ 1 > ( 2x− 1 ) x2 +x+ 1
Trang 3
Hết Hớng dẫn làm bài
Bài 1
Bài 2
1) Tìm x, biết ( 2x− 1 ) 2 = 9
−
=
=
⇔
−
=
=
⇔
−
=
−
=
−
⇔
=
−
⇔
4 5 8 2
10 2
9 1
2
9 1
2
9 1
2
x x x x x x x
2) Rút gọn biểu thức:
5 3
4 12
+ +
=
M
5 2
5 2 3 2 3 2
2
5 4 3 4 3 2
5 3 5 3
5 3 4 12
=
+
−
=
−
− +
=
− +
− +
=
M M M M
3) Tìm điều kiện xác định của biểu thức: A= −x2 + 6x− 9
Để A xác định thì
( )
3
0 3
0 9 6
0 9 6
2 2 2
=
⇔
≥
−
−
⇔
≥ +
−
−
⇔
≥
− +
−
x x
x x
x x
1) Ta có:
=
− +
=
−
⇔
=
− +
−
⇔
=
−
−
− +
−
⇔
= +
−
− +
−
⇔
=
− +
− +
⇔
=
− +
− +
0 5
0 2
0 ) 5 )(
2 (
0 ) 2 ( ) 2 ( 5 ) 2 (
0 ) 2 (
) 10 5
( ) 2 (
0 10 2
3
0 5 2
3
2 2 2
m x
x
m x
x
x m x
x x
m mx
x x
x
m mx
x x
m x
m x
Từ đó suy ra phơng trình (1) luôn có nghiệm x1 =2 với mọi m
2) Theo câu 1 ta có phơng trình (1) luôn có nghiệm x1=2
Trang 4áp dụng hệ thức Viét cho phơng trình (1) ta có 1+ 2 = − =m− 3
a
b x x
Vậy để phơng trình (1) có nghiệm x2 = 1 + 2 2thì 2 + 1 + 2 2 =m− 3 ⇒m= 6 + 2 2
Bài 4:
a
d
D
H B
N
M
O A
C
1) Chứng minh: AM là tiếp tuyến của (O; R) và H thuộc đờng tròn đờng kính AO.
+) Ta có ∠AMO =900 (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn đờng kính AO)
Theo giả thiết M là giao điểm của (O) và đờng tròn đờng kính AO, nên M∈(O) (2)
Từ (1) và (2) suy ra MA là tiếp tuyến của (O)
+) Vì H là trung điểm của BC nên OH ⊥ BC (Quan hệ đờng kính và dây)
Suy ra ∠OHA = 900
Nên H thuộc đờng tròn đờng kính AO
2)
a) ∠AHN = ∠BDN
Vì đờng thẳng a qua B vuông góc với OM
=> a // AM
Mặt khác trong đờng tròn đờng kính AO ta có
∠AMN = ∠AHN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN) (4)
Từ (3) và (4) suy ra ∠AHN = ∠BDN (đpcm)
b) DH // MC
Từ câu a suy ra H và D cùng nhìn BN dới một góc nh nhau
Trang 5Mà H và D nằm cùng phía với BN
Nên tứ giác BDHN nội tiếp
Suy ra ∠HDN = ∠HBN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HN) (5) Trong đờng tròn (O) tao lại có:
Từ (5) và (6) ta có ∠HDN = ∠CMN
Mà hai góc này ở vị trí so le trong của hai đờng thẳng DH và MC Nên HD //MC
c) HB + HD > CD.
áp dung BĐT tam giác trong tam giác DHC ta có:
Theo giả thiết ta lại có H là trung điểm của BC, nên HB = HC (8)
Từ (7) và (8) ta có HB + HD > CD (đpcm)
Bài 5
1) Giải hệ phơng trình:
( )
+
−
=
− +
=
− +
)2 ( 1 1
)1(
0 2
2 2
2y xy x
y x
xy y x
Từ (1) ta có x + y = 2xy (3)
Thay (3) vào (2) ta đợc
( 1 ) 1 ( 1 ) 1 2 0 (*)
0 1 1 1 1
0 1 1 1 1
2
0 1 1 2
1 1 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
=
− +
− + +
−
⇔
=
− +
− +
−
⇔
=
− +
− + +
−
⇔
= +
− +
−
⇔
+
−
=
−
xy xy
xy xy
xy xy
y
x
xy xy y
x
xy y
x xy
Đặt t= (xy− 1 ) 2 + 1 (t ≥ 0) ta đợc
(*) <=> t2 +t− 2 = 0
Phơng trình này hai nghiệm là t1=1; t2=-2
đối chiếu điều kiện ta thầy t1 =1 thoả mãn; t2=-2 không thoả mãn Với t=t1=1 ta có
Trang 6( )
( )
) 4 ( 1
0 1
0 1
1 1 1
2
2
y
x
xy
xy
xy
=
⇒
=
−
⇔
=
−
⇔
= +
−
Thay (4) vào (3) ta sẽ tìm đợc y=1
Từ đó suy ra x=1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; 1)
2) Chứng minh rằng với mọi x ta luôn có: ( 2x+ 1 ) x2 −x+ 1 > ( 2x− 1 ) x2 +x+ 1 (1)
+ Khi thay x bởi –x ta thấy (1) không thay đổi, nên ta chỉ cần chứng minh (1) luôn
đúng với ∀ x ≥ 0
+ Với ∀ x ta có
2
x − + =x x− + >
2
x + + =x x+ + >
2
x
≤ ≤ thì (1) luôn đúng
+ Nếu 1
2
x> thì (1) ( )2( 2 ) ( )2( 2 )
2x 1 x x 1 2x 1 x x 1
⇔ 4x4 + +x2 3x+ > 1 4x4 + − +x2 3x 1 (luôn đúng với 1
2
x> )
Từ đó ta có đidều phải chứng minh