SKKN "Ứng dụng đạo hàm"

SKKN: Ứng dụng đạo hàm hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài tốn có chứa tham số. SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO TỈNH BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUANG TRUNG GIÁO VIÊN: ĐỖ MẠNH TOÀN CHỨC VỤ: Giáo viên ( Tổ trưởng tổ Toán ) ĐƠN VỊTrường THPT Chuyên Quang Trung Năm học 2008 – 2009 GV: Đỗ Mạnh Tồn – Trường THPT chun Quang Trung SKKN: Ứng dụng đạo hàm hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài tốn có chứa tham số. MỞ ĐẦU 1/ Lý do chọn đề tài: Trong chương trình môn Toán bậc THPT, các em học sinh được học đạo hàm từ cuối học kỳ II của lớp 11, nhưng đại đa số các em khi học xong những kiến thức về đạo hàm thì chỉ biết vận dụng công thức để giải các bài toán về tính đạo hàm, hoặc khảo sát hàm số.  vi !" #$%&'#$%&#$%&(&)*!+,%+--. ./Nhằm giúp em h*!-%*0#biết cách khai thác, vận dụng các kiến thức liên quan đến đạo hàm để giải quyết các bài toán 1 ch!" v2!" phương trình, bất phương trình, c3++45 …, nên tôi đã chọn viết chuyên đề này phục vụ công tác dạy và học trong nhà trường. 6 /Nội dung sáng kiến kinh nghiệm : I. Phần mở đầu. II. Nội dung đề tài. A. Cơ sở lý luận liên quan đến đề tài nghiên cứu. B. Bài tập vận dụng. III. Kết quả và bài học kinh nghiệm. Đồng Xồi56768977: Người viết Đỗ Mạnh Tồn GV: Đỗ Mạnh Tồn – Trường THPT chun Quang Trung SKKN: Ứng dụng đạo hàm hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài tốn có chứa tham số. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM . A. CƠ SỞ LÝ THUY ẾT.  KIẾN THỨC CẦN NHỚ. 1) Giả sử hàm số y = f(x) tăng ( hoặc giảm) trên khoảng (a;b) ta có: f(x 1 ) = f(x 2 ) ⇔ x 1 = x 2 với x 1 , x 2 ∈ (a;b). 2) Nếu y = f(x) tăng trên khoảng (a;b) và y = g(x) là hàm h;ng hoặc là hàm số giảm trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm 7 x thuộc khoảng (a,b). 3) Giả sử y = f(x) tăng trên khoảng (a;b) : f(x 6 ) ≤ f(x 9 ) ⇔ x 6 ≤ x 9 với ( ) 6 9 < <x x a b∈ Giả sử y = f(x) giảm trên khoảng (a;b): f(x 6 ) ≤ f(x 9 ) ⇔ x 6 ≥ x 9 với ( ) 6 9 < <x x a b∈  PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN 1) Biện luận nghiệm phương trình sau theo tham số m: f(x) = g(m) (*) Bước 1: Lập luận số nghiệm của (*) là số giao điểm của đồ thò hàm số (C):y=f(x) và đường thẳng (d): y= g(m) Bước 2: Xét hàm số y = f(x) * Tìm tập xác đònh D của f. * Tính đạo hàm y’ rồi giải phương trình y’ = 0 * Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 3: Kết luận * Phương trình có nghiệm ⇔ =>?=>=> xfmgxf ≤≤ ( Dx∈ ) * Phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ (d) ∩ (C) tại k điểm phân biệt * Phương trình vô nghiệm ⇔ (d) ∩ (C) = ∅ 2) Tìm m để phương trình sau: f(x) = g(m) có nghiệm x∈D. Phương pháp: Khi đó phương trình f(x) = g(m) có nghiệm x∈D khi và chỉ khi: ( ) ( ) ( )  @? x D x D M f x g m f x ∈ ∈ ≤ ≤ . 3) Giả sử hàm số y = f(x) có giá trò lớn nhất – giá trò nhỏ nhất trên D, f liên tục trên D, khi đó : a. f(x) ≤ g(m) có nghiệm x ∈ D ⇔ ( ) ( ) x D Min f x g m ∈ ≤ b. f(x) ≤ g(m) nghiệm đúng ∀ x ∈ D ⇔ ( ) ( ) ? x D M f x g m ∈ ≤ c. f(x) ≥ g(m) có nghiệm x ∈ D ⇔ ( ) ( ) ? x D M f x g m ∈ ≥ d. f(x) ≥ g(m) nghiệm đúng ∀ x ∈ D ⇔ ( ) ( ) x D Min f x g m ∈ ≥ B. BÀI TẬP VẬN DỤNG. GV: Đỗ Mạnh Tồn – Trường THPT chun Quang Trung SKKN: Ứng dụng đạo hàm hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài toán có chứa tham số. I. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ. Bài toán 1!" A 9 6B 9 <> = m y x x mx m C = − + − a) &CD > = m C E%A#F b) &CD > = m C E%A#F1   6 9 A 7x x x < < < / Giải GH#5*!I1J45 • Hướng 1KL#$%&5M7&H 7 x N#$%&!41 #$%&2 9 7 > => = 7x x ax bx c − + + = • Hướng 2OPQ'NCD!"0A R24 > = m C ES?A#F  T 7 19 / / 7 CD CT y c pb y y  =  <  R24 > = m C ES?A#F1  6 9 A 7x x x < < <   T T 6 9 T T 6 9 T 7 19 < / 7 / >7= 7 / >7= 7 7 9 CD CT y c pb x x y y a y a y x x  =  <   >   ≤     +   ≥     • Đối với bài toán này sẽ thì rõ ràng hướng 1 không giải quyết được, còn hướng 2 thì hoàn toàn giải quyết được bài toán, nhưng vấn đề đặt ra ở đây là học sinh sẽ gặp khó khăn gì khi giải quyết bài toán theo hướng thứ 2? đó là quá trình tính toán tương đối phức tạp, hơn nữa cách này khi giải quyết xong yêu cầu học sinh phát triển mở rộng bài toán thì học sinh sẽ lúng túng và phải bắt đầu lại từ đầu/ U05!VJW*!X45Y5Y+4X4'Z • Hướng 3[$%& N > = m C %+  A 9 6B 9 7x x mx m − + − = A 9 9 >: 6= <>6=m x x x ⇔ − = − + KL 6 : x = \+#$%&>6=<9Y[>6= >: 6= 7x − ≠ ] A 9 9 : 6 x x m x − + = −  2?L!P$N9CD A 9 9 : 6 y m x x y x =    − + =  −  !!" A 9 : 6 x x y x − + = − 1 9 A 9 A 9 9 9 9 9 >: 6=> A 9 = :> = 6B 69 9 9 >: ^ 6= T >: 6= >: 6= >: 6= x x x x x x x x x x x y x x x − − + − − + − + − − − + = = = − − − _45% 7 T 7 6 A x y x =   = ⇔  =  Bảng biến thiên GV: Đỗ Mạnh Toàn – Trường THPT chuyên Quang Trung SKKN: Ứng dụng đạo hàm hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài toán có chứa tham số. x - ∞ -1 0 6 : 6 A 1 + ∞ y’ + + 0 - - 0 - - y 0 9 : − - ∞ - ∞ + ∞ 0 - ∞ 81]YXN a> G > = m C E%A#F+`7 b> G > = m C E%A#F1 ,a5b4c4 +`7/ Nhận xét Rõ ràng nếu giải bài toán theo cách này học sinh không những dễ dàng tính toán để khảo sát và lập bảng biến thiên của hàm số, hơn nữa chỉ cần dựa vào bảng biến thiên ta có ngay kết quả cần tìm, hơn nữa với cách này học sinh chỉ cần biết lập bảng biến thiên là có thể giải quyết được. Bên cạnh đó giải bài toán theo cách này còn gợi ý cho chúng ta các bài toán tương tự: Bài toán 2!" A 9 6B 9 <> = m y x x mx m C = − + − a) &CD > = m C E%- / b) &CD > = m C E%#F1 ,a  6 9 A 6x x x < − < < / c)&CD > = m C E%#F1   6 9 A 6 7 6x x x − < < < < < Với bài toán trên chỉ cần dựa vào bảng biến thiên của bài toán 1 ta có ngay kết quả : a) CD > = m C E%- d7/ b) CD > = m C E%#F1 ,a  6 9 A 6x x x < − < < +`e9f: c)CD > = m C E%#F1  6 9 A 6 7 6x x x − < < < < < +e9f:``7/ Bài toán 3!" A A 9<> =y x x C = − + / a) &%bIg5M9h1iJ>=- Y#45Y/ b) &%bIg5M9h1iJ>=Y#45Y/ c) &%bIg5M9h1iJ>=Y#45Y/ Giải/ Nhận xét • Mới nhìn thì có vẻ như bài toán không liên quan gì đến việc lập bảng biến thiên để giải quyết nhưng nếu phân tích kỹ ta sẽ thấy dùng bảng biến thiên để giải quyết bài toán này sẽ hiệu quả/ j*@><9=+c&/ [$%&Ig > = ∆ X4@+ > = 9y k x m = − + 24 > = ∆ Y#?-CD>=+ A 9 A 9 > = 9 >6= A A >9= x x k x m x k  − + = − +   − =   1/ 5>9=>6=]  A 9 A 9 A 9 >A A=> = 9 9 A A 7<>A=x x x x m x mx m − + = − − + ⇔ − + = Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình (3) có một nghiệm, hai nghiệm phân biệt, ba nghiệm phân biệt. Đây là một bài toán quen thuộc, học sinh có thể dùng bảng biến thiên giải GV: Đỗ Mạnh Toàn – Trường THPT chuyên Quang Trung SKKN: Ứng dụng đạo hàm hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài toán có chứa tham số. quyết bài toán một cách dễ dàng. Nhưng điểm tối ưu hơn khi ta giải bài toán theo phương pháp lập bảng biến thiên là: Căn cứ vào bảng biến thiên ta sẽ suy ra được các kết quả khác và từ đó có thể xác định các bài toán với những yêu cầu khác/ 1 9 A A > 6= 9 >k=m x x − = UJ 6x = ± \,a[>k=!45% 6x =± \+[>k=b 9 6 7x − ≠ G1h#$%&>k=1 A 9 9 A <>l= > 6= x m x = − m#>l=+ N9CD ( ) A 9 A 9 > T= > 6= y m x y C x  = ∆   =  −   KL!" A 9 9 6 x y x = − 1 9 9 A 9 9 9 9 9 9 ^ > 6= 9 /9 9 > A= T > 6= > 6= x x x x x x y x x − − − = = − − _45% 7 T 7 A x y x =  = ⇔  = ±  Bảng biến thiên x - ∞ A− -1 0 1 A + ∞ f’(x) + 0 - - 0 - - 0 + f(x) A A− - ∞ - ∞ + ∞ + ∞ + ∞ −∞ A A OP1YX4 a) c&+ ( ) <9M m J Am < / b) c&+ ( ) <9M m J Am = / c) c&+ ( ) <9M m J Am > Qua bài toán này ta thấyKhi lần đầu gặp bài toán dạng này học sinh thường lúng túng ,thứ nhất : tìm điều kiện để một phương trình bậc 3 có 1 nghiệm, 2 nghiệm, hoặc 3 nghiệm mà phương trình không có nghiệm đặc biệt, nếu áp dụng các kết quả của phần cực trị của hàm số thì bài toán sẽ có thể phức tạp, dễ sai sót; còn khi sử dụng đạo hàm lập bảng biến thiên thì sẽ có thuận lợi đối với học sinh là: Việc dùng đạo hàm khảo sát để lập bảng biến thiên của một hàm số là dạng toán quen thuộc đối với học sinh, thứ 2: dựa vào bảng biến thiên học sinh có thể suy ra các kết quả tương tự, hoặc đưa ra các bài toán toán tương tự. Bài toán 4:!" A 9 A> 6= ^ k <> = m y x m x mx m C = + + + + a) &!"+4\CY%b n6<R = ∞ b) &!"+4\DY%b neA<e9o Giải/ Nhận xétVới bài toán dạng này học sinh theo chương trình sách giáo khoa mới sẽ thực sự lúng túng vì không được trang bị các kiến thức về so sánh nghiệm với một số thực α của phần tam thức bậc hai, chính vì thế cần hướng dẫn học sinh đi theo 1 cách tiếp cận khác như sau :  GV: Đỗ Mạnh Toàn – Trường THPT chuyên Quang Trung SKKN: Ứng dụng đạo hàm hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài toán có chứa tham số. TX Đ : OM¡ 9 T A ^> 6= ^y x m x m = + + + a) 24!"CY%b n6<R = ∞ + T 7< n6<R =y x≥ ∀ ∈ ∞  9 9> 6= 9 7< 6x m x m x⇔ + + + ≥ ∀ ≥  9 9 A ^> 6= ^ 7< 6 9 > 6= 9 <>6= x m x m x m x x x ⇔ + + + ≥ ∀ ≥ ⇔ + ≥ − − U& 6 6 7x x ≥ ⇒ + > bh>6=1 9 9 9 <>9= > 6= x x m x − − ≥ +  KL!" 9 9 > = < > 6= x x f x x − − = + 1 9 9 9 9 > 6=> 9 9= 9 9 9 T> = 7< 6 > 6= > 6= x x x x x x f x x x x + − − + + − − − = = < ∀ ≥ + + Bảng biến thiên x 1 ∞+ f ’ (x) - f(x) A 9 − ∞− >6=- 6x ≥ ⇔ >9=- A A 6 9 9 k x m m − − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ GpUJ A k m − ≥ &!"+4\+4\CY%b n6<R = ∞ b)24!"+4\DY%b neA<e9o + 5T 7< neA<e9ox ≤ ∀ ∈ 9 9 > 6= 9 <>A=m x x x ⇔ + ≤ − −  U& neA<e9o 6 7x x ∈ ⇒ + <  mbh>A=1 9 9 9 > 6= x x m x − − ≥ +  )F41Yb Bảng biến thiên x -3 -2 f ’ (x) - f(x) A 9 0 • !"+4\DY A A neA<e9o 9 9 k x m ∀ ∈ ⇔ ≥ ⇔ ≥  • Gp05J A k m ≥ &!"+4\DY%b neA<e9o / Nhận xétVới cách giải quyết bài toán này thì rõ ràng học sinh có thể hoàn toàn chủ động để giải quyết các bài toán tương tự. Và hơn nữa với cách giải này học sinh sẽ hạn chế được các sai sót trong quá trình tính toán. Bên cạnh đó khi giải quyết các bài toán dạng này sẽ GV: Đỗ Mạnh Toàn – Trường THPT chuyên Quang Trung SKKN: Ứng dụng đạo hàm hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài toán có chứa tham số. làm nảy sinh 1 vấn đề ; Nếu tham số m không cùng bậc để có thể nhóm và đưa về bất phương trình có dạng q>?= >= ≥ thì cần giải quyết như thế nào ? để trả lời câu hỏi này chúng ta xét bài toán sau Bài toán 5!" A 9 9 6 A > = 6<> = A m y x mx m m x C = − + − + &!"+4\CY  ? n6<R = ∀ ∈ ∞ Giải  RK OM¡ R 9 9 T ^ > =y x mx m m = − + − !"+4\CY  ? n6<R = ∀ ∈ ∞ & 5T 7< ? 6 ≥ ∀ ≥  9 9 > = ^ > = 7< 6f x x mx m m x ⇔ = − + − ≥ ∀ ≥ ( ) ( ) T 9 ^ T 7 Af x x m f x x m= − ⇒ = ⇔ = 2&  > = 7< 6f x x ≥ ∀ ≥ Bảng biến thiên x −∞ 3m +∞ f’(t) - 0 + f(t) +∞ +∞ ( ) Af m OPYb?L%I]# rTH1mY4 6 A 6  q>?= >6= A m m i f ≤ ⇔ ≤ ⇒ = / >6=+4\-J 6x ∀ ≥ & 9 s kl 9 >6= 7 s 6 7 s kl 9 m f m m m  + ≥   ≥ ⇔ − + ≥ ⇔  − ≤   _!24 6 A m ≤ ] s kl 9 m − ≤ rTH2mY4 ( ) 6 6 A q ? >A = A m m f m < ⇔ > ⇒ = >6=+4\-J 6x ∀ ≥ & 9 6 >A = 7 B 7 7/ B f m m m m ≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − ≤ ≤ >+= KL  s kl 9 m − ≤ Qua hai bài toán trên ta thấy nếu dùng đạo hàm lập bảng biến thiên thì các dạng toán trên đều có thể giải quyết được mà không cần sử dụng kiến thức về tam thức bậc 2 đã giảm tải trong chương trình sách giáo khoa/ II. CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH. Bài toán 6#$%& 9 >9 6= 6 9 A<>6=m x x x + + + = − a) j+40#>6=) b) &#>6=1/ > 6<9=x ∈ −  Giải : Nhận xét : Nếu ta tư duy bài toán theo hướng lập luận rồi bình phương 2 vế thì bài toán sẽ trở nên phức tạp, mặt khác phần tam thức bạc hai theo chương trình mới của sách giáo khoa được giảm tải GV: Đỗ Mạnh Toàn – Trường THPT chuyên Quang Trung SKKN: Ứng dụng đạo hàm hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài toán có chứa tham số. nên để so sánh nghiệm của một phương trình bậc hai với 1 số thực α sẽ trở thành bài toán khó đối với sinh, vậy ta sẽ giải quyết bài toán theo cách dùng đạo hàm lập bảng biến thiên/ 1 9 9 A 9 6 <>6= 6 x m x x − + = + + KL!" 9 9 A > = < 6 x f x x x − = + + 9 9 9 9 9 A 9 A 9 A 9 6 9 6 >9 A=/ k> 6= k k A B s 9 6 T> = < 9 > 6= 9 > 6= 9 > 6= x x x x x x x x x x x f x x x x x x x + + + − − + + − + + + + + = = = + + + + + + ⇒ s T> = 7 < B f x x − = ⇔ = Bảng biến thiên x ∞− -1 s B − 2 ∞+ f ’ (x) - 0 + + f(x) 9− 9 -5 AB ls − 6 s a) mY4 9 AB ls m m ≥   ⇔  < −   #$%&\/ mY4 9 9 AB ls m m − ≤ <   ⇔  = −   #$%&1 / mY4 AB 9 ls m ⇔ − < < − #$%&19#F/ b) #$%&>6=1 > 6<9=x ∈ − & AB 6 ls s m ⇔ − < < Nhận xét OPYb11b$P Bài toán 7.#$%& 9 >9 6= 6 9 A<>6=m x x x + + + = − a) &#$%&19#F+J$e9/ b) &#$%&19,a24 6 9 6 7 9 x x < < <  • F5I*!tc8Yb!V%YX4 a) 24#$%&19#F+J$e9+ AB s ls A m − − < < b) 24#$%&19,a24 6 9 6 7 9 x x < < <  GV: Đỗ Mạnh Toàn – Trường THPT chuyên Quang Trung SKKN: Ứng dụng đạo hàm hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài toán có chứa tham số.  k A s m − − < < Bài toán 8#$%& 9 A 9 A 6 9 9 6<>6=m x x x = − − + + a) &#>6=1/ b) &#>6=145' 6 n <6o 9 x ∈ −  Giải  G 6x ≤ KL!"  9 A 9 A 6 9 9 6<y x x x = − − + + 1 9 A 9 A A k T n o 6 9 6 x y x x x x + = − + − + + 9 A 9 A A k T 7 7 > & 7< 6= 6 9 6 x y x v x x x x + = ⇔ = + > ∀ < − + + Bảng biến thiên x -1 6 9 − 0 1 f ’ (x) + + 0 - f(x) 1 9s 99 9 − 9 9− -4 a. #1& k 6<m − ≤ ≤ b. #145' 6 n <6o 9 x ∈ − & { } 9se 99 > < k= 6A 9 m ∈ − ∪ Nhận xét Từ bảng biến thiên ta có thể đưa ra bài toán tương tự Bài toán 9#$%& 9 A 9 A 6 9 9 6<>6=m x x x = − − + + a) &#19#F b) &#1 6 6 > < = k A x ∈ −  c) &#$%&\ Bài toán 10:Cho b'#$%& x x + 69+x 9 + >9 k =m x≤ + − (1) a) &'#$%&1 [ ] 7<kx∈ / b) &'#$%&1J* [ ] 7<kx∈ / Giải/ ÑK: [ ] 7<kx∈ Do ( ) 9 9 + 9 k + 9 6x+ − ≥ = ⇒ (1) ⇔ f(x) = ( ) 9 69 + 9 k x x x x + + + − ≤ m Xeùt haøm soá g(x) = x 69++ xx (0 ≤ x ≤ 4) GV: Đỗ Mạnh Toàn – Trường THPT chuyên Quang Trung [...]... 0 khi m = 3 1-x b) Tìm m để ( x - 6 ) f(x) ≥ 0 với ∀x ∈ [ 0;1] log a 11 + log a KẾT QUẢ Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy học sinh bộ môn Toán 12 ở trường THPT, tôi nhận thấy rằng các em học sinh rất hứng thú với môn học Chính vì các em GV: Đỗ Mạnh Tồn – Trường THPT chun Quang Trung SKKN: Ứng dụng đạo hàm hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài tốn có chứa tham số cảm thấy hứng thú với... 2 III BÀI TẬP THỰC HÀNH Bài 1: Cho hàm số: y = x − 3 ( m + 2 ) x + 2mx − 4m − 1 a) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt 3 2 GV: Đỗ Mạnh Tồn – Trường THPT chun Quang Trung SKKN: Ứng dụng đạo hàm hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài tốn có chứa tham số b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh tại ba điểm phân biệt có hồnh độ dương c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh.. .SKKN: Ứng dụng đạo hàm hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài tốn có chứa tham số 3 1 x+ ⇒ g’ (x) = >0 ∀x ∈ [ 0; 4] ⇒ g(x) đồng biến ∀x ∈ [ 0; 4] 2 2 x + 12 1 Xét hàm số h(x) = log 2 + 4 − x ( 0 ≤ x . Trung SKKN: Ứng dụng đạo hàm hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài tốn có chứa tham số. MỞ ĐẦU 1/ Lý do chọn đề tài: Trong chương trình môn Toán bậc THPT, các em học sinh được học đạo. đúng ∀ x ∈ D ⇔ ( ) ( ) x D Min f x g m ∈ ≥ B. BÀI TẬP VẬN DỤNG. GV: Đỗ Mạnh Tồn – Trường THPT chun Quang Trung SKKN: Ứng dụng đạo hàm hướng dẫn học sinh giải và khai thác một số bài toán có. áp dụng các kết quả của phần cực trị của hàm số thì bài toán sẽ có thể phức tạp, dễ sai sót; còn khi sử dụng đạo hàm lập bảng biến thiên thì sẽ có thuận lợi đối với học sinh là: Việc dùng đạo