Chuyªn ®Ò: ¸p dông LÝ thuyÕt ®ång d trong mét sè d¹ng to¸n vÒ phÐp chia hÕt v µ phÐp chia cßn d. ***************************************************************************************************** ************************* I) LÝ thuyÕt vÒ ®ång d : 1.Định nghĩa. Cho a, b ∈ Z , m ∈ N *. a được gọi là đồng dư với b modul m, ký hiệu a ≡ b(mod m).Nếu a và b chia m có cùng số dư a ≡ b(mod m) 1 2 . . a m q r b m q r = + ⇔ = + a ≡ 0(mod m) nghĩa là a M m Ví dụ: 17 ≡ 5(mod 6) ; 18 ≡ 0(mod 6) 2.Định lý 3 mệnh đề tương đương: Cho a, b ∈ Z , m ∈ N * thì 3 mệnh đề sau là tương đương: 2.1. a ≡ b(mod m) 2.2. m | (a – b) (đọc là: m chia hết a – b hay m là ước của a – b ) 2.3. t ∃ ∈ Z : a = b + mt 3.Tính chất :Cho a, b, c, d là các số nguyên 3.1. a ≡ a(mod m) 3.2.Nếu a ≡ b (mod m) thì b ≡ a (mod m) 3.3.Nếu a ≡ b (mod m) và b ≡ c (mod m) thì a ≡ c (mod m) 3.4.Ta có thể cộng từng vế của nhiều đồng dư thức theo cùng một modul: Ví dụ: Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì a + c ≡ b + d (mod m) 3.5.Ta có thể nhân từng vế của nhiều đồng dư thức theo cùng một modul: Ví dụ: Nếu a ≡ b (mod m) và c ≡ d (mod m) thì ac ≡ bd (mod m) 3.6.Ta có thể chuyển vế của đồng dư thức nhưng phải đổi dấu: a + c ≡ b (mod m) ⇔ a ≡ b – c (mod m) 3.7.Ta có thể nhân 2 vế của đồng dư thức với cùng một số: a ≡ b (mod m) ⇔ ac ≡ bc (mod m) 3.8.Ta có thể thêm (bớt) vào vế trái của đồng dư thức một bội của mod a ≡ b (mod m) ⇔ a ± km ≡ b (mod m) với km ≡ 0 (mod m) 3.9.Ta có thể nâng 2 vế của đồng dư thức lên một bậc nguyên không âm Nếu a ≡ b (mod m), k nguyên dương thì a k ≡ b k (mod m) 3.10.Ta có thể chia 2 vế của đồng dư thức và mod cho cùng một ước chung của chúng Nếu a ≡ b (mod m) và d ∈ ƯC(a,b,m) thì (mod ) a b m d d d ≡ 3.11.Ta có thể chia 2 vế của đồng dư thức cho cùng một ước chung nguyên tố với mod Nếu a ≡ b (mod m) ; d ∈ ƯC(a,b) và (d,m) = 1 thì (mod ) a b m d d ≡ 3.12.Ta có thể nhân 2 vế của đồng dư thức và mod với cùng một số khác 0: Nếu a ≡ b (mod m) thì ac ≡ bc (mod mc) với mọi c khác 0. 3.13.Nếu 2 số đồng dư với nhau theo mod m thì nó cũng đồng dư với nhau theo mod k là ước của m Nếu a ≡ b (mod m) và k | m thì a ≡ b (mod k) ============================================================= Gi¸o Viªn: TrÇn Ly Na 1 Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép chia còn d. ***************************************************************************************************** ************************* 3.14.Nu 2 s ng d vi nhau theo mod m i (i = 1,n ) thỡ nú cng ng d vi nhau theo mod k l BCNN ca cỏc m i (i = 1,n ) a b (mod m i ) ( i =1,2,,n) a b (mod k) ( vi k =[m 1 ,m 2 ,,m n ]) 3.15.Nu a ng d vi b theo mod m thỡ CLN(a,m) bng CLN(b,m) 4.nh lý Fermat nh:Gi s p l mt s nguyờn t v a l mt s t nhiờn tu ý . Khi ú, )(mod paa p . Nu 1),( =pa thỡ ).(mod1 1 pa p 5. Một số kiến thức liên quan: Trong khi làm bài tập sử dụng đồng d thức, ta nên chú ý tới các tính chất hay dùng sau đây: * Với mọi a, b Z + (a b) và n là số tự nhiên: a n - b n M a - b; * Với mọi a, b Z + và n là số tự nhiên l: a n + b n M a + b; * Trong n số nguyên liên tiếp (n 1) có một và chỉ một số chia hết cho n; * Lấy n + 1 số nguyên bất kì (n 1) đem chia cho n thì phải có hai số khi chia cho n có cùng số d; (Theo nguyên lí Đirichlet); * Tìm m chữ số tận cùng của số A là tìm số d khi chia A cho 10 m ; II) Một số ví dụ minh hoạ sử dụng đồng d : Dạng 1: Tìm số d trong một phép chia Phơng pháp: Muốn tìm số d trong phép chia số A cho m, ta phải tìm đợc số x (0 x < m) sao cho A x (mod m). Ví dụ 1: Tìm số d trong phép chia số 1993 2000 cho số 3 ? Giải Ta có: 1993 1 (mod 3) 1993 2000 1 2000 (mod 3) 1 (mod 3) Vậy: số 1993 2000 khi chia cho 3 thì d 1. Ví dụ 2: Tìm số d trong phép chia số 2004 376 cho số 1975 ? Giải Nhận xét: 376 = 2.3.62 + 4 Ta có: 2004 29 (mod 1975) 2004 2 29 2 (mod 1975) 841 (mod 1975) 2004 4 841 2 (mod 1975) 231(mod 1975) 2004 12 231 3 (mod 1975) 416 (mod 1975) 2004 48 416 4 (mod 1975) 536 (mod 1975) 2004 48 .2004 12 536.416 (mod 1975) 1776 (mod 1975) 2004 60 1776 (mod 1975) 2004 60 .2004 2 1776.841 (mod 1975) 516 (mod 1975) 2004 62 516 (mod 1975) (2004 62 ) 3 516 3 (mod 1975) 1171 (mod 1975) 2004 186 1171 (mod 1975) (2004 186 ) 2 1171 2 (mod 1975) 591 (mod 1975) 2004 372 591 (mod 1975) 2004 372 .2004 4 591.231 (mod 1975) 246 (mod 1975) Vậy: số 2004 376 khi chia cho 1975 thì d 246. Dạng 2: chứng minh sự chia hết ============================================================= Giáo Viên: Trần Ly Na 2 Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép chia còn d. ***************************************************************************************************** ************************* Phơng pháp: Để chứng minh số A chia hết cho m, ta đi chứng minh A 0 (mod m). Ví dụ 1: Chứng minh rằng số A = 2222 5555 + 5555 2222 chia hết cho 7 ? Giải Ta cú: 2222 3 (mod 7) 2222 5 3 5 (mod 7) 2222 5 5 (mod 7) 2222 5555 5 1111 (mod 7) (1) Tơng tự ta có: 5555 4 (mod 7) 5555 2 4 2 (mod7) 5555 2 2(mod7) 5555 2222 2 1111 (mod 7) (2) Cộng vế với vế (1) và (2) ta có: A 2 1111 + 5 1111 (mod 7) (3) Mặt khác: 2 1111 + 5 1111 = (2 + 5).M = 7.M 0 (mod 7) (4) Từ (3) và (4) ta đợc: A 0 (mod 7) Vậy: A = 2222 5555 + 5555 2222 chia hết cho 7. Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì số B = 4 2n+1 + 3 n+2 luôn chia hết cho 13 ? Giải Nhận xét 1: 4 2 3 (mod 13) (4 2 ) n 3 n (mod 13) 4 2n 3 n (mod 13) 4 2n .4 4.3 n (mod 13) 4 2n+1 4.3 n (mod 13) (1) Nhận xét 2: 3 2 - 4 (mod 13) mà 3 n 3 n (mod 13) Từ đó 3 2 .3 n - 4.3 n (mod 13), hay là: 3 n+2 - 4.3 n (mod 13) (2) Từ (1) và (2), cộng vế với vế, ta đợc B 0 (mod 13). Nghĩa là B = 4 2n+1 + 3 n+2 luôn chia hết cho 13 với mọi n N. Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1: Đa thức A = n n - n 2 + n - 1 luôn chia hết cho đa thức B = (n - 1) 2 ? Giải Nhận xét 1: Với n = 2 thì A = 1, B = 1, rõ ràng A chia hết cho B. Với n > 2, ta biến đổi A nh sau: A = n n - n 2 + n - 1 = n 2 (n n-2 - 1) + (n - 1) = n 2 (n - 1)(n n-3 + n n-4 + + 1) + (n - 1) = (n - 1)(n n-1 + n n 2 + + n 2 + 1) Nhận xét 2: n 1 (mod n - 1) n k 1 (mod n - 1), kN Từ đó: n n-1 + n n-2 + + n 2 n - 2 (mod n - 1) Nên: n n-1 + n n 2 + + n 2 + 1 n - 1 (mod n - 1) Hay: n n-1 + n n 2 + + n 2 + 1 0 (mod n - 1) (1) Nên: (n - 1)(n n-1 + n n 2 + + n 2 + 1) 0 (mod (n - 1) 2 ) Hay: A = (n - 1)(n n-1 + n n 2 + + n 2 + 1) chia hết cho (n - 1) 2 . Vậy: A = n n - n 2 + n - 1 luôn chia hết cho đa thức B = (n - 1) 2 . Vớ d 4: Cho (a,7) = 1 . Chng minh: a 12 1(mod 7). Giải Ta có : (a,7) = 1 theo Fecmar thì : a 7-1 1(mod 7) a 6 1 (mod 7) (a 6 ) 2 1 2 (mod 7) a 12 1 (mod 7) Vớ d 5: Cho (a,240) = 1 . Chng minh: a 4 -1 0(mod 240). Giải Ta có: 240 = 2 4 . 3. 5 ============================================================= Giáo Viên: Trần Ly Na 3 Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép chia còn d. ***************************************************************************************************** ************************* Mà (2,3) = (3,5) = (2,5) =1 Để chứng minh a 4 -1 0(mod 240).Ta cần chứng minh a 4 -1 M 2 4 ; 3 ; 5 Theo đề ta có : (a,240) = 1 (a,2) = (a,3) = (a,5) =1 *Từ (a,3) = 1 theo Fecmar ta có : a 3-1 1(mod 3) a 2 1 (mod 3) (a 2 ) 2 1 2 (mod 3) a 4 1 (mod 3) a 4 -1 0 (mod 3) (1) *Từ (a,5) = 1 theo Fecmar ta có : a 5-1 1(mod 5) a 4 1 (mod 5) a 4 -1 0 (mod 5) (2) *Ta lại có : a 4 -1 = (a 2 - 1)(a 2 + 1) = ( a -1 )(a + 1) (a 2 + 1) Vì (a,2) = 1 a là số lẻ a -1 và a +1 là hai số chẵn liên tiếp ( a -1 )(a + 1) M 8 Vì a lẻ a 2 + 1 là số chẵn nên (a 2 + 1) M 2 a 4 -1 = ( a -1 )(a + 1) (a 2 + 1) M 16 hay a 4 -1 0 (mod 2 4 ) (3) Từ (1) , (2) ,(3) a 4 -1 0(mod 240). Vớ d 6: Cho (a,5) = 1 . Chng minh: a 8n + 3a 4n - 4 0(mod 25). Giải Để chứng minh : a 8n + 3a 4n - 4 0(mod 25).Ta cần chứng minh: a 8n + 3a 4n 4(mod 25). *Từ (a,5) = 1 theo Fecmar ta có : a 5-1 1(mod 5) a 4 1 (mod 5) a 4n 1 (mod 5) (1) a 4n + 3 4 (mod 5) (2) Nhân (1) và (2) vế theo vế ta đợc:a 4n ( a 4n + 3 ) 4 (mod 25) a 8n + 3a 4n 4(mod 25). Vậy a 8n + 3a 4n - 4 0 (mod 25). Vớ d 7: Cho (a,5) = 1 . Chng minh: a 8n + 3a 4n - 4 0(mod 100). Giải Để chứng minh : a 8n + 3a 4n - 4 0(mod 100).Ta cần chứng minh: a 8n + 3a 4n - 4 M 4 và 25 *Theo ví dụ 6 ta có : a 8n + 3a 4n - 4 0 (mod 25) (I) *Chứng minh a 8n + 3a 4n - 4 M 4 Đặt a = 4q + r ta có : r = 0 ;1 ; 2 ; 3 +Nếu r = 0 a M 4 a 8n + 3a 4n - 4 M 4 hay a 8n + 3a 4n - 4 0(mod 4) +Nếu r = 1 a 1 (mod 4) a 4n 1 (mod 4) 3.a 4n 3 (mod 4) (1) Ta lại có: a 1 (mod 4) a 8n 1 (mod 4) (2) Từ (1) và (2) ta có a 8n + 3a 4n 0(mod 4). a 8n + 3a 4n - 4 0(mod 4). +Nếu r = 2 a 2 (mod 4) a 2 0 (mod 4) a 8n 0 (mod 4) (3) Từ a 2 0 (mod 4) a 4n 0 (mod 4) 3.a 4n 0 (mod 4) (4) Từ (3) và (4) ta có a 8n + 3a 4n 0(mod 4). a 8n + 3a 4n - 4 0(mod 4). +Nếu r = 3 a 3 (mod 4) a 2 1(mod 4) a 8n 1 (mod 4) (5) Từ a 2 1 (mod 4) a 4n 1 (mod 4) 3.a 4n 3 (mod 4) (6) Từ (5) và (6) ta có a 8n + 3a 4n 0(mod 4). a 8n + 3a 4n - 4 0(mod 4). Vậy trong cả 4 trờng hợp ta đều có a 8n + 3a 4n - 4 0(mod 4) (II) Từ (I) và (II) ta có a 8n + 3a 4n - 4 0(mod100). Dạng 3: tìm các chữ số tận cùng của một số lớn Phơng pháp: Tìm m chữ số tận cùng của số A là tìm số d khi chia A cho 10 m . ============================================================= Giáo Viên: Trần Ly Na 4 Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép chia còn d. ***************************************************************************************************** ************************* Ví dụ 1: Tìm chữ số tận cùng của số A = 4 3 2 ? Giải Nhận xét: A = 4 3 2 = 2 81 = 2 4.20 + 1 Ta có: 2 4 6 (mod 10) (2 4 ) 5 6 5 (mod 10) Hay 2 20 6 (mod 10) (2 20 ) 4 6 4 (mod 10) 6 (mod 10) Hay: 2 80 6 (mod 10) 2 80 .2 6. 2 (mod 10) Nên: 2 81 2 (mod 10) .Vậy A chia cho 10 d 2 hay là A có chữ số tận cùng là 2. Vớ d 2: Tìm chữ số tận cùng của số: B = 9 9 9 ? Nhận xét: 9 9 9 = 9 387420489 = 9 2k + 1 Ta có: 9 2 1 (mod 10) 9 2k 1 (mod 10) Hay 9 2k .9 9 (mod 10) 9 2k+1 9 (mod 10) Vậy B chia cho 10 d 9 hay là B có chữ số tận cùng là 9. Ví dụ 3: Tìm sáu chữ số tận cùng của số C = 5 21 ? Giải Nhận xét: 5 21 = 5 15 . 5 6 ; 5 15 = 5 3.5 ; 10 6 = 2 6 .5 6 Ta cú 5 3 61 (mod 2 6 ) 5 3 -3 (mod 2 6 ) (5 3 ) 5 (-3) 5 (mod 2 6 ) (-1).3 5 (mod 2 6 ) (-1).51 (mod 2 6 ) (-1).(-13) (mod 2 6 ) Hay 5 15 13 (mod 2 6 ) 5 15 .5 6 13.5 6 (mod 2 6 .5 6 ) Hay là: C = 5 21 13.15625 (mod 10 6 ) C 203125 (mod 10 6 ) Vậy C chia cho 10 6 d 203125, nên C có 6 chữ số tận cùng là 203125. Ví dụ 4: Tìm bn chữ số tận cùng của số D = 5 2005 ? Giải Nhận xét: 5 2005 = 5 2001 . 5 4 ; 5 2001 = 5 4.500+1 ; 10 4 = 2 4 .5 4 Ta cú 5 4 1 (mod 2 4 ) (5 4 ) 500 1 (mod 2 4 ) 5 2000 .5 5 (mod 2 4 ) Hay 5 2001 5 (mod 2 4 ) 5 2001 .5 4 5.5 4 (mod 2 4 .5 4 ) Hay là: 5 2005 3125 (mod 10 4 ) Vậy D chia cho 10 4 d 3125, nên D có 4 chữ số tận cùng là 3125. Ví dụ 5: Tìm chữ số hàng chục của số M = 23 2005 ? Giải Nhận xét: 23 2005 = 23 2001 . 23 4 = 23 4.5.100+1 .23 4 Ta cú : 23 2 29 (mod 100) 23 4 29 2 (mod 100) 23 4 41 (mod 100) (23 4 ) 5 41 5 (mod 100) 23 20 01 (mod 100) (23 20 ) 100 01 100 (mod 100) 23 2000 01 (mod 100) 23 2000 . 23 01.23 (mod 100) 23 2001 23 (mod 100) 23 2001 .23 4 23.41 (mod 100) Hay là: 23 2005 43 (mod 100) Vậy M chia cho 100 d 43, nên M có chữ số hàng chục là 4. III) Bài tập rèn kĩ năng vận dụng: ============================================================= Giáo Viên: Trần Ly Na 5 Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép chia còn d. ***************************************************************************************************** ************************* Dạng 1: Tìm số d trong một phép chia Bài 1: Tìm số d trong phép chia số A = 1532 45 - 1 khi chia cho 9 ? (ĐS: 7) Hớng dẫn: 1532 2 (mod 9) 1532 3 2 3 (mod 9) -1(mod 9) (1532 3 ) 15 (-1) 15 (mod 9) -1 (mod 9) 1532 45 8 (mod 9) 1532 45 - 1 7 (mod 9) Bài 2: Tìm số d trong phép chia số B = 1999 2004 khi chia cho 31 ? (ĐS: 2) Hớng dẫn: 1999 15 (mod 31) 1999 4 15 4 (mod 31) 2(mod 31) (1999 4 ) 5 = 1999 20 2 5 (mod 31) 1 (mod 31) (1999 20 ) 100 = 1999 2000 1 (mod 31) 1999 2000 . 1999 4 2 (mod 31) Vậy 1999 2004 2 (mod 31) Dạng 2: chứng minh sự chia hết Bi 1. Chng minh rng 20102010 53 + chia ht cho 13. Hớng dẫn: Ta cú )13mod(1273 6702010 = v 2010 1005 5 25 1(mod13).= T õy s dng tớnh cht 4 ta cú iu phi chng minh. Bi 2. Chng minh rng 52008 21 200220022002 +++ chia ht cho 2003. Hớng dẫn: S dng nh lý Fermat nh vi chỳ ý 2003 l s nguyờn t, ta cú )2003(mod1 2002 i . Do ú, 2002 2002 2002 1 2 2008 5 2003 (mod 2003)+ + + . T õy ta suy ra pcm. Bài 3: Cho n là một số tự nhiên. Chứng minh rằng: 3 n + 1 chia hết cho 10 3 n+4 + 1 chia hết cho 10 ? Hớng dẫn:Ta có: 3 4 1 (mod 10) *Từ 3 n + 1 chia hết cho 10 3 n -1 (mod 10) 3 n .3 4 -1.1 (mod 10) -1(mod 10) 3 n + 4 -1 (mod 10) ) 3 n+ 4 + 1 0 (mod 10) (1) *Từ 3 n+4 + 1 chia hết cho 10 3 n+4 -1 (mod 10) 3 n .3 4 -1.1 (mod 10) 3 n -1 (mod 10) ) 3 n + 1 0 (mod 10) (2) Từ (1) và (2) suy ra pcm. Bài 4: Cho n là một số nguyên dơng. Chứng minh rằng: a) A = 2 4n - 1 chia hết cho 15; b) B = 2 5n - 1 chia hết cho 31; c) C = 5 2 2 + 1 chia hết cho 641; Hớng dẫn: 5 2 2 = 2 32 = 2 16.2 d) D = 6 2n + 19 n - 2 n+1 chia hết cho 17; Hớng dẫn: 6 2 2 (mod 17) 6 2n 2 n (mod 17) 19 2 (mod 17) 19 n 2 n (mod 17) 6 2n + 19 n 2 n+1 (mod 17) 6 2n + 19 n - 2 n+1 0 (mod 17) e) E = 7.5 2n + 12.6 n chia hết cho 19; f) F = 5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1 chia hết cho 59. Hớng dẫn: 5 n+2 + 26.5 n = 51. 5 n 8 2n+1 = (8 2 ) n .8 5 n .8 (mod 59) ============================================================= Giáo Viên: Trần Ly Na 6 Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép chia còn d. ***************************************************************************************************** ************************* 5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1 51. 5 n + 5 n .8 (mod 59) 59. 5 n (mod 59) 0 (mod 59) g) G = 1961 1962 +1963 1964 + 1965 1966 + 2 chia hết cho 7 Hớng dẫn: 1961 1962 +1963 1964 + 1965 1966 + 2 * 1961 1 (mod 7) 1961 1962 1 (mod 7) (1) * 1963 3 (mod 7) 1963 2 2 (mod 7) (1963 2 ) 3 1 (mod 7) (1963 6 ) 327 1 (mod 7) 1963 1962 .1963 2 2 (mod 7) 1963 1964 2 (mod 7) (2) * 1965 5 (mod 7) 1965 2 4 (mod 7) (1965 2 ) 3 1 (mod 7) (1965 6 ) 327 1 (mod 7) 1965 1962 .1965 4 2(mod 7) 1965 1966 2 (mod 7) (3) Từ (1); (2); (3) 1965 1962 +1963 1964 + 1965 1966 1 + 2 + 2 (mod 7) 5 (mod 7) 1965 1962 +1963 1964 + 1965 1966 + 2 7 (mod 7) 0 (mod 7 ) h) H = 1930 1975 1890 + 1945 + 1 chia hết cho 7 Hớng dẫn: 1890 0 (mod 7 ) 1890 1930 0 (mod 7 ) (1) 1945 6 (mod 7 ) 1945 2 1 (mod 7) (1945 2 ) 987 1 (mod 7) 1945 1974 1 (mod 7) 1945 1974 .1945 6 (mod 7) 1945 1975 6 (mod 7) 1945 1975 + 1 0 (mod 7) (2) Từ (1); (2) 1930 1975 1890 + 1945 + 1 0 (mod 7) Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1 ta luôn có: A = n n + 5n 2 - 11n + 5 chia hết cho B= (n - 1) 2 ? Hớng dẫn: A = n n + 5n 2 - 11n + 5 = n(n n-1 1) + 5(n 2 - 2n + 1) = n(n-1)(n n-2 + n n-3 + + 1) + 5(n - 1) 2 = (n - 1)(n n-1 + n n - 2 + + n) + 5(n - 1) 2 Ta có : n 1 (mod n - 1) n k 1 (mod n - 1), kN Từ đó: n n-1 + n n-2 + + n n - 1 (mod n - 1) Hay: n n-1 + n n -2 + + n 0 (mod n - 1) Nên: (n - 1)(n n-1 + n n - 2 + + n) 0 (mod (n - 1) 2 ) Hay: A = (n - 1)(n n-1 + n n - 2 + + n) + 5(n - 1) 2 chia hết cho (n - 1) 2 . Vậy: A = n n -5 n 2 -11 n +5 luôn chia hết cho đa thức B = (n - 1) 2 . Bi 6. Chng minh rng 1 1728 n chia ht cho 1729 vi mi nguyờn dng n. Hớng dẫn: Ta chỳ ý 19.13.71729 = v 7, 13, 19 u l cỏc s nguyờn t nờn theo nh lý Fermat nh, ta cú )19(mod1;)13(mod1;)7(mod1 18126 nnn . Do ú ).19(mod1)(;)13(mod1)(;)7(mod1)( 9618172814412172828861728 == nnnnnn Vỡ 7, 13, 19 ụi mt nguyờn t cựng nhau nờn s dng tớnh cht 3.14 ca ng d ta cú )1729(mod1 1728 n tc l 1 1728 n chia ht cho 1729. Dạng 3: tìm chữ số tận cùng của một số lớn Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của số: B = 7 2005 ? (ĐS:7) Hớng dẫn: 2005 = 4.501 +1 7 4 1 (mod 10) 7 4.501 .7 7 (mod 7) 7 2005 0 (mod 7) Bài 2: Tìm 2 chữ số tận cùng của số: A = 2 1000 ? (ĐS: 76) Hớng dẫn: ============================================================= Giáo Viên: Trần Ly Na 7 Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép chia còn d. ***************************************************************************************************** ************************* 2 10 24 (mod 100) (2 10 ) 2 . 76 (mod 100) (2 20 ) 5 76 (mod 100) (2 100 ) 2 76 (mod 100) (2 200 ) 5 76 (mod 100) 2 1000 76 (mod 100) Bài 3: Tìm 2 chữ số tận cùng của số: B = 3 1000 ? (ĐS: 01) 3 10 49 (mod 100) (3 10 ) 2 . 01 (mod 100) (2 20 ) 50 01 (mod 100) Dạng 2: Tìm dấu hiệu chia hết cho các số nhỏ Phơng pháp: Để tìm dấu hiệu của số A chia hết cho m thì ta tách số A hợp lý để đợc một biểu thức đơn giản nhất của các chữ số của A là f(A) sao cho A f(A) (mod m). Ví dụ: Tìm dấu hiệu chia hết cho 3 ? Giải Xét số tự nhiên có n + 1 chữ số: A = n n-1 1 0 a a a a Ta có: A = n n-1 1 0 a a a a r (mod 3) (1) a n .10 n + a n-1 .10 n-1 + + a 1 .10 1 + a 0 r (mod 3) (a n . 99 9 + a n ) + (a n-1 . 99 9 + a n-1 ) + + (a 1 .9 + a 1 )+ a 0 r (mod 3) (a n . 99 9 + a n-1 . 99 9 + + a 1 .9) + (a n + a n-1 + + a 1 + a 0 ) r (mod 3) Nhận xét: a n . 99 9 + a n-1 . 99 9 + + a 1 .9 0 (mod 3) Nên: (a n + a n-1 + + a 1 + a 0 ) r (mod 3) (2) Vậy: A = n n-1 1 0 a a a a a n + a n-1 + + a 1 + a 0 (mod 3) Hay: A = n n-1 1 0 a a a a khi chia cho 3 có cùng số d khi chia tổng các chữ số của A cho 3. Từ đó: A chia hết cho 3 tổng các chữ số của A chia hết cho 3. ============================================================= Giáo Viên: Trần Ly Na 8 Chuyên đề: áp dụng Lí thuyết đồng d trong một số dạng toán về phép chia hết và phép chia còn d. ***************************************************************************************************** ************************* III) Bài tập rèn kĩ năng vận dụng: Dạng 1: Tìm số d trong một phép chia Bài 1: Tìm số d trong phép chia số A = 1532 45 - 1 khi chia cho 9 ? (ĐS: 7) Bài 2: Cho số nguyên n > 1. Tìm d trong phép chia: A = 19n n + 5n 2 + 1890n + 2006 cho B = n 2 - 2n + 1 ? Dạng 2: Tìm dấu hiệu chia hết cho các số nhỏ Bài 3: Tìm dấu hiệu chia hết cho các số tự nhiên 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11 ? Bài 4: Tìm dấu hiệu chia hết cho 21 của một số tự nhiên có 3 chữ số ? ĐS: a - 2b + 4c chia hết cho 21 Dạng 3: chứng minh sự chia hết Bài 5: Cho n là một số tự nhiên. Chứng minh rằng: 3 n + 1 chia hết cho 10 3 n+4 + 1 chia hết cho 10 ? Bài 6: Cho n là một số nguyên dơng. Chứng minh rằng: g) A = 2 4n - 1 chia hết cho 15; h) B = 2 5n - 1 chia hết cho 31; i) C = 5 2 2 + 1 chia hết cho 641; j) D = 6 2n + 19 n - 2 n+1 chia hết cho 17; k) E = 7.5 2n + 12.6 n chia hết cho 19; l) F = 5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1 chia hết cho 59. Bài 7: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n > 0, ta luôn có: 5 2n-1 .2 n+1 + 3 n+1 .2 2n-1 chia hết cho 38 ? Bài 8: Chứng minh rằng: a) A = 69 119 220 + 220 69 119 + 119 220 69 chia hết cho 102 ? b) B = 1930 1975 1890 + 1945 + 1 chia hết cho 7 ? Bài 9: Cho n là số tự nhiên. Chứng minh rằng: Số M = 21 2n+1 + 17 2n+1 + 15 không chia hết cho 19 ? Bài 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n > 1 ta luôn có: A = n n + 5n 2 - 11n + 5 chia hết cho (n - 1) 2 ? Bài 11: Cho a; b là các số nguyên. Chứng minh rằng: 2a + 11b chia hết cho 19 5a + 18b chia hết cho 19 ? Dạng 4: tìm chữ số tận cùng của một số lớn Bài 12: Tìm chữ số tận cùng của số: A = 9 9 9 ? (ĐS: 1) Bài 13: Tìm chữ số tận cùng của số: B = 14 14 14 ? (ĐS: 6) Bài 14: Tìm 4 chữ số cuối cùng của số C = ( ) ( ) 1976 1974 1975 1973 1976 - 1974 1976 + 1974 ? ============================================================= Giáo Viên: Trần Ly Na 9 Chuyªn ®Ò: ¸p dông LÝ thuyÕt ®ång d trong mét sè d¹ng to¸n vÒ phÐp chia hÕt vµ phÐp chia cßn d. ***************************************************************************************************** ************************* (§S: 0000) ============================================================= Gi¸o Viªn: TrÇn Ly Na 10 . = 22 22 5555 + 5555 22 22 chia hết cho 7 ? Giải Ta cú: 22 22 3 (mod 7) 22 22 5 3 5 (mod 7) 22 22 5 5 (mod 7) 22 22 5555 5 1111 (mod 7) (1) Tơng tự ta có: 5555 4 (mod 7) 5555 2 4 2 (mod7). ? Giải Nhận xét: 23 20 05 = 23 20 01 . 23 4 = 23 4.5.100+1 .23 4 Ta cú : 23 2 29 (mod 100) 23 4 29 2 (mod 100) 23 4 41 (mod 100) (23 4 ) 5 41 5 (mod 100) 23 20 01 (mod 100) (23 20 ) 100 . dẫn: 5 2 2 = 2 32 = 2 16 .2 d) D = 6 2n + 19 n - 2 n+1 chia hết cho 17; Hớng dẫn: 6 2 2 (mod 17) 6 2n 2 n (mod 17) 19 2 (mod 17) 19 n 2 n (mod 17) 6 2n + 19 n 2 n+1 (mod