BT tìm GTNN

bài toán tìm giá trị nhỏ nhất Trước hết ta xem xét lời giải của bài toán trên: Cộng 2 BĐT trên ta có.. Thay vào F được GTNN của F là đạt được khi.. Như vậy việc đưa số vào áp dụng BĐT là

bài toán tìm giá trị nhỏ nhất

Trước hết ta xem xét lời giải của bài toán trên:

Cộng 2 BĐT trên ta có Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

Tuy nhiên vấn đề đặt ra là tại sao nghĩ ra được số để thêm vào BĐT? Để giải quyết vấn đề này, sử dụng ý tưởng dùng BĐT như trên, ta sẽ thêm vào 1 số nào đó:

Cộng hai BĐT trên ta có:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Giả sử đã tồn tại để dấu "=" xảy ra, khi đó

Thay vào F được GTNN của F là đạt được khi

Như vậy việc đưa số vào áp dụng BĐT là hoàn toàn có cơ sở Từ đó nâng bài toán lên với hệ

số các số hạng là các số dương:

Mục tiêu của chúng ta là dùng BĐT Cô-si sao cho khi cộng 2 BĐT vào, ta có vế trái là 2F cộng với 1 số hạng nào đó, còn vế phải chứa biểu thức đã cho trong giả thiết Rõ ràng việc đặt số đơn lẻ sẽ không đưa đến kết quả mà phải biến đổi số hạng cộng vào mỗi BĐT

Cách đặt số hạng cộng vào này giúp ta triệt tiêu được c bên vế trái, nhân thêm được hệ số a vào

vế phải Ta tiếp tục cộng 2 BĐT:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

Khi đó Giả sử đã có \alpha thỏa mãn dấu "=", tức là:

Khi đó theo (1) tìm được GTNN của F là

Phát triển bài toán theo hướng tăng dần số mũ Để tránh phức tạp, cho các hệ số bằng 1

Áp dụng BĐT Cô-si cho 4 số dương:

Ở đây cộng 3 số hạng bậc 4 của x với 1 số hạng tự do Mục đích là để khi ta áp dụng BĐT Cô-si,

ta thu được một số hạng bậc 3 của x

Cộng 2 BĐT:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Khi đó (2) Giả sử tồn tại để dấu bằng xảy ra, vậy thì:

Thay vào (2) ta có , đạt được khi x = y =

Không dừng lại ở việc phát triển hệ số, nâng bài toán lên với số mũ, số ẩn, mở rộng thêm được một số kết quả sau:

Bài toán 1: "Cho Tìm GTNN của "

Áp dụng BĐT Cô-si:

Cộng 3 BĐT vào:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

Khi đó Giả sử tồn tại thỏa mãn dấu "=", khi đó:

Khi đó đạt được khi

Bài toán 2: "Cho Tìm GTNN của "

Áp dụng BĐT Cô-si:

Cộng 3 BĐT vào:

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

Tiếp tục làm tương tự như các bài trên, ta thu được kết quả:

Bài toán 3: "Cho Tìm GTNN của "

Áp dụng BĐT Cô-si cho n số hạng:

Cộng 2 BĐT:

Tiếp tục làm tương tự như các bài trên, ta thu được kết quả:

Đạt được khi

Tìm lời giải cho các bài toán sau:

Bài toán 4: "Cho Tìm GTNN của "

Bài toán 5: "Cho Tìm GTNN của "

Bài toán 6: "Cho Tìm GTNN của

." (a, b, c, d, e, f là các số dương)