TOÁN-TÌM GTNN-LN

A. đặt vấn đề Trong chơng trình toán bậc trung học cơ sở, dạng toán Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức là một dạng toán thờng đợc đa ra trong các đề thi học kỳ, kiểm tra cuối chơng, nhằm dành cho các học sinh phấn đấu đạt điểm giỏi. Tuy nhiên, sách giáo khoa không dành tiết học nào cho riêng dạng bài này mà đa ra nh những bài tập nâng cao yêu cầu học sinh tự tìm tòi giải quyết theo gợi ý của giáo viên. Chính vì vậy học sinh thờng gặp khó khăn khi giải các bài tập dạng này nên khả năng giải quyết và trình bày không đợc tốt. Để giúp các em học sinh khá toán trong lớp có thể làm tốt dạng toán này, tôi đã dành thời gian nghiên cứu tài liệu và biên soạn hệ thống phơng pháp cùng bài tập để đa ra đề tài Phơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức với mục đích giúp học sinh tiếp thu đợc dễ dàng hơn một dạng toán khó, đồng thời có dịp rèn luyện t duy và phát huy đợc tính tích cực trong học tập cho học sinh. Khi học sinh có kiến thức tốt về dạng toán này, các em sẽ đợc củng cố tốt hơn cả các bài toán nâng cao khác trong chơng trình toán THCS nh Chứng minh một biểu thức luôn nhận giá trị dơng hoặc âm , Chứng minh bất đẳng thức , Vì hiểu đợc vai trò quan trọng của dạng toán này và cũng thấy rõ các khó khăn của học sinh học tập cũng nh giáo viên giảng dạy, tôi đã mạnh dạn viết tài liệu Phơng pháp tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức để trớc hết phục vụ cho công tác giảng dạy của chính mình, sau đó tạo điều kiện để bản thân có dịp trao đổi chuyên môn với các đồng nghiệp, nâng cao nghiệp vụ s phạm và năng lực nghiên cứu khoa học của cá nhân. B. Nội dung đề tài I. Lý thuyết chung Xét biểu thức A(x) xác định x (a, b). 1. Bài toán 1: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) trên (a, b), ta cần tiến hành các bớc: a) Bớc 1: Chứng tỏ rằng A(x) k (k là một hằng số) x (a, b). b) Bớc 2: Tìm giá trị x = a để A(x) = k, tức là chỉ ra trờng hợp để xảy ra dấu đẳng thức. c) Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của A(x) = k khi x = a. Ta thờng dùng kí hiệu: min A(x) = k x = a. 2. Bài toán 2: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A(x) trên (a, b), ta cần tiến hành các bớc: a) Bớc 1: Chứng tỏ rằng A(x) k (k là một hằng số) x (a, b). b) Bớc 2: Tìm giá trị x = a để A(x) = k, tức là chỉ ra trờng hợp để xảy ra dấu đẳng thức. c) Kết luận: Giá trị lớn nhất của A(x) = k khi x = a. Ta thờng dùng kí hiệu: max A(x) = k x = a. 3. Chú ý. a) Với biểu thức chứa nhiều biến số cũng giải tơng tự nh trên. b) Học sinh hay mắc phải sai lầm khi chỉ thực hiện bớc 1 đã kết luận bài toán, dẫn đến kết quả sai. Vì vậy cần yêu cầu học sinh trình bày đầy đủ cả hai bớc hết sức cẩn thận, không đợc thiếu bất cứ bớc nào. Ví dụ 1. Cho biểu thức: A = x 2 + (x 2) 2 . Một học sinh đã tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A nh sau: Ta có: x R, x 2 0 và (x 2) 2 0 nên A 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 0. Lời giải trên có đúng không ? Giải. Lời giải trên không đúng. Học sinh trên đã mắc phải sai lầm là mới chứng tỏ rằng A 0 nhng cha chỉ ra đợc trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức. Dấu đẳng thức không xảy ra vì không thể có đồng thời : x 2 = 0 và (x 2) 2 = 0. Lời giải đúng nh sau: +) Ta có: A = x 2 + (x 2) 2 = x 2 + x 2 4x + 4 = 2x 2 4x + 4 = 2(x 2 2x + 1) + 2 = 2(x 1) 2 + 2 2 , x R. +) Mà: A = 2 x 1 = 0 x = 1. +) Vậy: min A = 2 x = 1. c) Khi giải các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức, ta cần nhớ các hằng bất đẳng thức sau: 1) a 2 0 (Tổng quát: a 2k 0 với k nguyên dơng). Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 2) -a 2 0 (Tổng quát: -a 2k 0 với k nguyên dơng). Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 3) a 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 4) a a. Xảy ra dấu đẳng thức khi a 0. 5) - a a a . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 6) ba + a + b . Xảy ra dấu đẳng thức khi ab 0. 7) a 2 + b 2 2ab. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b. 8) ab 2 ba + với a, b 0 (Bất đẳng thức Côsi). Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b. 9) a b, ab > 0 b 1 a 1 . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b. 10) 2 a b b a + với ab > 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b. d) Khi tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức, nhiều khi ta cần phải đổi biến. e) Khi tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của một biểu thức A với A > 0, trong nhiều trờng hợp ta lại đi xét các biểu thức A 1 hoặc A 2 . Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của một biểu thức là bài toán không đơn giản, vì vậy ở đây ta chỉ xét một số dạng biểu thức đặc biệt có công thức giải cơ bản, phù hợp với khả năng tiếp thu của số đông học sinh lớp 8. II. Một số dạng biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất thờng gặp trong chơng trình toán lớp 8 Dạng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng tam thức bậc hai. Phơng pháp giải: Xét tam thức bậc hai c b xaxP 2 + + = . * Nếu a > 0 thì P có giá trị nhỏ nhất. Ta biến đổi biểu thức P về dạng k aX 2 + và có kết quả: min P = k X = 0. * Nếu a < 0 thì P có giá trị lớn nhất. Ta cũng biến đổi biểu thức P về dạng k aX 2 + và có kết quả: max P = k X = 0. Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) 1x4xA 2 + = ; b) ; 1x8x2B 2 += c) . 1x6x3C 2 += Giải. a) . 33)2x(3)4x4x(1x4xA 222 =+=+= A = -3 x - 2 = 0 x = 2 . Vậy: min A = -3 x = 2. b) . 77)2x(27)4x4x(21x8x2B 222 =+=+= B = -7 x - 2 = 0 x = 2 . Vậy: min B = -7 x = 2. c) . 22)1x(32)1x2x(31x6x3C 222 =+=+= C = -2 x - 1 = 0 x = 1 . Vậy: min C = -2 x = 1. Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) ; 1x4xA 2 += b) ; 1x8x2B 2 += c) . 5x6x3C 2 += Giải. a) . 55)2x(5)4x4x(1x4xA 222 ++=+++=+= A = 5 x + 2 = 0 x = -2 . Vậy: max A = 5 x = -2. b) . 77)2x(27)4x4x(21x8x2B 222 +=++=+= B = 7 x - 2 = 0 x = 2 . Vậy: max B = 7 x = 2. c) . 88)1x(38)1x2x(35x6x3C 222 ++=+++=+= C = 8 x + 1 = 0 x = -1 . Vậy: max C = 8 x = -1. * Bài tập tự giải. Bài tập 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) ; 1xxA 2 ++= b) ; 1xxB 2 += c) ; 53x20x2C 2 += d) . 1x3x2D 2 ++= Bài tập 2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: a) 1xxA 2 + += ; b) 1xxB 2 + = ; c) ; 53x20x2C 2 += d) ; 1x3x2D 2 ++= e) . 1x4x5B 2 += Dạng 2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng đa thức bậc cao. Phơng pháp giải: Ta thờng tìm cách biến đổi biểu thức đã cho về dạng 1 bằng cách đặt ẩn phụ thích hợp. Ví dụ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) ; 22 )1xx(A ++= b) 4x4x5x4xB 234 + += ; c) )6x)(3x)(2x)(1x(C + + + = . Giải. a) Mặc dù A 0 nhng giá trị nhỏ nhất của A không phải bằng 0 vì . Rx,01xx 2 ++ Ta có: 4 3 4 3 ) 2 1 x( 4 3 ) 4 1 xx(1xx 222 ++=+++=++ . Do đó: . min 2 min )1xx(A ++ Vậy: 2 1 x 16 9 ) 4 3 (Amin 2 === . b) Ta có: 4x4x5x4xB 234 + += = )4x4x()4x4x(x 222 +++ = . 0)2x()2x(x 222 + Mà: x = 2. = = = = 2x 2x 0x 0B Do đó: min B = 0 x = 2. c) )6x)(3x)(2x)(1x(C + ++= = )]3x)(2x)].[(6x)(1x[( + ++ = . 3636)]5x(x[36)x5x()6x5x)(6x5x( 22222 +=+=+++ = = =+= 5x 0x 0)5x(x36C . Vậy: . = = = 5x 0x 36Cmin * Bài tập tự giải Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) 9x6x10x6xM 234 + += ; b) ; )4x)(1x)(3x(xN ++= c) 1x2x3x2xP 234 + += ; d) . )2x3x)(xx(Q 22 ++= Dạng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có dạng đa thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Phơng pháp giải. Dùng một trong các tính chất sau: 3) a 0. Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 4) a a. Xảy ra dấu đẳng thức khi a 0. 5) - a a a . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = 0. 6) ba + a + b . Xảy ra dấu đẳng thức khi ab 0. Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) 5x2x2A += ; b) 3x1xB += ; c) 3x2x1xC ++= . Giải. a) áp dụng tính chất 4, ta có: 5x25x2x25x25x2x2A = + += += . A = 5 0x25 2 5 x . Vậy: min A = 5 2 5 x . b) áp dụng tính chất 6, ta có: 3x1xB += 2x31xx31x = + + = . 3x10)x3)(1x(2B = . Vậy: min B = 2 . 3x1 c) áp dụng tính chất 6 và tính chất 3, ta có: +) 3x1x + 2x31xx31x = + + = . Dấu bằng xảy ra khi 3x10)x3)(1x( . +) 02x và dấu bằng xảy ra khi x 2 = 0 x = 2. Do đó: 2023x2x1xC = + ++= . Dấu bằng xảy ra khi x = 2. Vậy: min C = 2 x = 2. * Bài tập tự giải Bài tập 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) 1xxA += ; b) 61x26x4x4B 2 +++= ; c) 5x2xC += . Dạng4. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức dạng phân thức có tử là hằng số và mẫu là tam thức bậc hai . Phơng pháp giải. Sử dụng tính chất 9: b 1 a 1 a b, ab > 0 . Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b. Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 5x4x4 3 M 2 + = . Giải. +) Ta có: 4)1x2( 3 5x4x4 3 M 22 + = + = . Mà: 0)1x2( 2 44)1x2( 2 + 4 3 4)1x2( 3 M 2 + = . +) 2 1 x 4 3 M == . Vậy: max 2 1 x 4 3 M == . * Chú ý. Với biểu thức dạng này, cần lu ý học sinh tránh sai lầm sau: Lập luận rằng M có tử là hằng số nên M lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất. Ta sẽ thấy rõ sai lầm đó qua bài giải sau. Để tìm giá trị lớn nhất của phân thức 3x 1 A 2 = , ta lập luận: +) 3 1 3x 1 33x0x 2 22 . +) 0x 3 1 A = = . Vậy: max 0x 3 1 A = = . Nhng ta dễ dàng nhận thấykết quả này sai, vì với x = 2 thì A = 1 > 3 1 . Sai lầm ở chỗ: Từ -3 < 1, không thể suy ra 1 1 3 1 > , vì -3 và 1 không cùng dấu. Tổng quát: Từ a < b, chỉ suy ra đợc b 1 a 1 > khi a và b là hai số cùng dấu. * Bài tập tự giải Bài tập 5. Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các biểu thức: a) 7x6x9 1 A 2 + = ; b) 6xx4 6 B 2 = ; c) 4xx2 1 C 2 = ; d) 3x2x 10x6x3 D 2 2 ++ ++ = ; e) 1x 1x E 2 2 + = . Dạng 5. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức dạng phân thức có mẫu là bình phơng của một nhị thức bậc nhất. Phơng pháp giải: Để tìm giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất của biểu thức A có dạng 2 )bax( )x(M + , ta viết tử thức M(x) dới dạng luỹ thừa của ax + b, sau đó chia tử thức cho mẫu thức để viết A dới dạng tổng các phân thức mới có tử thức là hằng số còn mẫu thức là luỹ thừa của nhị thức ax + b: 2 )bax( p bax n )x(mA + + + += . Dùng phơng pháp đổi biến, đặt b ax 1 y + = , ta đa đợc A về dạng 1 hoặc dạng 2, từ đó giải quyết đợc bài toán. Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 )1x( 1xx A + ++ = . Giải. Viết tử thức dới dạng luỹ thừa của x + 1, rồi đổi biến, đặt 1x 1 y + = ta có: 2 2 )1x( 1)1x()1x2x( A + ++++ = = 2 )1x( 1 1x 1 1 + + + = 4 3 4 3 ) 2 1 y(yy1 22 +=+ . Min 1x 2 1 y 4 3 A === . * Bài tập tự giải. Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a) 2 x 1x2 A + = ; b) 2 2 x 1x2x4 B + = ; c) 1x2x 3x3x C 2 2 + + = ; d) 1x2x 5x6x2 D 2 2 + + = . Bài tập 7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 )1x( x A + = . Dạng 6. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của các phân thức khác. Ví dụ 8. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: 2x 1x2 A 2 + + = . Giải. +) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta viết A dới dạng: )2x(2 )2x()4x4x( )2x(2 2x4 2x 1x2 A 2 22 22 + +++ = + + = + + = = 2 1 2 1 )2x(2 )2x( 2 2 + + . Vậy: 2x 2 1 Amin == +) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta viết A dới dạng: 2x 1x2x2x 2x 1x2 A 2 22 2 + ++ = + + = = 2x )1x()2x( 2 22 + + = 1 2x )1x( 1 2 2 + . Vậy: 1x1Amax = = . Ví dụ 9. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: 1x 3x4 B 2 + + = . Giải. +) Để tìm giá trị nhỏ nhất của B, ta viết B dới dạng: 1x )1x()4x4x( 1x 3x4 B 2 22 2 + +++ = + + = = 11 1x )2x( 2 2 + + . Vậy: 2x1Bmin == +) Để tìm giá trị lớn nhất của B, ta viết B dới dạng: 1x 1x4x44x4 1x 3x4 B 2 22 2 + ++ = + + = = 1x )1x2()1x(4 2 22 + + = 4 1x )1x2( 4 2 2 + . Vậy: 2 1 x4Bmax == . * Bài tập tự giải. Bài tập 8. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 x1 x43 M + = . Bài tập 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2x 14x3 N 2 2 + + = . Dạng 7. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có chứa hai (hoặc nhiều) biến. Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x 2 + y 2 - 2(x y). Giải. Ta có: A = x 2 + y 2 - 2x + 2y = (x 2 - 2x +1) + (y 2 + 2y + 1) 2 = (x 1) 2 + (y + 1) 2 2 2. Vậy: min A = 2 . = = 1y 1x Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: x y y x B += với x > 0, y > 0. Giải. Ta có: x y y x B += = xy yx 22 + = 22 xy yx 22 + + = 2 xy xy2yx 22 + + = 22 xy )yx( 2 + (vì x > 0, y > 0). Vậy: min B = 2 x = y. Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: biết . 66 yxC += 1yx 22 =+ Giải. Ta có: = . 323266 )y()x(yxC +=+= )yyxx)(yx( 422422 ++ Vì nên = 1yx 22 =+ 4224 yyxxC += 22222 yx3)yx( + = . 1yx31 22 Dấu bằng xảy ra khi x 2 y 2 = 0 x = 0 hoặc y = 0.