Đang tải... (xem toàn văn)
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN “TÌM NGHIỆM NGUYÊN” Nguyễn Quang Huy Bài toán “Tìm nghiệm nguyên” là một trong những dạng toán bồi dưỡng học sinh giỏi. Đây là dạng toán khá hay và sẽ tương đối khó với những ai ít tìm hiểu và làm quen với dạng toán này. Trên cơ sở tìm tòi nhiều cách giải khác nhau của một bài toán tìm nghiệm nguyên, tôi đã rút ra một số phương pháp cơ bản để giải bài toán “Tìm nguyện nguyên”, xin trình bày để bạn đọc tham khảo, trao đổi và chia sẻ. Các phương pháp sẽ trình bày sau có thể ứng dụng giải các bài toán “Tìm nghiệm nguyên” khác nhau. Trong khuôn khổ bài viết này, tác giả chỉ minh họa vào 1 bài toán duy nhất. Bài toán: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x + y = xy Trong tất cả các cách giải sẽ trình bày sau đây, ta đều xem x, y là các số nguyên, dương để lập luận
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN “TÌM NGHIỆM NGUYÊN” Vũ Duy Cảng Bài toán “Tìm nghiệm nguyên” dạng toán bồi dưỡng học sinh giỏi Đây dạng toán hay tương đối khó với tìm hiểu làm quen với dạng toán Trên sở tìm tòi nhiều cách giải khác toán tìm nghiệm nguyên, rút số phương pháp để giải toán “Tìm nguyện nguyên”, xin trình bày để bạn đọc tham khảo, trao đổi chia sẻ Các phương pháp trình bày sau ứng dụng giải toán “Tìm nghiệm nguyên” khác Trong khuôn khổ viết này, tác giả minh họa vào toán Bài toán: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x + y = xy Trong tất cách giải trình bày sau đây, ta xem x, y số nguyên, dương để lập luận Phương pháp 1: Dựa vào dấu hiệu chia hết Vì làm việc số nguyên, dương (hay số nguyên), ta nghĩ đến dấu hiệu chia hết (Kí hiệu a\b, với a, b số nguyên, a ≠ 0, đọc là: a chia hết b hay b chia hết cho a) Ta thấy: x\x x\ xy, suy x\y (1) Ta thấy: y\y y\ xy, suy y\ x (2) Từ (1) (2) suy x = y Khi ta có: x + x = x2 → 2x = x2 → x = Vậy x = y = nghiệm phương trình Phương pháp 2: Dự đoán nghiệm chứng minh tính Cách 1: Ta nhẩm thấy x = 2, y = nghiệm phương trình cho Giả sử x < → x = Khi phương trình trở thành: + y = y → = Vô lí Vậy x không bé Giả sử x > Ta đặt x = + k (k nguyên dương) Thay vào phương trình, ta có: + k + y = (2 + k)y → + k = y + ky → + (1 + k) = (1 + k)y → (1 + k) (y - 1) = → + k = y - = Nhưng + k = suy k = Trái với điều kiện k nguyên dương Vậy x lớn Do x = nhất, y = Cách 2: Chia vế phương trình cho xy, ta được: 1 + = x y Nếu x > y < ngược lại Nhưng y < y = Khi phương trình cho trở thành: x + = x → = Vô lí Vậy x lớn Do x = 2, y = nghiệm Phương pháp 3: Đánh giá đồng đẳng Ta thấy thay x y thay y x phương trình nó, x y có vai trò bình đẳng với Không tính tổng quát, ta hoàn toàn giả sử x ≥ y Cách 1: Vì x ≥ y, ta có: x + y ≤ 2x → xy ≤ 2x → y ≤ → y = y = Nhưng y = thay vào phương trình ta thấy vô lí Vậy y = 2, x = ta có x = y = nghiệm phương trình Cách 2: Chia vế phương trình cho xy, ta có: 1 + =1 x y 1 2 Vì x ≥ y nên x + y ≤ y Do ≤ y , suy y = y = 2, y = bị loại thay vào phương trình cho ta đẳng thức sai Vậy y = 2, ta tìm x = x = y = nghiệm phương trình Chú ý: Với cách giải thứ hai này, ta dễ dàng giải toán khó sau: Tìm nghiệm nguyên, dương phương trình: x + y + z = xyz Phương pháp 4: Đưa dạng tích thừa số Từ phương trình x + y = xy, ta có: xy - x - y = → x(y - 1) - (y - 1) = (x - 1)(y - 1) = Do x, y nguyên dương nên từ phương trình suy ra: x - = y - = Vậy x = y = nghiệm phương trình Phương pháp 5: Đưa phương trình ẩn số Vì x y bình đẳng nên không tính tổng quát, ta giả sử x ≥ y Khi đặt x = y + k (k số nguyên không âm) Thay vào phương trình ta được: y + k + y = (y + k)y y2 + (k - 2)y - k = (1) ∆ = (k - 2)2 +4k = k2 + > Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm Muốn phương trình (1) có nghiệm nguyên (dương) k + phải khai phương được, hay nói cách khác, k2 + phải số phương Đặt k2 + = t2 t > k (t - k)(t + k) = Có khả xảy ra: t - k = t + k = 4; t - k = t + k = Ở khả đầu, tìm k = 1,5 Trái với điều kiện k nguyên nên loại Ở khả thứ hai tìm k = (thỏa mãn) Vậy x = y Thay vào phương trình ta tìm x = y = nghiệm Phương pháp 6: Đưa dạng tổng số không âm Cách 1: Ta thử thấy x = y = vô lí, x ≥ y ≥ Nhân hai vế phương trình cho với 2, ta có: 2x + 2y = 2xy → x(y - 2) + y(x - 2) = Ta thấy biểu thức: x(y - 2) y(x - 2) không âm, mà tổng chúng nên biểu thức phải x(y - 2) = → y = 2; y(x - 2) = → x = Vậy x = y = nghiệm phương trình Cách 2: Ta thử thấy x = y = vô lí, x ≥ y ≥ Ta đặt x = + k; y = + t Khi k t số nguyên không âm Thay vào phương trình, ta có: + k + + t = (2 + k)(2 + t) + k + t = + 2t + 2k + kt kt + k + t = Do k t số không âm, tổng k = t = Vậy x = y = nghiệm phương trình./