MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN

TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HSG “GIẢI TOÁN BẰNG MÁY TÍNH CASIO” CẤP TỈNH: Dạng 1:Tìm số dư khi chia số a cho số b. -Tuỳ vào số mũ của a để phân tích, tìm một số a’ thích hợp (Không làm tràn máy) rồi tìm số dư của a’ cho b. Tiếp tục làm như vậy cho đến cuối cùng. VD: Tìm số dư của 11 12 cho 2001. Giải: 11 6 =1771561 khi chia cho 2001 dư là 676. Vì 11 12 =(11 6 ) 2 chia cho 2001 dư là: 676 2 :2001 dư là 748 Vậy dư của phép chia trên là 784. -Cơ sở lý luận: Bài tập áp dụng: Tìm số dư trong phép chia a cho b: 1/ a=7 36 ; b=2003. 2/ a=72 18 ; b=2009. 3/ a= 13 18 +13 20 ; b=6954 4/ a=135 8 +247 5 ; b= 3311 Dạng 2: Tìm tích ab( tích một số có 5 chữ số với một số nhiều hơn 5 chữ số) Ví dụ: Tìm tích a= 123456789123456789 với b= 56789 -Ghép a thành các nhóm: + Từ phải qua trái, mỗi nhóm có 5 chữ số. + Nhóm cuối cùng có thể ít hơn 5 chữ số. { n.4 n.3 n.2 n.1 a 123456789123456789= 123 123 123 Để tìm số dư a n cho b ta làm như nhau: -Nếu a chia cho b thương là q; dư là r ta có: a=bq+r (Công thức này không quan tâm đến hệ số của các số hạng khi khai triển. Vậy chỉ tìm xem r n chia cho b dư là mấy. Đáp số 892 Đáp số 918 Đáp số 170 Đáp số 2514 -Lấy nhóm 1 nhân với b được kết quả, lấy 5 chữ số cuối cùng và ghi ra giấy. = × = 12 3 123 lapbuoc2 ghiragiay a 56789 56789 3224990521 -Lấy các số còn lại của KQ ở bước 1 cộng với nhóm 2 nhân b: { + × = 12 3 12 3 123 ghiragiay lapbuoc2 n2 laybuoc3 32249 91234 56789 5181119875 KQ được bao nhiêu, lấy 5 chữ số cuối cùng và ghi vào phía trước đã ghi ở bước 1. -Tiếp tục là như vậy đến hết. Ví dụ 2: a=34 56789 ; b=56789 Bùc 1: 56789 × 56789=32249 90521 Bước 2: 32249+34 × 56789=1963075 Cơ sở lý luận: Bài tập áp dụng: 1/ Tìm tích ab biết : a/ a= 112233445566778899987654321; b= 24068 b/ a= 147689245; b= 12567 2/ Tìm 7 chữ số cuối cùng của tích a= 23455432 với b= 78998 3/ Tìm xem tích ab có bao nhiêu chữ số 5 biết a=5678998765; b= 55667 Dạng 3: Tìm n chữ số cuối cùng: * Nếu là tìm 1 chữ số cuối cùng: -Phát hiện quy luật lặp lại của chữ số cuối cùng. -Hạ bậc của cơ số bằng cách áp dụng quy luật trên. Ví dụ 1: Tìm chữ số cuối cùng của 3 202 . Ghi ra giấy 90521 Ghi ra giấy 19875 90521 Đáp số : 7010987597531987590521 Khi tách 5 chữ số cuối của số a ta có a=(34 00000+56789) Lúc này ab=(34 00000+56789)56789. p dụng tính chất PP ta được cách làm trên. KQ: 1963075 90521 -Ta có 1 2 3 4 5 3 3 3 9 3 27 3 81 3 243 = = = = = 3 202 =3 200 .3 2 =(3 5 ) 40 .3 2 (1) Vì 3 5 có chữ số cuối cùng (chữ số ở hàng đơn vò) bằng 3 nên chữ số cuối cùng của (3 5 ) 40 là 3 40 ; 3 40 =(3 5 ) 8 Và chữ số cuối cùng là 3 8 ; 3 8 =3 5 .3 3 nên chữ số cuối cùng của 3 8 là 3 4 . Kết hợp với 1 thì chữ số cuối cùng của bài toán chính là chữ số cuối cùng của 3 2 .3 4 =3 5 .3. Vậy chữ số cối cùng của biểu thức là 9. Ví dụ 3: Tìm chữ số cuối cùng của biểu thức A= 3 202 +3 203 +3 204 . Ta có: A=3 202 (1+3+9)=3 202 .13 Theo ví dụ 1 chữ số cuối cùng của 3 202 là 9. Nên chữ số cuối cùng của A là chữ số cuối cùng của tích 13.9=27. *Tìm hai hoặc ba chữ số cuối cùng: Theo nguyên tắc, không có cách giải cụ thể, xong tuỳ từng bài để vận dụng: Ví dụ 4: Tìm hai chữ số cuối cùng của 35 12 . 35 6 =1838265625. Hai chữ số cuối cùng của 35 6 là 25. Mà 35 12 =(35 6 ) 2 nên hai chữ số cuối cùng của chúng là hai chữ số cuối cùng của (25) 2 =625. Vậy hai chữ số cuối cùng là 25. Ví dụ 5: Tìm hai chữ số cuối cùng của 3 523 . Ta có: 3 15 =14248907. Hai chữ số cuối cùng là 07 Và 3 523 =(3 15 ) 34 .5 13 ; và 5 13 =1594323. Hai chữ số cuối cùng của biểu thức chính là hai chữ số cuối cùng của tích Suy ra Vậy hai chữ số cuối cùng là 27. Ví dụ 6: Tìm ba chữ số cuối cùng của biểu thức 64 501 +64 502 . -Trước hết tính ba chữ số cuối cùng của 64 501 . Ta có: 64 5 =1073741824. Và 64 501 =(64 5 ) 100 .64 nên ba chữ số cuối cùng là ba chữ số cuối cùng của tích: (824) 100 .64. • Vì 824 3 =559476224; (824) 100 .64={(824) 3 } 33 824.64 Þ ba chữ số cuối cùng là ba chữ số của tích( 224) 33 .52736. (07) 34 .23={(07) 7 } 4 .(07) 6 .23 (07) 7 =823543; 7 6 =117649 (43) 4 .49.23 . hai chữ số cuối cùng chính là hai chữ số cuối cùng của tích 01.49.23=1127. Phát hiện quy luật lặp lại của chữ số cuối cùng. -Chữ số cuối là 5 thì 5 n có chữ số cuối cùng là 5 (n ≥ 1) -Chữ số cuối là 6 thì 6 n có chữ số cuối cùng là 6 (n ≥ 1) • Vì 224 4 =2517630976 nên ba chữ số cuối cùng của tích ( 224) 33 .52736 là ba chữ số cuối cùng của tích (224) 4 } 8 .224.736 và là ba chữ số cuối cùng của (976) 8 . 164864. • Vì 896 3 =719323136 nên Ba chữ số cuối cùng của (976) 8 . 164864. là ba chữ số cuối cùng của (136) 2 .896 2 .864=18496.802816.864 • Vậy ba chữ số cuối cùng của chúng là ba chữ số cuối cùng của tích 496.816.864=349691904. • Ba chữ số cuối cùng của 64 501 là 904. • A=64 501 (1+64)=65.64 501 . Ba chữ số cuối cùng của A là ba chữ số cuối cùng của tích 904.65=58760. Vậy Ba chữ số cuối cùng của A là 760. Dạng 4: Tính chất chia hết- Tìm tổng các số thoả mãn một vài điều kiện về chia hết: Ví dụ 1: Chứng minh rằng 13 18 -1 chia hết cho 6954. Ta có: 13 18 =(13 6 ) 3 Vì 13 6 =4826809 chia cho 6954 có số dư là 733; (733) 3 =393832837 chia cho 6954 dư bằng 1. Vậy A= 13 8 -1 chia hết cho 6954. Ví dụ 2: Tính tổng các số từ 10000 đến 99999 chia hết cho 3. Giải: Các số trong khoảng từ 10000 đến 99999 chia hết cho 3 là các số 10002; 10005; ……………; 99999. Số các số hạng chia hết cho 3 là: (99999-10002):3+1=30 000 Tổng các số chia hết cho ba là: 10005+………+99999= (10005+99999).30000:2 =1650060000. Ví dụ 3: Tìm tổng các số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 5 trong khoảng từ 20 000 đến 2 000 000. Giải: Từ 20 000 đến 2 000 000 có các số chia hết cho 3 là: 20 001;…………;1 999 998. Số các số hạng chia hết cho 3 là: (1 999 998-20 001):3+1=660 000 Tổng các số chia hết cho 3 là: 20 001+…………+1 999 998=(1 999 998+20 001).660 000:2 =330 000. 2019999 =666 599 670 000 Hỗ trợ: Tìm số phần tử của tập hợp: (Số cuối-Số đầu): Khoảng cách giữa hai số +1 Tính tổng các số có khoảng cách bằng nhau: (Số đầu+số cuối). Số các số hạng:2 Các số vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 5 trong khoảng từ 20 000 đến 2000000. là: 20010;……; 1 999 995. Số các số chia hết cho 5 là: (1 999 995– 20 010):15+1=132 000 số. Tổng các số chia hết cho 15 là: (1 999 995+ 20 010).132 000:2=133 320 330 000 Từ 20 000 đến 2 000 000 có các số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 5 là: 660 000-132 000=528 000 số. Tổng các số này là: 666 599 670 000-133 320 330 000=533 279 340 000. Ví dụ 4: Tìm một số có 8 chữ số đồng thời chia hết cho 3 và 4, mà số ấy chỉ gồm các chữ số 2 và 3, trong đó số chữ số 3 nhiều hơn số chữ số 2. Giải: Gọi số cần tìm là: 1 2 3 4 5 6 7 8 A a a a a a a a a= . Vì A M 4 nên 7 8 a a M 4; theo đề bài ta có các chữ số của số A chỉ là chữ số 3 và 2 nên suy ra 7 8 a a =32. Để A chia hết cho 3 cần : a 1 +a 2 +…+a 6 +3+2 chia hết cho 3. Hay a 1 +a 2 +…+a 6 +5 chia hết cho 3. Nhưng do các chữ số của A chỉ là chữ số 3 và 2 và chữ số 3 nhiều hơn chữ số 2 và từ a 1 đến a 6 (Có 6 chữ số) nên suy ra: @ Trường hợp 1: Có 4 chữ số 3 và 2 chữ số 2 : Tổng các chữ số là: 4.3+2.2+5=21 (thoả mãn chia hết cho3) @ Trường hợp 2: Có 5 chữ số 3 và 1 chữ số 2: 5.3+2.1+5=22 ( không thoả mãn chia hết cho3) @ Trường hợp 3: Có 6 chữ số 3 và không có chữ số 2: 6.3+5=23 ( không thoả mãn chia hết cho3) Vậy số đó có thể là 33 332 232. Đổi vò trí các chữ số 3 và 2 từ hàng trăm đến hàng chục triệu (Giữ nguyên chữ số hàng chục và đơn vò ta có các số cần tìm) Một số bài tập: 1/Tìm tổng các số chia hết cho 7 mà không chia hết cho 2 2/ Tìm một số có 6 chữ số sao cho nó chia hết cho 25 và chia hết cho 3 và chỉ gồm các chữ số 2 và 5. Trong đó số chữ số 2 nhiều hơn số chữ số 5. Dạng 5: Hàm số và tỉ số lượng giác: 1/Các bài tập cơ bản: a/ Tìm tỉ số lượng giác của một góc: Màn hình ở chế độ Deg (Dùng số đo độ) bằng cách bấm phím MODE nhiều lần đến khi xuất hiện: Ví dụ 1: Tính Sin 60 o = 0,866025403 Sin 30 o 20’15’’=0,505092606. Bấm phím: Deg Rad Gra 1 2 3 Sin 30 o,,, 20 15 o,,, o,,, = Chú ý: Máy không có nút bấm cotg. Vậy để tính cotg a ta làm như sau: -Tính tg a sau đó lấy nghòch đảo. b/Tìm số đo độ của một góc: Ví dụ: Tính: sin x= 0,534 Ta có: sin -1 0,534=3,27611926 bấm tiếp nút o,,, ta được 32 o 16’34,03 (34’’) Bài tập áp dụng: 1/ Tính giá trò của biểu thức: 3 o 2 o 3 o 3 o 2 o cos 25 12'28'' 2sin 45 7tg 27 A sin 36 cos 37 13'26'' + - = + 2/Cho tg x =2,34 (x là góc nhọn). Tính: 3 3 3 2 8cos x 2sin x cosx P 2cosx sin x sin x - + = - + 3/ Cho Sin (3x+13 o 15’)=0,5323. Biết 0 o <x<90 o . Tính: 3 2 4 o 5 3 o 4 cos 3x sin 2x tg (5x 10 15') cot g 4x Q sin (2x 15 21') cot g 6x + - + + = + - Hỗ trợ: Vì tg . cotg = 1 nên cotg = Đáp số A=0,73182671 Đáp số P=-0,792316539 Cách giải: -Tính: tg -1 2,34=66,86053824, bấm o,,, =66 o 51 o 37,94 ứng với 66 o 51’37’’ Vậy góc x=66 o 51’37’’. Lúc này thay x vào biểu thức P và nhớ tử vào phím A; nhớ mẫu vào phím B và cuối cùng làm thao tác A ab/c B = Không nên đánh toàn bộ biểu thức vào máy vì bò tràn máy. Cách giải: -Trước hết hãy tính góc x bằng cách: sin -1 0,5323=32,16098868 bấm o,,, được 32 o 9’39’’. Vậy 3x+13 o 15’=32 o 9’39’’ x=8 o 38’13’ nhớ vào phím A. Lúc này bấm phím lần lượt và chú ý: VD Sin 3 2x thì bấm (sin(2A))x 3 Đáp số -17,62250204 Dạng 5: Toán hình học: Bài 1: Cho tam giác vuông ABC (A=1v) có AB=14,568 cm và AC=13,245 cm. Kẻ AH vuông góc với BC. 1/Tính BC; AH; HC. 2/ Kẻ phân giác BN của góc B. Tính NB. Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=20,345 cm và AD=15,567 cm. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật. Kẻ AH vuông góc với DB; kéo dài AH cắt CD ở E. 1/ Tính OH và AE. 2/ Tính diện tích tứ giác OHEC. -Dùng hệ thức lượửctong tam giác vuông để tính câu 1. -Theo t/c đường phân giác có: từ đây tính NA; sử dụng Pitago trong tam giác ABN tính BN. A N B H C Nhớ AB và A; AD vào B 1/Tính được BD bằng đònh lý Pitgago rồi tìm OB và HB hoặc DH. Đsố: DB=25,61738695 nhớ vào C AH=12,36311165 nhớ vào D. DH=9,459649007 nhớ vào E. HO=OD-DH=3,349044467. -Tính AE:AD 2 =AH.AE Nên AE=19,6011729. nhớ vào F A B H O D E C 2/ Diện tích OHEC: =44,9428943. Dạng 6: Tính giá trò của biểu thức: Ví dụ 1: Tính 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 2 2 3 19 20 = + + + + + + + + + Cách 1: Xét bài toán phụ: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a b c a b c ab ac bc ỉ ư ỉ ư ÷ ÷ ç ç + + = + + - + + ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø = 2 1 1 1 a b c 2 a b c abc ỉ ư ỉ ư + + ÷ ÷ ç ç + + - ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø (1) Nếu a+b+c=0 thì (1) trở thành 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 a b c a b c ỉ ư ÷ ç + + = + + ÷ ç ÷ ç è ø Ta lại có: 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m n (m n) m n ( m n) m n n m ỉ ư ÷ ç + + = + + = + - ÷ ç ÷ ç è ø + - - + Suy ra: k 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 S 1 1 1 1 2 2 3 (k 1) k = + + + + + + + + + - = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (k 2) 2 3 3 4 k 1 k 2 k ỉ ư ỉ ư ỉ ư ÷ ÷ ÷ ç ç ç = + - + + - + + + - = - + - ÷ ÷ ÷ ç ç ç ÷ ÷ ÷ ç ç ç è ø è ø è ø - Với đề bài k=19 nên ta có 19-2+ 1 1 2 19 - Ví dụ 2: Tính: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 B 1 1 . 1 2 3 3 4 2004 2005 = + + + + + + + + + Dạng 7: Tính giá trò của biểu thức có phép lặp: Ví dụ 1: Cho U 1 =7; U 2 =12. Viết công thức tính U n+1 = 2 1 U + 8U 2 . Tính U 10 . -Quy trình bấm phím: Ví dụ 2: Cho U o = 12. Viết công thức tính U n = 3 o o 2 o U 2U U - . Tính U 13 . Nhớ U 1 =7 vào A; U 2 =12 vào B; Lập công thức: A 2 +8B nhớ vào A; B 2 +8A, nhớ vào B Bấm nút REPLAY 7 lần ta được U1 0 . Đây là U 3 (Vì ở trên đã cho U 2 . Đây là U 4 (Vì ở trên đã tínhU 3 . Nhớ U o =12 vào A; Lập công thức: (A 3 -2A ):A 2 nhớ vào A Bấm nút REPLAY 12 lần ta được U1 3 . Đây là U 1 (Vì ở trên đã cho U o ) Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên n để 2 8 +2 11 +2 n là số chính phương. Ta có 2 8 +2 11 =2 8 (1+3 3 )=48 2 . Để 2 8 +2 11 +2 n là số chính phương thì å 2 8 +2 11 +2 n =k 2 hay 2 n =k 2 -48 2 =(k-48)(k+48) Suy ra k-48=2 p . và k+48=2 q . Ta có 2 q -2 p =2 p (2 q-p -1)=(k+48)+(k-48)=96=2 5 .3 Vậy với p=5; q=3 hay n=12 thì 2 8 +2 11 +2 n là số chính phương. Tính trên máy CASIO là: Khai báo công thức 8 11 n n a 2 2 2= + + Bấm máy như sau: 2 8 2 11 2 Lần lượt khai báo X=1; 2;3 … 12 và dung để trở về công thức trên, sau đó bấm phím ta được 12 a =80. Vậy n=12 Ví dụ 4: Cho dãy số n 3 2004 U n n = + . Tìm số hạng nhỏ nhất của dãy số: Giải: Khai báo công thức Lần lượt cho X=1;2;3……… ta có kết quả cuối cùng. ( ^ + ^ + ^ ALPHA X ) D = ALPHA X + 2004 ÷ ALPHA X ^ 3 . các chữ số 2 và 5. Trong đó số chữ số 2 nhiều hơn số chữ số 5. Dạng 5: Hàm số và tỉ số lượng giác: 1/Các bài tập cơ bản: a/ Tìm tỉ số lượng giác của một góc:. trợ: Tìm số phần tử của tập hợp: (Số cuối -Số đầu): Khoảng cách giữa hai số +1 Tính tổng các số có khoảng cách bằng nhau: (Số đầu +số cuối). Số các số hạng:2