Một số sai lầm khi tìm GTNN - GTNN

Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục Phần 1: Những vấn đề chung I. Lí do chọn đề tài: Toán học có một vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí, góp phần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám, nguồn tài nguyên quý nhất cho đất nớc. Toán học là bộ môn khoa học tự nhiên đợc hình thành từ rất sớm bởi sự gắn bó chặt chẽ của nó với thực tiễn đời sống con ngời. Toán học là môn khoa học cơ bản rất quan trọng, nó giúp cho việc hình thành và phát triển cho ngời học năng lực t duy logic, phơng pháp luận khoa học, phẩm chất trí tuệ, t tởng đạo đức. Ngày nay sự phát triển của tất cả các ngành khoa học cũng nh tất cả các ngành công nghiệp then chốt đều không thể thiếu toán học, chúng đều đợc khởi nguồn và dựa trên toán học. Sự phát triển của một đất nớc không phụ thuộc nhiều ở tài nguyên thiên nhiên, mà phụ thuộc chủ yếu vào trình độ dân trí. Toán học có vị trí đặc biệt trong việc nâng cao và phát triển dân trí, góp phần tạo nên nguồn tài nguyên chất xám. Việt Nam chúng ta so với các nớc trên thế giới còn ở trong tình trạng nghèo nàn, lạc hậu. Muốn thoát khỏi tình trạng này và đuổi kịp các nớc trên thế giới, đối với Việt Nam phải có lớp ngời mới đợc trang bị kiến thức tốt, luôn phát huy tính sáng tạo và khả năng nhanh nhạy để nắm bắt kĩ thuật mới. Nhiệm vụ quan trọng này ngành GD - ĐT vinh dự đợc Đảng và Nhà nớc giao cho. Chính vì vậy trong từng năm học, Bộ GD - ĐT đã có những chỉ thị kịp thời, Sở GD - ĐT, Phòng GD & ĐT và Nhà trờng đã chủ động đề ra những kế hoạch chi tiết, những mục tiêu rõ ràng và giao nhiệm vụ cụ thể đến từng giáo viên. Để hoàn thành nhiệm vụ, ngời giáo viên phải có lòng nhiệt tình, có kiến thức và phơng pháp truyền thụ kiến thức phù hợp. Nhng thực tế đã cho thấy hầu hết giáo viên đều có lòng nhiệt tình, có kiến thức song phơng pháp còn nhiều hạn chế, các thầy cô giáo viên dạy toán cũng không phải là ngoại lệ. Vậy đâu là nguyên nhân của những hạn chế trên? Theo tôi nguyên nhân cơ bản là: - Giáo viên cha tạo cho học sinh thói quen tiến hành đầy đủ các bớc cần thiết khi giải một bài toán, nhất là những bài toán mới lạ hoặc những bài toán khó nên học sinh cha có phơng pháp suy nghĩ, suy luận đúng trong việc tìm tòi lời giải một bài toán. - Chỉ nặng về trình bày lời giải đã tìm ra mà không chú ý đến việc hớng dẫn để học sinh tự tìm ra lời giải. Bởi vậy học sinh cũng chỉ hiểu đợc lời giải cụ thể của bài toán cha học tập đợc cách suy luận để giải bài toán tơng tự. - Cha chú trọng đến việc phân tích bài toán theo nhiều khía cạnh, theo từng loại để tạo ra phơng pháp và lời giải khác nhau, cha chú trọng rèn luyện cho học sinh kĩ năng thực hành tính toán, biến đổi, suy luận. - Cho học sinh giải nhiều bài tập mà không chú ý đến việc lựa chọn một hệ thống bài tập đa dạng, đầy đủ. . 1 Trong quá trình học tập, học sinh sớm đợc làm quen với bộ môn toán. Nhìn chung Toán học là môn học rất trừu tợng. Tính trừu tợng và logic tăng dần khi các em càng học lên các lớp trên. Từ năm học lớp 8 khó khăn của học sinh đã đợc bộc lộ rõ nét hơn, đặc biệt là các bài toán chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Đây là một đề tài thú vị, nó thờng không có quy tắc giả tổng quát. Do vậy học sinh hay mắc thiếu sót và sai lầm khi giải các bài toán loại này. Vậy tại sao học sinh thờng mắc phải sai lầm khi giải các bài toán cực trị? Theo tôi nguyên nhân này xuất phát từ những lý do sau: 1. Ngời giải toán cha có đờng lối rõ ràng khi giải bài toán tìm cực trị. 2. Cha nắm chắc các tính chất của bất đẳng thức. 3. Cha hệ thống, phân dạng đợc các bài tập cùng loại. 4. Không đọc kĩ đầu bài, cha hiểu rõ bài toán đã đã vội đi ngay vào giải toán. 5. Không biết đề cập bài toán theo nhiều cách giải khác nhau, không chịu nghiên cứu kĩ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết trong từng bài toán, không sử dụng hết giả thiết bài toán, không biết linh hoạt vận dụng kiến thức đã có. 6. Không tự t duy lại bài toán mình làm sau khi đã giải xong xem đã đúng cha. Nói chung dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là dạng toán khó nhng rất thú vị. Nó lôi cuốn nhiều ngời phải say mê, từ các em học sinh đến các nhà bác học lỗi lạc. Tại sao vậy? Mỗi bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất với số liệu riêng của nó đòi hỏi một cách giải riêng phù hợp. Điều đó có tác dụng rèn luyện t duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế chúng ta thấy trong các kì thi học sinh giỏi toán thờng có bài toán về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Tóm lại, từ nhiệm vụ yêu cầu thực tế của đất nớc và của ngành giáo dục, từ khó khăn của giáo viên và học sinh thờng hay mắc sai lầm trong việc giải các bài toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tôi đã chọn đề tài Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục trong chơng trình THCS để nghiên cứu với hy vọng đề tài này sẽ góp phần vào việc giải quyết khó khăn, khắc phục sai lầm cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và học kiến thức về chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Nh nhà giáo dục toán học Polya đã nói: Con ngời phải biết học ngay ở những sai lầm của mình . 2 Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục II. Cơ sở khoa học Đề tài đợc viết dựa vào những cơ sở lí luận và thực tiễn. II.1. Cơ sở lý luận Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa khoá vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học, kinh tế, quân sự trong cuộc sống. Chính vì vậy việc dạy và học bộ môn toán trong nhà trờng đóng vai trò vô cùng quan trọng dạy toán chiếm vị trí số một trong các môn học của nhà trờng, đối với giáo viên, dạy toán là niềm tự hào song đó cũng là thử thách vô cùng lớn. Để dạy toán và học toán tốt thì Thày và Trò không ngừng rèn luyện và đầu t trí và lực vào nghiên cứu học hỏi. Học và dạy toán với chơng trình cơ bản đã rất khó, xong dạy và học toán trong đào tạo mũi nhọn lại vô cùng gian truân, việc học và dạy không dừng ở việc ngời học và ngời dạy phải có trí tuệ nhất định mà cả thày và trò phải dày công đầu t vào nghiên cứu các dạng toán, thuật toán vận dụng hợp lý các tính chất toán học do các nhà toán học đã nghiên cứu vào giải toán, ngoài ra ngời dạy và học toán phải tự rèn luyện và nghiên cứu để có những công trình toán của riêng mình cùng góp sức để đa bộ môn toán ngày càng phát triển. Thực hiện nhiệm vụ năm học cũng nh đợc sự phân công của Phòng Giáo dục và Đào tạo huyện Yên Dũng, Ban giám hiệu trờng THCS Yên L, qua quá trình bồi dỡng học sinh giỏi nhiều năm gần đây bản thân tôi thấy việc hình thành cho học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho bài toán hoặc mỗi dạng toán nào đó là công việc rất khó. Đứng trớc một bài toán nếu ngời thày cha hiểu cha có hớng giải thì ta hớng dẫn học sinh nh thế nào, thật khó trong những tình huống nh thế ngời thày sẽ mất vai trò chủ đạo trong việc dạy học sinh, còn học sinh đã không giải đợc toán nhng lại mất niềm tin ở thày và cảm thấy việc học toán là cực hình là khó vô cùng không thể học đợc. Toán học là bộ môn khoa học của nhân loại một bộ môn khoa học đa dạng về thể loại không phải cứ dạy toán và học toán là biết hết, là đã đến đỉnh cao của trí tuệ nhân loại. Khi trực tiếp bồi dỡng học sinh giỏi tôi tự thấy kiến thức toán của bản thân còn rất hạn chế, nhất là những bài toán về Bất đẳng thức, bài toán về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đây là dạng toán lớn, có nhiều cách thức để giải xong cả thày và trò lại rất ngại khi đụng đến vì nó khó và phải mất rất nhiều thời gian để dự đoán kết quả và tìm cách giải, hơn nữa rất dễ mắc sai lầm. Tôi đã tìm nhiều biện pháp để hớng dẫn học sinh nhận xét, phân tích để giải các bài toán dạng này bằng các phơng pháp mà học sinh và thày đợc trang bị trong cấp học, nhng đều không thành công bởi chính thày cũng phải lần mò mãi mới có lời giải, học sinh thì hay mắc sai lầm. Cho đến một ngày tôi đọc đợc bài báo của tác giả Vũ Hữu Bình GV trờng THCS Trng Vơng - Hà Nội trên báo Toán học và tuổi trẻ ra . 3 tháng 8 năm 2000, bài báo này đã giúp tôi nhất nhiều trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi, đối với bài toán trên khi áp dụng kiến thức của bài báo vào, mỗi khi hớng dẫn học sinh tôi đã hoàn toàn tự tin và giữ vai trò chủ đạo để hớng dẫn học sinh, còn học sinh đã khai thác bài toán đợc bằng nhiều cách, tránh đợc những sai lầm cố hữu thờng mắc phải khi giải toán cực trị và có hứng thú thực sự với dạng toán này. Từ thực tế này tôi xin đợc trao đổi kinh nghiệm này cùng các đồng nghiệp mong rằng đề tài này sẽ đợc mở rộng và phát triển sâu rộng hơn. II.2 Cơ sở thực tiễn II.2.1 Tình hình học sinh Đối tợng là học sinh khá, giỏi nên kiến thức cơ bản các em nắm tơng đối vững có trí tuệ nhất định. Xong không phải bất cứ bài toán nào hay dạng toán nào các em cũng làm đợc, đối với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hầu hết các em đều cho rằng đây là một loại toán rất khó nên đầu t vào sẽ mất nhiều thời gian mà cha chắc đã làm đợc và lại rất dễ mắc sai lầm. Do vậy các em thờng bỏ qua bài toán này để tập trung thời gian giải bài toán khác và rất nhiều em không có hứng thú khi gặp bài toán này. II.2.2 Tình hình giáo viên - Thuận lợi: Hầu hết các thầy cô có trình độ, đợc đào tạo cơ bản, tâm huyết với nghề và luôn cầu tiến bộ. - Khó khăn: Thời lợng thực dạy trên lớp 19 tiết/1 tuần và chuẩn bị giáo án đồ dùng để phục vụ tiết dạy đẫ lấp kín thời gian trên lớp và ở nhà, mặt khác trong nền kinh tế thị trờng với đồng lơng không cao, chỉ đủ đáp ứng đợc cuộc sống đạm bạc thậm chí có phần khó khăn của các nhà s phạm nên các thầy cô giáo còn bị chi phối nhiều thời gian vào cuộc sống cho bản thân cùng gia đình. Trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn và bao trùm. Do đó để dành nhiều thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững và sâu thì rất hạn chế, nhiều ngời còn t tởng chỉ cần hoàn thành nhiệm vụ là đợc còn nghiên cứu tìm tòi đã có các nhà khoa học. Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên cứu tìm lời giải cho các bài toán là những ngời phải có trí tuệ, phải là bậc vĩ nhân. Suy nghĩ này chỉ đúng một phần vì Ngọc không mài thì không sáng đợc. Đối với bài toán tìm cực trị không có cách giải mẫu mực mà chủ yếu dựa vào phân tích - kinh nghiệm của ngời làm toán. Do đó đòi hỏi ngời giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết và tinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng đợc chuyên môn, công việc giảng dạy của mình. Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giải nhanh và khoa học với dạng toán trên song không vận dụng đợc vào cấp học phổ thông, hoặc cha tìm đợc ph- ơng pháp khoa học để học sinh tiếp cận cho phù hợp với chơng trình học, và nội dung sách giáo khoa hiện hành. II.2.3 Các tài liệu 4 Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục Các tài liệu tham khảo của môn toán THCS dành cho giáo viên và học sinh về số lợng, có vô số và lan tràn khắp thị trờng, vì mục đích kinh doanh bề ngoài sách đẹp, tiêu đề sách thu hút song nội dung thì trùng nhau lời giả sơ sài, thậm chí nhiều cuốn sách có rất nhiều sai sót, tính s phạm không cao. Các sách của Bộ giáo dục vì lý do s phạm vì khuôn khổ chơng trình học của cấp học nên phần giải bài toán tìm cực trị và những sai lầm dễ mắc trong chơng trình THCS chỉ có tính chất giới thiệu thông qua một vài bài tập mà không viết riêng thành một tài liệu để giáo viên và học sinh ở cấp học này có thể tham khảo. Chính vì những lý do nêu trên, tôi đã chon đề tài Một số sai lầm thờng gặp trong các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục trong chơng trình THCS để nghiên cứu và thực hiện. . 5 Phần 2: Nội dung chính I. Vài nét khái quát về tình hình địa phơng huyện Yên Dũng và các nhà tr- ờng. I.1 Đặc điểm I.1.1 Thuận lợi - Huyện Yên Dũng có bề dày về thành tích bồi dỡng HSG, có thế mạnh về đội ngũ giáo viên có tay nghề chuyên môn cao, kiến thức vững vàng. - Về phía học sinh các em hiếu học, có ý thức tốt. - Chính quyền và tổ chức đoàn thể rất quan tâm và coi trọng công tác giáo dục. - Các bậc phụ huynh đặc biệt coi trọng việc học tập của con cái. - Cơ sở vật chất các nhà trờng cơ bản đã đầy đủ để học một ca. I.1.2 Khó khăn - Do không còn hình thức tuyển chọn học sinh nh trớc nên lực học của học sinh không đồng đều, mức độ đào tạo, dạy dỗ ở các trờng không đồng đều, nhiều em ham chơi, coi nhẹ việc học. Về phía gia đình nhiều hộ còn gặp khó khăn mải miết làm ăn nên thiếu sự phối hợp với nhà trờng giáo dục các em. Còn một bộ phận giáo viên công tác cha thực sự nỗ lực, trách nhiệm cha cao. I.2 Phơng pháp và đối tợng nghiên cứu. I.2.1 Phơng pháp. Trong quá trình nghiên cứu đề tài tôi đã dùng những phơng pháp sau: - Đọc sách, nghiên cứu thu thập, xử lí tài liệu su tầm đợc. - Điều tra, trò chuyện với giáo viên và học sinh. - Tự tìm hiểu đối tợng học sinh . - Tổng kết đúc rút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy. - Cập nhật thông tin từ mạng Internet. Dựa vào các phơng pháp này và phân tích nguyên nhân tôi đã định hình cho việc nghiên cứu đề tài. I.2.2 Đối tợng. Đối tợng nghiên cứu là môn toán và những kiến thức toán học có liên quan đến các dạng toán chứng minh BĐT hay tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, những sai lầm học sinh thờng mắc phải và cách khắc phục là trọng tâm nghiên cứu của đề tài. II. Phần cơ bản. II.1. Phơng pháp trình bày đề tài. Đề tài đợc trình bày dới dạng đa ra các bài tập cụ thể, mỗi bài tập đều đợc đa ra lời giải sai, phân tích sai lầm và cách khắc phục, đồng thời đa ra lời giải đúng, cuối cùng đa ra các bài tập đề nghị cho ngời đọc. Các sai lầm thờng mắc phải đợc liệt kê ở cùng dạng và chỉ đợc nêu rõ ở phần giải đáp. II.2. Nội dung cụ thể. 6 Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục II.2.1. Một số tính chất của bất đẳng thức Cho a, b, c là các số thực Tính chất 1: a b b a Tính chất 2. a b a b b a = Tính chất 3. Tính chất bắc cầu . a b a c b c Tính chất 4. a b a c b c + + Tính chất 5. a b a c b d c d + + Chú ý: Không đợc trừ hai bất đẳng thức cùng chiều cho nhau. Tính chất 6. 0 ac bc a b c > Tính chất 7. 0 ac bc a b c < Tính chất 8. Nhân từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều và hai vế không âm 0 0 a b ac bd c d Tổng quát: 1 1 2 2 * 1 2 1 2 0 0 0, 0 n n n n a b a b a a a b b b n N a b Chú ý: Không đợc chia hai bất đẳng thức cho nhau. Tính chất 9. Nâng luỹ thừa hai vế của bất đẳng thức * * 0 , n n a b a b n N * * ( , 2) n n a b a b n N n M Tính chất 10. * 0 , , 2 n n a b a b n N n Tính chất 11. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số 0 * 1 m n m n a a a > > 0 * 0 1 m n m n a a a > < < Tính chất 12. 1 1 0 b a ab a b > . 7 II.2.2. Một số kiến thức thờng dùng để giải bài toán cực trị hình học II.2.2.1 Sử dụng quan hệ đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu - Quan hệ đờng vuông góc, đờng xiên, hình chiếu thờng đợc sử dụng dới dạng: + Trong các tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng), cạnh góc vuông AB và cạnh huyền BC thì AB BC , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A trùng với C; + Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đờng thẳng, đoạn thẳng vuông góc với đờng thẳng có độ dài nhỏ nhất. + Trong các đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai đờng thẳng song song, đoạn thẳng vuông góc với hai đờng thẳng sông song có độ dài nhỏ nhất. + Trong hai đờng xiên kẻ từ một điểm đến cùng một đờng thẳng, đờng xiên lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu của nó lớn hơn. II.2.2.2. Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đờng gấp khúc - Quan hệ giữa đoạn thẳng và đờng gấp khúc đợc sử dụng dới dạng: + Với ba điểm bất kỳ A, B, C ta có AB BC AC+ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi B thuộc đoạn thẳng AC. + Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B ngắn hơn độ dài đờng gấp khúc có hai đầu là A và B. II.2.2.3 Sử dụng các bất đẳng thức trong đờng tròn - Các bất đẳng thức trong đờng tròn đợc thể hiện trong các định lý: + Trong các dây của một đờng tròn, dây lớn nhất là đờng kính. + Trong hai dây của một đờng tròn: *Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn. * Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn. + Trong hai cung nhỏ của một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm chắn cung đó lớn hơn. + Trong hai cung nhỏ của một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trơng cung ấy lớn hơn. II.2.3. Một số bất đẳng thức thờng vận dụng để tìm cực trị. * Bất đẳng thức Côsi Dạng cơ bản: Cho , 0a b , khi đó ta có bất đẳng thức 2a b ab+ . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b = . Dạng tổng quát: Cho các số không âm 1 2 3 , , , , n a a a a . Ta có bất đẳng thức 1 2 3 1 2 3 . n n n a a a a n a a a a+ + + + với , 2n N n . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 3 n a a a a= = = = . * Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Dạng cơ bản: Với , , ,a b c d là các số thực tuỳ ý ta luôn có 8 Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 ac bd a b c d+ + + . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c d = . Dạng tổng quát: Cho hai bộ số ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 , , , , , , , , , n n a a a a b b b b , khi đó ta có ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3 n n n n a b a b a b a b a a a a b b b b+ + + + + + + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 31 2 1 2 3 n n a aa a b b b b = = = = (Với điều kiện các biểu thức đều có nghĩa). * Bất đẳng thức Trêbusep Dạng cơ bản: Cho a b A B hoặc a b A B , ta có: . 2 2 2 a b A B aA bB+ + + . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b = hoặc A B= . Dạng tổng quát: Cho hai bộ số cùng tăng hoặc cùng giảm 1 2 3 1 2 3 n n a a a a b b b b hoặc 1 2 3 1 2 3 n n a a a a b b b b . Ta có bất đẳng thức 1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 . n n n n a a a a b b b b a b a b a b a b n n n + + + + + + + + + + + + Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 3 n a a a a= = = = hoặc 1 2 3 n b b b b= = = = . Lu ý: Nếu một dãy tăng và một dãy giảm thì bất đẳng thức đổi chiều. * Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối 0,a a R a a= nếu 0a a a= nếu 0a < a a a a b a b+ + . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0ab . a b a b a b + * Bất đẳng thức trong tam giác Nội dung: Cho tam giác ABC có , ,AB c BC a CA b= = = . Ta có . 9 a b c a b b c a b c c a b c a < < + < < + < < + II.2.4. Đờng lối tổng quát giải bài toán cực trị * Cực trị đại số: Để tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức f ta phải thực hiện hai bớc: - Bớc 1: Chứng minh f m (hoặc f m ) với m là hằng số. - Bớc 2: Trả lời câu hỏi dấu bằng xảy ra khi nào? và kết luận. * Cực trị hình học: Để tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho đại lợng f (f là số đo độ dài, hoặc số đo diện tích,) có giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất), ta phải thực hiện hai bớc: - Bớc 1: Chứng tỏ rằng với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m (hoặc f m ) với m là hằng số. - Bớc 2: Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m. *Chú ý: Trong một bài toán mà sử dụng nhiều bất đẳng thức để tìm cực trị thì lu ý các dấu = phải xảy ra đồng thời. II.2.5. Các bài tập minh hoạ A. Cực trị Đại số A.1. Dạng sai lầm thứ nhất Bài 1. Cho x, y là hai số dơng thoả mãn 1 1.x y + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 32. 2007. . x y M y x = + Lời giải có vấn đề. Từ x, y > 0 ta có 2 x y y x + . Từ x, y > 0 và 1 1x y + ta có 2 1 1 1 4 . 4. y x x y y x + ữ Do vậy 32. 2007. 32. 1975. 32.2 1975.4 7964 x y x y y M y x y x x = + = + + + = ữ . Dấu = xảy ra x = y . Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 7964, giá trị này đạt đợc khi x = y. Bình luận Nhng! x = y thì M = 2039. Vậy sai lầm ở đâu? Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3A x y= + biết 2 2 2 3 5x y+ . 10 [...]... bằng 2 khi và chỉ khi m = 1 hoặc m = -3 A.4 Dạng sai lầm thứ t Lập luận lại sai khi khẳng định A có tử số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất (hoặc ngợc lại) mà cha đa ra nhận xét tử và mẫu là các số dơng Bài 13 Giải đáp: Tuy đáp số không sai nhng lập luận lại sai khi khẳng định A có tử số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất mà cha đa ra nhận xét tử và mẫu là các số dơng... bất đẳng thức Na-sơ-bit thì 2 2 + 2 2 + 2 2 , y +z z +x x +y 2 suy ra M 3 ( a + b) Vậy min M = Bài 10 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z 3 ( a + b) 2 khi và chỉ khi x = y = z 32 Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục Phân tích sai lầm: Khẳng định P 0 là đúng nhng chẳng đợc gì, bởi vì không có giá trị nào của x, y để dấu = xảy ra Sai lầm ở lời giải... Dấu = xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 Theo các bạn lời giải trên đã chuẩn cha? Lời giải của bạn nh thế nào? A.6 Một số dạng sai lầm khác thờng mắc phải Bài 17 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng a 4 + b 4 + c 4 < 2 ( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) Lời giải sai Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên 16 Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị... là tam giác vuông -Do MA và MB là hai cạnh góc vuông của tam giác AMB nên giả sử MA MB 2R - Kí hiệu S ,C lần lợt là diện tích và chu vi hình * * * - Ta có C AMB = MA + MB + AB 2MB + 2R 2.2R + 2R = 6R MA.MB MB 2 ( 2R ) S AMB = = 2R 2 2 2 2 2 - Từ đó tìm ra MaxCMAB = 6R khi MA = MB = 2R 24 Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục Max SMAB = 2R2 khi MA = MB = 2R... Vậy khi M là điểm đối xứng của A qua O thì độ dài IK đạt giá trị lớn nhất Lời giải trên đã thực sự hoàn hảo cha? Có cần bổ xung hay sửa chữa gì không? 26 Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục II.2.6 Phần giải đáp Hớng dẫn Cách khắc phục A Cực trị Đại số A.1 Dạng sai lầm thứ nhất Trong bài làm có sử dụng nhiều BĐT, nhng khi tìm điều kiện để biểu thức cần tìm. .. Bài 3 Phân tích sai lầm: Lời giải mắc sai lầm ở bớc lập luận: F ( x, y ) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi a = ( x + 1) 2 và b = ( x + y ) 2 + ( y x ) 2 đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất Lập luận này chỉ đúng khi các giá trị nhỏ nhất đó đạt đợc tại cùng một giá trị của các biến Rõ ràng ở đây a đạt giá trị nhỏ nhất khi x = -1 , còn b đạt giá trị nhỏ nhất khi x + y = x y = 0, tức là khi x = y = 0 Lời... trị này đạt đợc x = y = z = 3 Bài 6 30 Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục 1 4 Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh A , cha chỉ ra trờng hợp xảy ra 1 A , Xảy ra dấu đẳng thức 4 1 x = , vô lí 2 Lời giải đúng: Để tồn tại x phải có x 0 Do đó A = x + x 0 Min A = 0 x = 0 Bài 7 Phân tích sai lầm: Chỉ xảy ra A = 4 ab khi ở (1) và (2) xảy ra dấu đẳng thức,... của lời giải sai về mặt lôgic, tơng tự nh trờng hợp Q = x 2 + 1 > 0 với mọi x nhng Q vẫn đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi x = 0 Lời giải đúng: Điều kiện của x để P có nghĩa là 1 x 5 Khi đó ta có P = 23 x + ( 1 + x ) ( 5 x ) + ( 1+ x) ( 5 x) 23 x 23 5 = 3 2 33 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 5 Vậy min P = 3 2 khi và chỉ khi x = 5 Bài 12 Phân tích sai lầm: Mấu chốt của sai lầm trong lời... khi a 4 Bình luận: Nhng đầu bài có cho a - 4 không? 20 Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục B Cực trị hình học B.1 Dạng sai lầm thứ nhất Bài 25 Cho tam giác đều ABC, điểm M trên cạnh BC (M không trùng với B và C) Vẽ MD AB tại D, ME AC tại E Xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác MDE lớn nhất Lời giải sai: - Kí hiệu S* là diện tích hình * Ta có S ABC... có x 10 x 10 2 tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất, do mẫu nhỏ nhất bằng -1 0 khi x = 0, ta sẽ đi đến kết luận max B = 1 1 x = 0 Điều này không đúng vì 10 10 không phải là giá trị lớn nhất của B, chẳng hạn với x = 5 thì B = 1 1 > 15 10 34 Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục Mắc sai lầm trên là do ngời làm không nắm vững tính chất của bất . đáp. II.2. Nội dung cụ thể. 6 Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm cực trị và cách khắc phục II.2.1. Một số tính chất của bất đẳng thức Cho a, b, c là các số thực Tính chất 1: a b. ra khi và chỉ khi 1 2 3 n a a a a= = = = . * Bất đẳng thức Bunhiacôpxki Dạng cơ bản: Với , , ,a b c d là các số thực tuỳ ý ta luôn có 8 Một số sai lầm thờng gặp khi giải các bài toán tìm. đạt đợc khi x = y. Bình luận Nhng! x = y thì M = 2039. Vậy sai lầm ở đâu? Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 3A x y= + biết 2 2 2 3 5x y+ . 10 Một số sai lầm thờng gặp khi giải