CHUYÊN ĐỀKhoảng cách Mục lục: II.. Phạm Thị Thanh Thuý 2.. Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho khoảng cách từ M đên tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang... Bảng b
Trang 1CHUYÊN ĐỀ
Khoảng cách
Mục lục:
II Luyện tập trang 11-14
Thành viên TEAM 6:
1 Phạm Thị Thanh Thuý
2 Trịnh Thị Thu Hiền
3 Nguyễn Tiến Hùng
4 Bùi Đức Anh
I LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ
A, Lí thuyết:
1.Khoảng cách giữa hai điểm A x y( ,A A), ( ,B x y B B) là:
( B A) ( B A)
AB= x −x + y −y
2.Khoảng cách từ điểm M x y( , )0 0 đến đường thẳng ∆ = Ax By C+ + là :
( , ) Ax By C
d M
∆ =
+
3.Trường hợp đặc biệt:
0
( , ) | |
0
( , ) | |
4.Tổng khoảng cách từ M đến Ox, Oy là: d M( )= x0 + y0
Định nghĩa: Cho đường cong (C) và đường thẳng ( )∆ Lấy bất kỳ điểm M∈( )C
và điểm N∈ ∆( ) khi đó d(∆;C) =minMN.
Bài toán: Cho (C): y=f(x) và ( ) :V Ax By C+ + =0 Tìm d( , )VC .
Cách 1: Lấy bất kì M x y( , ) ( )0 0 ∈ C ⇒ y0 = f x( )0
; Ax By C
d M
∆ =
+ và tìm mind M( ;∆)
Khi đó d(∆;C)=mind M( ;∆)
Cách 2: Viết pt tiếp tuyến (t) của (C) song song ( ) V
⇒Tiếp điểm A x y( , ) và d(∆;C)=d A( ;∆)
Trang 2B, Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hàm số: 2 1( )
1
x
x
+
= +
Tìm trên đồ thị những điểm có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận nhỏ nhất
Giải:
0
0
2 1
;
1
x
M x
x
là điểm thuộc (C) (x0 ≠ −1)
2x 1 2x 1
x→+∞ x x→−∞ x
Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y=2
1
2 1
lim
1
x
x
x
+
2 1 lim
1
x
x x
−
+
Suy ra đồ thì hàm số có tiệm cận đứng x = -1
Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là:
0
x
+
0
1
1
x
Vậy 2 điểm M(0; 1) và N(-2; 3) thoả mãn đề bài
Ví dụ 2 : Cho (P) y x= 2−2x+2và (d) y = x - 2 Tính khoảng cách ngắn nhất từ 1 điểm trên (P) đến (d)
Giải:
Cách 1: Khoảng cách cần tính chính là khoảng cách giữa (d) và tiếp tuyến (d') của (P) song song với (d)
Ta có (d')//(d), nên tao dạng (d'): y = x + b
Để (d') tiếp xúc (P) thì :
hệ
2 2x 2
1 2x 2
x b x
= −
3 2 1 4
x b
=
⇔
= −
Lấy 0; 1
4
A −
thuộc (d) Do đó khoảng cách giữa (d) và (d') cũng chính là khoảng
cách từ A đến (d): x - y - 2 = 0
Trang 31 2
7 2 4
( ;( ))
8 2
AH d A d
−
Vậy khoảng cách ngắn nhất từ 1 điểm trên (P) đến (d) là: MK = 7 2
8 Cách 2: Lấy tuỳ ý M(a a; 2−2a+2) thuộc (P)
2
2
3 4
1 ( 1)
min ( ;( ))
+ −
Khi đó 3 5;
2 4
Ví dụ 3 : Cho hàm số 4 2
0 2 0 3 0 2 0 1
y = x − x + x + có đồ thị là (C) và đường thẳng
( ) 2∆ = x−1.Tìm trên đồ thị (c) điểm A có khoảng cách đến (∆) là nhỏ nhất
(Trích đề thi Đại học Mỏ-Địa chất -1999)
Giải:
Giả sử A x y( , )0 0 ∈( )C ,ta có: 4 2
0 2 0 3 0 2 0 1
y = x − x + x +
Khoảng cách từ A đến (∆) là :
| 2 3 2 1 2 1|
( , )
5
| 2 3 2 |
5
x − x +
5
x − x +
=
4
5 x x
2 2 0
4 16
5 x
7
8 5
≥
⇒ Mind= 7
8 5 khi 0 3
2
x = ±
Vậy có hai điểm cần tìm: 1
3 1
2 8
3 1
2 8
− +
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
5 15 3
y x
= + .Tìm điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng
cách từ M tới trục hoành gấp 2 lần khoảng cách từ M tới trục tung
Giải:
Gọi (x,y) là tọa độ của M, ta có hệ
2 5 15 3
| | 2 | |
y
x
Từ đó ta giải hai hệ sau:
Trang 45 15
3
2
y
x
+
(I) hoặc
2
5 15 3 2
y
x
+
(II) Giải hệ (I) ta được hai điểm:
1
1 61
; 1 61 2
− −
1 61
2
− +
Hệ (II) vô nghiệm
Ví dụ 5: Cho hàm số 2
3
x y x
+
=
− Tìm trên đồ thị của hàm số điểm M sao cho
khoảng cách từ M đên tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang
Giải:
Giả sử M x y( ; )0 0 ∈( )C , ta có: 0
0 0
2 3
x y x
+
=
−
Suy ra đồ thì hàm số có tiệm cận ngang y=1
3
2
lim
3
x
x
x
+
→ + = +∞
2 lim
3
x
x x
−
→ + = +∞
−
Suy ra đồ thì hàm số có tiệm cận đứng x = 3
Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang là: |x0−3 |
Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là: 0
0
5
| 1|
| 3 |
y
x
− =
−
Ta phải có: |x0−3 |
0
5
|x 3 |
=
− ⇒x0 = ±3 5 Vậy có hai điểm thỏa mãn yêu cầu nằm trên (C) có hoành độ là x0 = ±3 5
// Chỗ này tìm điểm M cụ thể, theo yêu cầu của bài toán
Ví dụ 6: Cho hàm số 1
2
x y x
+
=
− Tìm trên đồ thị hàm số điểm M sao cho tồng
khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất
(Trích đề thi Đại học Ngoại thương, năm 1997)
Giải:
Giả sử M x y( ; ) ( )0 0 ∈ C ;d =|x0| |+ y0|
Trang 5Ta có : 0; 1
2
M −
∈( )C và
1 2
M
d =
Dựa vào đồ thị ta có:
i) 0
1
| |
2
x > thì 1
2
d >
ii) 0
1
0
2
x
< < thì 0 1
2
2
d
⇒ >
0
0
1 2
x
x
+
−
2
0 0
0
1 2
x x x
− + −
=
−
Tìm GTNN của y
2
1 2
x x x
− + −
=
− trên
1
;0 2
Ta có:
2 '
2
x
1
;0 2
Vậy miny=y(0) 1
2
= và điểm M cần tìm là 0; 1
2
M −
Ví dụ 7: Cho (C): 2 2 1
1
x x y
x
− +
=
− Tìm M x y( , ) ( )1 2 ∈ C với x1>1 để khoảng cách từ
M đến giao của 2 tiệm cận là nhỏ nhất
Giải:
2
2 1
x x
− +
1
lim
x y
+
→ = +∞ và
1
lim
x − y
→ = −∞ ⇒ đồ thị hàm số nhận x=1 làm tiệm cân đứng.
lim ( 2 1) lim ( 2 1) 0
→+∞ − − = →−∞ − − = ⇒ đồ thị hàm số nhận y=2x+1 làm tiệm cận xiên.
Tọa độ giao điểm 2 đường tiệm cận là nghiệm hệ phương trình
(1;3)
I
Giả sử M a( 1,3 2a 2) ( )C
a
( 1 1) (3 2 3) 5 8 2 5 8 4(2 5)
min 2 2 5
MI
20
a
Trang 6Vậy điểm cần tìm
4
2
Ví dụ 8: Cho (P):y=2x2− +3x 1 và ( ) :V y x= −5
Tìm các điểm M∈( ),P N∈( )V sao cho MN nhỏ nhất
Giải:
Giả sử M m m( ; 2 2−3m+ ∈1) ( )P và N n n( ; − ∈5) ( )V
( ) (2 3 1 5) ( ) [( 5) 2( 2 3)]
2[( ) ( 2 3)] 2( 2 3) 2( 2 3) 2[( 1) 2] 8
2 2
MN
3 ( ) ( 2 3) 0
n
Vậy các điểm cần tìm là M(1;0) và N(3;-2)
Ví dụ 9: Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị ( ) : 4 9
3
x
C y
x
−
=
− các điểm M M1, 2 để độ dài
1 2
M M nhỏ nhất
Giải:
4
x
y
−
3
lim
x y
+
→ = +∞ và
3
lim
x y
−
→ = −∞ ⇒đồ thị hàm số nhận x=3làm tiệm cận đứng
( ) ( )
lim 4 lim 4 0
Giả sử M x y1( , )1 1 ∈nhánh trái của (C), M x y2( , )2 2 ∈nhánh phải của (C)
1 3 2
⇒ < < nên đặt x1= −3 α;x2= +3 β với α β >, 0
2
2 2
α β
α β
1 2
minM M 2 6
1
α β
α β αβ
=
Vậy điểm cần tìm là: M1(3− 3; 4− 3 ;) (M2 3+ 3; 4+ 3) .
Trang 7Ví dụ 10: Cho ( ) : 3 cos2 4 sin 7( os 0)
1
x
α = α+ α+ α ≠
O(0,0) đến tiệm cận xiên của (Cα)là lớn nhất
Giải:
2
lim ( 3 cos 4 sin 3 cos ) lim ( 3 cos 4 sin 3cos ) 0
x c
⇒ đồ thị hàm số nhận y=3 cosx α+4sinα+3cosα làm tiệm cận xiên
(0; )
13 min (0; )
10
BCS
c d
d
+ +
+
α
Ví dụ 11: Cho hàm số 2 os +2x sin +1
2
x c y
x
=
−
a) Trong trường hợp tổng quát ,xác định phương trình tiệm cận xiên của đồ thị.Tinh khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiệm cận xiên
b) Tìm α để khoảng cách ấy lớn nhất
Giải:
Suy ra phương trình tiệm cận xiên của đồ thị ,trong trường hợp tổng quát:
cos 2(sin cos )
y x= α + α+ α
• Nếu cosα=0,thì tiệm cận xiên (trở thành tiệm cận ngang) có phương
trình y=2sinα , vậy khoảng cách từ O đên tiệm cận xiên bằng d =2 | sin | 2α =
• Nếu cosα ≠ 0,tiệm cận xiên cắt Ox tại điểm A có hoành độ:
2(sin cos ) cos
A
α
+
= −
và cắt Oy tại điểm B có tung độ
Trang 82(sin cos )
B
OAB là tam giác vuông tại O ,khoảng cách từ O đến AB (tiệm cận xiên) là đường cao
hạ xuống cạnh huyền, vậy:
2
| A| | B| 4(sin cos )
c
α
+
+
2 2
2
4(sin cos )
1 os
d
c
α
+
2 | sin cos |
1 os
d
c
α
+
⇒ =
+
c) Để tìm GTLN của d,ta tìm GTLN của :
2 ( )
d = f α 4(sin cos )2 2
1 cos
α
+
=
8(1 sin 2 )
3 cos 2
α α
+
= +
Đặt: (1 sin 2 )
3 cos 2
α
+
=
+ ⇒sin 2α−mcos 2α =3m−1
Nếu m là một giá trị của ( )
8
f α
thì phương trình lượng giác này có nghiệm, vậy:
(3m−1) ≤ +1 m 2
4m 3m 0
4
m
⇒ ≤ ≤
Điều này chứng tỏ rằng
2 ax
3
8 6 4
m
d = = ⇒d max = 6 Đạt được khi α là nghiệm của
sin 2 cos 2
1 os
5 2 sin
5
c α α
⇒
hoặc
1 os
5 2 sin
5
c α α
Gọi ϕ là góc nhọn với os 1 ,sin 2
Tương tự ta có : α ψ= +kπ (k Z∈ ) (trong đó os 1 ,sin 2
Ví dụ 12: Cho hàm số: y=2mx4− −x2 4m+1 (1)
a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = -1
b, Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 cực tiếu và khoảng cách giữa chúng bằng 5
Giải:
a, Với m = -1 thì y= −2x4− +x2 5
* TXĐ: D = R
* Giới hạn hàm số tại vô cực: xlim→+∞y=xlim→−∞y= −∞
Trang 9Bảng biến thiên:
// Thiếu đông biến, nghịch biến, cực đại cực tiểu.
* Điểm uốn: y''= −24x2− <2 0, nền đồ thị hàm số không có điểm uốn
Vẽ đồ thị: - Giao Ox: x = 0 ⇒ y = 5
Lấy thêm điểm: x = -1 ⇒ y = 2; x = 1 ⇒ y = 2
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-1
1 2 3 4 5
x y
Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng
b, Ta có: y' 8= mx3−2x=2 (4x mx2−1)
Xét m≤ 0 đồ thị hàm số có 1 điểm cực tiểu M(0,1- 4m)
Xét m>0 đồ thì hàm số có 1 điểm cực đại và 2 điểm cực tiểu tại A và B Hai cực tiểu
A và B có hoành độ 1
2
x
m
= ± đối xứng nhau qua trục tung, AB = 5
1
5
m
25
m
⇔ =
Ví dụ 13: Cho (P): y x= 2 và 2 điểm A(-1,1); B(3,9) ∈( )P Tìm M∈cung AB sao
cho SVABC lớn nhất
Giải:
−∞
0
x
y'
y
0
-5
+∞
Trang 101 2
ABC
MH ⊥AB⇒S = AB MH Khi đó S ABC max⇔MH max
0( , )0 0
⇔ ≡ với M0∈( )P sao cho tiếp tuyến của (P) tại M0 song song với AB
Hệ số góc AB là 1
9 1 2
3 1
k = − = +
( )
k = y x = x = ⇔x =
Vậy M(1,1) là điểm cần tìm
Ví dụ 14: Cho hàm số: 2 2 5
1
y
x
=
− Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị một điểm
sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất
Giải:
1
lim
x + y
→ = +∞ và
1
lim
x − y
→ = −∞ ⇒đồ thị hàm số nhận x = 1 làm tiệm cận đứng.
Hai nhánh đồ thị nằm về phía 2 đường tiệm cận đứng x = 1 nên ta có thể giả sử
1
x < <x và A 1 a a; 4
a
4
1 ;
b
(a,b > 0)
Ta có:
2
2 2
= + + + + + ÷= + + + + ÷ ≥ + + =÷ +
(Theo BĐT Cauchy)
4 2 2 2
AB
Vậy có: minAB=4 2 2 2+
a b
a b ab
ab
=
=
Vậy A(1−48, 8 2 2); (14 + 4 B +48,−48 2 2)− 4
II.LUYỆN TẬP
Bài 1 Cho hàm số: 3
2
x y x
+
=
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
b) Chứng minh rằng đường thẳng 1
2
y= x m− luôn cát (C) tại 2 điểm phân biệt A
và B Xác định m sao cho độ dài đoạn thẳng AB là nhỏ nhất
Đáp số: m = -2, khi đó AB = 10
Bài 2 Cho hàm số
2( 1)
y
x
=
Trang 11a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Tìm m để đường thẳng y = m cát đồ thị hàm số (C) tại 2 điểm A và B sao cho
AB = 1
Đáp số: m = 1 5
2
±
Bài 3 Cho hàm số y mx 1
x
a) Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số khi 1
4
m= .
b) Tìm m đề hàm số trên có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu đến tiệm cận xiên bằng 1
2 (Đại học khối A - 2005) Đáp số: Hàm số có cực trị khi m > 0
Khoảng cách : m = 1
Bài 4 Cho hàm số 2 ( 1) 1( )
x
=
+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m = 1
b) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị hàm số trên luôn có điểm cực đại, cực tiếu và khoảng cách giữa 2 điểm đó bằng 20 (Đại học khối B - 2005)
Đáp số: Cực đại (−2;m−3); Cực tiểu (0;m+1)
Bài 5 Cho
2
2 3 5 ( ) :
1
C y
x
− −
=
− Tìm M∈( )C để khoảng cách từ M đến Ox gấp 3 lần
khoảng cách từ M đến Oy
Đáp số: 3 34 3 3( 34)
;
hoặc 3 34 3 3( 34)
;
Bài 6 Tìm điểm ( ) : 3 5
2
x
x
−
− để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận
của (C) là nhỏ nhất
Đáp số: M(1;2) hoặc M(3;4)
Bài 7 Cho (C): 2 2 1
1
x x y
x
− +
=
− Tìm M x y( , ) ( )1 1 ∈ C với x1>1 để khoảng cách từ M đến
giao của 2 tiệm cận là nhỏ nhất
Đáp số:
4
2
Bài 8: a) Cho A(3,0) Tìm điểm 2
( ) :
M∈ P y x= để AM nhỏ nhất
b) Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AM vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại M
Đáp số: M=1//Chỗ này có gì đó không ổn
Bài 9 Cho hàm số
1
x x y
x
− +
=
− Tìm hai điểm A,B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ
thị để khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất (Trích đề thi Đại học Ngoại thương – 1999)
Trang 12Đáp số: 4 4
Bài 10 Cho hàm số 2 2 2x+1
2x 1
x
−
a, Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b, Tìm m để đương thẳng y m= cắt đồ thị tại 2 điểm A& B sao cho S 10
9
OAB=
Đáp số 5
3
m= ±
Bài 11 Tìm m để đường thẳng y m= cắt đồ thị 4 2
2x 2
y x= − + tại 4 điểm A, B, C, D sao cho AB = BC = CD
Đáp số: 41
25
m=
Bài 1 Cho hàm số 2 4x+2
2
x y x
−
=
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Tìm M∈( )C sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận nhỏ nhất.
c) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ 1 điểm trên dồ thị đến 2 đường tiệm cận của nó không phụ thuộc vị trí điểm đó
Đáp số (2 2 2;3 2+ ) và (2 2 2; 3 2− − )
Bài 13 Cho hàm số 1 2x
1
y
x
−
=
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị
b) Tìm A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của đồ thị để AB min
Đáp số: A(2,3) và B(0,1)
Bài 14 Cho hàm số y x= +3 3x2−2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b) Gọi A, B là 2 điểm cực trị của hàm số Tìm m để tổng khoảng cách từ A, B đến đường thẳng (d): 3 x 3m + y+2m+ =2 0 đạt max, min
Đáp số: dmin = ⇔ =0 m 2; d ax 2 5 1
2
Bài 15 Cho hàm số 1 2x
1
y
x
−
= +
a) Khảo sát và vẽ
b) Tìm m để đường thẳng (d) y= − +x 3m cắt đồ thị hàm số tại A, B sao cho
2 2
AB= Tìm tọa độ A, B
Đáp số: 1, (2; 1 ,) ( )0;1
3
m= A − B hoặc 7; ( 2; 5 ;) 4; 7
m= − A − − B −
Bài 16 Cho hàm số
2 2x 3 2
x y x
=
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm trên (C) 2 điểm A, B sao cho A / /B y= −x đồng thời AB min.
Đáp số: x 4 6
2
A
+
2
B
