Vẽ đường kính AD của đường tròn O, ta có D cố định.. MH // DC cùng vuông góc với AC.. Suy ra : MH đi qua trung điểm K cố định của đoạn BD.. Vậy MH luôn luôn đi qua điểm K cố định.. Do đó
Trang 1LỜI GIẢI ĐỀ THI CHUYÊN TOÁN_Khoá ngày 01/7/2008
Nội dung 1/ Đặt: t = x+1, phương trình đã cho trở thành:
(t+1)4+ (t-1)4 = 184 ⇔t4 + 6t2 - 91 = 0
Đặt z = t2 (với z ≥0).Với điều kiện trên phương trình trở thành: z2 + 6z -91= 0 ⇔ z 7
z 13
=
= −
Với z = 7 ⇒ t = ± 7 ⇒ x = -1 ± 7
Vậy phương trình có hai nghiệm x1,2 = -1± 7
2/
a)
-2x +4 khi x < 1
y = x-1 x-3 y = 2 khi 1 x 3
2x - 4 khi x > 3
y
b) Ta có:
y 4 2x 4 4
2x 4 4
− + ≥
≥ ⇔ − ≥ x 0x 4
≤
⇔ ≥
* Chú ý: Thí sinh viết
Theo đồ thị hàm số, ta có: y 4 x 0
x 4
≤
≥ ⇔ ≥ vẫn được
(loại)
4
Trang 2Bài 2 1/
Phương trình ( x – 1) ( x – 2) ( x – 3) ( x – 4) = m (1)
⇔ 2 − + 2 − + =
(1) (x 5x 4)(x 5x 6) m
Đặt y = x2 -5x + 4 thì ptrình trở thành: y2 +2y –m = 0 (2)
Ta có : ∆'= 1 + m > 0 ⇔ m > - 1
Phương trình (1) có 4 nghiệm nên phương trình (2) có hai nghiệm y1, y2 với y1 + y2 = – 2 ; y1y2 = - m ( m > -1)
Bốn nghiệm x1, x2, x3, x4 có vai trò như nhau trong phương trình nên ta có thể coi x1, x2 là nghiệm của phương trình:
− + = ⇔ − + − =
x 5x 4 y x 5x 4 y 0
và x3, x4 là nghiệm phương trình: x2 – 5x + 4 – y2 = 0
x x 5 ; x x 4 y
x + x = 5 ; x x = 4 - y
P
x x x x 4 y 4 y ( )
− +
16 4 y y y y 24 m
2/
Nếu x0 ≤1 thì hiển nhiên
Nếu x0 >1
Ta có: 2
bx + = −c ax
Do đó: 0 2 0
x
a + a ≤M( x0 +1)
Suy ra: x -1 0 2 ≤ 2
0
x ≤ M( x0 +1)
Nên: x0 − ≤1 M
Hay: x0 ≤ +1 M
Bài 3
1/ Ta có: P = 1 1 1 1 1 1 1 1
x y z xy yz zx xyz
+ + + + + + +
Với x,y,z > 0 và x+y+z =1.Theo bất đẳng thức Côsi ta có:
3
3 27 xyz
+ +
1 1 1
xy + yz +zx
2
xyz
≥ ÷ ≥
1 1 1
x + +y z 3 1
xyz
Trang 3Vậy: P 1 9 27 27 64≥ + + + =
Nên: giá trị nhỏ nhất của P = 64 khi x y z 1
3
= = =
2/
Đặt a = 1+ x (1)
Ta có: b3 = − +2 (1 x)3 = −1 3x 3x− 2 −x3 ≤ −1 3x +3x2 −x3
= (1 x)− 3
Vậy: b3 ≤ −(1 x)3 ⇔ ≤ −b 1 x (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a + b ≤ 2
Dấu “ = ” xảy ra khi x = 0 hay a = b = 1
Vậy: A đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi a = b = 1.
Bài 4 1/(1,0 điểm)
Gọi x, y, z là các cạnh của tam giác vuông 1 x y z≤ ≤ <
Ta có:
x y z (*)
xy 2(x y z)(**)
+ =
= + +
Từ (*) ta có: z2 =(x +y)2 - 2xy = (x +y)2 - 4(x+y+z)
2 2 2
= (x y) 4(x y) 4z
z 4z 4 x y 4 x y 4
⇔ (z 2) (x y 2)+ 2 = + − 2
⇔ x y 2 z 2+ − = + (vì x +y ≥2)
Thay z =x + y - 4 vào (**) ta được:
(x-4)(y-4) =8 x 4 1
y 4 8
− =
⇔ − =
hoặc
x 4 2
y 4 4
− =
− =
( vì y ≥ x)
x 5
y 12
=
⇔ =
hoặc
x 6
y 8
=
=
Vậy độ dài các cạnh tam giác vuông cần tìm là:
5,12,13 hoặc 6,8,10
2/(1,0 điểm)
Gọi số cần tìm là: A = 1a a a1 2 n
Đặt B = a a a1 2 n
Ta có: A = 1B
Theo đề bài ta có: B1 3 1B=
Suy ra: 10B + 1 = 3(10n +B)
⇔ B = 3.10n 1
7
−
Bằng phép thử với n = 5 thì B = 42857
Khi đó số bé nhất cần tìm là A = 142857
Trang 4Bài 5
1/
Vẽ đường kính AD của đường tròn (O), ta có D cố định.
MH // DC (cùng vuông góc với AC) Tam giác BCD có : MH // DC , M là trung điểm của BC.
Suy ra : MH đi qua trung điểm K cố định của đoạn BD
Vậy MH luôn luôn đi qua điểm K cố định 2/
Ta có : OM ⊥ BC ⇒ ·OMB= 900
OB cố định
Do đó M thuộc đường tròn cố định đường kính OB.
Khi C ≡ A thì M ≡ N ( N là trung điểm của AB) Khi C ≡ B thì M ≡ B
Vậy M di động trên cung NB của đường tròn đường kính
OB