hơn 1000 bài tập từ cơ bản đến nâng cao về mũ và logarit

Chuyên đề phơng trình, bất phơng trình mũ và logaritDạng cơ bản: 1.. Nếu a=b thì fx=gx... Với bất phơng trình mũ và logarit cũng có phép đặt tơng ứng, lu ý khi gặp phơng trình hay bất ph

Chuyên đề phơng trình, bất phơng trình mũ và logarit

Dạng cơ bản:

1. Dạng a f(x) b g(x) 1 a,b 0

a Nếu a=b thì f(x)=g(x)

b Nếu a≠b thì logarit hoá cơ số a hoặc b 2 vế

2. Dạng loga f(x)  logb g(x) 1 a,b 0

a Nếu a=b thì f(x)=g(x)>0

b Nếu a≠b và (a-1)(b-1)<1 thì tìm nghiệm duy nhất và chứng minh

c Nếu a≠b và (a-1)(b-1)>1 thì mũ hoá 2 vế

99 2 .3 1.5 2 12





 x

x

x

100 log2log2x log3log3x

101 log2log3log4 x log4log3log2 x

102 log2log3 x log3log2 x log3log3x

103 log2logx3  log3logx2

104 log ( 4 ) 2

8

xlg2 23lg 4,5  102lg

106 log 1 ( 1 ) ( 1)log 1 2





x

50

5 x   x

108 6log2 log 6 12



x

x



 ) 3 (

log5

2

110 3log2 log 3 162



x

x

x



 2  36 32

8

6

1 3

1

2   x

x x

113

x x

3 1

1 1 3

1

1









1

2

1

2

2 x  x

115 1 5 2 25



 x  x

116  

 2 1 

log log

5 , 0 5

, 0

2

2 5 08

,

0





















x x

x x

117 log2 x log2x8  4

118 log5 5 log25x  1

x

119 log55x2.log2x 5 1

120 logx 5x   logx5

121 log 4 log 2 2 4

sin sinx x 

122 log 4 log 2 2 1

cos cosx x 

123 log2 (x1 )4(x1)2logx1(x1)5

124 log3 x  log3x 3  0

125 log1/3log4x2  5  0

126 log1/3x 5 / 2  logx3

127 logx2 log2x2 log24x  1

5

3 4

2









x x

x x

2

1 log log 2

3

















x

x

x

130

6 log

1 2

log 2

log

2 16

/





x

x x

131 logx2 2x  1

132 logxlog93x  9 1

2

2 3





x

x

x

134 log 3 23   1

x

135 logx5x2  x8  3 2

136 logxlog39x  6 1

137 3 logx16  4 log16x 2 log2 x

138 log 2 16  log2x64  3

x

1 1

3 2 log

1

3 / 1 2

3

/

1 x  x  x

log

1

log











a x

x

a a

log

35











a với x

x

a

a

10

1

7 lg sin cos 1

cos 2 sin

















x x x

x

0 3

5 2

11 4 log

11 4 log

2

3 2

11

2 2















x x

x x x

x

144 2 log2 3 x2 1 x log2 3 x2 1  x 3

145 log2x log3x log5 x log2 xlog3xlog5x

146 log12/5(x 5 )  3 log5 5(x 5 )  6 log1/25(x 5 )  2  0

147 Với giá trị nào của m thì bất phơng trình log1/2x2  2xm  3 có nghiệm và mọi nghiệm của nó đều không thuộc miền xác định của hàm số y logxx3  1logx1x 2

148 Giải và biện luận theo m: log 100 0

2

1 100

















2 2 log

) 12 2 7 lg(

) 1 2 lg(

2 lg

x x

x

x x

150 Tìm tập xác định của hàm số 0 1

2

5 2 log

2

1



















x

x y

a III Các bài tập tự làm:

151 log23x 4 log3x 9  2 log3x 3

16 2

2

2

/

1 4 log 2 4 log

153 log2 x2  3  x2  1 2 log2x 0

154 logcosx sinx  logsin2x cosx

Dạng bậc hai:

1 Dạng a1.a2f(x)a2.a f(x) a3  0 a1  0 , 1 a 0 đa về phơng trình bậc hai nhờ phép đặt ẩn phụ

)

( x

f

a

t  >0

2 Dạng a1.(loga f(x))2 a2loga f(x) a3  0 a1 0 , 1 a 0 đa về phơng trình bậc hai nhờ phép

đặt ẩn phụ t  loga f(x)

3 Với bất phơng trình mũ và logarit cũng có phép đặt tơng ứng, lu ý khi gặp phơng trình hay bất phơng trình logarit mà cha phải dạng cơ bản thì cần đặt điều kiện

155 5 x  51 x 40

156 3x9.3 x  100

16

1 4

1

4

1



























3

1 9 3



























159

0 12 2

8

3 3 2









x

x x

5 5

5

52   1

161

16

5 20 2 2 2

22x 2x x  x 

162 5  24x 5  24x  10

163 3  5x  163  5x  2x 3

164 7  4 3x  32  3x 2  0

165  7  4 3  7  4 3  14

x x

166  2  3  2  3  4

x x

167 5  2 6tanx 5  2 6tanx  10

168 1 /x 1 /x 1 /x

9 6

169 6.9x  13.6x 6.4x 10

170 5.4x 2.25x  7.10x 0

8 15 4 15

4

x x x









172 92 2 1 34.152 2 252 2 1 0







x

cos 2 sin

sin 2 2 sin 3

x x



174 logx33  1  2xx2 1 / 2

175 log 22 x log 2x x  2

 

 1 log

2 2 log

1 1

3

3



x x

x

177 log 4 4 log 2 1 3

2 1

2 x  x x 

178 log39x1  4 3x  2 3x 1

179 1  log2x 1 logx14

8

1 log

1 4 log 4 4

log2 x1 2 x   1/ 2

181 log22x  1log1/22x1 2  2

1 1

2 5 2









x x

1 2

1 2

21











x

x x

2 sin log sin

2 sin

log

3 1



























x

9 3

3 2

2

1 log

2

1 6 5









 





x

186 Tìm m để tổng bình phơng các nghiệm của phơng trình

log

2 1 2

2

4 x  x m m  x mx m  lớn hơn 1

187 Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:

log 52 x2mxm  52x

188 Tìm m để phơng trình 2 log42x2 x 2m 4m2 log1/2x2mx 2m2 0 có 2 nghiệm u và v thoả mãn u2+v2>1

III Các bài tập tự làm:

91 Tìm m để mọi nghiệm của bất phơng trình 12

3

1 3 3

1 2



























 x x cũng là nghiệm của bất

ph-ơng trình (m-2)2x2-3(m-6)x-(m+1)<0 (*)

92 3 5 3 5 2 2 0

2 2

2 1 2

2









93 3  2 2x  2  1x  3

2 3

2 3

.





 

x x

x x

95 6.9 2 13.6 2 6.4 2 0

2 2

2





x

96 log2x2  2 log 2 x 2  2  0

2 2

log

3 2

98 log3x79  12x 4x2 log2x36x2  23x 21 4

Sử dụng tính đơn điệu:

1 Hàm số x

a

y  đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0<a<1

2 Hàm số y loga x đồng biến khi a>1 và nghịch biến khi 0<a<1

3 Hàm số f(x) đơn điệu trên D và u, v thuộc D thì f(u)=f(v) tơng đơng u=v

4 Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên (a, b) thì phơng trình f(x)=0 có tối đa 1 nghiệm trên đó

II Các bài tập áp dụng:

4 1

1 3

2  2 

x x

20 2 4 5

5 3 2 5

3

2 x  x x  x  x  x

5

2 2



























6 3 2

1  1 1 

195 3 log31  x3 x 2 log2 x

2

) 1 (

1 2 log 2 6 2











x

x x

x

197

x

x

x x x

x

2

2 2

2 1 2

1











198 x2  3  2xx 21  2x 0

199 25.2x 10x5x 25

200 12.3 3.15 5 1 20





x

201 log2x+2log7x=2+log2x.log7x

202 2 log3cotx log2cosx

203 logxx 1 lg 1 , 5

204 









) sin 3 ( log cos

3 1 log

) cos 3 ( log sin

3 1 log

3 2

3 2

x y

y x





















2 1

log 1

3 1 log

2 1

log 1

3 1 log

2 3

2 2

2 3

2 2

x y

y x

206 lgx2x 6x2x 3  lgx 3 3x

207 Chứng minh rằng nghiệm của phơng trình  x 4 x 4x

log

2   thoả mãn bất đẳng thức

x

sin

16

208 Tìm x sao cho bất phơng trình sau đây đợc nghiệm đúng với mọi a: logxa2  4ax 1 0

III Các bài tập tự làm:

107 x lgx2 x 6 4  lg(x 2 )

108 log2 x log3(x 1 )  log4(x 2 )  log5(x 3 )

109 Tìm nghiệm dơng của bất phơng trình

1 2

10 3





x x

x

(*)

110   











2 4

6 log

2 4

6 log

x y y x

y x

111 log2 x2  3  x2  1 2 log2x 0

Dạng tổng hợp:

209 x 2log23(x 1 )  4 (x 1 ) log3(x 1 )  16  0

210 3 25 2 ( 3 10 ) 5 2 3 0











x

x

211 Tìm a để phơng trình sau có 4 nghiệm phân biệt 2 log23 x log3 x a 0

212 x 1log21/2 x2x 5log1/2 x 6  0

213 x4 8e x1 xx2e x1 8

214 4 2 3 . 31 2.3 . 2 2 6









215 ln  2x 3   ln4  x2  ln  2x 3   ln( 4  x2 )

216    

x x

x x

x



















III Các bài tập tự làm:

Trong các nghiệm (x, y) của bất phơng trình logx2y2xy 1 hãy tìm nghiệm có tổng x+2y lớn nhất

x x

x x x x

x x

5

Tìm t để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x:  3 1

2

1 log2 2   





x t t

Tìm a để bất phơng trình sau thoả mãn với mọi x: log  2 2  0

1

a

Tìm a để bất phơng trình sau nghiệm đúng với mọi x: 1

3 2

2 log 2 log

.

2

2 2 2











x x

x a

CAÙC PHệễNG PHAÙP GIAÛI BAÁT PHệễNG TRèNH MUế THệễỉNG SệÛ DUẽNG:

Vớ duù : Giaỷi caực baỏt phửụng trỡnh sau :

1) 3 x 2x 2 ( ) 1 x x 1

3

 



 2) 2

x 1

x 2x

2



 

2 Phửụng phaựp 2: ẹaởt aồn phuù chuyeồn veà baỏt phửụng trỡnh ủaùi soỏ.

Vớ duù : Giaỷi caực phửụng trỡnh sau :

1)2 2x 3.(2 ) 32 0 x 2

   4) 8 2 1 4 2 1 5







2)2 x 2 3 x 9

  5) 15 2x 1  1  2x  1  2x 1 3)( ) 1 2 x 3.( ) 1 1 1 x 12



  6) 2 14x  3 49x 4x  0

VI CAÙC PHệễNG PHAÙP GIAÛI BAÁT PHệễNG TRèNH LOGARIT THệễỉNG SệÛ

DUẽNG:

1 Phửụng phaựp 1: Bieỏn ủoồi phửụng trỡnh veà daùng cụ baỷn : log M log N a  a

(  , , )

Vớ duù : Giaỷi caực baỏt phửụng trỡnh sau :

x

3

log log x 3 1

3)log 3x x 2 (3 x) 1  4) x

log (log (3  9)) 1

5) log ( 4 144 ) 4 log 2 1 log ( 2 2 1 )

5 5

Vớ duù : Giaỷi caực phửụng trỡnh sau :

x

log (3 2) 2.log  2 3 0  2)log 64 log 16 3 2x  x 2 

Bài 1: Giải phơng trình:

a x 2 x 8 1 3x

2   4 

b 2 5

x 6x

2

2   16 2

2 2  2  3  3  3 

d x x 1 x 2

2 3  5  12

(x  x 1)  1

( x x )  1

Bài 2:Giải phơng trình:

a 4x 8 2x 5

3   4.3  270

b 2x 6 x 7

2  2   170

(2 3) (2 3)  40

2.16  15.4  80

(3 5) 16(3 5) 2 

(74 3)  3(2 3)  2 0

3.16 2.8 5.36

h 1x 1x 1x

2.4 6 9

i 2x 3x 3x



j x x 1 x 2 x x 1 x 2

5 5  5  3 3  3 

(x 1)   1

Bài 3:Giải phơng trình:

b x

3  x 40

x  (3 2 )x 2(1 2 ) 0

d 2x 1 2x 2x 1 x x 1 x 2

2  3 5  2 3  5 

Bài 4:Giải các hệ phơng trình:

a

x y

3x 2y 3



 









x y (x y) 1



 







 b







d





e

2

2











với m, n > 1

Bài 5: Giải và biện luận phơng trình:

(m 2).2 m.2 m 0

m.3 m.3 8 Bài 6: Tìm m để phơng trình có nghiệm:

x x

(m 4).9  2(m 2).3 m 1 0 Bài 7: Giải các bất phơng trình sau:

a x x 26

2  2 

c x2 x

e 2 x 1x 1





(x  1)   x  1 Bài 8: Giải các bất phơng trình sau:

3 9.3  100 b.5.4x 2.25x  7.10x 0

c

5  5 5  5

Bài 9: Giải bất phơng trình sau:

x

0



 



 Bài 10: Cho bất phơng trình: x 1 x

4   m.(2 1)0

a Giải bất phơng trình khi m=16

9 .

b Định m để bất phơng trình thỏa x R

Bài 11: a Giải bất phơng trình:

2



(*) b.Định m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của bất phơng trình:

2  

2x  m2 x 2 3m0 Bài 12: Giải các phơng trình:

a log x5 log x5 6 log5x2

b log x5 log x25 log0,2 3

x

log 2x  5x4 2

x 1





e.1.lg(5x 4) lg x 1 2 lg 0,18

Bài 13: Giải các phơng trình sau:

4 lg x 2lg x 

b.log x2  10 log x2 60

c log0,04x 1  log0,2x 3 1

d.3log 16x  4 log x16 2 log x2

e.log 16x2 log2x643

f 3

lg(lg x)lg(lg x  2)0

Bài 14: Giải các phơng trình sau:

a.log3 log x9 1 9x 2x

2

log 4.3  6  log 9  6 1

2

1

8



lg 6.5 25.20  x lg 25

2 lg 2 1 lg 5 1 lg 5  5

xlg 4 5 x lg2lg3

g lg x lg5

x 1   x 1

i 2

3

log x log x

Bài 15: Giải các phơng trình:

xlg x  x 6  4 lg x2

b.log x 13   log 2x 15   2

x2 log x 1 4 x 1 log x 1   160

d log x 35 

Bài 15: Giải các hệ phơng trình:

a

lg x lg y 1







b log x3 log y3 1 log 23







lg x y lg x y lg3







log x log y 0







e

x y

y x









f

y

2

2 log x

log xy log x





 Bài 16: Giải và biện luận các phơng trình:

lg mx  2m 3 x m 3  lg 2 x

3

log alog alog a

c logsin x2.logsin x2 a 1

d

2 2 a x

2a x





 Bài 17 : Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất:

a  2   

3

log x 4ax log 2x 2a 1 0

b  

lg ax

2

lg x 1 

Bài 18: Tìm a để phơng trình có 4 nghiệm phân biệt

2

2 log x log x  a 0 Bài 19: Giải bất phơng trình:

8

log x  4x3 1

b log x3  log x3  30

3

log log x  5  0

5

log x  6x8 2 log x 4 0

3

5

2

log log 3  9  1

g log 2.logx 2x2.log 4x2 1

h 1

3

4x 6

x





i log2x3  1 log2x 1 

8

2

2 log (x 2) log (x 3)

3

2

log log x0

l

log 3x4.log 5 1

m

2



 

2

log xlog x1

2x

log x  5x6 1

p log3x x 23 x 1

q

2

2 3x

x 1

5

2



r x 6 2

3

x 1







s 2

log xlog x0

2 16

1 log 2.log 2

log x 6





log x 4 log x9 2 log x 3

2

log x4 log x  2 4 log x

Bài 20: Giải bất phơng trình:

a 2

6

log x log x

b 2 log 2x log x 2 2 3 1

x

x



2

log 2  1 log 2   2  2

2

0

2 5x 3x



Bài 21: Giải hệ bất phơng trình:

a

2 2

0

lg x 7 lg(x 5) 2 lg 2









x

x 1 lg 2 lg 2 1 lg 7.2 12









2 x

4 y











Bài 22: Giải và biệ luận các bất phơng trình(0 a 1):

a log x 1 a 2

b

2 a a

1 log x

1

1 log x







c

1

5 log x 1 log x 

d log 100x 1log 100a 0

2

Bài 23: Cho bất phơng trình:

log x  x 2 log x 2x3 thỏa mãn với: x 9

4

 Giải bất phơng trình Bài 24: Tìm m để hệ bất phơng trình có nghiệm:

lg x m lg x m 3 0

x 1





 Bµi 25: Cho bÊt ph¬ng tr×nh:

2

1 2

x  m3 x3m x m log x

a Gi¶i bÊt ph¬ng tr×nh khi m = 2

b Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph¬ng tr×nh

Bµi 26: Gi¶i vµ biÖn luËn bÊt ph¬ng tr×nh:

a

log 1 8a  2 1 x