Chuyờn 2 Chuyờn 2 HM S LY THA, HM S M V HM S LễGART H THNG Lí THUYT: Hm s ly tha: Tớnh cht ca ly tha: V c s; khi xột ly tha a : + : ẻ Ơ a xỏc nh a Ă . + : - ẻ Â a xỏc nh khi a 0 + \ : ẻ Ă Â a xỏc nh khi a > 0. Tớnh cht: Vi a, b > 0; m,n Ă : ; * m m n m n m n n a a a a a a + - = = . ( ) . n m m n a a= ; ( ) . . m m m a b a b= m m m a a b b ổử ữ ỗ = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ . ( 0; , ; 0) m n m n a a a m n n= > >ẻ Â 2k x xỏc nh khi 0x (k Ơ ) 2 1k x + xỏc nh x Ă (k Ơ ) o hm ( ) / 1 . ( 0, )x x x - = > ẻ Ă ; ( ) / 1 / . . ( 0, )u u u u - = > ẻ Ă ( ) / 1 1 ( , 2, 0 , 0 ) . khi n chẵn khi n lẻ n n n x n n x x n x - = >ẻ ạƠ ; ( ) / / 1 ( , 2, 0 , 0 ) . khi n chẵn khi n lẻ n n n u u n n u u n u - = >ẻ ạƠ Hm s m: Hm s m y = a x (a > 0, a 1) cú tp xỏc nh l Ă ; tp giỏ tr l * + Ă (tc l a x > 0, x Ă chỳ ý tớnh cht ny t iu kin ca n ph sau ny); liờn tc trờn Ă . o hm ( ) / ln x x a a a= (a > 0, a 1) Khi a > 1 hm s y = a x ng bin trờn Ă . Khi 0 < a < 1 hm s y = a x nghch bin trờn Ă . a 0 = 1 a 0 , a 1 = a. Khi a > 1: lim x x a + Ơđ = + Ơ ; lim 0 x x a - Ơđ = . ▪ Khi 0 < a < 1: lim 0 x x a + ¥® = ; lim x x a - ¥® = + ¥ . ▪ Với a > b > 0 ta có: a x > b x ⇔ x > 0 và a x < b x ⇔ x < 0. (Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0 1a< < để nhớ các tính chất ) ◙ Hàm số logarit: Chú ý: Khi xét log a x phải chú ý điều kiện 0; 1 0.vµa a x> >¹ Trong phần này Ta giả thiết mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa (có thể yêu cầu học sinh nêu các điều kiện để các biểu thức có nghĩa như: Mẫu khác 0, cơ số a, b thỏa 0 < a,b ≠ 1, đối số của logarit phải dương). ▪ Cho 0 < a ≠ 1 , x > 0: log a x = y ⇔ a y = x. ▪ Với 0 < a ≠ 1 ta có: log a n a n= ( n > 0 ) ; log m a a m= ( ∀ m ∈ ¡ ); log a 1 = 0; log 1 a a = . ▪ log a (x 1 .x 2 ) = log a x 1 + log a x 2 ; 1 2 log a x x = log a x 1 - log a x 2 ( x 1 ; x 2 > 0 ). ▪ log a x α = α.log a x (x > 0) và 1 log .log a a x x α α = (x > 0, α ≠ 0). ▪ Đổi cơ số: log log log b a b x x a = hay log a x = log a b.log b x ▪ log a b = 1 log b a và log .log 1 a b b a = . ▪ Hàm số y = log a x xác định và liên tục trên (0 ;+ ∞ ). ▪ Đạo hàm ( ) / 1 log .ln a x x a = ▪ Khi a > 1 hàm số y = log a x đồng biến trên ( 0 ; + ∞ ). ▪ Khi 0 < a < 1 hàm số y = log a x nghịch biến trên ( 0; + ∞ ). ▪ Nếu a > 1: lim log ; lim log a a x x x x + ¥ - ¥® ® = + ¥ =- ¥ ▪ Nếu 0 < a < 1: lim log ; lim log a a x x x x + ¥ - ¥® ® =- ¥ =+ ¥ . (Vẽ đồ thị của hàm số trong hai trường hợp a > 1 và 0 < a < 1 để nhớ các tính chất ) ▪ Chú ý đến các công thức: log (0 1; 0) a b b a a b= < >¹ và log (0 1) b a b a a= < ¹ ◙ Phương trình, bất phương trình mũ: ▪ Phương trình a x = b có nghiệm ⇔ b > 0. ▪ a f(x) = a g(x) ⇔ f(x) = g(x) (0 < a ≠ 1) ▪ Nếu a > 1 thì: a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) > g(x). ▪ Nếu 0 < a < 1 thì: a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) < g(x). ▪ a f(x) = b ⇔ f(x) = log a b. ▪ a f(x) < b (với b > 0) ⇔ ( ) log a f x b< nếu a > 1; ( ) log a f x b> nếu 0 < a < 1. ▪ a f(x) > b ⇔ 0 ( ) 0 ( ) log 1; ( ) log 0 1.khi khi a a b f x R b f x b a f x b a é ì £ ï ï ê í ê ï Î ï î ê ê ì > ï ê ï í ê ï > > < < < ê ï î ë ◙ Phương trình, bất phương trình logarit: ▪ Trước hết ta cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. log a b có nghĩa ⇔ 0 < a ≠ 1 và b > 0 ▪ log log n m a a m b b n = ( b > 0 ; 0 < a ≠ 1 ) . ▪ log a b 2k = 2k.log a |b| với k ∈ . ▪ log a f(x) = log a g(x) ⇔ f(x) = g(x). ▪ log a f(x) ≥ log a g(x) ⇔ ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 0 1 khi khi f x g x a f x g x a ì >³ ï ï í ï < <£ ï î ▪ ( ) ( ) ( ) 0, ( ) 1. log ( ) log ( ) ( ) ( ) g x g x g x g x f x h x f x h x ì > ¹ ï ï = Û í ï = ï î Ⓐ. H ƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TẬP : ▪ Cho học sinh nắm các bước giải như: + Yêu cầu học sinh phân tích đề bài xem giả thiết và kết luận là gì? có liên quan đến các công thức nào về hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit…xem bài toán thuộc dạng chứng minh, tính toán, giải phương trình hay bất phương trình. + Hướng dẫn học sinh xây dựng chương trình giải. + Cho học sinh lên bảng thực hiện chương trình giải từ đó yêu cầu các học sinh khác nghiên cứu lời giải để học sinh nắm chắc kiến thức, khắc phục các sai sót vì chương này các công thức có dạng gần giống nhau nên học sinh hay áp dụng sai và mắc nhiều sai lầm. ▪ Phân loại các dạng toán cũng như các cách giải; cụ thể: ● Loại tính toán: ▪ Ví dụ 1: Tính 25 log 15 theo a khi biết 3 log 15 a= . Hướng dẫn học sinh phân tích: ( ) ( ) 2 25 5 5 5 5 1 1 log 15 log 3.5 log 3 log 5 log 3 1 2 2 = = + = + 3 3 3 3 3 log 15 log 3.5 log 3 log 5 1 log 5 a= = + = + = Mà 3 5 1 log 5 log 3 = vậy 3 log 5 là cầu nối giữa hai số cần tính. Hng dn hc sinh xõy dng chng trỡnh gii: Tớnh 3 log 5 theo a sau ú thay vo tớnh 25 log 15 . Vớ d 2: Khụng dựng mỏy tớnh hóy so sỏnh hai s 2,5 12 1 2 2 và - ổử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ a v cựng mt c s ( bi ny l 2) sau ú da vo tớnh n iu ca hm s m so sỏnh. 2,5 2,5 1 2 2 - ổử ữ ỗ = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ m 2,5 12- > - nờn 2,5 12 1 2 2 - ổử ữ ỗ < ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Loi chng minh: Vớ d 1: Chng minh 4 2 3 4 2 3 2x = + - - = . Cỏch 1: Phõn tớch (d thy x > 0) 2 2 4x x= = do trong biu thc cha cn bc hai nờn ta s bỡnh phng hai v; nu cha cn bc ba thỡ cú th lp phng. Yờu cu hc sinh bỡnh phng ri rỳt gn kt qu cn tỡm. Cỏch 2: Phõn tớch cho hc sinh thy rng 4 2 3. 4 2 3 4 2+ - = = Cú th tớnh 4 2 3 4 2 3và+ - bng cỏch xem chỳng l hai nghim ca h 2 2 x y xy ỡ - = ù ù ớ ù = ù ợ 3 1 3 1 x y ỡ ù = + ù ớ ù = - ù ợ T ú ta phõn tớch 2 4 2 3 3 2 3 1 ( 3 1)+ = + + = + cũn 4 2 3- tớnh tng t. T ú ta chng minh c bi toỏn. Vớ d 2: Cho cỏc s dng a, b, c trong ú c 1. Chng minh log log c c b a a b= p dng tớnh cht log log m m x y x y= = nờn ta ly logarit c s m dng khỏc 1 v trỏi v chng minh nú bng logarit c s m ca v phi. ( ) ( ) log log log log .log log .log log c c b c c c c c a c a b a a b b = = = Nờn log log c c b a a b= . Loi gii phng trỡnh m v lụgarit: Nờu cỏc phng phỏp gii nh: Phng phỏp a v cựng mt c s: gii phng trỡnh, bt phng trỡnh m, lụgarit ta bin i chỳng v dng: ( ) ( ) , , log ( ) , log ( ) u x u x a a a b a b u x b u x b= > = > Phương pháp lôgarit hóa: Để làm cho ẩn không nằm ở số mũ ta có thể lôgarit theo cùng một cơ số cả hai vế của một phương trình, bất phương trình (Chú ý khi lôgarit hai vế một bất phương trình cần so sánh cơ số với số 1 để có dấu bất đẳng thức đúng) Phương pháp đặt ẩn phụ: Khi biến đổi phương trình, bất phương trình về dạng ( ) ( ) u x f a b= , ( ) ( ) u x f a b³ để đơn giản trong thao tác ta đặt ( )u x t a= chú ý đặt điều kiện cho tham số t. Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số: Phương pháp này dựa vào tính đồng biến, nghịch biến và đồ thị của hàm số. Chú ý là phải nhận xét xem trong bài toán có bao nhiêu cơ số. Phải lưu ý học sinh trước khi giải phương trình phải tìm điều kiện xác định. Vdụ: + Phương trình 2 x + 3 = 5 x có thể đưa về một cơ số bằng cách biến đổi 3 2 2 5 8 1 5 x x x+ æö ÷ ç = =Û ÷ ç ÷ ç è ø . + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 x x x x - + + = - + =Û - từ đó đặt ẩn phụ t = ( ) 2 3 x - + Phương trình 3 4 5 x x x + = chứa ba cơ số không thể rút gọn cơ số nên phải dùng tính đơn điệu của hàm số để giải. + Phương trình 1 1 2.4 9 6 x x x+ + + = có thể biến đổi thành 8.4 9 6.6 x x x + = nhận xét rằng 4 = 2 2 , 9 = 3 2 và 6 = 2.3 nên PT trở thành ( ) ( ) 2 2 8 2 3 6.2 .3 x x x x + = chia hai vế cho 2 .3 x x sẽ đưa pt về một cơ số. Nếu không nhận xét được mà nghĩ đến dùng tính đơn điệu thì không thể giải được. + Giải phương trình 2 2 1 2 log 2log (3 4)x x=- + Nhận xét 1 1 2 2 - = nên sau khi đặt điều kiện nghiệm đưa pt về cùng cơ số 2 để giải. Trong bài này cần chú ý cho học sinh phép biến đổi 2 2 2 log 2logx x= chỉ đúng khi x > 0; nên phải sử dụng đúng công thức 2 2 2 log 2log | |x x= để giải bài này mới tìm được đúng nghiệm. ● Loại giải bất phương trình mũ và lôgarit: Cũng phân tích cơ số, đặt điều kiện như dạng phương trình mũ và lôgarit nhưng bắt buộc phải so sánh cơ số với 1 để sử dụng đúng các công thức: ▪ Nếu a > 1 thì: a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) > g(x). ▪ Nếu 0 < a < 1 thì: a f(x) > a g(x) ⇔ f(x) < g(x). ▪ Nếu 1: log ( ) log ( ) ( ) ( ) a a a f x g x f x g x> > >Û ▪ Nếu 0 1: log ( ) log ( ) ( ) ( ) a a a f x g x f x g x< < > <Û Ví dụ: + Giải bất phương trình: 2 3 7 3 1 (1) 6 2 .3 x x x+ + - < . Gợi ý để học sinh phân tích đề: Mũ là một nhị thức bậc nhất → đưa về số mũ là x sau đó biến đổi cơ số. (1) ( ) ( ) 3 2 7 3 2 7 3 3 3 6 2 6 . 6 2 .2 . 3 2.3 3.6 x x x x æ ö ÷ ç ÷ < <Û ç ÷ ç ÷ ç è ø 4 2 2 3 3 x æö æö ÷ ÷ ç ç < ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø x > 4 (Chú ý cho học sinh là cơ số nhỏ hơn 1). + Giải bất phương trình: 4 1 3 log 0 1 x x æ ö + ÷ ç ³ ÷ ç ÷ ç è ø - . HDẫn cho học sinh phân tích đề: Đây là BPT lôgarit có cơ số lớn hơn 1 → Đặt điều kiện nghiệm sau đó áp dụng công thức 1: log ( ) log ( ) ( ) ( ) a a a f x g x f x g x> > >Û với chú ý 4 0 log 1= và khi giải BPT 1 3 1 1 x x + ³ - cần biến đổi về 1 3 1 0 1 x x + - ³ - sau đó quy đồng và xét dấu hoặc dùng phương pháp khoảng. + Có thể biến đổi trực tiếp 2 2 0,8 0,8 1 2 5 log ( 1) log (2 5) 2 5 0 x x x x x x x ì ï + + > + ï + + < + Û í ï + > ï î . + Giải bất phương trình: 2 (3 ) log (3 ) 1 x x x - - > Đây là một bất phương trình có ẩn ở cơ số nên ta phải chia ra hai trường hợp (3−x) > 1 và 0 < (3−x) < 1 để giải. ● Loại giải hệ phương trình: (Chương trình nâng cao) + Nhắc lại các phương pháp giải hệ như phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng máy tính bỏ túi; các hệ đặc biệt như đối xứng… + Đầu tiên cần quan tâm đến đặt điều kiện nghiệm. Ví dụ: Giải hệ: 9 2 (1) log (2) 1 4 2 3 3 y x x y - ì ï æö ï ÷ ç = ï ÷ ç ï ÷ ç è ø ï í ï ï ï = ï ï î Biến đổi (1) thành 2 2x y= - và (2) thành 3 y x = . Ta được hệ: 2 2 0 3 x y y x ì ï - =- ï ï ï í ï - = ï ï ï î Giải hệ này tìm được nghiệm. ● Loại toán liên quan đến đạo hàm: Học sinh phải nắm được các công thức tìm đạo hàm của các hàm số ; log ; ; x n a y a y x y x y x α = = = = và đạo hàm của hàm số hợp của các hàm số này. Chú ý cần phân biệt cho học sinh hai công thức: ( ) / ln x x a a a= và ( ) / 1 .x x α α α - = vì học sinh hay hiểu và sử dụng sai như ( ) / 1 2 .2 x x x - = Ví dụ: + Tìm đạo hàm của hàm số x y x π π = . Sau khi yêu cầu học sinh phân tích đề: Hàm số cần tìm đạo hàm có dạng (u.v) / = u / v + uv / với x u π = ; v x π = ta cần chú ý cho học sinh thấy hàm số u là hàm số mũ còn hàm số v là hàm số lũy thừa từ đó các em áp dụng công thức không sai lầm. Ⓐ Chú ý: ▪ Chỉ ra cho học sinh thấy sự liên quan của các kiến thức: Ví dụ khi xét hàm số y = a x có ( ) / ln (0 1) x x a a a a= < ¹ → khi 0 < a < 1 ta có lna < 0 nên y’ < 0, x hàm số giảm trên ¡ ; khi a > 1 ta có lna > 0 nên y’ > 0, x hàm số tăng trên ¡ . ▪ Phân tích các sai sót mà học sinh thường gặp phải khi giải các bài toán trong chương này như: + Không đặt điều kiện xác định của phương trình. + Vận dụng không đúng các công thức nhất là các công thức về lôgarit. + Quên so sánh cơ số với số 1 khi giải bpt mũ và lôgarit… ▪ Đối với học sinh khá giỏi có thể soạn thêm các bài toán nâng cao như: Giải phương trình 2 2 5 3 log ( 2 2) log ( 2 )x x x x+ + = + Đặt 2 3 log ( 2 )x x t+ = thì ta có 2 2 3 t x x+ = ; thay vào phương trình đã cho ta được 5 log (3 2) t t+ = biến đổi thành 3 1 3 2 5 2 1 5 5 t t t t æö æö ÷ ÷ ç ç + = + =Û ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø . Sử dụng phương pháp hàm số ta giải PT này tìm được nghiệm. Học sinh dễ sai lầm khi thấy x = 1 là nghiệm từ đó kết luận nghiệm duy nhất. Ⓓ. M ỘT SỐ BÀI TẬ P : ① Tính giá trị của biểu thức 1 1 ( 1) ( 1)A a b - - = + + + khi ( ) ( ) 1 1 2 3 2 3µa v b - - = + = - ② Biết 27 8 2 log 5 , log 7 , log 3a b c= = = . Tính 6 log 35 theo a, b, c. ③ Tính 2 3 4 2000 1 1 1 1 log log log log A x x x x = + + + + với x = 2000! ④ Rút gọn biểu thức 4 2 4 : ( 0)B x x x x π π = > . ⑤ Vẽ đồ thị của các hàm số: ⓐ 2 x y = ⓐ 2 logy x= ⓐ 1 2 x y æö ÷ ç = ÷ ç ÷ ç è ø ⓐ 1 2 logy x= ⑥ Trong các hàm số sau hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến? a) 3 3 2 x y æ ö ÷ ç = ÷ ç ÷ ç è ø + ; b) 2 x y e æö ÷ ç = ÷ ç ÷ ç è ø ; c) 1 3 3 2 x x y - æ ö ÷ ç = ÷ ç ÷ ç è ø - . ⑦ Chứng minh rằng ( ) 3 3 3 3 3 2 4 2 2 4 2 2 2 a a b b b a a b+ + + = + ⑧ Chứng minh 1 log 1 1 1 1 log log log log abcd a b c d x x x x x = + + + với a, b, c, d, x, abcd dương khác 1. ⑨ Không dùng máy tính hãy chứng minh đẳng thức 3 3 7 5 2 7 5 2 2+ + - = . ⑩ Không dùng máy tính hãy so sánh các cặp số sau: ⓐ ( ) ( ) 6 log 3 1 log 2 1íiv π π - - . ⓐ 2 5 log 3 log 3íiv . ⓐ 5 8 7 11 7 3 log log 9 4 íiv . ⓐ 4 5 log 5 log 6íiv ⓐ Giải các phương trình sau: ⓐ 5 3 7 x- = , ⓐ |3 4| 2 2 3 9 x x- - = ⓐ ( ) 3 4 log 1 3 3 x- + = ⓐ ( ) ( ) 10 5 10 3 3 84 x x- + = . ⓐ 2 2 2 2 1 2 1 2 25 9 34.15 x x x x x x- + - + - + = ⓐ ( ) ( ) 5(7 2) 6 5(7 2 7 x x - + + = ⓐ 3 9 27 11 log log log 2 x x x+ + = . ⓐ ( ) 2 3 3 2log ( 2) log 4 0x x- + - = ⓐ 2 9 log 5 log 5 log 5 4 x x x x+ = + ⓐ 4 7 log 2 log 0 6 x x- + = ⓐ 2 2 log log 3 | 1| | 1| x x x x - - = - . ⓐ 3 4 5 6 x x x x + + = ⓐ* ( ) ( ) tan tan 3 2 2 3 2 2 6. x x + + - = ⓐ* 2 2 3 2 log ( 2 1) log ( 2 )x x x x+ + = + ⓐ Giải các bất phương trình sau: ⓐ 9 2 1 log 1 2 x x > + . ⓐ 2 2 2log ( 1) log (5 ) 1x x- > - + . ⓐ 2 2 7 ( 3) 1 x x x - - > . ⓐ 3 4 2 log log 2x x- > . ⓐ 1 4 5 log log 1x x+ ³ ⓐ 6.9 13.6 6.4 0 x x x - + £ . ⓐ* Tìm các giá trị x, y nguyên thoả mãn: ( ) yyxxlog y 3732 2 8 2 2 2 +−≤++ + ⓐ Giải các hệ phương trình: ⓐ log 1 log (3 5 ) 2 x y y y x ì = ï ï í ï + = ï î ⓐ 2 2 . 1 log log 2 x y x y ì = ï ï í ï + = ï î ⓐ 3 2 3 4 128 5 1 x y x y + - - ì ï = ï í ï = ï î ⓐ log log 2 15 x y x y ì + = ï ï í ï - = ï î ⓐ 3 3 3 3 log log 2 log 2 log ( ) 2 x y x y ì + = + ï ï í ï + = ï î ⓐ 2 2 3 2 10 (3 1)log 1 27 y y x x + ì ï + = ï ï í ï = ï ï î . chương này như: + Không đặt điều kiện xác định của phương trình. + Vận dụng không đúng các công thức nhất là các công thức về lôgarit. + Quên so sánh cơ số với số 1 khi giải bpt mũ và lôgarit… ▪. x u π = ; v x π = ta cần chú ý cho học sinh thấy hàm số u là hàm số mũ còn hàm số v là hàm số lũy thừa từ đó các em áp dụng công thức không sai lầm. Ⓐ Chú ý: ▪ Chỉ ra cho học sinh thấy sự liên quan. đúng công thức 2 2 2 log 2log | |x x= để giải bài này mới tìm được đúng nghiệm. ● Loại giải bất phương trình mũ và lôgarit: Cũng phân tích cơ số, đặt điều kiện như dạng phương trình mũ và